# Oppgaver: Ekstremalpunktsform :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 --- level: 1 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = (x - 1)^2 + 3. $$ Bestem grafens ekstremalpunkt og avgjør om det er et toppunkt eller bunnpunkt. ::::{answer} Bunnpunkt i $(1, 3)$. :::: ::::{solution} Grafen har et ekstremalpunktet i $(1, 3)$. Siden den ledende koeffisienten $a = 1> 0$, så grafen konveks {poly-icon}`smile` og ekstremalpunktet er derfor et bunnpunkt. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En andregradsfunksjon $g$ er gitt ved $$ g(x) = -2(x + 1)^2 + 5. $$ Bestem grafens ekstremalpunkt og avgjør om det er et toppunkt eller bunnpunkt. ::::{answer} Toppunkt i $(-1, 5)$. :::: ::::{solution} Grafen har et ekstremalpunkt i $(-1, 5)$. Siden den ledende koeffisienten $a = -2 < 0$, så grafen er konkav {poly-icon}`frown` og ekstremalpunktet er derfor et toppunkt. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En andregradsfunksjon $h$ er gitt ved $$ h(x) = -3(x - 2)^2 - 4 $$ Bestem grafens ekstremalpunkt og avgjør om det er et toppunkt eller bunnpunkt. ::::{answer} Toppunkt i $(2, -4)$. :::: ::::{solution} Grafen har et ekstremalpunkt i $(2, -4)$. Siden den ledende koeffisienten $a = -3 < 0$, så grafen er konkav {poly-icon}`frown` og ekstremalpunktet er derfor et toppunkt. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d En andregradsfunksjon $d$ er gitt ved $$ p(x) = 4(x + 3)^2 + 2 $$ Bestem grafens ekstremalpunkt og avgjør om det er et toppunkt eller bunnpunkt. ::::{answer} Bunnpunkt i $(-3, 2)$. :::: ::::{solution} Grafen har et ekstremalpunkt i $(-3, 2)$. Siden den ledende koeffisienten $a = 4 > 0$, så grafen er konveks {poly-icon}`smile` og ekstremalpunktet er derfor et bunnpunkt. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Grafen til en andregradsfunksjon $f$ er vist i figuren nedenfor. Bestem $f(x)$ på ekstremalpunktsform. :::{plot} width: 70% function: -(x + 1)**2 + 4, f ::: ::::{answer} $$ f(x) = -(x + 1)^2 + 4. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Grafen til en andregradsfunksjon $g$ er vist i figuren nedenfor. Bestem $g(x)$ på ekstremalpunktsform. :::{plot} width: 70% function: 2 * (x - 2)**2 + 1, g ::: ::::{answer} $$ g(x) = 2(x - 2)^2 + 1. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Grafen til en andregradsfunksjon $h$ er vist i figuren nedenfor. Bestem $h(x)$ på ekstremalpunktsform. :::{plot} width: 70% function: -2*(x - 2)**2 - 1, h ::: ::::{answer} $$ h(x) = -2(x - 2)^2 - 1. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Grafen til en andregradsfunksjon $p$ er vist i figuren nedenfor. Bestem $p(x)$ på ekstremalpunktsform. :::{plot} width: 70% function: (x + 2)**2 - 3, p ::: ::::{answer} $$ p(x) = (x + 2)^2 - 3. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 --- level: 1 --- En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^2 - 4x + 3. $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem symmetrilinja $x_0$ til grafen til $f$. ::::{answer} $$ x_0 = 2 $$ :::: ::::{solution} Symmetrilinja til grafen til $f$ er gitt ved $$ x_0 = -\dfrac{b}{2a} $$ Vi kan se at $a = 1$ og $b = -4$ så $$ x_0 = -\dfrac{-4}{2 \cdot 1} = \dfrac{4}{2} = 2. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem koordinatene til ekstremalpunktet til $f$ og avgjør om det er et toppunkt eller bunnpunkt. ::::{answer} Bunnpunkt i $(2, -1)$. :::: ::::{solution} Vi vet allerede $x$-koordinaten til ekstremalpunktet siden dette er det samme som symmetrilinja $x_0 = 2$. For å finne $y$-koordinaten setter vi $x = 2$ inn i $f(x)$: $$ y_0 = f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. $$ Dermed er ekstremalpunktet $(2, -1)$. Dette er et bunnpunkt siden $a > 0$ og grafen er derfor konveks {poly-icon}`smile`. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bestem $f(x)$ på ekstremalpunktsform $$ f(x) = a(x - x_0)^2 + y_0 $$ ::::{answer} $$ f(x) = (x - 2)^2 - 1 $$ :::: ::::{solution} Vi vet at $x_0 = 2$ og $y_0 = -1$. Vi vet også at $a = 1$, som betyr at $$ f(x) = a(x - x_0)^2 + y_0 = (x - 2)^2 - 1. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 --- level: 1 --- En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = 2(x - 1)^2 - 4 $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem ekstremalpunktet til $f$ og avgjør om det er et toppunkt eller bunnpunkt. ::::{answer} Bunnpunkt i $(1, -4)$. :::: ::::{solution} Vi kan lese av at ekstremalpunktet er $(1, -4)$ ved å sammenligne uttrykkene: $$ a(x - x_0)^2 - 4 = 2(x - 1)^2 - 4 $$ som gir oss $$ x_0 = 1 \and y_0 = -4. $$ Dette er et bunnpunkt siden $a = 2 > 0$ og grafen er derfor konveks {poly-icon}`smile`. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem symmetrilinja til grafen til $f$. ::::{answer} $$ x_0 = 1 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bestem hvor grafen til $f$ skjærer $y$-aksen. ::::{answer} $$ (0, -2) $$ :::: ::::{solution} For å avgjøre hvor grafen til $f$ skjærer $y$-aksen, setter vi $x = 0$ i $f(x)$: $$ f(0) = 2(0 - 1)^2 - 4 = 2 \cdot 1 - 4 = 2 - 4 = -2. $$ Dermed skjærer grafen til $f$ $y$-aksen i punktet $(0, -2)$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Lag en skisse av grafen til $f$ der du markerer * Ekstremalpunktet * Skjæringspunktet med $y$-aksen * Symmetrilinja ::::{answer} :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_4/figur.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 90% --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 --- level: 2 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = 3x^2 - 12x + 9. $$ Bestem $f(x)$ på ekstremalpunktsform. ::::{answer} $$ f(x) = 3(x - 2)^2 - 3. $$ :::: ::::{solution} Vi bestemmer symmetrilinja $x_0$ til grafen først. Vi har at $a = 3$ og $b = -12$, som gir oss $$ x_0 = -\dfrac{-12}{2 \cdot 3} = \dfrac{12}{6} = 2. $$ Så må vi regne ut $y$-koordinaten til ekstremalpunktet: $$ y_0 = f(2) = 3 \cdot 2^2 - 12 \cdot 2 + 9 = 3 \cdot 4 - 24 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3. $$ Dermed er ekstremalpunktet $(2, -3)$. Vi vet fra før av at $a = 3$, så dermed får vi $$ f(x) = a(x - x_0)^2 + y_0 = 3(x - 2)^2 - 3. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En andregradsfunksjon $g$ er gitt ved $$ g(x) = -2x^2 + 8x - 6. $$ Bestem $g(x)$ på ekstremalpunktsform. ::::{answer} $$ g(x) = -2(x - 2)^2 + 2. $$ :::: ::::{solution} Vi bestemmer symmetrilinja $x_0$ til grafen først. Vi har at $a = -2$ og $b = 8$, som gir oss $$ x_0 = -\dfrac{8}{2 \cdot (-2)} = -\dfrac{8}{-4} = 2. $$ Så må vi regne ut $y$-koordinaten til ekstremalpunktet: $$ y_0 = g(2) = -2 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 - 6 = -2 \cdot 4 + 16 - 6 = -8 + 16 - 6 = 2. $$ Dermed er ekstremalpunktet $(2, 2)$. Vi vet fra før av at $a = -2$, så dermed får vi $$ g(x) = a(x - x_0)^2 + y_0 = -2(x - 2)^2 + 2. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En andregradsfunksjon $h$ er gitt ved $$ h(x) = -x^2 + 4x - 5. $$ Bestem $h(x)$ på ekstremalpunktsform. ::::{answer} $$ h(x) = -(x - 2)^2 - 1. $$ :::: ::::{solution} Vi bestemmer symmetrilinja $x_0$ til grafen først. Vi har at $a = -1$ og $b = 4$, som gir oss $$ x_0 = -\dfrac{4}{2 \cdot (-1)} = -\dfrac{4}{-2} = 2. $$ Så må vi regne ut $y$-koordinaten til ekstremalpunktet: $$ y_0 = h(2) = -2^2 + 4 \cdot 2 - 5 = -4 + 8 - 5 = -1. $$ Dermed er ekstremalpunktet $(2, -1)$. Vi vet fra før av at $a = -1$, så dermed får vi $$ h(x) = a(x - x_0)^2 + y_0 = -(x - 2)^2 - 1. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d En andregradsfunksjon $p$ er gitt ved $$ p(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 3x + 2 $$ Bestem $p(x)$ på ekstremalpunktsform. ::::{answer} $$ p(x) = \dfrac{1}{2}(x - 3)^2 - \dfrac{5}{2}. $$ :::: ::::{solution} Vi bestemmer symmetrilinja $x_0$ til grafen først. Vi har at $a = \dfrac{1}{2}$ og $b = -3$, som gir oss $$ x_0 = -\dfrac{-3}{2 \cdot \dfrac{1}{2}} = -\dfrac{-3}{1} = 3. $$ Så må vi regne ut $y$-koordinaten til ekstremalpunktet: \begin{align*} y_0 = p(3) &= \dfrac{1}{2} \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 + 2 \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 9 - 9 + 2 = \dfrac{9}{2} - 9 + 2 \\ \\ &= \dfrac{9}{2} - \dfrac{18}{2} + \dfrac{4}{2} \\ \\ &= -\dfrac{5}{2}. \end{align*} Dermed er ekstremalpunktet $\left(3, -\dfrac{5}{2}\right)$. Vi vet fra før av at $a = \dfrac{1}{2}$, så dermed får vi $$ p(x) = a(x - x_0)^2 + y_0 = \dfrac{1}{2}(x - 3)^2 - \dfrac{5}{2}. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 6 --- level: 2 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = 2(x - 1)^2 + 3. $$ Bestem $f(x)$ på standardform. ::::{answer} $$ f(x) = 2x^2 - 4x + 5. $$ :::: ::::{solution} Vi ganger ut parentesen og samler leddene: \begin{align*} f(x) &= 2(x - 1)^2 + 3 \\ \\ &= 2(x^2 - 2x + 1) + 3 \\ \\ &= 2x^2 - 4x + 2 + 3 \\ \\ &= 2x^2 - 4x + 5. \end{align*} :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En andregradsfunksjon $g$ er gitt ved $$ g(x) = -3(x + 2)^2 + 5. $$ Bestem $g(x)$ på standardform. ::::{answer} $$ g(x) = -3x^2 - 12x - 7. $$ :::: ::::{solution} Vi ganger ut parentesen og samler leddene: \begin{align*} g(x) &= -3(x + 2)^2 + 5 \\ \\ &= -3(x^2 + 4x + 4) + 5 \\ \\ &= -3x^2 - 12x - 12 + 5 \\ \\ &= -3x^2 - 12x - 7. \end{align*} :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En andregradsfunksjon $h$ er gitt ved $$ h(x) = -4(x - 3)^2 - 1. $$ Bestem $h(x)$ på standardform. ::::{answer} $$ h(x) = -4x^2 + 24x - 37. $$ :::: ::::{solution} Vi ganger ut parentesen og samler leddene: \begin{align*} h(x) &= -4(x - 3)^2 - 1 \\ \\ &= -4(x^2 - 6x + 9) - 1 \\ \\ &= -4x^2 + 24x - 36 - 1 \\ \\ &= -4x^2 + 24x - 37. \end{align*} :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d En andregradsfunksjon $p$ er gitt ved $$ p(x) = 5(x + 4)^2 + 2. $$ Bestem $p(x)$ på standardform. ::::{answer} $$ p(x) = 5x^2 + 40x + 82. $$ :::: ::::{solution} Vi ganger ut parentesen og samler leddene: \begin{align*} p(x) &= 5(x + 4)^2 + 2 \\ \\ &= 5(x^2 + 8x + 16) + 2 \\ \\ &= 5x^2 + 40x + 80 + 2 \\ \\ &= 5x^2 + 40x + 82. \end{align*} :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::{margin} Tips: Oppgave 7 Her får du bruk for at når man flytter seg $\Delta x$ enheter langs $x$-aksen fra ekstremalpunktet og funksjonsverdien endrer seg med $\Delta y$, så er $$ (\Delta x)^2 \cdot a = \Delta y $$ ::: :::::::::::::::{exercise} Oppgave 7 --- level: 2 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Grafen til en andregradsfunksjon $f$ er vist i figuren nedenfor. Bestem $f(x)$ på ekstremalpunktsform. :::{plot} width: 70% function: 3/2 * (x - 2)**2 - 9, f ymin: -11 ::: ::::{answer} $$ f(x) = \dfrac{3}{2}(x - 2)^2 - 9. $$ :::: ::::{solution} Vi ser at grafen har et ekstremalpunkt i $(2, -9)$ som betyr at $$ f(x) = a(x - 2)^2 - 9. $$ Øker vi $x$-verdien med $2$ enheter fra ekstremalpunktet, så øker $y$-verdien med $6$ enheter. Altså er $\Delta x = 2$ og $\Delta y = 6$. Da får vi at $$ 2^2\cdot a = 6 \liff 4a = 6 \liff a = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2} $$ Dermed er $$ f(x) = \dfrac{3}{2}(x - 2)^2 - 9. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Grafen til en andregradsfunksjon $g$ er vist i figuren nedenfor. Bestem $g(x)$ på ekstremalpunktsform. :::{plot} width: 70% function: -0.5 * (x + 3)**2 + 2, g xmin: -8 xmax: 4 ::: ::::{answer} $$ g(x) = -\dfrac{1}{2}(x + 3)^2 + 2. $$ :::: ::::{solution} Vi ser at grafen til $g$ har et ekstremalpunkt i $(-3, 2)$ som betyr at $$ g(x) = a(x + 3)^2 + 2. $$ Vi trenger ett punkt til på grafen til $g$ for å bestemme verdien til $a$. Vi ser at grafen skjærer $x$-aksen i $(-2, 0)$ som betyr at $$ g(-2) = 0 \liff a(-2 + 3)^2 + 2 = 0. $$ Vi forenkler dette til $$ a + 2 = 0 \liff a = -2. $$ Dermed er $$ g(x) = -2(x + 3)^2 + 2. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Grafen til en andregradsfunksjon $h$ er vist i figuren nedenfor. Bestem $h(x)$ på ekstremalpunktsform. :::{plot} width: 70% function: 5/2*(x + 3)**2 + 0, h ymin: -2 ymax: 12 ::: ::::{answer} $$ h(x) = \dfrac{5}{2}(x + 3)^2. $$ :::: ::::{solution} Vi ser at grafen til $h$ har et ekstremalpunkt i $(-3, 0)$ som betyr at $$ h(x) = a(x + 3)^2 + 0 = a(x + 3)^2. $$ Vi ser at dersom vi øker $x$-verdien med $2$ enheter fra ekstremalpunktet, så øker $y$-verdien med $10$ enheter siden grafen går gjennom punktet $(-1, 10)$. Altså er $\Delta x = 2$ og $\Delta y = 10$. Da får vi at $$ 2^2 \cdot a = 10 \liff 4a = 10 \liff a = \dfrac{10}{4} = \dfrac{5}{2}. $$ Dermed er $$ h(x) = \dfrac{5}{2}(x + 3)^2. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Grafen til en andregradsfunksjon $p$ er vist i figuren nedenfor. Bestem $p(x)$ på ekstremalpunktsform. :::{plot} width: 70% function: -2/3*(x - 2)**2 + 4, p ::: ::::{answer} $$ p(x) = -\dfrac{2}{3}(x - 2)^2 + 4. $$ :::: ::::{solution} Vi ser at grafen til $p$ har et ekstremalpunkt i $(2, 4)$ som betyr at $$ p(x) = a(x - 2)^2 + 4. $$ Øker vi $x$ med $3$ enheter fra ekstremalpunktet, så synker $y$ med $6$ enheter siden grafen går gjennom punktet $(5, -2)$. Altså er $\Delta x = 3$ og $\Delta y = -6$. Da får vi at $$ 3^2 \cdot a = -6 \liff 9a = -6 \liff a = -\dfrac{6}{9} = -\dfrac{2}{3} $$ Altså er $$ p(x) = -\dfrac{2}{3}(x - 2)^2 + 4. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 8 --- level: 2 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = (x + 1)^2 - 2 $$ Bestem hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til $f$. :::{multi-plot} width: 100% functions: (x - 1) ** 2 - 2, -((x - 1) ** 2) - 2, (x + 1) ** 2 - 2, -((x + 1) ** 2) - 2 function-names: A, B, C, D rows: 2 cols: 2 ticks: off ::: ::::{answer} Graf C. :::: ::::{solution} Grafen til $f$ har et ekstremalpunkt i $(-1, -2)$ og symmetrilinje i $x = -1$. Videre er grafen konveks siden $a = 1 > 0$. Dermed må grafen ha et bunnpunkt i $(-1, -2)$. Dette passer bare med graf C som derfor må være grafen til $f$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En andregradsfunksjon $g$ er gitt ved $$ g(x) = (x + 2)^2 + 1 $$ Bestem hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til $g$. :::{multi-plot} width: 100% functions: -((x + 2) ** 2) + 1, (x + 2) ** 2 + 1, (x + 1) ** 2 - 1, -((x + 1) ** 2) + 1 function-names: A, B, C, D rows: 2 cols: 2 ticks: off ::: ::::{answer} Graf B. :::: ::::{solution} Grafen til $g$ har et ekstremalpunkt i $(-2, 1)$ og er konveks siden $a = 1 > 0$. Dermed må grafen ha et bunnpunkt i $(-2, 1)$. Dette passer bare med graf A som derfor må være grafen til $g$. Dette passer bare med graf B siden dette er den eneste grafen som er konveks og har et bunnpunkt med negativ $x$-koordinat og positiv $y$-koordinat. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En andregradsfunksjon $h$ er gitt ved $$ h(x) = 2(x - 2)^2 + 4 $$ Bestem hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til $h$. :::{multi-plot} width: 100% functions: 2 * (x - 2) ** 2 - 4, 2 * (x + 2) ** 2 - 4, 2 * (x - 2) ** 2 + 4, 2 * (x + 2) ** 2 + 4 function-names: A, B, C, D rows: 2 cols: 2 ymin: -10 ymax: 10 ticks: off ::: ::::{answer} Graf C. :::: ::::{solution} Grafen til $h$ har et ekstremalpunkt i $(2, 4)$ og er konveks siden $a = 2 > 0$. Dermed må grafen ha et bunnpunkt i $(2, 4)$. Graf C er den eneste grafen som er konveks og har positiv $x$-koordinat og positiv $y$-koordinat i bunnpunktet sitt, så derfor er graf C grafen til $h$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d En andregradsfunksjon $p$ er gitt ved $$ p(x) = -3(x - 3)^2 + 1 $$ Bestem hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til $p$. :::{multi-plot} width: 100% functions: 0.5 * (x + 3) ** 2 + 1, 3 * (x - 3) ** 2 + 1, -0.5 * (x + 3) ** 2 + 1, -3 * (x - 3) ** 2 + 1 function-names: A, B, C, D rows: 2 cols: 2 ticks: off xmin: -8 xmax: 8 ::: ::::{answer} Graf D. :::: ::::{solution} Grafen til $p$ har et ekstremalpunkt i $(3, 1)$ og er konkav siden $a = -3 < 0$. Dermed må grafen ha et toppunkt i $(3, 1)$. Graf D er den eneste grafen som har et toppunkt der begge koordinatene er positive. Derfor er graf D grafen til $p$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 9 --- level: 2 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = 2(x - 1)^2 - 8. $$ Lag en skisse av grafen til $f$ der du markerer: * Ekstremalpunktet * Symmetrilinja * Skjæringspunktet med $y$-aksen ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En andregradsfunksjon $g$ er gitt ved $$ g(x) = -(x + 1)^2 + 4 $$ Lag en skisse av grafen til $g$ der du markerer: * Ekstremalpunktet * Symmetrilinja * Skjæringspunktet med $y$-aksen ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En andregradsfunksjon $h$ er gitt ved $$ h(x) = -2(x - 2)^2 + 3 $$ Lag en skisse av grafen til $g$ der du markerer: * Ekstremalpunktet * Symmetrilinja * Skjæringspunktet med $y$-aksen ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d En andregradsfunksjon $p$ er gitt ved $$ p(x) = (x + 2)^2 + 3 $$ Lag en skisse av grafen til $g$ der du markerer: * Ekstremalpunktet * Symmetrilinja * Skjæringspunktet med $y$-aksen ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::{margin} Tips: Oppgave 10 Det spiller ingen rolle om du velger å bestemme funksjonsuttrykkene på standardform eller ekstremalpunktsform. Velg det som er mest hensiktsmessig ut ifra opplysningene i oppgaven. ::: :::::::::::::::{exercise} Oppgave 10 --- level: 3 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Om en andregradsfunksjon $f$ får du vite at * Grafen har et toppunkt i $(2, 3)$. * Grafen skjærer $y$-aksen i $(0, 1)$. Bestem $f(x)$. ::::{answer} $$ f(x) = -\dfrac{1}{2}(x - 2)^2 + 3. $$ :::: ::::{solution} Siden vi kjenner til toppunktet på grafen, velger vi ekstremalpunktsform: $$ f(x) = a(x - x_0)^2 + y_0 $$ Vi har at $(x_0, y_0) = (2, 3)$ som vi kan sette inn i uttrykket: $$ f(x) = a(x - 2)^2 + 3. $$ Vi vet at grafen skjærer $y$-aksen i $(0, 1)$ så vi setter inn $x = 0$ i $f(x)$ og bestemmer verdien til $a$: $$ f(0) = 1 \liff a(0 - 2)^2 + 3 = 1 $$ som vi forenkler til $$ 4a + 3 = 1 \liff 4a = -2 \liff a = -\dfrac{1}{2}. $$ Dermed er $$ f(x) = -\dfrac{1}{2}(x - 2)^2 + 3. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Om en andregradsfunksjon $g$ får du vite at * Grafen har et bunnpunkt i $(1, -3)$. * Grafen skjærer $x$-aksen i $(4, 0)$. Bestem $g(x)$. ::::{answer} $$ g(x) = \dfrac{1}{3}(x - 1)^2 - 3. $$ :::: ::::{solution} Siden vi kjenner til bunnpunktet på grafen, velger vi ekstremalpunktsform: $$ g(x) = a(x - x_0)^2 + y_0 $$ Vi vet at $(x_0, y_0) = (1, -3)$ som vi kan sette inn i uttrykket: $$ g(x) = a(x - 1)^2 - 3. $$ Siden grafen skjærer $x$-aksen $(4, 0)$ så må har vi at $$ g(4) = 0 \liff a(4 - 1)^2 - 3 = 0 $$ som vi forenkler til $$ 9a - 3 = 0 \liff 9a = 3 \liff a = \dfrac{1}{3}. $$ Dermed er $$ g(x) = \dfrac{1}{3}(x - 1)^2 - 3. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Om en andregradsfunksjon $h$ får du vite at * Grafens symmetrilinje er $x = -1$. * Grafen skjærer $y$-aksen i $(0, 2)$. * Grafen skjærer $x$-aksen i $(1, 0)$. Bestem $h(x)$. ::::{answer} $$ h(x) = -\dfrac{2}{3}x^2 - \dfrac{4}{3}x + 2. $$ :::: ::::{solution} Vi velger standardform her siden vi bare kjenner til symmetrilinja (og ikke $y$-koordinaten til ekstremalpunktet) og hvor grafen skjærer $y$-aksen: $$ h(x) = ax^2 + bx + c $$ Grafen skjærer $y$-aksen i $(0, 2)$, så vi har at $c = 2$. Siden symmetrilinja er $x_0 = -1$, så har vi at $$ x_0 = -\dfrac{b}{2a} \liff -1 = -\dfrac{b}{2a} \liff b = 2a. $$ Nå kan vi sette inn uttrykket $b$ og $c$ i $h(x)$ som gir $$ h(x) = ax^2 + 2ax + 2. $$ Vi vet at grafen skjærer $x$-aksen i $(1, 0)$, så vi setter inn $x = 1$ i $h(x)$: $$ h(1) = 0 \liff a \cdot 1^2 + 2a \cdot 1 + 2 = 0 $$ som vi forenkler til $$ a + 2a + 2 = 0 \liff 3a + 2 = 0 \liff 3a = -2 \liff a = -\dfrac{2}{3}. $$ Så kan vi regne ut verdien til $b$: $$ b = 2a = 2 \cdot -\dfrac{2}{3} = -\dfrac{4}{3}. $$ Dermed er $$ h(x) = -\dfrac{2}{3}x^2 - \dfrac{4}{3}x + 2. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Om en andregradsfunksjon $p$ får du vite at * Grafen har et ekstremalpunkt i $(0, 3)$. * Grafen skjærer $x$-aksen i $(-3, 0)$. Bestem $p(x)$. ::::{answer} $$ p(x) = -\dfrac{1}{3}x^2 + 3. $$ :::: ::::{solution} Vi velger ekstremalpunktsform siden vi kjenner til ekstremalpunktet: $$ p(x) = a(x - x_0)^2 + y_0 $$ Siden ekstremalpunktet er $(x_0, y_0) = (0, 3)$, så får vi $$ p(x) = a(x - 0)^2 + 3 = ax^2 + 3. $$ Vi vet vet også at grafen skjærer $x$-aksen i $(-3, 0)$, så vi setter inn $x = -3$ i $p(x)$: $$ p(-3) = 0 \liff a \cdot (-3)^2 + 3 = 0 $$ som vi forenkler til $$ 9a + 3 = 0 \liff 9a = -3 \liff a = -\dfrac{1}{3}. $$ Dermed er $$ p(x) = -\dfrac{1}{3}x^2 + 3. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::{margin} Tips: Oppgave 11 En identitet er en likning som er sann for alle verdier av $x$. ::: :::::::::::::::{exercise} Oppgave 11 --- level: 3 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem $s$ og $r$ slik at likningen nedenfor er en identitet $$ (x - s)^2 + r = x^2 - 4x + 3 $$ ::::{answer} $$ s = 2 \and r = -1. $$ :::: ::::{solution} Vi har at uttrykket på høyre side er på standardform med koeffisientene $$ a = 1 \and b = -4 \and c = 3. $$ På venstre side vil $s$ være symmetrilinja til grafen som er $$ s = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-4}{2 \cdot 1} = \dfrac{4}{2} = 2. $$ Så kan vi regne ut $r$ ved å sette inn verdien for $s$ i høyre side: $$ r = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. $$ Dermed er likningen en identitet når $$ s = 2 \and r = -1. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem $a$, $b$ og $c$ slik at likningen nedenfor er en identitet $$ ax^2 + bx +c = -2(x + 1)^2 + 5 $$ ::::{answer} $$ a = -2 \and b= -4 \and c = 3. $$ :::: ::::{solution} Vi ganger ut høyresiden og sammenligner leddene for å bestemme $a$, $b$ og $c$: $$ -2(x + 1)^2 + 5 = -2(x^2 + 2x + 1) + 5 = -2x^2 - 4x - 2 + 5 = -2x^2 - 4x + 3. $$ Dermed er $$ a = -2 \and b= -4 \and c = 3. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bestem $k$, $s$ og $r$ slik at likningen nedenfor er en identitet $$ -x^2 + 8x + 12 = k(x - s)^2 + r $$ ::::{solution} Vi ser at venstresiden er på standardform med koeffisientene $$ a = -1 \and b = 8 \and c = 12. $$ Høyresiden er på ekstremalpunktsform der $k$ er den ledende koeffisientene som betyr at $$ k = a = -1 $$ Her er $s$ symmetrilinja til grafen som er $$ s = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{8}{2 \cdot -1} = -\dfrac{8}{-2} = 4. $$ Så setter vi inn verdien for $s$ i venstresiden for å bestemme $r$: $$ r = -(4)^2 + 8 \cdot 4 + 12 = -16 + 32 + 12 = 28. $$ Dermed er likningen en identitet når $$ k = -1 \and s = 4 \and r = 28. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Bestem $a$, $b$ og $c$ slik at likningen nedenfor er en identitet $$ \dfrac{1}{2}(x - 4)^2 + 3 = ax^2 + bx + c $$ ::::{solution} Vi ganger ut venstresiden og sammenligner leddene for å bestemme $a$, $b$ og $c$: $$ \dfrac{1}{2}(x - 4)^2 + 3 = \dfrac{1}{2}(x^2 - 8x + 16) + 3 = \dfrac{1}{2}x^2 - 4x + 8 + 3 = \dfrac{1}{2}x^2 - 4x + 11. $$ Ved sammenlikning av leddene, får vi at $$ a = \dfrac{1}{2} \and b = -4 \and c = 11. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::{margin} Tips: Oppgave 12 I denne oppgaven kan du selv velge om du vil bestemme $f(x)$ på standardform eller ekstremalpunktsform. Målet er å øve på å velge den formen som utynytter opplysningene i oppgaven best mulig! ::: :::::::::::::::{exercise} Oppgave 12 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a I figuren nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon $f$. Bestem $f(x)$. :::{plot} width: 70% function: -(x + 1)**2 + 9, f ymax: 11 point: (0, 8) point: (-4, 0) point: (2, 0) ticks: off text: 0, 8, "$(0, 8)$", top-right text: -4, 0, "$(-4, 0)$", top-left text: 2, 0, "$(2, 0)$", top-right ::: ::::{answer} $$ f(x) = -(x + 1)^2 + 9. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b I figuren nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon $g$. Bestem $g(x)$. :::{plot} width: 70% function: 0.5 * (x - 1)**2 - 2, g ticks: off point: (1, -2) point: (3, 0) text: 1, -2, "$(1, -2)$", bottom-center text: 3, 0, "$(3, 0)$", bottom-right ::: ::::{answer} $$ g(x) = \dfrac{1}{2}(x - 1)^2 - 2. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c I figuren nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon $h$. Bestem $h(x)$. :::{plot} width: 70% function: -3/4 * (x + 2)**2 + 8, h ticks: off ymax: 10 point: (-2, 8) point: (0, 5) text: -2, 8, "$(-2, 8)$", top-center text: 0, 5, "$(0, 5)$", top-right ::: ::::{answer} $$ h(x) = -\dfrac{3}{4}(x + 2)^2 + 8 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d I figuren nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon $p$. Bestem $p(x)$. :::{plot} width: 70% function: x**2 - 4*x - 1, p ticks: off point: (-1, 4) point: (5, 4) point: (0, -1) text: -1, 4, "$(-1, 4)$", bottom-left text: 5, 4, "$(5, 4)$", bottom-right text: 0, -1, "$(0, -1)$", bottom-left ::: ::::{answer} $$ p(x) = (x - 2)^2 - 5 = x^2 - 4x - 1. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::{margin} Tips: Oppgave 13 Gang ut høyre side og sammenlign leddene med $x^2$, $x$ og konstantleddene på hver side av likningen. ::: :::::::::::::::{exercise} Oppgave 13 --- level: 4 --- > I denne oppgaven skal du vise at $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ er symmetrilinja til grafen til en andregradsfunksjon. Bruk algebra til å bestemme $x_0$ og $y_0$ slik at likningen nedenfor er en identitet. $$ ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2 + y_0 $$ ::::{answer} $$ x_0 = -\dfrac{b}{2a} \and y_0 = c - \dfrac{b^2}{4a} $$ :::: ::::{solution} Vi ganger ut høyresiden $$ a(x - x_0)^2 + y_0 = a(x^2 - 2x_0x + x_0^2) + y_0 = ax^2 - 2ax_0x + ax_0^2 + y_0. $$ Hvis vi sammenlikninger leddene med $ax^2 + bx + c$, så får vi $$ a = a \and -2ax_0 = b \and ax_0^2 + y_0 = c. $$ Fra likningen i midten kan vi regne ut $x_0$: $$ -2ax_0 = b \liff x_0 = -\dfrac{b}{2a} $$ som er formelen for symmetrilinja. Deretter kan vi sette inn $x_0$ i likningen til høyre som gir $$ ax_0^2 + y_0 = c \liff a\left(-\dfrac{b}{2a}\right)^2 + y_0 = c $$ som vi kan forenkle til $$ \dfrac{b^2}{4a} + y_0 = c \liff y_0 = c - \dfrac{b^2}{4a} $$ som er $y$-koordinaten til ekstremalpunktet. :::: :::::::::::::::