# Oppgaver: Standardform :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 --- level: 1 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Les av koeffisientene til $$ f(x) = -2x^2 - 2x + 12 $$ ::::{answer} $$ a = -2 \and b = -2 \and c = 12 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Les av koeffisientene til $$ g(x) = -x^2 + x + 2 $$ ::::{answer} $$ a = -1 \and b = 1 \and c = 2 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Les av koeffisientene til $$ h(x) = -2x^2 + 5 $$ ::::{answer} $$ a = -2 \and b = 0 \and c = 5 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Les av koeffisientene til $$ p(x) = -x^2 + 3x $$ ::::{answer} $$ a = -1 \and b = 3 \and c = 0 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 --- level: 1 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = 2x^2 + 4x - 5 $$ Regn ut $f(-1)$, $f(0)$ og $f(2)$. ::::{answer} \begin{align*} f(-1) &= -7, \\ \\ f(0) &= -5, \\ \\ f(2) &= 11. \end{align*} :::: ::::{solution} \begin{align*} f(-1) &= 2 \cdot (-1)^2 + 4 \cdot (-1) - 5 = 2 - 4 - 5 = -7, \\ \\ f(0) &= 2 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 - 5 = -5, \\ \\ f(2) &= 2 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 - 5 = 8 + 8 - 5 = 11. \end{align*} :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En andregradsfunksjon $g$ er gitt ved $$ g(x) = -x^2 + 3x + 2 $$ Regn ut $g(-2)$, $g(1)$ og $g(4)$. ::::{answer} \begin{align*} g(-2) &= -8, \\ g(1) &= 4, \\ g(4) &= -2. \end{align*} :::: ::::{solution} \begin{align*} g(-2) &= -(-2)^2 + 3 \cdot (-2) + 2 = -4 - 6 + 2 = -8, \\ g(1) &= -(1)^2 + 3 \cdot (1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4, \\ g(4) &= -(4)^2 + 3 \cdot (4) + 2 = -16 + 12 + 2 = -2. \end{align*} :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Grafen til en andregradsfunksjon $h$ er vist nedenfor. Bruk grafen til å bestemme $h(-3)$, $h(-2)$, $h(-1)$, $h(0)$ og $h(1)$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_2/c.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 90% --- ::: ::::{answer} \begin{align*} h(-3) &= 0, \\ \\ h(-2) &= -3, \\ \\ h(-1) &= -4, \\ \\ h(0) &= -3, \\ \\ h(1) &= 0. \end{align*} :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Grafen til en andregradsfunksjon $p$ er vist nedenfor. Bruk grafen til å bestemme $p(-1)$, $p(0)$, $p(1)$, $p(2)$ og $p(3)$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_2/d.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 90% --- ::: ::::{answer} \begin{align*} p(-1) &= 0, \\ \\ p(0) &= 3, \\ \\ p(1) &= 4, \\ \\ p(2) &= 3, \\ \\ p(3) &= 0. \end{align*} :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 --- level: 1 --- Nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon $$ f(x) = ax^2 + bx + c $$ :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_3/figur.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: --- ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Er grafen til $f$ konveks eller konkav? Kan du si noe om koeffisientene til $f(x)$ ut ifra dette? ::::{answer} Grafen er konveks siden den smiler {poly-icon}`smile`. Dette betyr at $a > 0$ (koeffisienten er positiv). :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem verdien til $a$. ::::{answer} $$ a = 1 $$ :::: ::::{solution} Bunnpunktet til $f$ er i $(2, -1)$. Går vi én enhet langs $x$-aksen til høyre og finner grafen, er vi i $(3, 0)$. Altså øker $y$-verdien med $1$ som betyr at $$ a = 1 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bestem likningen til symmetrilinja til $f$ og bruk denne til å bestemme verdien til $b$. ::::{answer} **Symmetrilinje**: $$ x = 2 $$ **Koeffisienten $b$**: $$ b = -4 $$ :::: ::::{solution} Likningen til symmetrilinja er $x = 2$ siden det er $x$-koordinaten der grafen har et bunnpunkt. Da får vi $$ x = -\dfrac{b}{2a} \liff 2 = -\dfrac{b}{2 \cdot 1} \liff b = -4. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Bestem koordinatene til skjæringspunktet med $y$-aksen. Bruk svaret ditt til å bestemme verdien til $c$. ::::{answer} Grafen skjærer $y$-aksen i $(0, 3)$ som betyr at $c = 3$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} e Bruk svarene dine fra **a**, **b** og **c** til å bestemme $f(x)$. ::::{answer} $$ f(x) = x^2 - 4x + 3 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 --- level: 1 --- En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = 2x^2 + 4x - 5 $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Hva er verdiene til koeffisientene til $f(x)$? ::::{answer} $$ a = 2 \and b = 4 \and c = -5. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Er grafen til $f$ konveks eller konkav? Begrunn svaret ditt. ::::{answer} Grafen er konveks {poly-icon}`smile` fordi $a > 0$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c :::{sidebar} {popup}`Hva var formelen for symmetrilinja igjen?<$$x = -\dfrac{b}{2a}$$>` ::: Bestem symmetrilinja til $f$. :::{clear} ::: ::::{answer} $$ x = -1 $$ :::: ::::{solution} $$ x = -\frac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2 \cdot 2} = -1 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Har grafen til $f$ et topp- eller bunnpunkt? Bestem koordinatene til dette punktet. ::::{answer} Grafen har et bunnpunkt i $(-1, -7)$. :::: ::::{solution} Grafen til $f$ har et bunnpunkt siden $a > 0$ som gjør at grafen er konveks {poly-icon}`smile`. Symmetrilinja er $x = -1$. Dette er $x$-koordinaten til bunnpunktet. Vi setter $x = -1$ inn i $f(x)$ for å finne $y$-koordinaten til bunnpunktet: $$ f(-1) = 2 \cdot (-1)^2 + 4 \cdot (-1) - 5 = 2 - 4 - 5 = -7. $$ Dermed er koordinatene til bunnpunktet $(-1, -7)$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} e Lag en skisse av grafen til $f$ og marker egenskapene du har funnet på grafen. ::::{answer} :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_4/figur.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 90% --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 --- level: 1 --- Nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon $f(x) = ax^2 + bx + c$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_5/figur.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bruk grafen til å bestemme verdien til $a$. ::::{answer} $$ a = -1 $$ :::: ::::{solution} Toppunktet til $f$ er $(-2, 9)$. Øker vi $x$ med én enhet til høyre, så finner vi grafen i $(-1, 8)$ som betyr at $y$-verdien har sunket med $1$. Dermed er $$ a = -1. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bruk grafen til å bestemme verdien til $b$. ::::{answer} $$ b = -4 $$ :::: ::::{solution} Grafen til $f$ har symmetrilinje i $x = -2$ siden dette er $x$-koordinaten til toppunktet. Fra formelen for symmetrilinja til $f$ får vi da at $$ x = -\dfrac{b}{2a} \liff -2 = -\dfrac{b}{2 \cdot (-1)} \liff b = 4. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bruk grafen til å bestemme verdien til $c$. ::::{answer} $$ c = 5. $$ :::: ::::{solution} Grafen til $f$ skjærer $y$-aksen i $(0, 5)$ som betyr at $$ c = 5. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Bruk svarene dine fra **a**, **b** og **c** til å bestemme $f(x)$. ::::{answer} $$ f(x) = -x^2 + 4x + 5 $$ :::: ::::{solution} Vi vet nå at koeffisientene til $f(x)$ er $$ a = -1 \and b = 4 \and c = 5 $$ som betyr at $$ f(x) = -x^2 + 4x + 5 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 6 --- level: 2 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Grafen til en andregradsfunksjon $f$ er vist i figuren nedenfor. Bestem $f(x)$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_6/a.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 70% --- ::: ::::{answer} $$ f(x) = 2x^2 + 8x + 6. $$ :::: ::::{solution} Vi skriver $f(x)$ på standardform $$ f(x) = ax^2 + bx + c. $$ Vi finner ekstremalpunktet til $f$ i $(-2, -2)$. Vi flytter oss én enhet til høyre langs $x$-aksen og finner grafen i $(-1, 0)$ som betyr at $y$-verdien har økt med $2$. Det betyr at $a = 2$. Grafen til $f$ har symmetrilinje i $x = -2$ siden ekstremalpunktet er i $(-2, -2)$. Fra formelen for symmetrilinja til $f$ finner vi da at $$ x = -\dfrac{b}{2a} \liff -2 = -\dfrac{b}{2 \cdot 2} \liff b = 8. $$ Vi ser at grafen til $f$ skjærer $y$-aksen i $(0, 6)$ som betyr at $c = 6$. Dermed er $$ f(x) = 2x^2 + 8x + 6. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Grafen til en andregradsfunksjon $g$ er vist i figuren nedenfor. Bestem $g(x)$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_6/b.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 70% --- ::: ::::{answer} $$ g(x) = -x^2 + 4x - 5. $$ :::: ::::{solution} Vi skriver $g(x)$ på standardform $$ g(x) = ax^2 + bx + c. $$ Vi ser at ekstremalpunktet til $g$ er i $(2, -1)$. Øker vi $x$ med én enhet til høyre, så finner vi grafen i $(3, -2)$ som betyr at $y$-verdien synker med $1$ enhet. Dermed er $a = -1$. Ekstremalpunktet er i $(2, -1)$ som gir at likningen til symmetrilinja er $x = 2$ siden dette er $x$-koordinaten til punktet. Fra formelen for symmetrilinja til $g$ kan vi bestemme verdien til $b$: $$ x = -\dfrac{b}{2a} \liff 2 = -\dfrac{b}{2 \cdot (-1)} \liff b = -4. $$ Vi ser at grafen til $g$ skjærer $y$-aksen i $(0, -5)$ som betyr at $c = -5$. Dermed er $$ g(x) = -x^2 + 4x - 5. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Grafen til en andregradsfunksjon $h$ er vist i figuren nedenfor. Bestem $h(x)$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_6/c.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 70% --- ::: ::::{answer} $$ h(x) = x^2 + 2x + 4. $$ :::: ::::{solution} Vi skriver $h(x)$ på standardform $$ h(x) = ax^2 + bx + c $$ Ekstremalpunktet til $h$ er i $(-1, 3)$. Øker vi $x$ med én enhet og finner grafen igjen, havner vi i punktet $(0, 4)$. Altså har $y$-verdien økt med $1$ enhet som betyr at $a = 1$. Ekstremalpunktet $(-1, 3)$ gir oss symmetrilinja $x = -1$ siden $x$-koordinaten er symmetrilinja til grafen. Da kan vi finne $b$: $$ x = -\dfrac{b}{2a} \liff -1 = -\dfrac{b}{2 \cdot 1} \liff b = 2. $$ Grafen til $h$ skjærer $y$-aksen i punktet $(0, 4)$ som betyr at $c = 4$. Dermed er $$ h(x) = x^2 + 2x + 4. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Grafen til en andregradsfunksjon $p$ er vist i figuren nedenfor. Bestem $p(x)$. :::{plot} width: 70% function: -1/2 * x**2 + 2*x, p ::: ::::{answer} $$ p(x) = -\dfrac{1}{2}x^2 + 2x. $$ :::: ::::{solution} Vi skriver $p(x)$ på standardform $$ p(x) = ax^2 + bx + c $$ Ekstremalpunktet til $p$ er $(2, 2)$. Hvis øker $x$ med én enhet, så klarer vi ikke lese av de eksakte koordinatene til punktet på grafen. Øker vi $x$ med $2$ enheter, så finner vi grafen i punktet $(4, 0)$ som betyr at $y$-verdien har sunket med $2$ enheter. Da har vi at $$ 2^2 \cdot a = -2 \liff 4a = -2 \liff a = -\dfrac{1}{2} $$ Siden ekstremalpunktet er i $(2, 2)$, så er symmetrilinja $x = 2$ ($x$-koordinaten til punktet). Fra formelen for symmetrilinja, finner vi da at $$ x = -\dfrac{b}{2a} \liff 2 = -\dfrac{b}{2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)} \liff b = 2 $$ Grafen til $p$ skjærer $y$-aksen i $(0, 0)$ som betyr at $c = 0$. Dermed er $$ p(x) = -\dfrac{1}{2}x^2 + 2x $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 7 --- level: 2 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^2 + 2x - 2. $$ Bestem hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til $f$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_7/a/merged_figure.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: ::::{answer} Graf B viser grafen til $f$. :::: ::::{solution} Koeffisientene til $f(x)$ er $$ a = 2 \and b = 4 \and c = -5. $$ Vi ser derfor at grafen til $f$ er konveks {poly-icon}`smile` siden $a > 0$. Det betyr at grafen til $f$ enten er B eller D. Grafen til $f$ skjærer $y$-aksen i et punkt med negativ $y$-koordinat siden $c < 0$, men dette er sant både for graf B og D. Symmetrilinja til $f$ er gitt ved $$ x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{2}{2 \cdot 1} = -1. $$ Dette passer bare med graf B som betyr at grafen til $f$ er graf B. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En andregradsfunksjon $g$ er gitt ved $$ g(x) = x^2 - 4x $$ Bestem hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til $g$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_7/b/merged_figure.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: ::::{answer} Graf D. :::: ::::{solution} Koeffisientene til $g(x)$ er $$ a = 1 \and b = -4 \and c = 0. $$ Siden $a > 0$ er grafen til $g$ konveks {poly-icon}`smile`. Det passer bare med graf B og D. Symmtrilinja til $g$ er gitt ved $$ x = -\dfrac{b}{2a} = - \dfrac{-4}{2\cdot 1} = 2. $$ Det er bare graf D som har en symmetrilinja langs en positiv $x$-verdi, så dermed er graf D grafen til $g$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En andregradsfunksjon $h$ er gitt ved $$ h(x) = x^2 + 6x + 5 $$ Bestem hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til $h$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_7/c/merged_figure.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: ::::{answer} Graf A. :::: ::::{solution} Koeffisientene til $h(x)$ er $$ a = 1 \and b = 6 \and c = 5. $$ Grafen til $h$ skjærer $y$-aksen i $(0, 5)$ siden $c = 5$. Det bare graf A og C som skjærer $y$-aksen i et punkt med positiv $y$-verdi. Symmetrilinja til $h$ er gitt ved $$ x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{6}{2 \cdot 1} = -3. $$ Altså må grafen til $h$ ha en symmetrilinja langs en negativ $x$-verdi. Dette stemmer bare for graf A. Dermed er graf A grafen til $h$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d En andregradsfunksjon $p$ er gitt ved $$ p(x) = -2x^2 + 4x - 1 $$ Bestem hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til $p$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_7/d/merged_figure.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: ::::{answer} Graf C. :::: ::::{solution} Koeffisientene til $p(x)$ er $$ a = -2 \and b = 4 \and c = -1 $$ Grafen til $p$ er konkav {poly-icon}`frown` siden $a < 0$. Det betyr at grafen til $p$ enten er A eller C. Symmetrilinja til $p$ er gitt ved $$ x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2 \cdot (-2)} = 1. $$ Det er bare graf C som har en symmetrilinje langs en positiv $x$-verdi, så dermed er graf C grafen til $p$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 8 --- level: 2 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = -x^2 + 4x + 3. $$ Lag en skisse av grafen til $f$ og marker følgende egenskaper: * Skjæringspunktet med $y$-aksen * Symmetrilinja * Topp- eller bunnpunkt med koordinater ::::{answer} :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_8/a.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: :::: ::::{solution} Koeffisientene til $f(x)$ er $$ a = -1 \and b = 4 \and c = 3. $$ Skjæringspunktet med $y$-aksen : Konstantleddet er $x = 3$ som betyr at grafen skjærer $y$-aksen i $(0, 3)$. Symmetrilinja : Symmetrilinja er gitt ved $$ x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2 \cdot (-1)} = 2. $$ Topp- eller bunnpunkt : Grafen til $f$ er konkav {poly-icon}`frown` siden $a < 0$. Dermed har grafen et toppunkt. Toppunktet har $x$-koordinaten lik symmetrilinja, altså $x = 2$. Vi setter $x = 2$ inn i $f(x)$ for å finne $y$-koordinaten til toppunktet: $$ f(2) = -1 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 + 3 = 7. $$ Dermed er toppunktet til $f$ gitt ved $(2, 7)$. Når har vi nok opplysninger til å tegne en skisse av grafen til $f$: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_8/a.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En andregradsfunksjon $g$ er gitt ved $$ g(x) = 2x^2 + 4x - 1 $$ Lag en skisse av grafen til $g$ og marker følgende egenskaper: * Skjæringspunktet med $y$-aksen * Symmetrilinja * Topp- eller bunnpunkt med koordinater ::::{answer} :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_8/b.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: :::: ::::{solution} Koeffisientene til $g(x)$ er $$ a = 2 \and b = 4 \and c = -1. $$ Skjæringspunktet med $y$-aksen : Konstantleddet er $c = -1$ som betyr at grafen skjærer $y$-aksen i $(0, -1)$. Symmetrilinja : Symmetrilinja er gitt ved $$ x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2 \cdot 2} = -1. $$ Topp- eller bunnpunkt : Grafen til $g$ er konveks siden $a > 0$ {poly-icon}`smile`. Dermed har grafen et bunnpunkt. Bunnpunktet har $x$-koordinaten lik symmetrilinja, altså $x = -1$. Vi setter $x = -1$ inn i $g(x)$ for å finne $y$-koordinaten til bunnpunktet: $$ g(-1) = 2 \cdot (-1)^2 + 4 \cdot (-1) - 1 = -3. $$ Dermed er bunnpunktet til $g$ gitt ved $(-1, -3)$. Når har vi nok opplysninger til å tegne en skisse av grafen til $g$: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_8/b.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En andregradsfunksjon $h$ er gitt ved $$ h(x) = x^2 - 4 $$ Lag en skisse av grafen til $h$ og marker følgende egenskaper: * Skjæringspunktet med $y$-aksen * Symmetrilinja * Topp- eller bunnpunkt med koordinater ::::{answer} :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_8/c.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: :::: ::::{solution} Koeffisientene til $h(x)$ er $$ a = 1 \and b = 0 \and c = -4. $$ Skjæringspunktet med $y$-aksen : Konstantleddet er $c = -4$ som betyr at grafen skjærer $y$-aksen i $(0, -4)$. Symmetrilinja : Symmetrilinja er gitt ved $$ x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{0}{2 \cdot 1} = 0. $$ Topp- eller bunnpunkt : Grafen til $h$ er konveks {poly-icon}`smile` siden $a > 0$. Dermed har grafen et bunnpunkt. Bunnpunktet har $x$-koordinaten lik symmetrilinja, altså $x = 0$. Vi setter $x = 0$ inn i $h(x)$ for å finne $y$-koordinaten til bunnpunktet: $$ h(0) = 0^2 - 4 = -4. $$ Dermed er bunnpunktet til $h$ gitt ved $(0, -4)$. Når har vi nok opplysninger til å tegne en skisse av grafen til $h$: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_8/c.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d En andregradsfunksjon $p$ er gitt ved $$ p(x) = -x^2 + 2x $$ Lag en skisse av grafen til $p$ og marker følgende egenskaper: * Skjæringspunktet med $y$-aksen * Symmetrilinja * Topp- eller bunnpunkt med koordinater ::::{answer} :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_8/d.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: :::: ::::{solution} Koeffisientene til $p(x)$ er $$ a = -1 \and b = 2 \and c = 0. $$ Skjæringspunktet med $y$-aksen : Konstantleddet er $c = 0$ som betyr at grafen skjærer $y$-aksen i $(0, 0)$. Symmetrilinja : Symmetrilinja er gitt ved $$ x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{2}{2 \cdot (-1)} = 1. $$ Topp- eller bunnpunkt : Grafen til $p$ er konkav {poly-icon}`frown` siden $a < 0$. Dermed har grafen et toppunkt. Toppunktet har $x$-koordinaten lik symmetrilinja, altså $x = 1$. Vi setter $x = 1$ inn i $p(x)$ for å finne $y$-koordinaten til toppunktet: $$ p(1) = -1 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 = 1. $$ Dermed er toppunktet til $p$ gitt ved $(1, 1)$. Nå har vi nok opplysninger til å tegne en skisse av grafen til $p$: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_8/d.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 9 --- level: 2 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Grafen til en andregradsfunksjon $f$ er vist i figuren nedenfor. Bruk CAS til å bestemme $f(x)$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_9/a.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: ::::{answer} $$ f(x) = x^2 - 2x - 3 $$ :::: ::::{solution} Vi trenger tre punkter på grafen til $f$. Vi ser at grafen går gjennom punktene $(-1, 0)$, $(3, 0)$ og $(0, -3)$. Da kan vi sette opp et likningssystem og bestemme koeffisientene til $f(x)$: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_9/a_sol.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 60% --- ::: Fra utskriften finner vi at koeffisientene er $$ a = 1 \and b = -2 \and c = -3 $$ Dermed får vi at $$ f(x) = x^2 - 2x - 3 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Grafen til en andregradsfunksjon $g$ er vist i figuren nedenfor. Bruk CAS til å bestemme $g(x)$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_9/b.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: ::::{answer} $$ g(x) = -2x^2 - 4x - 3 $$ :::: ::::{solution} Vi trenger tre punkter på grafen til $g$. Vi ser at grafen til $g$ går gjennom punktene $(-1, -1)$, $(0, -3)$ og $(-2, -3)$. Da kan vi sette opp et likningssystem og bestemme koeffisientene til $g(x)$: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_9/b_sol.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: Fra utskriften ser vi at koeffisientene er $$ a = -2 \and b = -4 \and c = -3 $$ Dermed er $g(x)$ gitt ved $$ g(x) = -2x^2 - 4x - 3 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Grafen til en andregradsfunksjon $h$ er vist i figuren nedenfor. Bruk CAS til å bestemme $h(x)$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_9/c.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: ::::{answer} $$ h(x) = x^2 + 6x + 5 $$ :::: ::::{solution} Vi trenger tre punkter på grafen til $h$. Vi ser at grafen til $h$ går gjennom punktene $(-5, 0)$, $(-1, 0)$ og $(0, 5)$. Da kan vi sette opp et likningssystem og bestemme koeffisientene til $h(x)$: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_9/c_sol.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 60% --- ::: Fra utskriften ser vi at koeffisientene er $$ a = 1 \and b = 6 \and c = 5 $$ Dermed er $h(x)$: $$ h(x) = x^2 + 6x + 5 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Grafen til en andregradsfunksjon $p$ er vist i figuren nedenfor. Bruk CAS til å bestemme $p(x)$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_9/d.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: ::::{answer} $$ p(x) = -\dfrac{1}{2}x^2 + 2x - 2 $$ :::: ::::{solution} Vi trenger tre punkter på grafen til $p$. Vi ser at grafen til $p$ går gjennom punktene $(2, 0)$, $(0, -2)$ og $(4, -2)$. Da kan vi sette opp et likningssystem og bestemme koeffisientene til $p(x)$: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_9/d_sol.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 60% --- ::: Fra utskriften ser vi at koeffisientene er $$ a = -\dfrac{1}{2} \and b = 2 \and c = -2 $$ Dermed er $p(x)$: $$ p(x) = -\dfrac{1}{2}x^2 + 2x - 2 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 10 --- level: 3 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a I figuren nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon $f$. Bestem $f(x)$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_10/a.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: ::::{answer} $$ f(x) = -\dfrac{1}{2}x^2 + 2x + 1. $$ :::: ::::{solution} Vi skriver $f(x)$ på standardform $$ f(x) = ax^2 + bx + c. $$ Vi ser at grafen til $f$ har et toppunkt i $(2, 3)$. Flytter vi oss $2$ enheter langs $x$-aksen til venstre ligger skjæringspunktet til grafen med $y$-aksen i $(0, 1)$. Her har $y$-verdien sunket med $2$ enheter som betyr at $$ 2^2 a = -2 \liff 4a = -2 \liff a = -\dfrac{1}{2} $$ Siden grafen til $f$ har et toppunkt i $(2, 3)$ så er symmetrilinja gitt ved $x = 2$. Vi kan bestemme $b$ ved hjelp av formelen for symmetrilinja: $$ x = -\dfrac{b}{2a} \liff 2 = -\dfrac{b}{2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)} \liff 2 = b \liff b = 2. $$ Siden grafen til $f$ skjærer $y$-aksen i $(0, 1)$ så er $c = 1$. Dermed har vi $$ f(x) = -\dfrac{1}{2}x^2 + 2x + 1. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b I figuren nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon $g$. Bestem $g(x)$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_10/b.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: ::::{answer} $$ g(x) = 2x^2 + 4x + 4. $$ :::: ::::{solution} Siden $g$ er en andregradsfunksjon, så er $$ g(x) = ax^2 + bx + c. $$ Grafen til $g$ har et bunnpunkt i $(-1, 2)$ som betyr at symmetrilinja er $x = -1$. Da får vi at $$ x = -\dfrac{b}{2a} = -1 \liff b = 2a. $$ Grafen til $g$ går gjennom punktet $(-2, 4)$ som ligger én enhet til venstre for bunnpunktet. Det betyr at hvis vi flytter oss én enhet til høyre, så får vi et punkt med samme $y$-koordinat. Dette blir da $(0, 4)$ som er punktet grafen til $g$ skjærer $y$-aksen. Dermed er $$ c = 4. $$ Nå kan vi skrive om $g(x)$ til $$ g(x) = ax^2 + 2ax + 4. $$ Nå bruker vi bunnpunktet til å bestemme verdien til $a$. Siden grafen går gjennom $(-1, 2)$, så betyr det at $$ g(-1) = 2 \liff a \cdot (-1)^2 + 2a \cdot (-1) + 4 = 2 $$ som vi forenkler til $$ -a + 4 = 2 \liff -a = -2 \liff a = 2. $$ Nå kan vi regne ut verdien til $b$: $$ b = 2a = 2 \cdot 2 = 4. $$ Dermed er koeffisientene til $g(x)$ gitt ved $$ a = 2 \and b = 4 \and c = 4. $$ Dermed er $$ g(x) = 2x^2 + 4x + 4. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c I figuren nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon $h$. Bestem $h(x)$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_10/c.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: ::::{answer} $$ h(x) = x^2 - 6x + 9. $$ :::: ::::{solution} Vi starter med standardformen til $h(x)$ som er $$ h(x) = ax^2 + bx + c. $$ Grafen til $h$ skjærer $y$-aksen i $(0, 9)$ som betyr at $c = 9$. Grafen til $h$ går gjennom punktene $(1, 4)$ og $(5, 4)$ som har samme $y$-koordinat. Siden de har samme $y$-koordinat, må symmetrilinja ligge midt mellom disse to punktene som betyr at symmetrilinja er gjennomsnittet av $x$-koordinatene: $$ x = \dfrac{1 + 5}{2} = 3. $$ > Gjennomsnittet av to tall ligger alltid midt mellom de to tallene! Men da får vi at $$ x = -\dfrac{b}{2a} = 3 \liff b = -6a. $$ Da kan vi skrive om $h(x)$ til $$ h(x) = ax^2 - 6ax + 9. $$ Nå trenger vi å bruke ett av punktene vi ikke har brukt enda. Vi velger $(1, 4)$ som betyr at $$ h(1) = 4 \liff a \cdot 1^2 - 6a \cdot 1 + 9 = 4 $$ som vi forenkler til $$ -5a + 9 = 4 \liff -5a = -5 \liff a = 1. $$ Nå kan vi regne ut verdien til $b$: $$ b = -6a = -6 \cdot 1 = -6. $$ Dermed er koeffisientene til $h(x)$ gitt ved $$ a = 1 \and b = -6 \and c = 9. $$ Dermed er $$ h(x) = x^2 - 6x + 9. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d I figuren nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon $p$. Bestem $p(x)$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_10/d.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: ::::{answer} $$ p(x) = -2x^2 + 2x + 12. $$ :::: ::::{solution} Standardformen til $p(x)$ er gitt ved $$ p(x) = ax^2 + bx + c. $$ Vi ser at grafen til $p$ skjærer $y$-aksen i $(0, 12)$ som betyr at $c = 12$. Grafen til $p$ har to nullpunkter i $(-2, 0)$ og $(3, 0)$. Siden disse punktene har samme $y$-koordinat, så må symmetrilinja ligge midt mellom disse to punktene som betyr at symmetrilinja er gjennomsnittet av $x$-koordinatene: $$ x = \dfrac{-2 + 3}{2} = \dfrac{1}{2} $$ Da får vi at $$ x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{1}{2} \liff b = -a. $$ Da kan vi skrive om $p(x)$ til $$ p(x) = ax^2 - ax + 12. $$ Nå trenger vi å bruke ett av punktene vi ikke har brukt enda. Vi velger $(3, 0)$ som betyr at $$ p(3) = 0 \liff a \cdot 3^2 - a \cdot 3 + 12 = 0 $$ som vi forenkler til $$ 6a + 12 = 0 \liff 6a = -12 \liff a = -2. $$ Nå kan vi regne ut verdien til $b$: $$ b = -a = -(-2) = 2. $$ Dermed er koeffisientene til $p(x)$ gitt ved $$ a = -2 \and b = 2 \and c = 12. $$ Det betyr at $$ p(x) = -2x^2 + 2x + 12. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 11 --- level: 3 --- Siri har laget programmet nedenfor: :::{code-block} python --- linenos: --- def f(x): return x ** 2 + 2 * x - 15 x = -5 verdi = f(x) while x <= 5: if f(x) < verdi: verdi = f(x) x = x + 1 print(verdi) ::: Hva finner Siri når hun kjører programmet? Hvilken verdi skrives ut? ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 12 --- level: 3 --- Anna jobber med andregradsfunksjonen $$ f(x) = x^2 - 4x + 5 $$ Hun ønsker å bestemme bunnpunktet med programmering og har laget en figur som illustrerer strategien hun vil bruke: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_12/bunnpunkt.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 70% --- ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bruk strategien til Anna og skriv ferdig programmet nedenfor. Bestem koordinatene til bunnpunktet til $f$ med programmet. ::::{solution} Løsning med `for`{l=python}-løkke: :::{code-block} python --- linenos: --- def f(x): return x**2 - 4*x + 5 for x in range(0, 11): if f(x) <= f(x + 1): bunnpunkt = (x, f(x)) print(bunnpunkt) break ::: Løsning med `while`{l=python}-løkke: :::{code-block} python --- linenos: --- def f(x): return x**2 - 4*x + 5 x = 0 while f(x) < f(x + 1): x = x + 1 bunnpunkt = (x, f(x)) print(bunnpunkt) ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Anna vil bruke en tilsvarende strategi til å bestemme toppunktet til $$ g(x) = -2x^2 + 8x - 4. $$ Gjør nødvendige endringer i programmet slik at det finner toppunktet til $g$. ::::::::::::: :::::::::::::: ::::{interactive-code} def f(x): return x**2 - 4*x + 5 # TODO: skriv kode her :::: :::::::::::::::