# Oppgaver: Ikke-lineære likningssystemer :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 --- level: 1 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bruk figuren nedenfor til å løse likningssystemet \begin{align*} x^2 - 2x + y &= 4\\ \\ -x + y &= 2 \end{align*} :::{plot} width: 70% implicit-curve: x**2 - 2 * x + y = 4 implicit-curve: -x + y = 2, red nocache: ::: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_1/a.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: ::::{answer} $$ x = -1 \and y = 1 \or x = 2 \and y = 4. $$ :::: ::::{solution} Vi ser fra figuren at grafene til likningene skjærer hverandre i punktene $(-1, 1)$ og $(2, 4)$. Løsningen av likningssystemet er derfor $$ x = -1 \and y = 1 \or x = 2 \and y = 4. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bruk figuren nedenfor til å løse likningssystemet \begin{align*} x^2 + x - y &= 2\\ \\ -2x + y &= 4 \end{align*} :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_1/b.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: ::::{answer} $$ x = -2 \and y = 0 \or x = 3 \and y = 10. $$ :::: ::::{solution} Grafene til likningene skjærer hverandre i punktene $(-2, 0)$ og $(3, 10)$. Løsniingen av likningssystemet er derfor $$ x = -2 \and y = 0 \or x = 3 \and y = 10. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bruk figuren nedenfor til å løse likningssystemet \begin{align*} x^2 + 2x - y - 1 &= 0\\ \\ 3x - y &= -1 \end{align*} :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_1/c.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: ::::{answer} $$ x = -1 \and y = -2 \or x = 2 \and y = 7. $$ :::: ::::{solution} Grafene skjærer hverandre i punktene $(-1, -2)$ og $(2, 7)$. Løsningen av likningssystemet er derfor $$ x = -1 \and y = -2 \or x = 2 \and y = 7. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Bruk figuren nedenfor til å løse likningssystemet \begin{align*} x^2 - 2x + y &= -1\\ \\ 2x + y &= 3 \end{align*} :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_1/d.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: ::::{answer} $$ x = 2 \and y = -1 $$ :::: ::::{solution} Grafene skjærer hverandre i ett punkt: $(2, -1)$. Løsningen av likningssystemet er derfor $$ x = 2 \and y = -1 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 --- level: 1 --- Bruk Geogebra til å løse likningssystemene grafisk. ::::{hints} Hvordan løser jeg likningssystemer grafisk med Geogebra? Et likningssystem er gitt ved \begin{align*} 2x - y &= 3 \\ x^2 - 2y - y &= 3 \end{align*} Nedenfor ser du en gif som viser hvordan man løser likningen med grafvinduet i Geogebra. Vi trykker på {ggb-icon}`mode_intersect` (Skjæring mellom to objekt) etterfulgt av å trykke på hver graf for å finne skjæringspunktet. :::{figure} ./videoer/grafisk_løsning.gif --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: Skjæringspunktene mellom de to grafene er $(4, 5)$ og $(0, -3)$ som betyr at løsningen av likningssystemet er $$ x = 4 \and y = 5 \or x = 0 \and y = -3 $$ :::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{ggb-popup} --- layout: sidebar --- ::: \begin{align*} -x^2 + x + y &= 1 \\ \\ 3x + y &= 4 \end{align*} ::::{answer} $$ x = -3 \and y = 13 \or x = 1 \and y = 1 $$ :::: ::::{solution} Vi tegner grafene til likningene i Geogebra og bruker "skjæring mellom to objekt" {ggb-icon}`mode_intersect` for å finne skjæringspunktet mellom dem. Se figuren nedenfor: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_2/a.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: Grafene skjærer hverandre i $(-3, 13)$ og $(1, 1)$. Da er løsningen av likningssystemet gitt ved $$ x = -3 \and y = 13 \or x = 1 \and y = 1 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{ggb-popup} --- layout: sidebar --- ::: \begin{align*} x^2 - x - y &= 3 \\ \\ x - y &= -5 \end{align*} ::::{answer} $$ x = -2 \and y = 3 \or x = 4 \and y = 9 $$ :::: ::::{solution} Vi tegner grafene til likningene i Geogebra og bruker "skjæring mellom to objekt" {ggb-icon}`mode_intersect` for å finne skjæringspunktet mellom dem. Se figuren nedenfor: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_2/b.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: Grafene skjærer hverandre i $(-2, 3)$ og $(4, 9)$. Da er løsningen av likningssystemet gitt ved $$ x = -2 \and y = 3 \or x = 4 \and y = 9 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c :::{ggb-popup} --- layout: sidebar --- ::: \begin{align*} x^2 + 2x - y &= 0 \\ \\ -2x + y &= 1 \end{align*} ::::{answer} $$ x = -1 \and y = -1 \or x = 1 \and y = 3 $$ :::: ::::{solution} Vi tegner grafene til likningene i Geogebra og bruker "skjæring mellom to objekt" {ggb-icon}`mode_intersect` for å finne skjæringspunktet mellom dem. Se figuren nedenfor: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_2/c.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: Grafene skjærer hverandre i $(-1, -1)$ og $(1, 3)$. Da er løsningen av likningssystemet gitt ved $$ x = -1 \and y = -1 \or x = 1 \and y = 3 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d :::{ggb-popup} --- layout: sidebar --- ::: \begin{align*} -x^2 + x - y &= -1 \\ \\ 2x + y &= 1 \end{align*} ::::{answer} $$ x = 0 \and y = 1 \or x = 3 \and y = -5 $$ :::: ::::{solution} Vi tegner grafene til likningene i Geogebra og bruker "skjæring mellom to objekt" {ggb-icon}`mode_intersect` for å finne skjæringspunktet mellom dem. Se figuren nedenfor: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_2/d.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: Grafene skjærer hverandre i $(0, 1)$ og $(4, -7)$. Da er løsningen av likningssystemet gitt ved $$ x = 0 \and y = 1 \or x = 4 \and y = -7 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 --- level: 1 --- Løs likningssystemene algebraisk. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a \begin{align*} x^2 - 2x + y &= 4\\ \\ -x + y &= 2 \end{align*} ::::{answer} $$ x = -1 \and y = 1 \or x = 2 \and y = 4. $$ :::: ::::{solution} Vi løser likning 2 for $y$: $$ -x + y = 2 \liff y = x + 2 $$ Deretter setter vi inn uttrykket for $y$ i likning 1: $$ x^2 - 2x + (x + 2) = 4 $$ $$ x^2 - x - 2 = 0 $$ Nå kan vi bruke $abc$-formelen for å finne verdiene for $x$: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} $$ som gir løsningene $$ x = -1 \or x = 2. $$ Hver verdi for $x$ gir oss en verdi for $y$. Vi bruker at $y = x + 2$ og setter inn verdiene for $x$. Når $x = -1$, så får vi $$ y = -1 + 2 = 1 $$ Når $x = 2$, så får vi $$ y = 2 + 2 = 4. $$ Dermed er løsningen av likningssystemet $$ x = -1 \and y = 1 \or x = 2 \and y = 4. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b \begin{align*} x^2 + x - y &= 2\\ \\ -2x + y &= 4 \end{align*} ::::{answer} $$ x = -2 \and y = 0 \or x = 3 \and y = 10. $$ :::: ::::{solution} Vi løser likning 2 for $y$: $$ -2x + y = 4 \liff y = 2x + 4 $$ Deretter setter vi inn uttrykket for $y$ i likning 1: $$ x^2 + x - (2x + 4) = 2 $$ Så forenkler vi likningen så mye som mulig: $$ x^2 - x - 6 = 0 $$ Nå kan vi bruke $abc$-formelen for å finne verdiene for $x$: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} $$ som gir løsningene $$ x = -2 \or x = 3. $$ Hver verdi for $x$ gir oss en verdi for $y$. Vi bruker at $y = 2x + 4$ og setter inn verdiene for $x$. Når $x = -2$, så får vi $$ y = 2 \cdot (-2) + 4 = -4 + 4 = 0 $$ Når $x = 3$, så får vi $$ y = 2 \cdot 3 + 4 = 6 + 4 = 10. $$ Dermed er løsningen av likningssystemet $$ x = -2 \and y = 0 \or x = 3 \and y = 10. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c \begin{align*} 3x - y &= -1 \\ \\ x^2 + 2x - y &= 1\\ \end{align*} ::::{answer} $$ x = -1 \and y = -2 \or x = 2 \and y = 7. $$ :::: ::::{solution} Vi løser likning 1 for $y$: $$ 3x - y = -1 \liff y = 3x + 1 $$ Deretter setter vi inn uttrykket for $y$ i likning 2: $$ x^2 + 2x - (3x + 1) = 1 $$ Så forenkler vi likningen så mye som mulig: $$ x^2 - x - 2 = 0 $$ Nå kan vi bruke $abc$-formelen for å finne verdiene for $x$: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} $$ som gir løsningene $$ x = -1 \or x = 2. $$ Hver verdi for $x$ gir oss en verdi for $y$. Vi bruker at $y = 3x + 1$ og setter inn verdiene for $x$. Når $x = -1$, så får vi $$ y = 3 \cdot (-1) + 1 = -3 + 1 = -2 $$ Når $x = 2$, så får vi $$ y = 3 \cdot 2 + 1 = 6 + 1 = 7. $$ Dermed er løsningen av likningssystemet $$ x = -1 \and y = -2 \or x = 2 \and y = 7. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d \begin{align*} x^2 - 2x + y &= -1\\ \\ 2x + y &= 3 \end{align*} ::::{answer} $$ x = 2 \and y = -1. $$ :::: ::::{solution} Vi løser likning 2 for $y$: $$ 2x + y = 3 \liff y = -2x + 3 $$ Deretter setter vi inn uttrykket for $y$ i likning 1: $$ x^2 - 2x + (-2x + 3) = -1 $$ Så forenkler vi likningen så mye som mulig: $$ x^2 - 4x + 4 = 0 $$ Vi kan faktorisere likningen med 2.kvadratsetning: $$ (x - 2)^2 = 0 $$ Det betyr at løsningen for $x$ er $$ x = 2. $$ Den tilhørende $y$-verdien finner vi ved å bruke at $y = -2x + 3$: $$ y = -2 \cdot 2 + 3 = -4 + 3 = -1. $$ Dermed er løsningen av likningssystemet $$ x = 2 \and y = -1. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 --- level: 1 --- Bruk CAS til å løse likningssystemene. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: \begin{align*} -x^2 + 3x + 4y &= 0 \\ \\ -x + 2y &= -2 \end{align*} ::::{answer} $$ x = 4 \and y = 1 \or x = 1 \and y = -\dfrac{1}{2} $$ :::: ::::{solution} :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_4/a.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 60% --- ::: Fra utskriften ser vi at løsningen av likningssystemet er $$ x = 4 \and y = 1 \or x = 1 \and y = -\dfrac{1}{2} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: \begin{align*} 2x^2 - 3x - y &= 2 \\ \\ 2x - y &= -5 \end{align*} ::::{answer} $$ x = -1 \and y = 3 \or x = \dfrac{7}{2} \and y = 12. $$ :::: ::::{solution} :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_4/b.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 60% --- ::: Fra utskriften ser vi at løsningen av likningssystemet er $$ x = -1 \and y = 3 \or x = \dfrac{7}{2} \and y = 12. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: \begin{align*} -x^2 + y &= 2 \\ \\ x + 4y &= 8 \end{align*} ::::{answer} $$ x = 0 \and y = 2 \or x = -\dfrac{1}{4} \and y = \dfrac{33}{16} $$ :::: ::::{solution} :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_4/c.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 60% --- ::: Fra utskriften ser vi at løsningen av likningssystemet er $$ x = 0 \and y = 2 \or x = -\dfrac{1}{4} \and y = \dfrac{33}{16} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: \begin{align*} 2x - y &= 3 \\ \\ x^2 - 3 &= y + 2x \end{align*} ::::{answer} $$ x = 0 \and y = -3 \or x = 4 \and y = 5. $$ :::: ::::{solution} :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_4/d.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 60% --- ::: Fra utskriften ser vi at løsningen av likningssystemet er $$ x = 0 \and y = -3 \or x = 4 \and y = 5. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::{margin} Tips: Oppgave 5 Det kan være lurt å løse likningene med hensyn på $y$ slik at du kan gjenkjenne likningene som funksjonsuttrykk. ::: :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 --- level: 2 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Avgjør hvilken av figurene nedenfor du kan bruke til å løse likningssystemet \begin{align*} x^2 - 2x + y &= -2 \\ x - y &= 0 \end{align*} Løs likningssystemet ved hjelp av riktig figur. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_5/a/merged_figure.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: ::::{answer} Figur C. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Avgjør hvilken av figurene nedenfor du kan bruke til å løse likningssystemet \begin{align*} x^2 - 6x - y &= -5\\ x - y &= 5 \end{align*} Løs likningssystemet ved hjelp av riktig figur. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_5/b/merged_figure.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: ::::{answer} Figur A. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Avgjør hvilken av figurene nedenfor du kan bruke til å løse likningssystemet \begin{align*} x^2 + 2x + y &= 1 \\ x^2 - 4x - y &= 3 \end{align*} Løs likningssystemet ved hjelp av riktig figur. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_5/c/merged_figure.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: ::::{answer} Figur D. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 6 --- level: 2 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Lag et likningssystem du kan bruke figuren nedenfor til å løse :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_6/a.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Lag et likningssystem du kan bruke figuren nedenfor til å løse :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_6/b.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Lag et likningssystem du kan bruke figuren nedenfor til å løse :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_6/c.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 7 --- level: 2 --- Bruk CAS til å forutsi hva som skrives ut av programmene nedenfor. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Bruk CAS til å avgjøre hva som blir skrevet ut av programmet nedenfor. Skriv inn svaret ditt og sjekk. :::{interactive-code} --- predict: --- for x in range(-10, 11): for y in range(-10, 11): if x**2 == 4*y and x - 2*y == -4: print((x, y)) ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Bruk CAS til å avgjøre hva som blir skrevet ut av programmet nedenfor. Skriv inn svaret ditt og sjekk. :::{interactive-code} --- predict: --- for x in range(-10, 11): for y in range(-10, 11): if x**2 + 2*x - y == 3 and 6*x - y == 7: print((x, y)) ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Bruk CAS til å avgjøre hva som blir skrevet ut av programmet nedenfor. Skriv inn svaret ditt og sjekk. :::{interactive-code} --- predict: --- for x in range(-10, 11): for y in range(-10, 11): if x**2 + y == 5 and 3*x + y == 7: print((x, y)) ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Bruk CAS til å avgjøre hva som blir skrevet ut av programmet nedenfor. Skriv inn svaret ditt og sjekk. :::{interactive-code} --- predict: --- for x in range(-10, 11): for y in range(-10, 11): if x**2 - 3*y == 16 and x - y == 2: print((x, y)) ::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 8 --- level: 2 --- Anna har skrevet et program for å løse et likningssystem. Programmet er vist nedenfor. :::{code-block} python --- linenos: --- for x in range(-100, 101): for y in range(-100, 101): if x**2 + y**2 == 25 and x + y == 5: print((x, y)) ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{ggb-popup} --- layout: sidebar --- ::: Løs likningssystemet grafisk. ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Løs likningssystemet med CAS. ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Løs likningssystemet algebraisk. ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 9 --- level: 3 --- :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Et likningssystem er gitt ved \begin{align*} -x^2 + y &= k \\ 4x + y &= 5 \end{align*} ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem $k$ slik at likningssystemet har nøyaktig én løsning. ::::{answer} $$ k = 9 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b For hvilke verdier av $k$ har likningssystemet to løsninger? ::::{answer} $$ k > 9 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 10 --- level: 3 --- :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Et likningssystem er gitt ved \begin{align*} x^2 + kx + y &= 0 \\ x + y &= 2 \end{align*} ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem $k$ slik at likningssystemet har nøyaktig én løsning. ::::{answer} $$ k = -1 \or k = 3. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b For hvilke verdier av $k$ vil likningsystemet ikke ha noen løsning? ::::{answer} $$ k \in \langle \gets, -1 \rangle \cup \langle 3, \gets \rangle $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::{margin} Tips: Oppgave 11 Det kan være lurt å tenke deg at du roterer grafen 90 grader og deretter speiler den. Da kan du bruke teorien du har lært om andregradsfunksjoner. Deretter må du bytte om på variablene $x$ og $y$ slik at du får riktig symmetrilinje og form langs $x$-aksen. ::: :::::::::::::::{exercise} Oppgave 11 --- level: 3 --- Grafen til en andregradsfunksjon kalles for en **parabel**. Men en parabel må ikke være en funksjon. For at grafen skal være en funksjon, så kan det bare finnes én $y$-verdi for hver $x$-verdi. Hvis parabelen derimot ligger langs $x$-aksen, så har den flere $y$-verdier for hver $x$-verdi. Da er ikke grafen en funksjon, men en **kurve**. I figuren nedenfor vises en slik **parabel**. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_11/a.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 90% --- ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem likningen til parabelen på standardform: $$ x = ay^2 + by + c $$ ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem likningen til parabelen på ekstremalpunktssform: $$ x = a(y - y_0)^2 + x_0 $$ ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bestem likningen til parabelen på nullpunktsform: $$ x = a(y - y_1)(y - y_2) $$ ::::::::::::: :::::::::::::: :::::::::::::::