# Oppgaver: Nullpunktsform :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 --- level: 1 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = 3(x + 1)(x - 2) $$ Bestem nullpunktene til $f$. ::::{answer} $$ x = -1 \or x = 2 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En andregradsfunksjon $g$ er gitt ved $$ g(x) = -2(x - 1)(x - 1) = -2(x - 1)^2 $$ Bestem nullpunktene til $g$. ::::{answer} $$ x = 1 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En andregradsfunksjon $h$ er gitt ved $$ h(x) = \left(x - \dfrac{1}{2}\right)(x + 4) $$ Bestem nullpunktene til $h$. ::::{answer} $$ x = \dfrac{1}{2} \or x = -4 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d En andregradsfunksjon $p$ er gitt ved $$ p(x) = -3(x + 2)^2 $$ Bestem nullpunktene til $p$. ::::{answer} $$ x = -2 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::{margin} Tips: Oppgave 2 Husk på konjugatsetningen: $$ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) $$ ::: :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 --- level: 1 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = (x - 2)^2 - 4 $$ Bestem $f(x)$ på nullpunktsform. ::::{answer} $$ f(x) = x(x - 4) $$ :::: ::::{solution} Vi bruker konjugatsetningen for å skrive om $f(x)$ til nullpunktsform: \begin{align*} f(x) &= (x - 2)^2 - 2^2 \\ \\ &= (x - 2 + 2)(x - 2 - 2) \\ \\ &= (x - 0)(x - 4) \\ \\ &= x(x - 4) \end{align*} :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En andregradsfunksjon $g$ er gitt ved $$ g(x) = -(x + 3)^2 + 9 $$ Bestem $g(x)$ på nullpunktsform. ::::{answer} $$ g(x) = -x(x + 6) $$ :::: ::::{solution} Vi bruker konjugatsetningen for å skrive om $g(x)$ til nullpunktsform: \begin{align*} g(x) &= -(x + 3)^2 + 3^2 \\ \\ &= -\left((x + 3)^2 - 3^2 \right) \\ \\ &= -\left((x + 3 + 3)(x + 3 - 3)\right) \\ \\ &= -\left((x + 6)(x - 0)\right) \\ \\ &= -x(x + 6) \end{align*} :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En andregradsfunksjon $h$ er gitt ved $$ h(x) = (x - 6)^2 - 1 $$ Bestem $h(x)$ på nullpunktsform. ::::{answer} $$ h(x) = (x - 5)(x - 7) $$ :::: ::::{solution} Vi bruker konjugatsetningen for å skrive om $h(x)$ til nullpunktsform: \begin{align*} h(x) &= (x - 6)^2 - 1^2 \\ \\ &= (x - 6 + 1)(x - 6 - 1) \\ \\ &= (x - 5)(x - 7) \end{align*} :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d En andregradsfunksjon $p$ er gitt ved $$ p(x) = -(x - 3)^2 + 16 $$ Bestem $p(x)$ på nullpunktsform. ::::{answer} $$ p(x) = -(x - 7)(x + 1) $$ :::: ::::{solution} Vi bruker konjugatsetningen for å skrive om $p(x)$ til nullpunktsform: \begin{align*} p(x) &= -(x - 3)^2 + 4^2 \\ \\ &= -\left((x - 3)^2 - 4^2 \right) \\ \\ &= -\left((x - 3 + 4)(x - 3 - 4)\right) \\ \\ &= -\left((x + 1)(x - 7)\right) \\ \\ &= -(x + 1)(x - 7) \end{align*} :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::{margin} Tips: Oppgave 3 Husk: Sammenheng mellom nullpunkter $x_1$ og $x_2$ og symmetrilinje $x_0$ er gitt ved $$ x_0 = \dfrac{x_1 + x_2}{2} $$ ::: :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 --- level: 1 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = 2(x - 1)(x + 3) $$ Bestem $f(x)$ på ekstremalpunktsform. ::::{answer} $$ f(x) = 2(x + 1)^2 - 8. $$ :::: ::::{solution} Fra $f(x)$ kan vi se at nullpunktene er $x_1 = 1$ og $x_2 = -3$. Symmetrilinja er da gitt ved $$ x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1. $$ For å bestemme $y$-koordinaten til ekstremalpunktet må vi sette inn $x_0$ i $f(x)$: $$ y_0 = f(-1) = 2(-1 - 1)(-1 + 3) = 2(-2)(2) = -8. $$ Vi kan også lese av at $a = 2$ fra $f(x)$. Dermed er $f(x)$ på ekstremalpunktsform gitt ved $$ f(x) = 2(x + 1)^2 - 8. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En andregradsfunksjon $g$ er gitt ved $$ g(x) = -3(x + 2)(x - 4) $$ Bestem $g(x)$ på ekstremalpunktsform. ::::{answer} $$ g(x) = -3(x - 1)^2 + 27. $$ :::: ::::{solution} Fra $g(x)$ kan vi se at nullpunktene er $x_1 = -2$ og $x_2 = 4$. Symmetrilinja er da gitt ved $$ x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1. $$ For å bestemme $y$-koordinaten til ekstremalpunktet må vi sette inn $x_0$ i $g(x)$: $$ y_0 = g(1) = -3(1 + 2)(1 - 4) = -3(3)(-3) = 27. $$ Vi kan også lese av at $a = -3$ fra $g(x)$. Dermed er $g(x)$ på ekstremalpunktsform gitt ved $$ g(x) = -3(x - 1)^2 + 27. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En andregradsfunksjon $h$ er gitt ved $$ h(x) = \frac{1}{2}(x + 5)(x - 1) $$ Bestem $h(x)$ på ekstremalpunktsform. ::::{answer} $$ h(x) = \frac{1}{2}(x + 2)^2 - \frac{9}{2}. $$ :::: ::::{solution} Fra $h(x)$ kan vi se at nullpunktene er $x_1 = -5$ og $x_2 = 1$. Symmetrilinja er da gitt ved $$ x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-5 + 1}{2} = -2. $$ For å bestemme $y$-koordinaten til ekstremalpunktet må vi sette inn $x_0$ i $h(x)$: $$ y_0 = h(-2) = \frac{1}{2}(-2 + 5)(-2 - 1) = \frac{1}{2}(3)(-3) = -\frac{9}{2}. $$ Vi kan også lese av at $a = \frac{1}{2}$ fra $h(x)$. Dermed er $h(x)$ på ekstremalpunktsform gitt ved $$ h(x) = \frac{1}{2}(x + 2)^2 - \frac{9}{2}. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d En andregradsfunksjon $p$ er gitt ved $$ p(x) = -\frac{1}{3}(x - 2)(x + 4) $$ Bestem $p(x)$ på ekstremalpunktsform. ::::{answer} $$ p(x) = -\frac{1}{3}(x + 1)^2 + 3. $$ :::: ::::{solution} Fra $p(x)$ kan vi se at nullpunktene er $x_1 = 2$ og $x_2 = -4$. Symmetrilinja er da gitt ved $$ x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1. $$ For å bestemme $y$-koordinaten til ekstremalpunktet må vi sette inn $x_0$ i $p(x)$: $$ y_0 = p(-1) = -\frac{1}{3}(-1 - 2)(-1 + 4) = -\frac{1}{3}(-3)(3) = 3. $$ Vi kan også lese av at $a = -\frac{1}{3}$ fra $p(x)$. Dermed er $p(x)$ på ekstremalpunktsform gitt ved $$ p(x) = -\frac{1}{3}(x + 1)^2 + 3. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 --- level: 1 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = (x - 1)(x + 3) $$ Bestem $f(x)$ på standardform. ::::{answer} $$ f(x) = x^2 + 2x - 3. $$ :::: ::::{solution} Vi ganger ut parentesene og samler leddene: \begin{align*} f(x) &= (x - 1)(x + 3) \\ \\ &= x^2 + 3x - x - 3 \\ \\ &= x^2 + 2x - 3. \end{align*} :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En andregradsfunksjon $g$ er gitt ved $$ g(x) = -2(x + 2)(x - 4) $$ Bestem $g(x)$ på standardform. ::::{answer} $$ g(x) = -2x^2 + 4x + 16. $$ :::: ::::{solution} Vi ganger ut parentesene og samler leddene: \begin{align*} g(x) &= -2(x + 2)(x - 4) \\ \\ &= -2(x^2 - 4x + 2x - 8) \\ \\ &= -2(x^2 - 2x - 8) \\ \\ &= -2x^2 + 4x + 16. \end{align*} :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En andregradsfunksjon $h$ er gitt ved $$ h(x) = -3(x + 4)^2 $$ Bestem $h(x)$ på standardform. ::::{answer} $$ h(x) = -3x^2 - 24x - 48. $$ :::: ::::{solution} Vi ganger ut parentesene og samler leddene: \begin{align*} h(x) &= -3(x + 4)^2 \\ \\ &= -3(x^2 + 8x + 16) \\ \\ &= -3x^2 - 24x - 48. \end{align*} :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d En andregradsfunksjon $p$ er gitt ved $$ p(x) = 2(x + 2)(x + 3) $$ Bestem $p(x)$ på standardform. ::::{answer} $$ p(x) = 2x^2 + 10x + 12. $$ :::: ::::{solution} Vi ganger ut parentesene og samler leddene: \begin{align*} p(x) &= 2(x + 2)(x + 3) \\ \\ &= 2(x^2 + 3x + 2x + 6) \\ \\ &= 2(x^2 + 5x + 6) \\ \\ &= 2x^2 + 10x + 12. \end{align*} :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::{margin} Tips: Oppgave 5 Husk at for et uttrykk på standardform $ax^2 + bx + c$, så er symmetrilinja gitt ved $$ x_0 = -\frac{b}{2a} $$ ::: :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 --- level: 1 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^2 + 6x + 8 $$ Bestem $f(x)$ på nullpunktsform. ::::{answer} $$ f(x) = (x + 2)(x + 4). $$ :::: ::::{solution} Vi ser at koeffisientene til $f(x)$ er $$ a = 1 \and b = 6 \and c = 8. $$ Så bestemmer vi symmetrilinja: $$ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3. $$ Deretter finner vi $y$-koordinaten til ekstremalpunktet: $$ y_0 = f(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1. $$ Dermed kan vi skrive $f(x)$ på ekstremalpunktsform som $$ f(x) = (x + 3)^2 - 1. $$ Nå bruker vi konjugatsetningen for å skrive om $f(x)$ til nullpunktsform: $$ f(x) = (x + 3)^2 - 1 = (x + 3 - 1)(x + 3 + 1) = (x + 2)(x + 4). $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En andregradsfunksjon $g$ er gitt ved $$ g(x) = -x^2 + 4x + 5 $$ Bestem $g(x)$ på nullpunktsform. ::::{answer} $$ g(x) = -(x + 1)(x - 5). $$ :::: ::::{solution} Vi ser at koeffisientene til $g(x)$ er $$ a = -1 \and b = 4 \and c = 5. $$ Så bestemmer vi symmetrilinja: $$ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot -1} = 2. $$ Deretter finner vi $y$-koordinaten til ekstremalpunktet: $$ y_0 = g(2) = -2^2 + 4\cdot 2 + 5 = -4 + 8 + 5 = 9. $$ Dermed kan vi skrive $g(x)$ på ekstremalpunktsform som $$ g(x) = -(x - 2)^2 + 9. $$ Nå bruker vi konjugatsetningen for å skrive om $g(x)$ til nullpunktsform: $$ g(x) = -(x - 2)^2 + 3^2 = -(x - 2 + 3)(x - 2 - 3) = -(x + 1)(x - 5). $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En andregradsfunksjon $h$ er gitt ved $$ h(x) = x^2 - x - 6 $$ Bestem $h(x)$ på nullpunktsform. ::::{answer} $$ h(x) = (x - 3)(x + 2). $$ :::: ::::{solution} Vi ser at koeffisientene til $h(x)$ er $$ a = 1 \and b = -1 \and c = -6. $$ Så bestemmer vi symmetrilinja: $$ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}. $$ Deretter finner vi $y$-koordinaten til ekstremalpunktet: $$ y_0 = h\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} - 6 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} - \frac{24}{4} = -\frac{25}{4}. $$ Dermed kan vi skrive $h(x)$ på ekstremalpunktsform som $$ h(x) = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 -\frac{25}{4}. $$ Nå bruker vi konjugatsetningen for å skrive om $h(x)$ til nullpunktsform: $$ h(x) = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \left(x - \frac{1}{2} - \frac{5}{2}\right)\left(x - \frac{1}{2} + \frac{5}{2}\right) = (x - 3)(x + 2). $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d En andregradsfunksjon $p$ er gitt ved $$ p(x) = 2x^2 + 8x - 10 $$ Bestem $p(x)$ på nullpunktsform. ::::{answer} $$ p(x) = 2(x - 1)(x + 5). $$ :::: ::::{solution} Vi ser at koeffisientene til $p(x)$ er $$ a = 2 \and b = 8 \and c = -10. $$ Da kan vi bestemme symmetrilinja: $$ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 2} = -2. $$ Deretter finner vi $y$-koordinaten til ekstremalpunktet: $$ y_0 = p(-2) = 2(-2)^2 + 8(-2) - 10 = 8 - 16 - 10 = -18. $$ Dermed kan vi skrive $p(x)$ på ekstremalpunktsform som $$ p(x) = 2(x + 2)^2 - 18. $$ Først faktoriserer vi ut den ledende koeffisienten $2$: $$ p(x) = 2(x + 2)^2 - 18 = 2\left((x + 2)^2 - 9\right) $$ Deretter bruker vi konjugatsetningen for å skrive om $p(x)$ til nullpunktsform: $$ p(x) = 2\left((x + 2)^2 - 3^2\right) = 2\left((x + 2 - 3)(x + 2 + 3)\right) = 2(x - 1)(x + 5). $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 6 --- level: 2 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Grafen til en andregradsfunksjon $f$ er vist i figuren nedenfor. Bestem $f(x)$ på nullpunktsform. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_6/a.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: ::::{answer} $$ f(x) = (x + 2)(x - 1). $$ :::: ::::{solution} Vi ser at grafen til $f$ har nullpunkter $(-2, 0)$ og $(1, 0)$. Det betyr at $$ f(x) = a(x + 2)(x - 1) $$ Vi ser også at grafen skjærer $y$-aksen i punktet $(0, -2)$ som betyr at $$ f(0) = -2 \liff a(0 + 2)(0 - 1) = -2. $$ Dette forenkler vi til $$ -2a = -2 \liff a = 1. $$ Dermed har vi at $$ f(x) = 1\cdot(x + 2)(x - 1) = (x + 2)(x - 1). $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Grafen til en andregradsfunksjon $g$ er vist i figuren nedenfor. Bestem $g(x)$ på nullpunktsform. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_6/b.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: ::::{answer} $$ g(x) = 3(x + 1)^2 $$ :::: ::::{solution} Grafen til $g$ har bare ett nullpunkt i $(-1, 0)$. Det betyr at vi kan skrive $g(x)$ på nullpunktsform som $$ g(x) = a(x + 1)(x + 1) = a(x + 1)^2 $$ Vi ser at grafen skjærer $y$-aksen i punktet $(0, 3)$ som betyr at $$ g(0) = 3 \liff a(0 + 1)^2 = 3. $$ Dette forenkler vi til $$ a = 3 $$ Dermed har vi at $$ g(x) = 3(x + 1)^2 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Grafen til en andregradsfunksjon $h$ er vist i figuren nedenfor. Bestem $h(x)$ på nullpunktsform. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_6/c.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: ::::{answer} $$ h(x) = -\frac{1}{2}(x + 2)(x - 3). $$ :::: ::::{solution} Grafen til $h$ har nullpunkter i $(-2, 0)$ og $(3, 0)$. Det betyr at vi kan skrive $h(x)$ på nullpunktsform som $$ h(x) = a(x + 2)(x - 3). $$ Vi ser at grafen skjærer $y$-aksen i punktet $(0, 3)$ som betyr at $$ h(0) = 3 \liff a(0 + 2)(0 - 3) = 3. $$ Dette forenkler vi til $$ -6a = 3 \liff a = -\frac{1}{2}. $$ Dermed har vi at $$ h(x) = -\frac{1}{2}(x + 2)(x - 3). $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Grafen til en andregradsfunksjon $p$ er vist i figuren nedenfor. Bestem $p(x)$ på nullpunktsform. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_6/d.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: ::::{answer} $$ p(x) = -2(x - 3)^2 $$ :::: ::::{solution} Grafen til $p$ har bare ett nullpunkt i $(3, 0)$. Det betyr at vi kan skrive $p(x)$ på nullpunktsform som $$ p(x) = a(x - 3)(x - 3) = a(x - 3)^2 $$ Vi ser at grafen går gjennom punktet $(2, -2)$ som betyr at $$ p(2) = -2 \liff a(2 - 3)^2 = -2 \liff a = -2. $$ Dermed er uttrykket for $p(x)$ gitt ved $$ p(x) = -2(x - 3)^2 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 7 --- level: 2 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = -x^2 + 4x + 5 $$ Bestem nullpunktene til $f$. ::::{answer} $$ x = -1 \or x = 5. $$ :::: ::::{solution} Vi ser at koeffisientene til $f(x)$ er $$ a = -1 \and b = 4 \and c = 5. $$ Først finner vi symmetrilinja: $$ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot -1} = 2. $$ Deretter finner vi $y$-koordinaten til ekstremalpunktet: $$ y_0 = f(2) = -2^2 + 4\cdot 2 + 5 = -4 + 8 + 5 = 9. $$ Ekstremalpunktsformen til $f(x)$ er da $$ f(x) = -(x - 2)^2 + 9. $$ Så bruker vi konjugatsetningen for å skrive om $f(x)$ til nullpunktsform: $$ f(x) = -\left((x - 2)^2 - 3^2\right) = -\left((x - 2 + 3)(x - 2 - 3)\right) = -(x + 1)(x - 5). $$ Dermed er nullpunktene til $f$ gitt ved $$ x = -1 \or x = 5. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En andregradsfunksjon $g$ er gitt ved $$ g(x) = x^2 - 5x - 6 $$ Bestem i hvilke punkter grafen til $g$ skjærer $x$-aksen. ::::{answer} $$ x = 6 \qog x = -1. $$ :::: ::::{solution} Vi ser at koeffisientene til $g(x)$ er $$ a = 1 \and b = -5 \and c = -6. $$ Først finner vi symmetrilinja: $$ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2}. $$ Deretter finner vi $y$-koordinaten til ekstremalpunktet: $$ y_0 = g\left(\frac{5}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 5\cdot\frac{5}{2} - 6 = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} - 6 = \frac{25}{4} - \frac{50}{4} - \frac{24}{4} = -\frac{49}{4}. $$ Nå kan vi skrive $g(x)$ på ekstremalpunktsform som $$ g(x) = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{49}{4}. $$ Så bruker vi konjugatsetningen for å skrive om $g(x)$ til nullpunktsform: $$ g(x) = (x - \frac{5}{2})^2 - \left(\frac{7}{2}\right)^2 = (x - \frac{5}{2} - \frac{7}{2})(x - \frac{5}{2} + \frac{7}{2}) = (x - 6)(x + 1). $$ Dermed skjærer grafen $x$-aksen i punktene $$ x = 6 \qog x = -1. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En andregradsfunksjon $h$ er gitt ved $$ h(x) = x^2 + 5x - 14 $$ Bestem nullpunktene til $h$. ::::{answer} $$ x = 2 \or x = -7. $$ :::: ::::{solution} Vi ser at koeffisientene til $h(x)$ er $$ a = 1 \and b = 5 \and c = -14. $$ Først finner vi symmetrilinja: $$ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2 \cdot 1} = -\frac{5}{2}. $$ Deretter finner vi $y$-koordinaten til ekstremalpunktet: $$ y_0 = h\left(-\frac{5}{2}\right) = \left(-\frac{5}{2}\right)^2 + 5\left(-\frac{5}{2}\right) - 14 = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} - 14 = \frac{25}{4} - \frac{50}{4} - \frac{56}{4} = -\frac{81}{4}. $$ Ekstremalpunktsformen til $h(x)$ er da $$ h(x) = \left(x + \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{81}{4}. $$ Så bruker vi konjugatsetningen for å skrive om $h(x)$ til nullpunktsform: $$ h(x) = \left(x + \frac{5}{2}\right)^2 - \left(\frac{9}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{5}{2} - \frac{9}{2}\right)\left(x + \frac{5}{2} + \frac{9}{2}\right) = (x - 2)(x + 7). $$ Dermed er nullpunktene til $h$ gitt ved $$ x = 2 \or x = -7. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d En andregradsfunksjon $p$ er gitt ved $$ p(x) = x^2 + 6x + 8 $$ Bestem i hvilke punkter grafen til $p$ skjærer $x$-aksen. ::::{answer} $$ x = -2 \qog x = -4. $$ :::: ::::{solution} Vi ser at koeffisientene til $p(x)$ er $$ a = 1 \and b = 6 \and c = 8. $$ Først finner vi symmetrilinja: $$ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3. $$ Deretter finner vi $y$-koordinaten til ekstremalpunktet: $$ y_0 = p(-3) = (-3)^2 + 6 \cdot (-3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1. $$ Ekstremalpunktsformen til $p(x)$ er da $$ p(x) = (x + 3)^2 - 1. $$ Så bruker vi konjugatsetningen for å skrive om $p(x)$ til nullpunktsform: $$ p(x) = (x + 3)^2 - 1 = (x + 3 - 1)(x + 3 + 1) = (x + 2)(x + 4). $$ Dermed skjærer grafen $x$-aksen i punktene $$ x = -2 \qog x = -4. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::{margin} Tips: Oppgave 8 Her må du selv velge hvilken representasjon du vil bruke for å bestemme funksjonsuttrykkene. Velg det du tenker er enklest for deg! ::: :::::::::::::::{exercise} Oppgave 8 --- level: 3 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Grafen til en andregradsfunksjon $f$ er vist i figuren nedenfor. Bestem $f(x)$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_8/a.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: ::::{answer} $$ f(x) = (x + 1)(x - 3). $$ :::: ::::{solution} Grafen til $f$ har nullpunkter i $(-1, 0)$ og $(3, 0)$. Det betyr at vi kan skrive $f(x)$ på nullpunktsform som $$ f(x) = a(x + 1)(x - 3). $$ Vi ser at grafen skjærer $y$-aksen i punktet $(0, -3)$ som vi kan bruke til å finne verdien til $a$: $$ f(0) = -3 \liff a(0 + 1)(0 - 3) = -3. $$ Dette forenkler vi til $$ -3a = -3 \liff a = 1. $$ Dermed er $$ f(x) = 1\cdot(x + 1)(x - 3) = (x + 1)(x - 3). $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Grafen til en andregradsfunksjon $g$ er vist i figuren nedenfor. Bestem $g(x)$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_8/b.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: ::::{answer} $$ g(x) = 2(x - 1)^2 + 2. $$ :::: ::::{solution} Grafen til $g$ har et bunnpunkt i $(1, 2)$ som betyr at vi kan skrive $g(x)$ på ekstremalpunktsform som $$ g(x) = a(x - 1)^2 + 2. $$ Vi ser at grafen skjærer $y$-aksen i $(0, 4)$ som vi kan bruke til å finne verdien til $a$: $$ g(0) = 4 \liff a(0 - 1)^2 + 2 = 4. $$ Dette forenkler vi til $$ a + 2 = 4 \liff a = 2. $$ Dermed er $$ g(x) = 2(x - 1)^2 + 2. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Grafen til en andregradsfunksjon $h$ er vist i figuren nedenfor. Bestem $h(x)$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_8/c.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: ::::{answer} $$ h(x) = -2x^2 + 18. $$ :::: ::::{solution} Grafen til $h$ har et toppunkt i $(0, 18)$ som betyr at vi kan skrive $h(x)$ på ekstremalpunktsform som $$ h(x) = a(x - 0)^2 + 18 = ax^2 + 18. $$ Vi ser at grafen skjærer $x$-aksen i $(3, 0)$ som vi kan bruke til å finne verdien til $a$: $$ h(3) = 0 \liff a(3)^2 + 18 = 0. $$ Dette forenkler vi til $$ 9a + 18 = 0 \liff 9a = -18 \liff a = -2. $$ Dermed er $$ h(x) = -2x^2 + 18. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Grafen til en andregradsfunksjon $p$ er vist i figuren nedenfor. Bestem $p(x)$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_8/d.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: ::::{answer} $$ p(x) = -(x + 2)(x - 4). $$ :::: ::::{solution} Grafen til $p$ har nullpunkter i $(-2, 0)$ og $(4, 0)$. Det betyr at vi kan skrive $p(x)$ på nullpunktsform som $$ p(x) = a(x + 2)(x - 4). $$ Grafen til $p$ skjærer $y$-aksen i punktet $(0, 8)$ som vi kan bruke til å finne verdien til $a$: $$ p(0) = 8 \liff a(0 + 2)(0 - 4) = 8. $$ Dette forenkler vi til $$ -8a = 8 \liff a = -1. $$ Dermed er $$ p(x) = -1(x + 2)(x - 4) = -(x + 2)(x - 4). $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::{margin} Tips: Oppgave 9 Når en funksjon er skrevet på formen $a(x - x_0)^2 + y_0$, må du faktorisere ut $a$ fra begge ledd før du kan bruke konjugatsetningen. Husk at hvis leddene har samme fortegn, så har ikke funksjonen nullpunkter siden vi ikke kan bruke konjugatsetningen. ::: :::::::::::::::{exercise} Oppgave 9 --- level: 3 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = (x - 4)^2 - 9 $$ Avgjør om $f$ har nullpunkter. Hvis ja, bestem nullpunktene. ::::{answer} Nullpunktene er $x = 1$ og $x = 7$. :::: ::::{solution} Leddene har motsatt fortegn som betyr at vi kan bruke konjugatsetningen: $$ f(x) = (x - 4)^2 - 3^2 = (x - 4 - 3)(x - 4 + 3) = (x - 7)(x - 1). $$ Nullpunktene er dermed $x = 1$ og $x = 7$. ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En andregradsfunksjon $g$ er gitt ved $$ g(x) = -2(x + 1)^2 + 4 $$ Avgjør om $g$ har nullpunkter. Hvis ja, bestem nullpunktene. ::::{answer} $$ x = -3 \qog x = 1. $$ :::: ::::{solution} Leddene har motsatt fortegn som betyr at vi kan bruke konjugatsetningen: $$ g(x) = -2(x + 1)^2 + 4 = -2((x + 1) - 2)((x + 1) + 2) = -2(x - 1)(x + 3). $$ Nullpunktene til $g$ er dermed $$ x = -3 \qog x = 1. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En andregradsfunksjon $h$ er gitt ved $$ h(x) = (x + 3)^2 + 1 $$ Avgjør om $h$ har nullpunkter. Hvis ja, bestem nullpunktene. ::::{answer} Ingen nullpunkter. :::: ::::{solution} Leddene har samme fortegn som betyr at vi ikke kan bruke konjugatsetningen til å faktorisere $h(x)$ til nullpunktsform. Dermed har ikke $h$ noen nullpunkter. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d En andregradsfunksjon $p$ er gitt ved $$ p(x) = -\frac{1}{2}(x - 4)^2 $$ ::::{answer} $$ x = 4 $$ :::: ::::{solution} Vi har at $p(x)$ er skrevet på nullpunktsform (og ekstremalpunktsform, med $y_0 = 0$). Dermed har $p$ bare ett nullpunkts i $x = 4$. :::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 10 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = (x + 1)(x - 2) $$ Bestem hvilken graf nedenfor som viser grafen til $f$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_10/a/merged_figure.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: ::::{answer} Graf B. :::: ::::{solution} Vi ser fra $f(x)$ at nullpunktene er gitt ved $$ x = -1 \qog x = 2. $$ Det betyr at det negative nullpunktet må ligge nærmere $y$-aksen enn det positive, noe som bare passer med graf B og C. Vi ser også at $a = 1 > 0$ som betyr at grafen til $f$ er konveks {poly-icon}`smile`. Da passer bare graf B. Dermed er graf B grafen til $f$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En andregradsfunksjon $g$ er gitt ved $$ g(x) = -2(x - 1)(x - 2) $$ :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_10/b/merged_figure.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: ::::{answer} Graf A. :::: ::::{solution} Vi ser fra $g(x)$ at nullpunktene er gitt ved $$ x = 1 \qog x = 2. $$ Det betyr at begge nullpunktene har positiv $x$-verdi som passer med graf A og B. Vi ser at $a < 0$ som betyr at grafen til $g$ er konkav {poly-icon}`frown`. Dermed passer bare graf A. Dermed er graf A grafen til $g$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En andregradsfunksjon $h$ er gitt ved $$ h(x) = (x + 2)^2 $$ Bestem hvilken graf nedenfor som viser grafen til $h$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_10/c/merged_figure.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: ::::{answer} Graf C. :::: ::::{solution} Vi ser fra $h(x)$ at nullpunktet er gitt ved $$ x = -2. $$ Det betyr at grafen må treffe $x$-aksen ved en negativ $x$-verdi som passer med graf C og D. Vi ser at $a = 1 > 0$ som betyr at grafen er konveks {poly-icon}`smile`. Dermed passer bare graf C. Dermed er graf C grafen til $h$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::{margin} Tips: Oppgave 11 Husk at en identitet er en likning som er sann for alle verdier av $x$. Det betyr at venstre side og høyre side er alltid like uansett hva vi setter inn for $x$. ::: :::::::::::::::{exercise} Oppgave 11 --- level: 3 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem $s$ og $r$ slik at likningen nedenfor er en identitet. $$ (x + 2)(x - 8) = (x - s)^2 + r $$ ::::{answer} $$ s = 3 \and r = -25 $$ :::: ::::{solution} Vi kan kjenne $s$ som symmetrilinja til en andregradsfunksjon. Venstresiden er på nullpunktsform som gjør at vi kan finne symmetrilinja ved å bruke formelen $$ s = \dfrac{x_1 + x_2}{2} = \dfrac{-2 + 8}{2} = \dfrac{6}{2} = 3. $$ Deretter bestemmer vi $r$ ved å sette inn verdien for $s$ i uttrykket på venstresiden: $$ r = (3 + 2)(3 - 8) = 5 \cdot (-5) = -25. $$ Dermed er likningen en identitet hvis $$ s = 3 \and r = -25 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem $s$ og $r$ slik at likningen nedenfor er en identitet. $$ (x - 1)(x + 3) = (x - s)^2 + r $$ ::::{answer} $$ s = -1 \and r = -4 $$ :::: ::::{solution} Vi kan kjenne $s$ som symmetrilinja til en andregradsfunksjon. Venstresiden er på nullpunktsform som gjør at vi kan finne symmetrilinja ved å bruke formelen $$ s = \dfrac{x_1 + x_2}{2} = \dfrac{1 + (-3)}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1 $$ Deretter bestemmer vi $r$ ved å sette inn verdien for $s$ i uttrykket på venstresiden: $$ r = (-1 - 1)(-1 + 3) = -2 \cdot 2 = -4. $$ Dermed er likningen en identitet hvis $$ s = -1 \and r = -4 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bestem $s$ og $r$ slik at likningen nedenfor er en identitet. $$ (x - s)(x - r) = (x - 2)^2 - 1 $$ ::::{answer} $$ r = 3 \and s = 1 \or r = 1 \and s = 3. $$ :::: ::::{solution} Vi gjenkjenner venstresiden som nullpunktsformen til en andregradsfunksjon der $s$ og $r$ er nullpunktene. På høyresiden er uttrykket gitt på ekstremalpunktsform som vi kan skrive om til nullpunktsform ved å bruke konjugatsetningen: $$ (x - 2)^2 - 1 = (x - 2 - 1)(x - 2 + 1) = (x - 3)(x - 1) $$ Altså vil likningen bli en identitet hvis $$ r = 3 \and s = 1 \or r = 1 \and s = 3. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Bestem $s$ og $r$ slik at likningen nedenfor er en identitet $$ x^2 - x - 2 = (x - s)(x - r) $$ ::::{answer} $$ s = 2 \and r = -1 \or s = -1 \and r = 2. $$ :::: ::::{solution} Venstresiden er skrevet på standardform og høyresiden er skrevet på nullpunktsform. Vi kan skrive om venstresiden til nullpunktsform for å bestemme verdiene til $s$ og $r$. Vi starter med å finne symmetrilinja. Vi har at $a = 1$ og $b = -1$, så $$ x_0 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-1}{2 \cdot 1} = \dfrac{1}{2}. $$ Deretter finner vi $y$-koordinaten til ekstremalpunktet: $$ y_0 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{2} - 2 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{2}{4} - \dfrac{8}{4} = -\dfrac{9}{4}. $$ Det betyr at vi kan skrive om uttrykket til ekstremalpunktsform som: $$ x^2 - x - 2 = \left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{9}{4}. $$ Deretter kan vi bruke konjugatsetningen for å skrive om til nullpunktsform: $$ x^2 - x - 2 = \left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{9}{4} = \left(x - \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2}\right)\left(x - \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}\right) = (x - 2)(x + 1). $$ Altså vil likningen være en identitet hvis $$ s = 2 \and r = -1 \or s = -1 \and r = 2. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 12 En andregradsfunksjon $f$ har ett nullpunkt. Grafen til $f$ skjærer $y$-aksen i punktet $(0, 9)$. Bestem et mulig funksjonsuttrykk $f(x)$ for andregradsfunksjonen. ::::{answer} $$ f(x) = (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9 $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 13 --- level: 3 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Undersøk om det finnes tilfeller hvor nullpunktsformen og ekstremalpunktsformen til en andregradsfunksjon er like. Gi et eksempel hvis du finner et. ::::{solution} Vi skriver opp $f(x)$ på begge former: $$ f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = a(x - x_0)^2 + y_0 $$ Hvis $f$ har ett nullpunkt slik at $x_1 = x_2$ så vil også symmetrilinja ha samme $x$-verdi som betyr at $$ x_0 = x_1 = x_2 $$ Da må også $y_0 = 0$, så vi får at ekstremalpunktsformen og nullpunktsformen er lik: $$ f(x) = a(x - x_0)^2 $$ Et eksempel på en slik funksjon er $$ f(x) = (x - 2)^2 $$ Her er nullpunktet og symmetrilinja gitt ved $x = 2$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Undersøk om det finnes tilfeller hvor standardformen og nullpunktsformen til en andregradsfunksjon er like. Gi et eksempel hvis du finner et. ::::{solution} For at standardformen og nullpunktsformen skal være like, må både $b = 0$ og $c = 0$, slik at $$ f(x) = ax^2 $$ Da er nullpunktet til $f$ gitt ved $x = 0$. Et eksempel vil da være $f(x) = -2x^2$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Undersøk om det finnes tilfeller hvor standardformen og ekstremalpunktsformen til en andregradsfunksjon er like. Gi et eksempel hvis du finner et. ::::{solution} Standardformen og ekstremalpunktsformen er like dersom vi setter $b = c = 0$ i standardformen. Da får vi $$ f(x) = ax^2 $$ som betyr at ekstremalpunktet er $(0, 0)$. Et eksempel på en slik funksjon er $f(x) = 3x^2$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Undersøk om det finnes tilfeller hvor alle tre representasjonsformer er like. Gi et eksempel om du finner et. ::::{solution} De er alle like dersom $b = c = 0$ i standardformen. Da har vi $$ f(x) = ax^2 $$ som gir nullpunkt og ekstremalpunkt i $(0, 0)$. Et eksempel på en slik funksjon er $f(x) = x^2$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: :::::::::::::::