# Oppgaver: Vekstfart :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 --- level: 1 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Grafen til en andregradsfunksjon $f$ er vist i figuren nedenfor. Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ i intervallet $[0, 3]$. :::{plot} width: 70% function: (x - 1)**2 - 4, f ::: ::::{answer} $$ \frac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = 1 $$ :::: ::::{solution} Vi ser fra grafen til $f$ at $f(0) = -3$ og $f(3) = 0$. Den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ i intervallet $[0, 3]$ er gitt ved $$ \frac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \frac{0 - (-3)}{3 - 0} = \frac{3}{3} = 1. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Grafen til en andregradsfunksjon $g$ er vist i figuren nedenfor. Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til $g$ i intervallet $[-2, 2]$. :::{plot} width: 70% function: -0.5 * (x - 2)**2 + 4, g ::: ::::{answer} $$ \frac{g(2) - g(-2)}{2 - (-2)} = 2 $$ :::: ::::{solution} Vi ser fra grafen til $g$ at $g(-2) = -4$ og $g(2) = 4$. Den gjennomsnittlige vekstfarten til $g$ i intervallet $[-2, 2]$ er gitt ved $$ \frac{g(2) - g(-2)}{2 - (-2)} = \frac{4 - (-4)}{2 - (-2)} = \frac{8}{4} = 2. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Grafen til en andregradsfunksjon $h$ er vist i figuren nedenfor. Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til $h$ i intervallet $[-3, 3]$. :::{plot} width: 70% function: x**2 - 4, h ::: ::::{answer} $$ \frac{h(3) - h(-3)}{3 - (-3)} = 0 $$ :::: ::::{solution} Fra grafen til $h$ ser vi at $h(-3) = 5$ og $h(3) = 5$. Den gjennomsnittlige vekstfarten til $h$ i intervallet $[-3, 3]$ er gitt ved $$ \frac{h(3) - h(-3)}{3 - (-3)} = \frac{5 - 5}{3 - (-3)} = \frac{0}{6} = 0. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Grafen til en andregradsfunksjon $p$ er vist i figuren nedenfor. Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til $p$ i intervallet $[-4, 1]$. :::{plot} width: 70% function: -(x + 1)**2 + 9, p ymax: 10 ymin: -4 ::: ::::{answer} $$ \frac{p(1) - p(-4)}{1 - (-4)} = 1 $$ :::: ::::{solution} Fra grafen til $p$ ser vi at $p(-4) = 0$ og $p(1) = 5$. Den gjennomsnittlige vekstfarten til $p$ i intervallet $[-4, 1]$ er gitt ved $$ \frac{p(1) - p(-4)}{1 - (-4)} = \frac{5 - 0}{1 - (-4)} = \frac{5}{5} = 1. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 --- level: 1 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^2 - 4x + 5 $$ Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ i intervallet $[1, 3]$. ::::{answer} $$ \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = 0 $$ :::: ::::{solution} Vi bestemmer $f(1)$ og $f(3)$: \begin{align*} f(1) &= 1^2 - 4 \cdot 1 + 5 = 1 - 4 + 5 = 2, \\ \\ f(3) &= 3^2 - 4 \cdot 3 + 5 = 9 - 12 + 5 = 2. \end{align*} Den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ i intervallet $[1, 3]$ er gitt ved $$ \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{2 - 2}{3 - 1} = \frac{0}{2} = 0. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En andregradsfunksjon $g$ er gitt ved $$ g(x) = (x - 1)^2 - 4 $$ Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til $g$ i intervallet $[0, 2]$. ::::{answer} $$ \frac{g(2) - g(0)}{2 - 0} = 0 $$ :::: ::::{solution} Vi bestemmer $g(0)$ og $g(2)$: \begin{align*} g(0) &= (0 - 1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3, \\ \\ g(2) &= (2 - 1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3. \end{align*} Den gjennomsnittlige vekstfarten til $g$ i intervallet $[0, 2]$ er gitt ved $$ \frac{g(2) - g(0)}{2 - 0} = \frac{-3 - (-3)}{2 - 0} = \frac{0}{2} = 0. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En andregradsfunksjon $h$ er gitt ved $$ h(x) = (x - 1)(x + 2) $$ Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til $h$ i intervallet $[0, 1]$. ::::{answer} $$ \frac{h(1) - h(0)}{1 - 0} = 2 $$ :::: ::::{solution} Vi bestemmer $h(0)$ og $h(1)$: \begin{align*} h(0) &= (0 - 1)(0 + 2) = -1 \cdot 2 = -2, \\ \\ h(1) &= (1 - 1)(1 + 2) = 0 \cdot 3 = 0. \end{align*} Den gjennomsnittlige vekstfarten til $h$ i intervallet $[0, 1]$ er gitt ved $$ \frac{h(1) - h(0)}{1 - 0} = \frac{0 - (-2)}{1 - 0} = \frac{2}{1} = 2. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d En andregradsfunksjon $p$ er gitt ved $$ p(x) = x^2 - 2x $$ Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til $p$ i intervallet $[-1, 1]$. ::::{answer} $$ \frac{p(1) - p(-1)}{1 - (-1)} = -2 $$ :::: ::::{solution} Vi bestemmer $p(-1)$ og $p(1)$: \begin{align*} p(-1) &= (-1)^2 - 2 \cdot (-1) = 1 + 2 = 3, \\ \\ p(1) &= (1)^2 - 2 \cdot (1) = 1 - 2 = -1. \end{align*} Den gjennomsnittlige vekstfarten til $p$ i intervallet $[-1, 1]$ er gitt ved $$ \frac{p(1) - p(-1)}{1 - (-1)} = \frac{-1 - 3}{1 - (-1)} = \frac{-4}{2} = -2. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 --- level: 1 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Grafen til den deriverte $f'$ til en andregradsfunksjon $f$ er vist i figuren nedenfor. Bestem den momentane vekstfarten til $f$ i $(3, f(3))$. :::{plot} width: 70% function: 2*(x - 1), f' ::: ::::{answer} $$ f'(3) = 4 $$ :::: ::::{solution} Vi ser at grafen til $f'$ går gjennom punktet $(3, 4)$. Den momentane vekstfarten til $f$ i punktet $(3, f(3))$ er $y$-koordinaten til punktet. Altså er $$ f'(3) = 4 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Grafen til den deriverte $g'$ til en andregradsfunksjon $g$ er vist i figuren nedenfor. Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-3, g(-3))$. :::{plot} width: 70% function: -2*(x + 2), g' ::: ::::{answer} $$ g'(-3) = 2 $$ :::: ::::{solution} Vi ser at grafen til $g'$ går gjennom punktet $(-3, 2)$. Stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-3, g(-3))$ er $y$-koordinaten til punktet. Altså er $$ g'(-3) = 2 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Grafen til den deriverte $h'$ til en andregradsfunksjon $h$ er vist i figuren nedenfor. Bestem den momentane vekstfarten til $h$ i $(1, h(1))$. :::{plot} width: 70% function: -4*x, h' ::: ::::{answer} $$ h'(1) = -4 $$ :::: ::::{solution} Vi ser at grafen til $h'$ går gjennom punktet $(1, -4)$. Den momentane vekstfarten til $h$ i punktet $(1, h(1))$ er $y$-koordinaten til punktet. Altså er $$ h'(1) = -4 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Grafen til den deriverte $p'$ til en andregradsfunksjon $p$ er vist i figuren nedenfor. Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $p$ i punktet $(-1, p(-1))$. :::{plot} width: 70% function: 2*(x + 3), p' ::: ::::{answer} $$ p'(-1) = 4 $$ :::: ::::{solution} Vi ser at grafen til $p'$ går gjennom punktet $(-1, 4)$. Det er $y$-koordinaten til punktet som gir stigningstallet til tangenten til grafen til $p$ i punktet $(-1, p(-1))$. Altså er $$ p'(-1) = 4 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 --- level: 1 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{plot} width: 380 function: (x - 1)**2 + 2, f align: right lw: 3 fontsize: 24 ::: Til høyre vises grafen til en andregradsfunksjon $f$. Bestem hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til den deriverte $f'$. :::{multi-plot} width: 100% functions: -2*x - 2, 2*x - 2, 2*x + 2, -2*x + 2 function-names: A, B, C, D rows: 2 cols: 2 fontsize: 18 ::: ::::{answer} Graf B. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{plot} width: 380 function: -((x + 2) ** 2) - 1, g align: right fontsize: 24 lw: 3 ::: Figuren til høyre vises grafen til en andregradsfunksjon $g$. Bestem hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til den deriverte $g'$. :::{multi-plot} width: 100% functions: 2 * (x - 2), -2 * (x - 2), 2 * (x + 2), -2 * (x + 2) function-names: A, B, C, D rows: 2 cols: 2 fontsize: 18 ::: ::::{answer} Graf D. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c :::{plot} width: 380 function: 2*(x - 2)**2 - 9, h align: right fontsize: 24 lw: 3 ymin: -10 ymax: 4 ::: Figuren til høyre vises grafen til en andregradsfunksjon $h$. Bestem hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til den deriverte $h'$. :::{multi-plot} width: 100% functions: 4 * (x - 2), -2 * (x - 2), 2 * (x - 2), -2 * (x + 2) function-names: A, B, C, D rows: 2 cols: 2 fontsize: 18 ::: ::::{answer} Graf A. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d :::{plot} width: 350 function: -0.5*x**2 + 4, p align: right fontsize: 26 lw: 3 ::: Figuren til høyre vises grafen til en andregradsfunksjon $p$. Bestem hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til den deriverte $p'$. :::{multi-plot} width: 100% functions: x, -x, 2 * x, -2 * x function-names: A, B, C, D rows: 2 cols: 2 fontsize: 18 ::: ::::{answer} Graf B. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 --- level: 1 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{plot} align: right width: 350 function: -2 * (x + 2), f' lw: 4 fontsize: 26 ::: Grafen til $f'$ er vist i figuren til høyre. Bestem hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til $f$. :::{multi-plot} width: 100% functions: (x - 2)**2 + 1, -(x - 2)**2 - 1, (x + 2)**2 - 1, -(x + 2)**2 + 1 function-names: A, B, C, D rows: 2 cols: 2 ::: ::::{answer} Graf D. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{plot} align: right width: 350 function: 2*(x + 1), g' lw: 4 fontsize: 26 ::: Grafen til $g'$ er vist i figuren til høyre. Bestem hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til $g$. :::{multi-plot} width: 100% functions: (x - 1)**2 - 1, 2*(x - 1)**2 - 1, (x + 1)**2 - 1, 2*(x + 1)**2 - 1 function-names: A, B, C, D rows: 2 cols: 2 ::: ::::{answer} Graf C. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c :::{plot} align: right width: 350 function: -4*(x + 2), h' lw: 4 fontsize: 26 ::: Grafen til $h'$ er vist i figuren til høyre. Bestem hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til $h$. :::{multi-plot} width: 100% functions: -(x + 2)**2 + 1, -2*(x + 2)**2 + 1, (x + 2)**2 + 1, -(x + 2)**2 + 1 function-names: A, B, C, D rows: 2 cols: 2 ::: ::::{answer} Graf B. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d :::{plot} align: right width: 350 function: x, p' lw: 4 fontsize: 26 ::: Grafen til $p'$ er vist i figuren til høyre. Bestem hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til $p$. :::{multi-plot} width: 100% functions: x**2 - 4, 2 * x**2 - 4, 0.5 * x**2 - 4, -0.5 * x**2 + 4 function-names: A, B, C, D rows: 2 cols: 2 ::: ::::{answer} Graf C. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 6 --- level: 1 --- Bestem den deriverte til funksjonene. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a $$ f(x) = x^2 - x + 1 $$ ::::{answer} $$ f'(x) = 2x - 1 $$ :::: ::::{solution} Vi bruker formelen $$ f'(x) = 2ax + b $$ Vi ser at $a = 1$ og $b = -1$. Dermed er $$ f'(x) = 2 \cdot 1 \cdot x - 1 = 2x - 1. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b $$ g(x) = -x^2 + 3x - 2 $$ ::::{answer} $$ g'(x) = -2x + 3 $$ :::: ::::{solution} Vi bruker formelen $$ g'(x) = 2ax + b $$ Vi ser at $a = -1$ og $b = 3$. Dermed er $$ g'(x) = 2 \cdot (-1) \cdot x + 3 = -2x + 3. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c $$ h(x) = 2x^2 + 1 $$ ::::{answer} $$ h'(x) = 4x $$ :::: ::::{solution} Vi bruker formelen $$ h'(x) = 2ax + b $$ Vi ser at $a = 2$ og $b = 0$. Dermed er $$ h'(x) = 2 \cdot 2 \cdot x + 0 = 4x. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d $$ p(x) = 3x^2 - 2x $$ ::::{answer} $$ p'(x) = 6x - 2 $$ :::: ::::{solution} Vi bruker formelen $$ p'(x) = 2ax + b $$ Vi ser at $a = 3$ og $b = -2$. Dermed er $$ p'(x) = 2 \cdot 3 \cdot x - 2 = 6x - 2. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 7 --- level: 2 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Grafen til den deriverte $f'$ til en andregradsfunksjon $f$ er vist i figuren nedenfor. Punktet $P(1, 2)$ ligger på grafen til $f$. Bestem likningen for tangenten til grafen til $f$ i punktet $P$. ::::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_7/a.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser grafen til $f'$. :::: ::::{answer} $$ y = -x + 3 $$ :::: ::::{solution} Punktet på grafen til $f$ er $(1, 2)$. Det betyr at $f(1) = 2$. Fra grafen til $f'$ ser vi at $f'(1) = -1$. Dette er stigningstallet til tangenten. Vi bruker ettpunktsformelen til å bestemme likningen for tangenten: $$ y = a(x - x_0) + y_0 = -1 \cdot (x - 1) + 2 = -x + 3. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Grafen til den deriverte $g'$ til en andregradsfunksjon $g$ er vist i figuren nedenfor. Punktet $Q(-1, 1)$ ligger på grafen til $g$. Bestem likningen for tangenten til grafen til $g$ i punktet $Q$. ::::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_7/b.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser grafen til $g'$. :::: ::::{answer} $$ y = 4x + 5 $$ :::: ::::{solution} Punktet på grafen til $g$ er $(-1, 1)$. Det betyr at $g(-1) = 1$. Fra grafen til $g'$ ser vi at $g'(-1) = 4$. Dette er stigningstallet til tangenten. Vi bruker ettpunktsformelen til å bestemme likningen for tangenten: $$ y = a(x - x_0) + y_0 = 4 \cdot (x - (-1)) + 1 = 4(x + 1) + 1 = 4x + 5. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Grafen til den deriverte $h'$ til en andregradsfunksjon $h$ er vist i figuren nedenfor. Punktet $R(1, -3)$ ligger på grafen til $h$. Bestem likningen for tangenten til grafen til $h$ i punktet $R$. ::::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_7/c.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser grafen til $h'$. :::: ::::{answer} $$ y = -2x - 1 $$ :::: ::::{solution} Punktet på grafen til $h$ er $(1, -3)$. Det betyr at $h(1) = -3$. Fra grafen til $h'$ ser vi at $h'(1) = -2$. Dette er stigningstallet til tangenten. Vi bruker ettpunktsformelen til å bestemme likningen for tangenten: $$ y = a(x - x_0) + y_0 = -2 \cdot (x - 1) - 3 = -2x + 2 - 3 = -2x - 1. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Grafen til den deriverte $p'$ til en andregradsfunksjon $p$ er vist i figuren nedenfor. Punktet $S(-1, -2)$ ligger på grafen til $p$. Bestem likningen for tangenten til grafen til $p$ i punktet $S$. ::::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_7/d.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser grafen til $p'$. :::: ::::{answer} $$ y = 3x + 1 $$ :::: ::::{solution} Punktet på grafen til $p$ er $(-1, -2)$. Det betyr at $p(-1) = -2$. Fra grafen til $p'$ ser vi at $p'(-1) = 3$. Dette er stigningstallet til tangenten. Vi bruker ettpunktsformelen til å bestemme likningen for tangenten: $$ y = a(x - x_0) + y_0 = 3 \cdot (x - (-1)) - 2 = 3(x + 1) - 2 = 3x + 1. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 8 --- level: 2 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En andregradsfunksjon er gitt ved $$ f(x) = x^2 - 3x + 1. $$ Bestem likningen for tangenten til grafen til $f$ i $(1, f(1))$. ::::{answer} $$ y = -x $$ :::: ::::{solution} Vi bestemmer $f(1)$: $$ f(1) = 1^2 - 3 \cdot 1 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1. $$ Altså er punktet på grafen til $f$ som tangenten går gjennom gitt ved $(1, -1)$. For å finne stigningstallet til tangenten, må vi finne den deriverte $f(x)'$: $$ f'(x) = 2x - 3. $$ Deretter regner vi ut stigningstallet i $x = 1$: $$ f'(1) = 2 \cdot 1 - 3 = 2 - 3 = -1. $$ Så bruker vi ettpunktsformelen til å finne likningen for tangenten: $$ y = a(x - x_0) + y_0 = -1 \cdot (x - 1) - 1 = -x + 1 - 1 = -x. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En andregradsfunksjon er gitt ved $$ g(x) = -x^2 + 2x + 3. $$ Bestem likningen for tangenten til grafen til $g$ i $(-1, g(-1))$. ::::{answer} $$ y = 4x + 4 $$ :::: ::::{solution} Vi bestemmer $g(-1)$: $$ g(-1) = -(-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 3 = -1 - 2 + 3 = 0. $$ Altså er punktet på grafen til $g$ som tangenten går gjennom gitt ved $(-1, 0)$. For å finne stigningstallet til tangenten, må vi finne den deriverte $g(x)'$: $$ g'(x) = -2x + 2. $$ Deretter regner vi ut stigningstallet i $x = -1$: $$ g'(-1) = -2 \cdot (-1) + 2 = 2 + 2 = 4. $$ Så bruker vi ettpunktsformelen til å finne likningen for tangenten: $$ y = a(x - x_0) + y_0 = 4 \cdot (x - (-1)) + 0 = 4(x + 1) = 4x + 4. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En andregradsfunksjon er gitt ved $$ h(x) = 2x^2 - x + 1. $$ Bestem likningen for tangenten til grafen til $h$ i $(2, h(2))$. ::::{answer} $$ y = 7x - 7 $$ :::: ::::{solution} Vi bestemmer $h(2)$: $$ h(2) = 2 \cdot 2^2 - 2 + 1 = 2 \cdot 4 - 2 + 1 = 8 - 2 + 1 = 7. $$ Altså er punktet på grafen til $h$ som tangenten går gjennom gitt ved $(2, 7)$. For å finne stigningstallet til tangenten, må vi finne den deriverte $h(x)'$: $$ h'(x) = 4x - 1. $$ Deretter regner vi ut stigningstallet i $x = 2$: $$ h'(2) = 4 \cdot 2 - 1 = 8 - 1 = 7. $$ Så bruker vi ettpunktsformelen til å finne likningen for tangenten: $$ y = a(x - x_0) + y_0 = 7 \cdot (x - 2) + 7 = 7x - 14 + 7 = 7x - 7. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d En andregradsfunksjon er gitt ved $$ p(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 2 $$ Bestem likningen for tangenten til grafen til $p$ i $(4, p(4))$. ::::{answer} $$ y = 4x - 10 $$ :::: ::::{solution} Vi bestemmer $p(4)$: $$ p(4) = \dfrac{1}{2} \cdot 4^2 - 2 = \dfrac{1}{2} \cdot 16 - 2 = 8 - 2 = 6. $$ Altså er punktet på grafen til $p$ som tangenten går gjennom gitt ved $(4, 6)$. For å finne stigningstallet til tangenten, må vi finne den deriverte $p(x)'$: $$ p'(x) = \dfrac{1}{2} \cdot 2x + 0 = x. $$ Deretter regner vi ut stigningstallet i $x = 4$: $$ p'(4) = 4. $$ Så bruker vi ettpunktsformelen til å finne likningen for tangenten: $$ y = a(x - x_0) + y_0 = 4 \cdot (x - 4) + 6 = 4x - 16 + 6 = 4x - 10. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 9 --- level: 2 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = (x - 2)^2 + 1. $$ Hvilken av fortegnslinjene nedenfor viser fortegnslinja til $f'(x)$? :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_9/a/merged_figure.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: ::::{answer} Fortegnslinje A. :::: ::::{solution} Vi kan se at $f(x)$ er skrevet på ekstremalpunktsform med symmetrilinje $x = 2$. Det betyr at $f'(x) = 0$ når $x = 2$. Fortegnslinjene som viser denne egenskapen er A og B. Vi kan se at $f(x)$ sin ledende koeffisient er $a = 1$, som er positiv. Dermed må grafen til $f$ være konveks (den smiler $\smile$). Da må grafen synke til venstre for symmetrilinja og stige til høyre for symmetrilinja. Det betyr at $f'(x) < 0$ til venstre for $x = 2$ og $f'(x) > 0$ til høyre for $x = 2$. Dette stemmer for fortegnslinje A. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En andregradsfunksjon $g$ er gitt ved $$ g(x) = -2(x + 3)^2 + 4 $$ Hvilken av fortegnslinjene nedenfor viser fortegnslinja til $g'(x)$? :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_9/b/merged_figure.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: ::::{answer} Fortegnslinje D. :::: ::::{solution} Vi kan se at $g(x)$ er skrevet på ekstremalpunktsform med symmetrilinje $x = -3$. Det betyr at $g'(x) = 0$ når $x = -3$. Fortegnslinjene som viser denne egenskapen er B og D. Vi kan se at $g(x)$ sin ledende koeffisient er $a = -2$, som er negativ. Dermed må grafen til $g$ være konkav (surt fjes $\frown$). Da må grafen stige til venstre for symmetrilinja og synke til høyre for symmetrilinja. Det betyr at $g'(x) > 0$ til venstre for $x = -3$ og $g'(x) < 0$ til høyre for $x = -3$. Dette stemmer for fortegnslinje D. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En andregradsfunksjon $h$ er gitt ved $$ h(x) = -3(x + 2)(x - 4) $$ Hvilken av fortegnslinjene nedenfor viser fortegnslinja til $h'(x)$? :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_9/c/merged_figure.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: ::::{answer} Fortegnslinje C. :::: ::::{solution} Vi kan se at $h(x)$ er skrevet på nullpunktsform med nullpunkter i $x = -2$ og $x = 4$. Vi kan bestemme symmetrilinja ved å ta gjennomsnittet av nullpunktene: $$ x_0 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1. $$ Det betyr at $h'(x) = 0$ når $x = 1$. Fortegnslinjene som viser denne egenskapen er B og C. Vi kan se at $h(x)$ sin ledende koeffisient er $a = -3$, som er negativ. Dermed må grafen til $h$ være konkav (surt fjes $\frown$). Da må grafen stige til venstre for symmetrilinja og synke til høyre for symmetrilinja. Det betyr at $h'(x) > 0$ til venstre for $x = 1$ og $h'(x) < 0$ til høyre for $x = 1$. Dette stemmer for fortegnslinje C. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d En andregradsfunksjon $p$ er gitt ved $$ p(x) = x^2 + 4x + 3 $$ Hvilken av fortegnslinjene nedenfor viser fortegnslinja til $p'(x)$? :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_9/d/merged_figure.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: ::::{answer} Fortegnslinje B. :::: ::::{solution} Vi kan se at $p(x)$ er skrevet på standardform med $a = 1$ og $b = 4$. Vi kan bestemme symmetrilinja ved å bruke formelen $$ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -\frac{4}{2} = -2 $$ Det betyr at $p'(x) = 0$ når $x = -2$. Fortegnslinjene som viser denne egenskapen er A og B. Vi kan se at $p(x)$ sin ledende koeffisient er $a = 1$, som er positiv. Dermed må grafen til $p$ være konveks (den smiler $\smile$). Da må grafen synke til venstre for symmetrilinja og stige til høyre for symmetrilinja. Det betyr at $p'(x) < 0$ til venstre for $x = -2$ og $p'(x) > 0$ til høyre for $x = -2$. Dette stemmer for fortegnslinje B. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 10 --- level: 2 --- :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Figuren nedenfor viser grafen til en andregradsfunksjon $f$. Om grafen til $f$ får du vite at * Grafen til $f$ skjærer $x$-aksen i $(3, 0)$. * En tangent med likningen $y = 2x + 3$ skjærer grafen til $f$ og $y$-aksen i samme punkt. Bestem $f(x)$ og $f'(x)$. :::{plot} width: 70% xmin: -3 xmax: 4 ymin: -3 ticks: off function: -x**2 + 2*x + 3, f point: (0, f(0)) point: (3, 0) line: 2, 3, solid text: 3, 0, "$(3, 0)$", top-right ::: ::::{answer} $$ f(x) = -x^2 + 2x + 3 \qog f'(x) = -2x + 2. $$ :::: ::::{solution} Vi velger å skrive $f(x)$ på standardform: $$ f(x) = ax^2 + bx + c $$ Vi kan se at grafen til $f$ skjærer $x$-aksen i $(3, 0)$ som betyr at $f(3) = 0$. Tangenten skjærer $y$-aksen i punktet $(0, 3)$ og siden grafen til $f$ skjærer gjennom samme punkt, så må $f(0) = 3$. Tangenten har stigningstall $2$ som betyr at den momentane vekstfarten til $f$ i punktet $(0, 3)$ er $f'(0) = 2$. Dermed har vi tre likninger: \begin{align*} f(0) &= 3 && \text{Skjæringspunkt med $y$-aksen}\\ \\ f(3) &= 0 && \text{Skjæringspunkt med $x$-aksen}\\ \\ f'(0) &= 2 && \text{Stigningstall til tangenten i $(0, f(0))$} \end{align*} Vi bruker CAS til å bestemme $a$, $b$ og $c$ ved å løse likningssystemet: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_10/sol.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 60% --- ::: Fra utskriften ser vi at $$ a = -1 \and b = 2 \and c = 3. $$ Det betyr at $$ f(x) = -x^2 + 2x + 3 \qog f'(x) = -2x + 2. $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 11 --- level: 3 --- :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: I figuren nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon $f$. Grafen til $f$ har * En tangent i punktet $(-1, f(-1))$ har likningen $y = 4x + 9$ * En tangent i punktet $(2, f(2))$ har stigningstall $-2$. Bestem $f(x)$ og $f'(x)$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_11/figur.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: ::::{answer} $$ f(x) = -x^2 + 2x + 8 \qog f'(x) = -2x + 2. $$ :::: ::::{solution} Vi velger å skrive $f(x)$ på standardform: $$ f(x) = ax^2 + bx + c. $$ Tangenten i $(-1, f(-1))$ har likningen $y = 4x + 9$. Tangenten og grafen til $f$ må ha samme $y$-koordinat når $x = -1$. Det betyr at $$ f(-1) = 4 \cdot (-1) + 9 = -4 + 9 = 5. $$ Tangenten har stigningstall $4$ som betyr at den momentane vekstfarten til $f$ i punktet $(-1, f(-1))$ er $f'(-1) = 4$. Tangenten i $(2, f(2))$ har stigningstall $-2$ som betyr at den momentane vekstfarten til $f$ i punktet $(2, f(2))$ er $f'(2) = -2$. Dermed har vi tre likninger: \begin{align*} f(-1) &= 5 && \text{Punktet $(-1, f(-1))$ den ene tangenten går gjennom}\\ \\ f'(-1) &= 4 && \text{Stigningstall til tangenten i $(-1, f(-1))$}\\ \\ f'(2) &= -2 && \text{Stigningstall til tangenten i $(2, f(2))$}\\ \end{align*} Vi bruker CAS til å bestemme $a$, $b$ og $c$ ved å løse likningssystemet: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_11/sol.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 60% --- ::: Fra utskriften ser vi at $$ a = -1 \and b = 2 \and c = 8. $$ Det betyr at $$ f(x) = -x^2 + 2x + 8 \qog f'(x) = -2x + 2. $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 12 --- level: 3 --- :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: I figuren nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon $f$. Grafen til $f$ har * En tangent i punktet $(x_1, 2)$ med likningen $y = -2x - 4$. * En tangent i punktet $(1, f(1))$ med stigningstall $6$. Bestem $f(x)$ og $f'(x)$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_12/figur.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: ::::{answer} $$ f(x) = x^2 + 4x + 5 \qog f'(x) = 2x + 4. $$ :::: ::::{solution} Vi velger å skrive $f(x)$ på standardform: $$ f(x) = ax^2 + bx + c. $$ Vi kan bestemme $x$-koordinaten til punktet tangenten som går gjennom $(x_1, 2)$ treffer ved å sette likningen til tangenten lik $2$ og løse for $x$: $$ -2x - 4 = 2 \liff -2x = 6 \liff x = -3. $$ Altså går tangenten gjennom punktet $(-3, 2)$ på grafen til $f$. Det betyr at $f(-3) = 2$. Tangenten som går gjennom $(-3, 2)$ har stigningstall $-2$ som betyr at $f'(-3) = -2$. Tangenten i $(1, f(1))$ har stigningstall $6$ som betyr at $f'(1) = 6$. Dermed har vi tre likninger: \begin{align*} f(-3) &= 2 && \text{Punktet $(-3, 2)$ den ene tangenten går gjennom}\\ \\ f'(-3) &= -2 && \text{Stigningstall til tangenten i $(-3, 2)$}\\ \\ f'(1) &= 6 && \text{Stigningstall til tangenten i $(1, f(1))$}\\ \end{align*} Vi bruker CAS til å bestemme $a$, $b$ og $c$ ved å løse likningssystemet: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_12/sol.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 60% --- ::: Fra utskriften ser vi at $$ a = 1 \and b = 4 \and c = 5. $$ Dermed er $$ f(x) = x^2 + 4x + 5 \qog f'(x) = 2x + 4. $$ :::: ::::::::::::::: --- :::{margin} Oppgave 13 Prøv å løse oppgaven uten å bruke CAS! Husk hva slags funksjon $f'$ er og at du kan velge representasjonsform selv! ::: :::::::::::::::{exercise} Oppgave 13 --- level: 3 --- Grafen til en andregradsfunksjon $f$ er vist nedenfor. Om andregradsfunksjonen $f$ får du vite at * Tangenten i punktet $(-2, 0)$ har likningen $y = 9x + 18$ * Tangenten i punktet $(8, -10)$ har likningen $y = -11x + 78$ Bestem $f'(x)$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_13/figur.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::{answer} $$ f'(x) = -2x + 5 $$ :::: ::::{solution} Vi vet at $f'(x)$ er en lineær funksjon. Vi kan velge å skrive $f'(x)$ på ettpunktsform: $$ f'(x) = a(x - x_0) + y_0 $$ Så må vi bestemme stigningstallet $a$ og ett punkt $(x_0, y_0)$ på grafen til $f'$. Tangenten som går gjennom punktet $(-2, 0)$ på grafen til $f$ har likningen $y = 9x + 18$. Det betyr at $x$-koordinaten til punktet er $x = -2$ og $y$-koordinaten til $f'$ er $y = 9$ siden det er stigningstallet til tangenten. Dermed er punktet $(-2, 9)$ på grafen til $f'$. Tangenten som går gjennom punktet $(8, -10)$ på grafen til $f$ har likningen $y = -11x + 78$. Det betyr at $x$-koordinaten til punktet er $x = 8$ og $y$-koordinaten til $f'$ er $y = -11$. Dermed er punktet $(8, -11)$ på grafen til $f'$. Vi har nå to punkter på grafen til $f'$, så vi kan bestemme stigningstallet $a$: $$ a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-11 - 9}{8 - (-2)} = \frac{-20}{10} = -2. $$ Så kan vi bruke ett av punktene til å bestemme $f'(x)$. Vi velger $(-2, 9)$: $$ f'(x) = -2(x - (-2)) + 9 = -2(x + 2) + 9 = -2x - 4 + 9 = -2x + 5. $$ :::: ::::::::::::::: --- :::{margin} Oppgave 14 Prøv å løse oppgaven uten å bruke CAS! Husk hva slags funksjon $f'$ er og at du kan velge representasjonsform selv! ::: :::::::::::::::{exercise} Oppgave 14 --- level: 3 --- Grafen til en andregradsfunksjon $f$ er vist i figuren nedenfor. To tangenter til grafen til $f$ går gjennom punktene $(1, f(1))$ og $(3, f(3))$. * Tangenten i $(1, f(1))$ har stigningstall $1$ * Tangenten i $(3, f(3))$ har stigningstall $-3$ :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_14/figur.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Grafen til en andregradsfunksjon $f$ er vist i figuren nedenfor. To tangenter til grafen til $f$ går gjennom punktene $(1, f(1))$ og $(3, f(3))$. * Tangenten i $(1, f(1))$ har stigningstall $1$ * Tangenten i $(3, f(3))$ har stigningstall $-3$ Bestem $f'(x)$. ::::{answer} $$ f'(x) = -2x + 3. $$ :::: ::::{solution} Vi vet at $f'(x)$ er en lineær funksjon. Vi kan velge å skrive $f'(x)$ på ettpunktsform: $$ f'(x) = a(x - x_0) + y_0 $$ Så må vi bestemme stigningstallet $a$ og ett punkt $(x_0, y_0)$ på grafen til $f'$. Vi vet at tangenten som går gjennom punktet $(1, f(1))$ har stigningstall $1$, så punktet $(1, 1)$ ligger på grafen til $f'$. Tangenten som går gjennom punktet $(3, f(3))$ har stigningstall $-3$, så punktet $(3, -3)$ ligger på grafen til $f'$. Vi har nå to punkter på grafen til $f'$, så vi kan bestemme stigningstallet $a$: $$ a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-3 - 1}{3 - 1} = \frac{-4}{2} = -2. $$ Så kan vi bruke ett av punktene til å bestemme $f'(x)$. Vi velger $(1, 1)$: $$ f'(x) = -2(x - 1) + 1 = -2x + 2 + 1 = -2x + 3. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Tangentene skjærer hverandre i punktet $(2, 4)$. Bestem $f(x)$. ::::{answer} $$ f(x) = -x^2 + 3x + 1. $$ :::: ::::{solution} Tangenten i $(1, f(1))$ har stigningstall $1$. Siden den skjærer den andre tangenten i $(2, 4)$, vil $y$-koordinaten til tangenten være $f(1) = 3$ siden den stiger med $1$ fra $x = 1$ til $x = 2$. Vi vet allerede at $$ f'(x) = -2x + 3. $$ Vi vet også sammenhengen mellom $f(x)$ og $f'(x)$ er gitt ved $$ f(x) = ax^2 + bx + c \limplies f'(x) = 2ax + b. $$ Det betyr at $$ 2a = -2 \and b = 3 \liff a = -1 \and b = 3. $$ Altså er $f(x)$ på formen $$ f(x) = -x^2 + 3x + c. $$ For å bestemme $x$, setter vi opp en likningen med $f(1) = 3$: $$ f(1) = 3 \liff -1 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 + c = 3 $$ som vi forenkler til $$ -1 + 3 + c = 3 \liff c = 1. $$ Dermed er $$ f(x) = -x^2 + 3x + 1. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 15 --- level: 3 --- :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon $f$ og to tangenter som skjærer gjennom nullpunktene til $f$. * Den ene tangenten har stigningstall $4$. * Tangentene skjærer hverandre i $(-1, -8)$. Bestem $f(x)$ og $f'(x)$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_15/figur.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::{answer} $$ f(x) = x^2 + 2x - 3 \qog f'(x) = 2x + 2. $$ :::: ::::{solution} Vi velger å skrive $f(x)$ på standardform: $$ f(x) = ax^2 + bx + c. $$ Tangenten som går gjennom det positive nullpunktet er tangenten som må ha stigningstall $4$. Siden den andre tangenten går gjennom det andre nullpunktet til $f$, betyr det at den må ha stigningstall $-4$ på grunn av symmetrien til andregradsfunksjoner. Tar vi utgangspunkt i tangenten med stigningstall $4$, så vil den skjære $x$-aksen i $x = 1$ siden den går gjennom punktet $(-1, -8)$ og har stigningstall $4$. Det følger fordi $y$-verdien øker med $4$ for hver gang vi øker $x$ med $1$. Tilsvarende vil den andre tangenten med stigningstall $-4$ skjære $x$-aksen i $x = 3$ siden den går gjennom punktet $(-1, -8)$ og har stigningstall $-4$. Det følger fordi $y$-verdien synker med $4$ for hver gang vi øker $x$ med $1$. Nå har vi nok opplysninger til å sette opp tre likninger og bestemme $a$, $b$ og $c$: \begin{align*} f(1) &= 0 && \text{Det positive nullpunktet til $f$}\\ \\ f'(1) &= -8 && \text{Stigningstallet til tangenten i $(1, 0)$}\\ \\ f(-3) &= 0 && \text{Det negative nullpunktet til $f$} \end{align*} Vi løser likningssystemet i CAS: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_15/sol.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 60% --- ::: Fra utskriften ser vi at $$ a = 1 \and b = 2 \and c = -3 $$ Det betyr at $$ f(x) = x^2 + 2x - 3 \qog f'(x) = 2x + 2. $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 16 --- level: 3 --- I figuren nedenfor vises grafen til to lineære funksjoner $f$ og $g$. Punktene $A$ og $B$ og $C$ danner en likebeint trekant $\triangle ABC$ der sidelengden $AB = 4$. Et rektangel har hjørnene $(-k, 0)$ og $(-k, g(-k))$ og $(k, f(k))$ og $(k, 0)$ der $k > 0$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_16/figur.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem $f(x)$ og $g(x)$. ::::{answer} \begin{align*} f(x) &= -(x - 2) \\ \\ g(x) &= x + 2 \end{align*} :::: ::::{solution} Trekanten er en likebeint trekant der vinkelen i toppunkt $C$ er $90\degree$. Siden trekanten er likebeint betyr det at vinkelen i hjørnene $A$ og $B$ er like store. Det betyr at vinkelene der er $45\degree$ siden vinkelsummen i en trekant $180\degree$. Det følger at $A$ og $B$ er like langt unna $y$-aksen og siden $AB = 4$, må derfor $$ A = (-2, 0) \qog B = (2, 0). $$ Hvis vi lar $O = (0, 0)$ være origo, så vil $\triangle OBC$ være en rettvinklet trekant med $45\degree$ vinkler som betyr at høyden $OC$ er like lang som grunnlinja $OB$. Dermed er $C = (0, 2)$. Siden $f$ går gjennom punktene $C$ og $B$, kan vi finne stigningstallet til $f$ som følger: $$ a = \dfrac{2 - 0}{0 - 2} = -1. $$ Siden $f$ har et nullpunkt i $B$, så kan skrive $f(x)$ på nullpunktsform: $$ f(x) = a(x - x_1) = -1(x - 2) = -(x - 2). $$ Tilsvarende kan vi finne stigningstallet til $g$ som går gjennom $A$ og $C$: $$ a = \dfrac{2 - 0}{0 - (-2)} = \dfrac{2}{2} = 1. $$ Siden $g$ har et nullpunkt i $A$, så kan skrive $g(x)$ på nullpunktsform: $$ g(x) = a(x - x_1) = 1(x - (-2)) = (x + 2). $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Lag en funksjon $A(k)$ for arealet av rektangelet uttrykt ved $k$. ::::{answer} $$ A(k) = -2k^2 + 4k = -2k(k - 2). $$ :::: ::::{solution} Grunnlinja til rektangelet er $2k$ og høyden er $f(k)$ (eller $g(-k)$ som vil ha samme verdi). Dermed er arealet av rektangelet gitt ved $$ A(k) = 2k \cdot f(k) = 2k \cdot (-(k - 2)) = -2k^2 + 4k. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bestem hvilken verdi av $k$ som gir størst mulig areal av rektangelet. Hva er det største arealet? ::::{answer} $$ k = 1 \qog A(1) = 2. $$ :::: ::::{solution} Arealet $A(k)$ er en andregradsfunksjon som er konkav (surt fjes $\frown$) siden den har negativ ledende koeffisient. Da har den et toppunkt som vi kan bestemme ved å bruke formelen for symmetrilinja: $$ k = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = -\frac{4}{-4} = 1. $$ Dermed er arealet av rektangelet størst hvis $k = 1$. Det største arealet er gitt ved $y$-koordinaten til toppunktet: $$ A(1) = -2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 = -2 + 4 = 2. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 17 :::{plot} align: left width: 400 function: -1/12 * x**2 + 20 line: -1, 23, solid point: (6, 17) point: (0, 23) ymax: 25 ymin: -1 ticks: off xmin: -18 xmax: 18 ::: :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: :::{clear} ::: En arkitekt har tegnet et snitt av en lagerhall. Lagerhallen er 20 meter høy og har form som en parabel gitt ved $$ p(x) = -\dfrac{1}{12}x^2 + 20 $$ På taket av lagerhallen skal det plasseres et webkamera. Webkameraet skal festet på en stang som er 3 meter lang. Den rette linjen på figuren går gjennom punktet $(0, 23)$ og er en tangent til grafen. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem likningen til tangenten. ::::{answer} $$ y = -x + 23 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Hvor langt fra veggen på lagerhallen kan en tyv bevege seg uten å bli fotografert av webkameraet? ::::{answer} Ca. 5.5 meter dersom en person er 2 meter høy. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: :::::::::::::::