# Ikke-lineære likningssystemer


:::{goals} Læringsmål
* Kunne løse ikke-lineære likningssystemer grafisk, algebraisk og med programmering. 
:::

Et ikke-lineært likningssystem består av to eller flere likninger der minst én av de ukjente variablene er en ikke-lineær potens. For eksempel hvis en av de ukjente i likningene er $x^2$, så har vi et ikke-lineært likningssystem. Vi skal begrense oss til likningssystemer der vi har lineære eller kvadratiske potenser for de ukjente. 


Akkurat som når vi jobbet med lineære likningssystemer, kan vi løse ikke-lineære likningssystemer med tre forskjellige strategier: 
1. **Grafisk**
2. **Algebraisk** 
3. **Med programmering**


## Grafisk løsning
Når vi løser et ikke-lineært likningssystem grafisk, tegner vi grafene som svarer til likningene og finner skjæringspunktene mellom dem. Hvert skjæringspunkt representerer en løsning på likningssystemet. 

La oss se på et eksempel:

:::::::::::::::{example} Eksempel 1
Et likningssystem er gitt ved 

\begin{align*}
x^2 + y &= 3 \\
x - y &= 3
\end{align*}

::::{solution}
---
dropdown: 0
---
Den første likningen representerer en andregradsfunksjon som vi kan se ved å løse likningen for $y$:

$$
x^2 + y = 3 \liff y = 3 - x^2
$$

Den andre likningen representerer en lineær funksjon som vi kan se ved å løse likningen for $y$:

$$
x - y = 3 \liff y = x - 3
$$

Vi tegner grafene til hver av likningene og leser av skjæringspunktene for å bestemme løsningene: 

:::{figure} ./figurer/eksempler/eksempel_1/figur.svg
---
class: no-click, adaptive-figure
width: 80%
---
:::

Vi ser at grafene skjærer hverandre i punktene $(2, -1)$ og $(-3, -6)$. For å beskrive løsningen, skriver vi:

$$
x = 2 \quad \underbrace{\land}_{\text{og samtidig}}  \quad  y = -1  \quad  \overbrace{\lor}^{\text{eller}}  \quad  x = -3 \quad \underbrace{\land}_{\text{og samtidig}}  \quad y = -6
$$

Uten annoteringer, skriver vi altså bare:

$$
x = 2 \and y = -1 \quad \lor \quad x = -3 \and y = -6
$$

Vi tolker dette som at enten så er $x = 2$ og samtidig er $y = -1$. Eller så er $x = -3$ og samtidig er $y = -6$.


::::


:::::::::::::::

---

:::::::::::::::{exercise} Underveisoppgave 1
Et likningssystem er gitt ved

\begin{align*}
x^2 + y &= 1 \\
x + y &= -1
\end{align*}

Grafene til de to likningene er vist i figuren nedenfor.

Bruk figuren til å løse likningssystemet.

:::{figure} ./figurer/underveisoppgaver/underveisoppgave_1/figur.svg
---
class: no-click, adaptive-figure
width: 80%
---
:::


::::{answer}
$$
x = -1 \and y = 0 \or x = -3 \and y = 2
$$
::::


::::{solution}
Grafene skjærer hverandre i punktene $(-1, 0)$ og $(-3, 2)$. Løsningen av likningssystemet er derfor 

$$
x = -1 \and y = 0 \or x = -3 \and y = 2
$$
::::






:::::::::::::::


---

I praksis kan vi bruke graftegner til å tegne grafene og finne skjæringspunktene. La oss se på et eksempel. 


:::::::::::::::{example} Eksempel 2
Et likningssystem er gitt ved 

\begin{align*}
    2x - y &= 3 \\
    x^2 - 2x - y &= 3
\end{align*}

Nedenfor ser du en gif som viser hvordan man løser likningen med grafvinduet i Geogebra. Vi trykker på {ggb-icon}`mode_intersect` (Skjæring mellom to objekt) etterfulgt av å trykke på hver graf for å finne skjæringspunktet.

:::{figure} ./videoer/grafisk_løsning.gif
---
class: no-click, adaptive-figure
width: 80%
---
:::

Skjæringspunktene mellom de to grafene er $(4, 5)$ og $(0, -3)$ som betyr at løsningen av likningssystemet er

$$
x = 4 \and y = 5 \or x = 0 \and y = -3
$$



:::::::::::::::


---


:::::::::::::::{exercise} Underveisoppgave 2
Et likningssystem er gitt ved 

\begin{align*}
    2x - y &= 1 \\
    -x^2 + 3x + y &= 3
\end{align*}

Bruk Geogebra-vinduet nedenfor til å løse likningssystemet grafisk.

:::{ggb}
:::


::::{answer}
$$
x = 1 \and y = 1 \or x = 4 \and y = 7
$$
::::

::::{solution}
Vi skriver inn likningene i algebrafeltet og trykker først på {ggb-icon}`mode_point` for å få opp alternativer og deretter trykker på {ggb-icon}`mode_intersect` (Skjæring mellom to objekt) etterfulgt av å trykke på hver graf for å finne skjæringspunktene. Se figuren nedenfor. 

:::{figure} ./figurer/underveisoppgaver/underveisoppgave_2/sol.png
---
class: no-click, adaptive-figure
width: 90%
---
:::

Skjæringspunktene er $(1, 1)$ og $(4, 7)$ som betyr at løsningen av likningsystemet er

$$
x = 1 \and y = 1 \or x = 4 \and y = 7
$$


::::


:::::::::::::::



## Algebraisk løsning 
Når vi løser et ikke-lineært likningssystem algebraisk, bruker vi oftest innsettingsmetoden som leder til en andregradslikning. La oss se på et eksempel:


:::::::::::::::{example} Eksempel 3
Løs likningssystemet 

\begin{align*}
x^2 + y &= 3 \\
x - y &= 3
\end{align*}


::::{solution}
---
dropdown: 0
---
Vi starter med å løse likning 2 for $y$:

$$
x - y = 3 \liff y = x - 3
$$

deretter setter vi inn dette for $y$ i likning 1:

$$
x^2 + (x - 3) = 3 \liff x^2 + x - 6 = 0
$$

Deretter kan vi bruke $abc$-formelen for å løse likningen:

$$
x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{-1 \pm 5}{2}
$$

som gir oss løsningene

$$
x = -3 \or x = 2. 
$$

For hver verdi av $x$ får vi en verdi for $y$. Vi bruker at $y = x - 3$ og setter inn verdiene for $x$. Når $x = -3$, så får vi 

$$
y = -3 - 3 = -6
$$

Når $x = 2$, så får vi 

$$
y = 2 - 3 = -1
$$

Dermed her løsningen av likningssystemet

$$
x = -3 \and y = -6 \or x = 2 \and y = -1
$$
::::

:::::::::::::::

---

:::::::::::::::{exercise} Underveisoppgave 2
Løs likningssystemet nedenfor algebraisk. 

\begin{align*}
2x - y &= 4 \\
x^2 - 3x - 2y &= -4
\end{align*}


::::{answer}
$$
x = 4 \and y = 4 \or x = 3 \and y = 2
$$
::::


::::{solution}
Vi løser likning 1 for $y$:

$$
2x - y = 4 \liff y = 2x - 4
$$

Deretter setter vi inn dette for $y$ i likning 2:

$$
x^2 - 3x - 2(2x - 4) = -4 
$$

Så forenkler vi likningen så mye som mulig:

\begin{align*}
x^2 - 3x - 4x + 8 &= -4 \\
\\
x^2 - 7x + 12 &= 0 \\
\\
\end{align*}

Nå kan vi bruke $abc$-formelen for å bestemme verdiene for $x$:

$$
x = \dfrac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1} = \dfrac{7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2} = \dfrac{7 \pm 1}{2}
$$

Det gir oss løsningene

$$
x = 4 \or x = 3
$$

For hver verdi av $x$ får vi en verdi for $y$. Vi bruker at $y = 2x - 4$ og setter inn verdiene for $x$. Når $x = 4$, så får vi

$$
y = 2 \cdot 4 - 4 = 8 - 4 = 4
$$

Når $x = 3$, så får vi 

$$
y = 2 \cdot 3 - 4 = 6 - 4 = 2
$$

Dermed er løsningen av likningssystemet

$$
x = 4 \and y = 4 \or x = 3 \and y = 2
$$



::::

:::::::::::::::


### CAS
Vi kan bruke CAS til å løse ikke-lineære likningssystemer på samme måte som vi gjorde med lineære likningssystemer. Det skal du se nærmere på i Utforsk 1.


:::::::::::::::{explore} Utforsk 1
I gif-en nedenfor vises det hvordan vi kan bruke CAS til å løse et ikke-lineært likningssystem.

:::{figure} ./videoer/cas_likningssystemer.gif
---
class: no-click, adaptive-figure
width: 80%
---
:::


::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a
:::{cas-popup}
---
layout: sidebar
---
:::

Bruk CAS til å løse likningssystemet som er vist i gif-en.

:::::::::::::


:::::::::::::{tab-item} b
:::{cas-popup}
---
layout: sidebar
---
:::


Bruk CAS til å løse likningssystemet

\begin{align*}
    x - y &= 1\\
    \\
    -x^2 + 4x + y &= 3
\end{align*}

:::::::::::::


:::::::::::::{tab-item} c
:::{cas-popup}
---
layout: sidebar
---
:::


Bruk CAS til å løse likningssystemet

\begin{align*}
    -x^2 + 5x - y &= 6\\
    \\
    x + 2y &= -7
\end{align*}


:::::::::::::


::::::::::::::


:::::::::::::::



## Løsning med programmering
Når vi løser en ikke-lineært likningssystem med programmering, kan vi bruke systematisk prøve ut punkter $(x, y)$ og sjekke om de oppfyller likningene i systemet. 


:::::::::::::::{explore} Utforsk 2


::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a

:::{cas-popup}
---
layout: sidebar
---
:::


Nedenfor vises et program som løser et likningssystem. 

Bruk CAS til å forutsi utskriften til programmet og kjør det for å sjekke svaret ditt. 
:::::::::::::


:::::::::::::{tab-item} b
Endre på programmet og bruk det til å løse likningssystemet

\begin{align*}
2x + y &= 5 \\
\\
x^2 - 2x + 3y &= 3
\end{align*}


::::{solution}
:::{code-block} python
---
linenos:
---
for x in range(-10, 11):
    for y in range(-10, 11):
        if 2*x + y == 5 and x**2 - 2*x + 3*y == 3:
            print((x, y))


:::

som gir utskriften

:::{code-block} console 
(2, 1)
(6, -7)
:::

som betyr at løsningen av likningessystemet er 

$$
x = 2 \and y = 1 \or x = 6 \and y = -7
$$

::::

:::::::::::::


::::::::::::::


:::{interactive-code}
---
predict:
---
for x in range(-10, 11):
    for y in range(-10, 11):
        if x - y == 1 and x**2 - 3*x + y == 2:
            print((x, y))

 
:::



:::::::::::::::