# Oppgaver: Andregradsulikheter :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 --- level: 1 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon $f$. Løs ulikheten $$ f(x) \leq 0. $$ :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_1/a.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 90% --- ::: ::::{answer} $$ x \in [-3, 1]. $$ :::: ::::{solution} Grafen til $f$ skjærer $x$-aksen i $(-3, 0)$ og $(1, 0)$. Grafen ligger under $x$-aksen mellom disse to punktene som betyr at $f(x) \leq 0$ når $$ x \in [-3, 1]. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon $f$. Løs ulikheten $$ f(x) < 0. $$ :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_1/b.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 90% --- ::: ::::{answer} $$ x \in \langle \gets, -1 \rangle \cup \langle 3, \to \rangle. $$ :::: ::::{solution} Grafen til $f$ skjærer $x$-aksen i $(-1, 0)$ og $(3, 0)$. På nedsiden av $(-1, 0)$ og på oversiden av $(3, 0)$ ligger grafen til $f$ under $x$-aksen som betyr at $f(x) < 0$ når $$ x \in \langle \gets, -1 \rangle \cup \langle 3, \to \rangle. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon $f$. Løs ulikheten $$ f(x) > 0. $$ :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_1/c.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 90% --- ::: ::::{answer} $$ x \in \langle -5, 1 \rangle. $$ :::: ::::{solution} Grafen til $f$ skjærer $x$-aksen i $(-5, 0)$ og $(1, 0)$. Mellom disse to punktene ligger grafen til $f$ over $x$-aksen som betyr at $f(x) > 0$ når $$ x \in \langle -5, 1 \rangle. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon $f$. Løs ulikheten $$ f(x) \geq 0. $$ :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_1/d.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 90% --- ::: ::::{answer} $$ x \in \langle\gets, -2] \cup [2, \to \rangle. $$ :::: ::::{solution} Grafen til $f$ skjærer $x$-aksen i $(-2, 0)$ og $(2, 0)$. På nedsiden av $(-2, 0)$ og på oversiden av $(2, 0)$ ligger grafen til $f$ over $x$-aksen som betyr at $f(x) \geq 0$ når $$ x \in \langle\gets, -2] \cup [2, \to \rangle. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 --- level: 1 --- Ta quizen! :::{quiz} Q: Hvilken av fortegnslinjene hører til grafen? ![{width: 70%}](./figurer/oppgaver/oppgave_2/spm_1/graf.svg) + ![{width: 100%}](./figurer/oppgaver/oppgave_2/spm_1/A.svg) - ![{width: 100%}](./figurer/oppgaver/oppgave_2/spm_1/B.svg) - ![{width: 100%}](./figurer/oppgaver/oppgave_2/spm_1/C.svg) - ![{width: 100%}](./figurer/oppgaver/oppgave_2/spm_1/D.svg) Q: Hvilken av fortegnslinjene hører til grafen? ![{width: 70%}](./figurer/oppgaver/oppgave_2/spm_2/graf.svg) + ![{width: 100%}](./figurer/oppgaver/oppgave_2/spm_2/A.svg) - ![{width: 100%}](./figurer/oppgaver/oppgave_2/spm_2/B.svg) - ![{width: 100%}](./figurer/oppgaver/oppgave_2/spm_2/C.svg) - ![{width: 100%}](./figurer/oppgaver/oppgave_2/spm_2/D.svg) Q: Hvilken av fortegnslinjene hører til grafen? ![{width: 70%}](./figurer/oppgaver/oppgave_2/spm_3/graf.svg) + ![{width: 100%}](./figurer/oppgaver/oppgave_2/spm_3/A.svg) - ![{width: 100%}](./figurer/oppgaver/oppgave_2/spm_3/B.svg) - ![{width: 100%}](./figurer/oppgaver/oppgave_2/spm_3/C.svg) - ![{width: 100%}](./figurer/oppgaver/oppgave_2/spm_3/D.svg) Q: Hvilken av fortegnslinjene hører til grafen? ![{width: 70%}](./figurer/oppgaver/oppgave_2/spm_4/graf.svg) + ![{width: 100%}](./figurer/oppgaver/oppgave_2/spm_4/A.svg) - ![{width: 100%}](./figurer/oppgaver/oppgave_2/spm_4/B.svg) - ![{width: 100%}](./figurer/oppgaver/oppgave_2/spm_4/C.svg) - ![{width: 100%}](./figurer/oppgaver/oppgave_2/spm_4/D.svg) Q: Hvilken av fortegnslinjene hører til grafen? ![{width: 70%}](./figurer/oppgaver/oppgave_2/spm_5/graf.svg) + ![{width: 100%}](./figurer/oppgaver/oppgave_2/spm_5/A.svg) - ![{width: 100%}](./figurer/oppgaver/oppgave_2/spm_5/B.svg) - ![{width: 100%}](./figurer/oppgaver/oppgave_2/spm_5/C.svg) - ![{width: 100%}](./figurer/oppgaver/oppgave_2/spm_5/D.svg) ::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 --- level: 1 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En andregradsfunksjon $f$ har fortegnslinja: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_3/a/fortegnslinje.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 90% --- ::: Avgjør hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til $f$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_3/a/merged_figure.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: ::::{answer} Graf C. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En andregradsfunksjon $g$ har fortegnslinja: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_3/b/fortegnslinje.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 90% --- ::: Avgjør hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til $g$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_3/b/merged_figure.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: ::::{answer} Graf A. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En andregradsfunksjon $h$ har fortegnslinja: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_3/c/fortegnslinje.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 90% --- ::: Avgjør hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til $h$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_3/c/merged_figure.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: ::::{answer} Graf D. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 --- level: 1 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Nedenfor vises fortegnslinja til en andregradsfunksjon $f$. Løs ulikheten $$ f(x) \geq 0. $$ :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_4/a.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 90% --- ::: ::::{answer} $$ x \in \langle \gets, -2] \cup [2, \to \rangle $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Nedenfor vises fortegnslinja til en andregradsfunksjon $g$. Løs ulikheten $$ g(x) > 0. $$ :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_4/b.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 90% --- ::: ::::{answer} $$ x \in \langle -1, 2 \rangle $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Nedenfor vises fortegnslinja til en andregradsfunksjon $h$. Løs ulikheten $$ h(x) < 0. $$ :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_4/c.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 90% --- ::: ::::{answer} $$ x \in \langle \gets, -2 \rangle \cup \langle -2, \to \rangle $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Nedenfor vises fortegnslinja til en andregradsfunksjon $p$. Løs ulikheten $$ p(x) \leq 0. $$ :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_4/d.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 90% --- ::: ::::{answer} $$ x \in \langle \gets, -1] \cup [0, \to \rangle $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 --- level: 1 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Løs ulikheten $$ (x + 2)(x - 4) \leq 0 $$ ::::{answer} $$ x \in [-2, 4] $$ :::: ::::{solution} Vi tegner fortegnslinja til $f(x) = (x + 2)(x - 4)$. Vi tegner først en fortegnslinje for hver faktor, deretter ganger vi fortegnene sammen for å få fortegnslinja til $f(x)$: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_5/a.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: Fra fortegnslinja til $f(x)$ ser vi at $f(x) \leq 0$ når $$ x \in [-2, 4] $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Løs ulikheten $$ (x - 1)(x + 4) \geq 0 $$ ::::{answer} $$ x \in \langle \gets, -4] \cup [1, \to \rangle $$ :::: ::::{solution} Vi starter med å tegne fortegnslinja til $f(x) = (x - 1)(x + 4)$. Vi tegner først en fortegnslinje for hver faktor, deretter ganger vi fortegnene sammen for å få fortegnslinja til $f(x)$: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_5/b.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: Fra fortegnslinja til $f(x)$ ser vi at $f(x) \geq 0$ når $$ x \in \langle \gets, -4] \cup [1, \to \rangle $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Løs ulikheten ved hjelp av å tegne fortegnslinje. $$ -2x(x - 3) < 0 $$ ::::{answer} $$ x \in \langle \gets, 0 \rangle \cup \langle 3, \to \rangle $$ :::: ::::{solution} Vi starter med å tegne fortegnslinja til $f(x) = -2x(x - 3)$. Vi tegner først en fortegnslinje for hver faktor, deretter ganger vi fortegnene sammen for å få fortegnslinja til $f(x)$: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_5/c.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: Fra fortegnslinja til $f(x)$ ser vi at $f(x) < 0$ når $$ x \in \langle \gets, 0 \rangle \cup \langle 3, \to \rangle $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Løs ulikheten ved å bruke en fortegnslinje: $$ -3(x + 1)(x - 1) > 0 $$ ::::{answer} $$ x \in \langle -1, 1 \rangle $$ :::: ::::{solution} Vi starter med å tegne fortegnslinja til $f(x) = -3(x + 1)(x - 1)$. Vi tegner først en fortegnslinje for hver faktor, deretter ganger vi fortegnene sammen for å få fortegnslinja til $f(x)$: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_5/d.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: Fra fortegnslinja til $f(x)$ ser vi at $f(x) > 0$ når $$ x \in \langle -1, 1 \rangle $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 6 --- level: 2 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Løs ulikheten $$ -x^2 + 4x - 3 \leq 0 $$ ::::{answer} $$ x \in \langle \gets, 1] \cup [3, \to \rangle. $$ :::: ::::{solution} Vi starter med å nullpunktsfaktorisere andregradsuttrykket. Vi finner nullpunktene med $abc$-formelen: $$ x = \dfrac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-3)}}{2 \cdot (-1)} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{-2} = \dfrac{-4 \pm 2}{-2} $$ Dermed er nullpunktene gitt ved $$ x = \dfrac{-2}{-2} = 1 \or x = \dfrac{-6}{-2} = 3. $$ Da kan vi skrive om ulikheten til $$ -(x - 1)(x - 3) \leq 0. $$ Så tegner vi en fortegnslinje for $f(x) = -(x - 1)(x - 3)$: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_6/a.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: Fra fortegnslinja ser vi at $f(x) \leq 0$ når $$ x \in \langle \gets, 1] \cup [3, \to \rangle. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Løs ulikheten $$ x^2 + 4x - 5 \geq 0 $$ ::::{answer} $$ x \in \langle \gets, -5] \cup [1, \to \rangle. $$ :::: ::::{solution} Vi starter med å nullpunktsfaktorisere andregradsuttrykket. Vi finner nullpunktene med $abc$-formelen: $$ x = \dfrac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \dfrac{-4 \pm 6}{2} $$ Dermed er nullpunktene gitt ved $$ x = \dfrac{2}{2} = 1 \or x = \dfrac{-10}{2} = -5. $$ Da kan vi skrive om ulikheten til $$ (x - 1)(x + 5) \geq 0. $$ Så tegner vi en fortegnslinje for $f(x) = (x - 1)(x + 5)$: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_6/b.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: Fra fortegnslinja til $f(x)$ ser vi at $f(x) \geq 0$ når $$ x \in \langle \gets, -5] \cup [1, \to \rangle. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Løs ulikheten $$ x^2 + 6x + 5 > -4 $$ ::::{answer} $$ x \in \langle \gets, -3 \rangle \cup \langle -3, \to \rangle. $$ :::: ::::{solution} Vi starter med å samle alle ledd på én side av ulikheten slik at vi får $0$ på høyre side: $$ x^2 + 6x + 5 + 4 > 0 \liff x^2 + 6x + 9 > 0 $$ Vi gjenkjenner uttrykket som 1.kvadratsetning: $$ x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2. $$ Dermed kan vi skrive om ulikheten til $$ (x + 3)^2 > 0. $$ Vi tegner en fortegnslinje for $f(x) = (x + 3)^2$: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_6/c.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: Fra fortegnslinja til $f(x)$ ser vi at $f(x) > 0$ når $$ x \in \langle \gets, -3 \rangle \cup \langle -3, \to \rangle. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Løs ulikheten $$ -x^2 + 3x + 1 < 3x + 2 $$ ::::{answer} $$ x \in \real $$ :::: ::::{solution} Vi starter med å samle alle ledd på én side av ulikheten slik at vi får $0$ på høyre side: $$ -x^2 + 3x + 1 - 3x - 2 < 0 \liff -x^2 - 1 < 0 \liff x^2 + 1 > 0 $$ Siden $x^2 + 1$ er et kvadratisk uttrykk som alltid er større enn $0$, er ulikheten alltid sann. Dermed er løsningen $$ x \in \real $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 7 --- level: 2 --- ::::{hints} Hvordan løser jeg andregradsulikheter med CAS? I gif-en nedenfor vises et eksempel på hvordan man løser en andregradsulikhet med CAS: :::{figure} ./videoer/cas_ulikheter.gif --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: :::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Bruk CAS til å løse ulikheten $$ x^2 - 3x + 2 < 0 $$ ::::{answer} $$ x \in \langle 1, 2 \rangle. $$ :::: ::::{solution} :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_7/a.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 60% --- ::: Fra utskriften ser vi at løsningen er $$ x \in \langle 1, 2 \rangle. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Bruk CAS til å løse ulikheten $$ -x^2 + 2x - 1 < 0 $$ ::::{answer} $$ x \in \langle \gets, 1 \rangle \cup \langle 1, \to \rangle. $$ :::: ::::{solution} :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_7/b.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 60% --- ::: Fra utskriften ser vi at løsningen er $$ x \in \langle \gets, 1 \rangle \cup \langle 1, \to \rangle. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Bruk CAS til å løse ulikheten $$ -x^2 + 5x + 6 \geq 0 $$ ::::{answer} $$ x \in [-1, 6] $$ :::: ::::{solution} :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_7/c.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 60% --- ::: Fra utskriften ser vi at løsningen er $$ x \in [-1, 6] $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Bruk CAS til å løse ulikheten $$ x^2 - 2x + 5 \leq -x^2 + 3x + 3 $$ ::::{answer} $$ x \in \left[ \dfrac{1}{2}, 2\right] $$ :::: ::::{solution} :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_7/d.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 60% --- ::: Fra utskriften ser vi at løsningen er $$ x \in \left[ \dfrac{1}{2}, 2\right] $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 8 --- level: 2 --- Nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon $f$ og en lineær funksjon $g$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_8/figur.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Løs ulikheten $$ f(x) < 0 $$ ::::{answer} $$ x \in \langle \gets, -3\rangle \cup \langle 1, \to \rangle $$ :::: ::::{solution} Vi ser at grafen til $f$ skjærer $x$-aksen i $(-3, 0)$ og $(1, 0)$. Grafen ligger under $x$-aksen på nedsiden av $(-2, 0)$ og på oversiden av $(3, 0)$. Dermed er løsningen $$ x \in \langle \gets, -3\rangle \cup \langle 1, \to \rangle $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Løs ulikheten $$ f(x) > 3 $$ ::::{answer} $$ x \in \langle -2, 0 \rangle. $$ :::: ::::{solution} Grafen til $f$ skjærer linja $y = 3$ i $(-2, 3)$ og $(0, 3)$. Mellom disse to punktene, så ligger grafen til $f$ over linja $y = 3$. Dermed er løsningen $$ x \in \langle -2, 0 \rangle. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Løs ulikheten $$ f(x) \geq g(x) $$ ::::{answer} $$ x \in [-4, 0] $$ :::: ::::{solution} Grafene til $f$ og $g$ skjærer hverandre i punktene $(-4, -5)$ og $(0, 3)$. Mellom disse to punktene, så ligger grafen til $f$ på oversiden av grafen til $g$. Dermed er løsningen av ulikheten $$ x \in [-4, 0] $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 9 --- level: 3 --- Nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon $f$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_9/figur.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem $f(x)$. ::::{answer} f(x) = -2(x + 3)(x - 4). :::: ::::{solution} Vi ser at grafen skjærer $x$-aksen i $(-3, 0)$ og $(4, 0)$ som vi kan bruke til å bestemme $f(x)$ på nullpunktsform: $$ f(x) = a(x + 3)(x - 4). $$ Grafen skjærer $y$-aksen i $(0, 24)$ som vi kan bruke til å finne verdien til $a$: $$ f(0) = a(0 + 3)(0 - 4) = -12a = 24 \liff a = -2. $$ Dermed er $$ f(x) = -2(x + 3)(x - 4). $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Løs ulikheten $$ f(x) \leq 0 $$ ::::{answer} $$ x \in \langle \gets, -3] \cup [4, \to \rangle. $$ :::: ::::{solution} Vi ser at grafen ligger under $x$-aksen på nedsiden av $(-3, 0)$ og på oversiden av $(4, 0)$. Dermed er løsningen $$ x \in \langle \gets, -3] \cup [4, \to \rangle. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Løs ulikheten $$ f(x) > 12. $$ ::::{answer} $$ (x + 2)(x - 3) < 0 \liff x \in \langle -2, 3 \rangle. $$ :::: ::::{solution} Her får vi ikke lest av fra grafen, så vi tyr til algebraisk løsning. Vi skal løse ulikheten $$ f(x) > 12 \liff -2(x + 3)(x - 4) > 12. $$ Vi ganger ut venstre side: $$ -2(x^2 - x - 12) > 12 \liff -2x^2 + 2x + 24 > 12. $$ Så sørger vi for at vi for $0$ på høyre side: $$ -2x^2 + 2x + 24 - 12 > 0 \liff -2x^2 + 2x + 12 > 0. $$ Vi kan også dele uttrykket med $-2$ (og huske på å snu ulikhetstegnet): $$ x^2 - x - 6 < 0. $$ Så bestemmer vi nullpunktene til andregradsuttrykket med $abc$-formelen: $$ x = \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \dfrac{1 \pm 5}{2}. $$ Dermed er nullpunktene gitt ved $$ x = \dfrac{6}{2} = 3 \or x = \dfrac{-4}{2} = -2. $$ Da kan vi skrive om ulikheten til $$ (x + 2)(x - 3) < 0. $$ Så tegner vi en fortegnslinje for $(x + 2)(x - 3)$: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_9/fortegnslinje.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: Fra fortegnslinja ser vi at $$ (x + 2)(x - 3) < 0 \liff x \in \langle -2, 3 \rangle. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 10 --- level: 3 --- I figuren nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon $f$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_10/figur.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem $f(x)$. ::::{answer} $$ f(x) = x(x - 4) = x^2 - 4x. $$ :::: ::::{solution} Grafen til $f$ har et bunnpunkt i $(2, -4)$ og et nullpunkt $(0, 0)$ Fordi symmetrilinja er i $x = 2$, så vil det andre nullpunktet ligge samme avstand fra symmetrilinja langs $x$-aksen som betyr at det andre nullpunktet er i $(4, 0)$. Da kan vi skrive $f(x)$ på nullpunktsform: $$ f(x) = a(x - 0)(x - 4) = ax(x - 4). $$ For å finne verdien til $a$, så bruker vi bunnpunktet: $$ f(2) = -4 \liff a\cdot 2 \cdot (2 - 4) = -4 \liff -4a = -4 \liff a = 1. $$ Dermed er $$ f(x) = x(x - 4) = x^2 - 4x. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Løs ulikheten $$ f(x) \leq 0 $$ ::::{answer} $$ x \in [0, 4]. $$ :::: ::::{solution} Fra grafen til $f$ kan vi se at grafen ligger under $x$-aksen mellom nullpunktene. Dermed er $f(x) \leq 0$ når $$ x \in [0, 4]. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Løs ulikheten $$ f(x) > 5 $$ ::::{answer} $$ x \in \langle \gets, -1 \rangle \cup \langle 5, \to \rangle. $$ :::: ::::{solution} Vi skal løse ulikheten $$ f(x) > 5 \liff x^2 - 4x > 5. $$ Vi skriver om ulikheten slik at vi får $0$ på høyre side: $$ x^2 - 4x - 5 > 0. $$ Så finner vi nullpunktene til andregradsuttrykket med $abc$-formelen: $$ x = \dfrac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \dfrac{4 \pm 6}{2}. $$ Dermed er nullpunktene gitt ved $$ x = \dfrac{10}{2} = 5 \or x = \dfrac{-2}{2} = -1. $$ Det betyr at vi kan skrive om ulikheten til $$ (x + 1)(x - 5) > 0. $$ Grafen til dette uttrykket er konveks (den smiler $\smile$) som betyr at den må ligger under $x$-aksen mellom nullpunktene. Dermed vil løsningen av ulikheten være $x$-verdiene som ligger på nedsiden og oversiden av nullpunktene. Altså er $$ (x + 1)(x - 5) > 0 \liff x \in \langle \gets, -1 \rangle \cup \langle 5, \to \rangle. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 11 --- level: 3 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En ulikhet har løsningen $$ x \in \langle -2, 1 \rangle. $$ Lag en ulikhet som har denne løsningen. ::::{answer} $$ (x + 2)(x - 1) < 0 $$ :::: ::::{solution} Vi kan velge en andregradsfunksjon $f$ som har nullpunkter i $x = -2$ og $x = 1$, og som er konveks (slik at den smiler $\smile$). Da vet vi at grafen ligger under $x$-aksen mellom nullpunktene. Derfor er en mulig ulikhet denne: $$ (x + 2)(x - 1) < 0 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En ulikhet har løsningen $$ x \in \langle \gets, -2 \rangle \cup \langle -2, \to \rangle. $$ Lag en ulikhet som har denne løsningen. ::::{answer} $$ (x + 2)^2 > 0. $$ :::: ::::{solution} Vi kan velge en andregradsfunksjon $f$ som har ett nullpunkt i $x = -2$, og som er konveks (slik at den smiler $\smile$). Da vet vi at grafen alltid ligger over $x$-aksen bortsett fra i $x = -2$. Da er en mulig ulikhet denne: $$ (x + 2)^2 > 0. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En ulikhet har løsningen $$ x \in [-4, 4]. $$ Lag en ulikhet som har denne løsningen. ::::{answer} $$ (x + 4)(x - 4) \leq 0. $$ :::: ::::{solution} Vi kan velge en andregradsfunksjon $f$ som har nullpunkter i $x = -4$ og $x = 4$, og som er konveks (slik at den smiler $\smile$). Da vet vi at grafen ligger under $x$-aksen mellom nullpunktene slik at følgende ulikhet vil ha den oppgitte løsningen: $$ (x + 4)(x - 4) \leq 0. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d En ulikhet har løsningen $$ x \in \left\langle \gets, -\dfrac{1}{2} \right \rangle \cup \langle 4, \to \rangle. $$ Lag en ulikhet som har denne løsningen. ::::{answer} $$ -\left(x + \dfrac{1}{2}\right)(x - 4) < 0. $$ :::: ::::{solution} Vi kan velge en andregradsfunksjon $f$ som har nullpunkter i $x = -\dfrac{1}{2}$ og $x = 4$, og som er konkav (surt fjes $\frown$). Da vet vi at grafen til $f$ ligger under $x$-aksen på nedsiden og oversiden av nullpunktene. Dermed vil følgende ulikhet ha den oppgitte løsningen: $$ -\left(x + \dfrac{1}{2}\right)(x - 4) < 0. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 12 --- level: 3 --- Anna jobber med funksjonen $$ f(x) = (x - 2)^2 + 3 $$ Hun forsøkte å løse en ulikhet i CAS og fikk følgende utskrift: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_12/cas.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 60% --- ::: Forklar hva utskriften forteller oss om grafen til $f$. ::::{solution} Ulikheten har ingen løsning, som er grunnen til at utskriften gir $\{\}$. Siden Anna har prøvd å løse ulikheten $f(x) < 0$, forteller det oss at grafen aldri ligger under $x$-aksen. :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 13 --- level: 3 --- En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = rx^2 - 2x + r \qder r \in \real $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem $r$ slik at $f$ bare har ett nullpunkt. ::::{answer} $$ r = -1 \or r = 1. $$ :::: ::::{solution} Vi bruker $abc$-formelen for å avgjøre hvilke verdier for $r$ som gir ett nullpunkts: $$ x = \dfrac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot r \cdot r}}{2 \cdot r} = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 - 4r^2}}{2r} $$ Vi får $0$ i kvadratroten dersom $$ 4 - 4r^2 = 0 \liff 4r^2 = 4 \liff r^2 = 1 \liff r = \pm 1. $$ Altså har grafen til $f$ ett nullpunkt hvis $$ r = -1 \or r = 1. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem $r$ slik at $f$ ikke har noen nullpunkter. ::::{answer} $$ r \in \langle -1, 1 \rangle. $$ :::: ::::{solution} Vi vet at $f$ ikke har noen nullpunkter dersom vi får et negativt tall i kvadratroten, som betyr at $f$ ikke har noen nullpunkter dersom $$ 4 - 4r^2 < 0 \liff 4r^2 - 4 > 0 \liff r^2 - 1 > 0 \liff (r - 1)(r + 1) > 0. $$ Dette er et andregradsuttrykk som er konveks (den smiler $\smile$) og som har nullpunkter i $r = -1$ og $r = 1$. Grafen vil være negativt mellom nullpunktene, så derfor vil ikke $f$ ha noen nullpunkter dersom $$ r \in \langle -1, 1 \rangle. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: :::::::::::::::