# Oppgaver: Andregradslikninger :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 --- level: 1 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Grafen til en andregradsfunksjon $f$ er vist i figuren nedenfor. Bruk figuren til å løse likningen $$ f(x) = 0 $$ :::{plot} width: 70% function: (x + 3) * (x - 1), f ::: ::::{answer} $$ x = -3 \or x = 1 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Grafen til en andregradsfunksjon $g$ er vist i figuren nedenfor. Bruk figuren til å løse likningen: $$ g(x) = 0 $$ :::{plot} width: 70% function: (x - 1)**2, g ::: ::::{answer} $$ x = 1 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Grafen til en andregradsfunksjon $h$ er vist i figuren nedenfor. Bruk figuren til å løse likningen $$ h(x) = 0 $$ :::{plot} width: 70% function: -(x - 2) * (x+2), h ::: ::::{answer} $$ x = -2 \or x = 2 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Grafen til en andregradsfunksjon $p$ er vist i figuren nedenfor. Bruk figuren til å løse likningen: $$ p(x) = 0 $$ :::{plot} width: 70% function: 0.5 * (x + 4) * (x - 3), p ymin: -7 ::: ::::{answer} $$ x = -4 \or x = 3 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 --- level: 1 --- ::::{hints} Hvordan løser jeg en likning grafisk med Geogebra? Nedenfor vises en gif som viser hvordan man løser likningen $$ x^2 - 4x + 3 = -2x + 6 $$ Vi trykker på {ggb-icon}`mode_intersect` (Skjæring mellom to objekt) etterfulgt av å trykke på hver graf for å finne skjæringspunktet. :::{figure} ./videoer/grafisk_løsning.gif --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- Løsningen er $x$-koordinatene til skjæringspunktene. Altså $x = -1 \or x = 3$. ::: :::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{ggb-popup} --- layout: sidebar --- ::: Løs likningen nedenfor grafisk. $$ 2x^2 + 2x - 12 = 0 $$ ::::{answer} $$ x = -3 \or x = 2 $$ :::: ::::{solution} Vi skriver inn likningene for venstre og høyre side av likningen og bruker "skjæring mellom to objekt" {ggb-icon}`mode_intersect` for å finne skjæringspunktene. Se figuren nedenfor. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_2/a.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: Vi ser at skjæringspunktene er $(-3, 0)$ og $(2, 0)$. Det er $x$-koordinatene som er løsningen av likningen, som betyr at løsningen er $$ x = -3 \or x = 2 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{ggb-popup} --- layout: sidebar --- ::: Løs likningen nedenfor grafisk. $$ 2x^2 - 4x = -2 $$ ::::{answer} $$ x = 1 $$ :::: ::::{solution} Vi skriver inn likningene for venstre og høyre side av likningen og bruker "skjæring mellom to objekt" {ggb-icon}`mode_intersect` for å finne skjæringspunktene. Se figuren nedenfor. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_2/b.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: Vi ser at det er ett skjæringspunkt mellom grafene gitt ved $(1, -2)$. Det er $x$-koordinaten som er løsningen av likningen, som betyr at løsningen er $$ x = 1 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c :::{ggb-popup} --- layout: sidebar --- ::: Løs likningen nedenfor grafisk. $$ x^2 + 2x - 2 = 4x + 6 $$ ::::{answer} $$ x = -2 \or x = 4 $$ :::: ::::{solution} Vi skriver inn likningene for venstre og høyre side av likningen og bruker "skjæring mellom to objekt" {ggb-icon}`mode_intersect` for å finne skjæringspunktene. Se figuren nedenfor. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_2/c.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: Vi ser at skjæringspunktene er $(-2, -2)$ og $(4, 22)$. Det er $x$-koordinatene som er løsningene av likningen, som betyr at løsningen er $$ x = -2 \or x = 4 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d :::{ggb-popup} --- layout: sidebar --- ::: Løs likningen nedenfor grafisk. $$ 4x^2 - 12x + 6 = -2x^2 + 5x - 1 $$ ::::{answer} $$ x \approx 0.5 \or x \approx 2.33. $$ :::: ::::{solution} Vi skriver inn likningene for venstre og høyre side av likningen og bruker "skjæring mellom to objekt" {ggb-icon}`mode_intersect` for å finne skjæringspunktene. Se figuren nedenfor. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_2/d.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: Vi ser at skjæringspunktene er $(0.5, 1)$ og $(2.33, -0.22)$. Det er $x$-koordinatene som er løsningene av likningen, som betyr at løsningen er $$ x \approx 0.5 \or x \approx 2.33. $$ > Her bruker vi $\approx$ fordi vi bare finner en tilnærmet verdi for $x$-koordinatene og ikke nødvendigvis den eksakte verdien. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 --- level: 1 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Løs likningen $$ x^2 - 4 = 0 $$ ::::{answer} $$ x = \pm 2 $$ :::: ::::{solution} $$ x^2 - 4 = 0 \liff x^2 = 4 \liff x = \pm\sqrt{4} $$ som betyr at $$ x = \pm 2 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Løs likningen $$ x^2 - 1 = 0 $$ ::::{answer} $$ x = \pm 1 $$ :::: ::::{solution} $$ x^2 - 1 = 0 \liff x^2 = 1 \liff x = \pm \sqrt{1} $$ som betyr at $$ x = \pm 1 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Løs likningen $$ x^2 - 16 = 0 $$ ::::{answer} $$ x = \pm 4 $$ :::: ::::{solution} $$ x^2 - 16 = 0 \liff x^2 = 16 \liff x = \pm \sqrt{16} $$ som betyr at $$ x = \pm 4 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Løs likningen $$ x^2 - 2 = 0 $$ ::::{answer} $$ x = \pm \sqrt{2} $$ :::: ::::{solution} $$ x^2 - 2 = 0 \liff x^2 = 2 \liff x = \pm \sqrt{2} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 --- level: 1 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Løs likningen $$ x^2 - 5x = 0. $$ ::::{answer} $$ x = 0 \or x = 5 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Løs likningen $$ x^2 + 2x = 0. $$ ::::{answer} $$ x = 0 \or x = -2 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Løs likningen $$ x^2 - 10x = 0. $$ ::::{answer} $$ x = 0 \or x = 10 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Løs likningen $$ -x^2 + x = 0. $$ ::::{answer} $$ x = 0 \or x = 1 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 --- level: 1 --- Løs likningene med {popup}`$abc$-formelen. ` ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a $$ x^2 - 5x + 6 = 0 $$ :::{answer} $$ x = 2 \or x = 3 $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b $$ x^2 - 3x - 4 = 0 $$ :::{answer} $$ x = -1 \or x = 4 $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c $$ x^2 - x - 6 = 0 $$ :::{answer} $$ x = -2 \or x = 3 $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d $$ x^2 - 4x - 5 = 0 $$ :::{answer} $$ x = -1 \or x = 5 $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 6 --- level: 2 --- Løs likningene ved hjelp av {popup}`$abc$-formelen. ` ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a $$ 2x^2 - 5x + 2 = 0 $$ :::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ x = \dfrac{1}{2} \or x = 2 $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b $$ 3x^2 - 7x + 2 = 0 $$ :::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ x \in \left\{\dfrac{1}{3}, 2\right\} $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c $$ -x^2 + 9x + 12 = 0 $$ :::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ x = \dfrac{-\sqrt{129} + 9}{2} \or x = \dfrac{\sqrt{129} + 9}{2} $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d $$ \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{3}{4}x - \dfrac{1}{2} = 0 $$ :::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ x = -\dfrac{1}{2} \or x = 2 $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 7 --- level: 2 --- > Noen ganger jobber vi med andregradslikninger som vi må skrive om til formen $ax^2 + bx + c = 0$ før vi kan bruke $abc$-formelen. Løs likningene med $abc$-formelen. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a $$ x^2 + x + 1 = x + 5 $$ ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ x = -2 \, \lor \, x = 2 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b $$ x^2 + x - 3 = -2x + 1 $$ ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ x = -4 \, \lor \, x = 1 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c $$ -x^2 + x + 3 = 3x - 1 $$ ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ x = -1 - \sqrt{5} \or x = -1 + \sqrt{5} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d $$ 2x^2 + 5x - 1 = -2x + 3 $$ ::::{answer} $$ x = \dfrac{1}{2} \or x = -4. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 8 --- level: 2 --- Løs likningene med CAS. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: $$ x^2 + 2x + 1 = 0. $$ ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: $$ x^2 - 3x + 2 = -x + 6 $$ ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: $$ -x^2 + 3x + 1 = 2x - 7 $$ ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: $$ -3x^2 + 4x + 6 = -3x + 10 $$ ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 9 --- level: 2 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Nedenfor vises et program som løser en andregradslikning. Bruk CAS til å bestemme verdiene programmet skriver ut og sjekk svaret ditt nedenfor. :::{clear} ::: :::{interactive-code} --- predict: --- for x in range(-10, 11): if -x**2 + 3*x + 4 == 0: print(x) ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Nedenfor vises et program som løser en andregradslikning. Bruk CAS til å bestemme verdiene programmet skriver ut og sjekk svaret ditt nedenfor. :::{clear} ::: :::{interactive-code} --- predict: --- for x in range(-10, 11): if x**2 - x - 12 == 0: print(x) ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Nedenfor vises et program som løser en andregradslikning. Bruk CAS til å bestemme verdiene programmet skriver ut og sjekk svaret ditt nedenfor. :::{clear} ::: :::{interactive-code} --- predict: --- for x in range(-10, 11): if x**2 + 3*x + 11 == -3*x + 2: print(x) ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Nedenfor vises et program som løser en andregradslikning. Bruk CAS til å bestemme verdiene programmet skriver ut og sjekk svaret ditt nedenfor. :::{clear} ::: :::{interactive-code} --- predict: --- for x in range(-10, 11): if x**2 + x - 20 == -x**2 + 3*x + 40: print(x) ::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 10 --- level: 2 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Fyll ut programmet og bruk det til å løse likningen $$ x^2 + 2x - 8 = 0. $$ :::{interactive-code} for x in range(????): if ????: print(x) ::: ::::{answer} :::{code-block} python --- linenos: --- for x in range(-10, 11): if x**2 + 2*x - 8 == 0: print(x) ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Fyll ut programmet og bruk det til å løse likningen $$ x^2 + 2x - 3 = 0. $$ :::{interactive-code} for x in range(????): if ????: print(x) ::: ::::{answer} :::{code-block} python --- linenos: --- for x in range(-10, 11): if x**2 + 2*x - 3 == 0: print(x) ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Fyll ut programmet og bruk det til å løse likningen $$ x^2 - x - 3 = -3x + 12 $$ :::{interactive-code} for x in range(????): if ????: print(x) ::: ::::{answer} :::{code-block} python --- linenos: --- for x in range(-10, 11): if x**2 - x - 3 == -3*x + 12: print(x) ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Fyll ut programmet og bruk det til å løse likningen $$ -x^2 + 6x + 7 = x^2 - 4x - 5 $$ :::{interactive-code} for x in range(????): if ????: print(x) ::: ::::{answer} :::{code-block} python --- linenos: --- for x in range(-10, 11): if -x**2 + 6*x + 7 == x**2 - 4*x - 5: print(x) ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 11 --- level: 3 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Bestem $a$ og $b$ slik at likningen er en identitet. $$ x^2 + 6x - 7 = (x - a)(x - b) $$ ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Bestem $a$, $b$ og $c$ slik at likningen er en identitet. $$ -x^2 - 7x - 12 = a(x - b)(x - c) $$ ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Bestem $a$, $b$ og $c$ slik at likningen er en identitet. $$ 2x^2 - 18 = a(x - b)(x - c) $$ ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Bestem $a$, $b$ og $c$ slik at likningen er en identitet. $$ -3x^2 + 12x = a(x - b)(x - c) $$ ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 12 --- level: 3 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem diskriminanten $D$ for likningen $$ x^2 + 10x + 25 = 0 $$ og avgjør hvor mange løsninger likningen har. ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem diskriminanten $D$ for likningen $$ -x^2 + 3x + 8 = 0 $$ og avgjør hvor mange løsninger likningen har. ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bestem diskriminanten $D$ for likningen $$ 2x^2 - 3x + 5 = x + 7 $$ og avgjør hvor mange løsninger likningen har. ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 13 --- level: 3 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: En andregradslikning er gitt ved $$ x^2 + kx + 6 = 0. $$ Bestem $k$ slik at likningen har én løsning. ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: En andregradsfunksjon er gitt ved $$ f(x) = kx^2 + kx - 2 \qder k \neq 0. $$ Bestem $k$ slik at grafen til $f$ skjærer $x$-aksen én gang. ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^2 - 2kx + k, \qder k \in \real $$ Bestem $k$ slik at $f$ har nøyaktig ett nullpunkt. ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 14 --- level: 3 --- Grafen til en andregradsfunksjon $f$ er vist nedenfor. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_14/figur.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Bestem $f(x)$. ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bruk grafen til å løse likningen $$ f(x) = 0 $$ ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bruk $abc$-formelen til å løse likningen $$ f(x) = 0 $$ ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Bruk CAS til å løse likningen $$ f(x) = 14 $$ ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} e Skriv et program som løser likningen $$ f(x) = 8 $$ :::{interactive-code} # Din kode her ::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 15 --- level: 4 --- Vi går ut ifra en helt generell andregradslikning $$ ax^2 + bx + c = 0. $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Forklar at vi kan skrive om likningen til $$ a(x - x_0)^2 + y_0 = 0 $$ og bestem $x_0$ og $y_0$ uttrykt ved $a$, $b$ og $c$. ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Forklar at løsningene av likningen er $$ x = x_0 \pm \sqrt{-\frac{y_0}{a}}. $$ Bruk dette til å utlede $abc$-formelen. ::::::::::::: :::::::::::::: :::::::::::::::