# CAS-kurs: Del 2
:::::{admonition} Læringsmål
---
class: tip
---
* Kunne løse likninger, ulikheter og likningssystemer med CAS.
* Kunne jobbe med funksjoner i CAS til å finne funksjonsverdier, løse likninger, ulikheter, likningssystemer, bestemme den deriverte og anvende disse til å løse oppgaver.
:::::
## Likninger
Nedenfor vises et eksempel på hvordan man løser likninger med CAS.
:::::::::::::::{admonition} Utforsk 1
---
class: explore
---
Nedenfor vises et CAS-vindu som løser likningen
$$
x^2 - x - 6 = 0.
$$
Vi gjør følgende:
1. Skriver inn likningen i **celle 1**.
2. Bruker `Løs`-kommandoen til å løse likningen i **celle 2**. Vi skriver `Løs($1)` der `$1` fyller inn likningen fra celle 1 for oss.
:::{raw} html
---
file: ./ggb/utforsk/utforsk_1/eksempel_1.html
---
:::
Fra utskriften i **celle 2** kan vi lese av at løsningen er
$$
x = -2 \or x = 3.
$$
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{admonition} Underveisoppgave 1
---
class: check
---
Bruk CAS-vinduet nedenfor til å løse likningene.
::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a
$$
x^2 - 3x - 4 = 0.
$$
::::{answer}
:::{figure} ./ggb/underveisoppgaver/underveisoppgave_1/a.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
**Svar:**
$$
x = -1 \or x = 4.
$$
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} b
$$
-x^2 + 9 = 0.
$$
::::{answer}
:::{figure} ./ggb/underveisoppgaver/underveisoppgave_1/b.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
**Svar:**
$$
x = -3 \or x = 3.
$$
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} c
$$
x^3 + 6x^2 - x - 30 = 0.
$$
::::{answer}
:::{figure} ./ggb/underveisoppgaver/underveisoppgave_1/c.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
**Svar:**
$$
x = -5 \or x = -3 \or x = 2.
$$
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} d
$$
x^3 + x^2 - 5x + 1 = -x + 5.
$$
::::{answer}
:::{figure} ./ggb/underveisoppgaver/underveisoppgave_1/d.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
**Svar:**
$$
x = -2 \or x = -1 \or x = 2.
$$
::::
:::::::::::::
::::::::::::::
:::{cas} 720 600
:::
:::::::::::::::
## Ulikheter
:::::::::::::::{admonition} Utforsk 2
---
class: explore
---
Nedenfor vises et CAS-vindu som løser ulikheten
$$
x^3 - 2x^2 - 7x - 4 < 0.
$$
Vi gjør følgende:
1. Skriver inn ulikheten i **celle 1**.
2. Bruker `Løs`-kommandoen til å løse ulikheten i **celle 2**. Vi skriver `Løs($1)` der `$1` fyller inn ulikheten fra celle 1 for oss.
:::{raw} html
---
file: ./ggb/utforsk/utforsk_2/eksempel_2.html
---
:::
Fra utskriften kan vi lese av at løsningen er
$$
x < -1 \or -1 < x < 4.
$$
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{admonition} Underveisoppgave 2
---
class: check
---
Bruk CAS-vinduene nedenfor til å løse ulikhetene.
::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a
$$
(x - 1)(x + 4) \leq 0.
$$
::::{answer}
:::{figure} ./ggb/underveisoppgaver/underveisoppgave_2/a.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
**Svar:**
$$
-4 \leq x \leq 1.
$$
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} b
$$
(x - 1)^2(x + 3) > 0.
$$
::::{answer}
:::{figure} ./ggb/underveisoppgaver/underveisoppgave_2/b.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
**Svar:**
$$
-3 < x < 1 \or x > 1.
$$
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} c
$$
x^2 - 3x - 4 \geq 0.
$$
::::{answer}
:::{figure} ./ggb/underveisoppgaver/underveisoppgave_2/c.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
**Svar:**
$$
x \leq -1 \or x \geq 4
$$
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} d
$$
x^3 + x^2 - 4x - 4 \geq 0.
$$
::::{answer}
:::{figure} ./ggb/underveisoppgaver/underveisoppgave_2/d.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
**Svar:**
$$
-2 \leq x \leq -1 \or x \geq 2
$$
::::
:::::::::::::
::::::::::::::
:::{cas} 720 600
:::
:::::::::::::::
## Likningssystemer
:::::::::::::::{admonition} Utforsk 3
---
class: explore
---
Nedenfor vises et CAS-vindu som løser likningssystemet
\begin{align*}
2x - y &= 1 \\
-x^2 + 3x + y &= 3
\end{align*}
Vi gjør følgende:
1. Vi skriver inn likningene i **celle 1** og **celle 2**.
2. Vi bruker `Løs`-kommandoen til å løse likningssystemet i **celle 3**. Vi skriver `Løs({$1, $2})` der `$1` og `$2` fyller inn likningene fra celle 1 og celle 2 for oss i en liste. **Merk** at vi lager en liste med `{}`-parenteser.
:::{raw} html
---
file: ./ggb/utforsk/utforsk_3/eksempel_3.html
---
:::
Fra utskriften i **celle 3**, kan vi lese av at løsningen av likningssystemet er
$$
x = 4 \lland y = 7 \or x = 1 \lland y = 1.
$$
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{admonition} Underveisoppgave 3
---
class: check
---
::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a
Løs likningssystemet
\begin{align*}
3x + y &= 3 \\
3x^2 - y^2 &= -9
\end{align*}
:::::{answer}
:::{figure} ./ggb/underveisoppgaver/underveisoppgave_3/a.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
**Svar**:
$$
x = 0 \lland y = 3 \or x = 3 \lland y = -6.
$$
:::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} b
Løs likningssystemet
\begin{align*}
-2x^2 - 3x + y &= 2 \\
x^2 + 4x - y &= -4
\end{align*}
:::::{answer}
:::{figure} ./ggb/underveisoppgaver/underveisoppgave_3/b.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
**Svar**:
$$
x = 2 \lland y = 16 \or x = -1 \lland y = 1.
$$
:::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} c
Løs likningssystemet
\begin{align*}
x - y &= 1 \\
-x^2 + 4x + y &= 3
\end{align*}
:::::{answer}
:::{figure} ./ggb/underveisoppgaver/underveisoppgave_3/c.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
**Svar**:
$$
x = 1 \lland y = 0 \or x = 4 \lland y = 3.
$$
:::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} d
Løs likningssystemet
\begin{align*}
2x - y &= 4 \\
x^2 - 3x - 2y &= -4
\end{align*}
:::::{answer}
:::{figure} ./ggb/underveisoppgaver/underveisoppgave_3/d.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
**Svar**:
$$
x = 4 \lland y = 4 \or x = 3 \lland y = 2.
$$
:::::
:::::::::::::
::::::::::::::
:::{cas} 720 600
:::
:::::::::::::::
## Funksjoner
:::::::::::::::{admonition} Utforsk 4
---
class: explore
---
Her skal vi se på hvordan vi kan jobbe med funksjoner i CAS.
::::::::::::::{tab-set}
:::::::::::::{tab-item} Funksjonsverdier
I CAS-vinduet nedenfor vises et eksempel på hvordan vi definerer en funksjon $f(x)$ og regner ut funksjonsverdier.
* Vi definerer en funksjon ved å skrive `f(x) := x^2 - 2x - 3` i **celle 1**. Legg merke til at vi bruker `:=` når vi **definerer** en funksjon!
* I celle 2 - 4 regner vi ut funksjonsverdier med tall.
* I celle 5 regner vi ut funksjonsverdien med en variabel.
:::{raw} html
---
file: ./ggb/utforsk/utforsk_4/funksjonsverdier.html
---
:::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} Likninger og ulikheter
I CAS-vinduet nedenfor viser vi hvordan vi kan løse likninger og ulikheter med $f(x)$.
* I **celle 2** løser vi $f(x) = 0$.
* I **celle 3** løser vi $f(x) \geq 0$.
* I **celle 4** løser vi $f(x) < 5$.
:::{raw} html
---
file: ./ggb/utforsk/utforsk_4/likninger_ulikheter.html
---
:::
:::::::::::::
::::::::::::::
:::::::::::::::
:::::::::::::::{admonition} Underveisoppgave 4
---
class: check
---
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 - 2x^2 - 7x - 4.
$$
::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a
Definer en funksjon $f$ og regn ut funksjonsverdiene $f(0)$, $f(1)$, $f(-2)$ og $f(k)$.
::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
:::{figure} ./ggb/underveisoppgaver/underveisoppgave_4/a.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} b
Løs likningen
$$
f(x) = 0.
$$
::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
:::{figure} ./ggb/underveisoppgaver/underveisoppgave_4/b.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
**Svar**:
$$
x = -1 \or x = 4.
$$
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} c
Løs ulikheten
$$
f(x) \geq 0.
$$
::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
:::{figure} ./ggb/underveisoppgaver/underveisoppgave_4/c.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
**Svar**:
$$
x = -1 \or x \geq 4.
$$
::::
:::::::::::::
::::::::::::::
:::{cas} 720 600
:::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{admonition} Utforsk 5
---
class: explore
---
> Her skal vi se på hvordan vi kan bestemme $f(x)$ fra opplysninger om en funksjon $f$.
En tredjegradsfunksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
$$
::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a
Grafen til $f$ går gjennom punktet $(2, -4)$.
Sett opp én eller flere likninger som passer med opplysningen.
::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
$$
f(2) = -4.
$$
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} b
Punktet $(-1, -4)$ er et bunnpunkt på grafen til $f$.
Sett opp én eller flere likninger som passer med opplysningen.
::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
* $f(-1) = -4$ (fordi punktet ligger på grafen til $f$).
* $f'(-1) = 0$ (fordi det er et bunnpunkt på grafen til $f$).
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} c
Tangenten til grafen til $f$ i punktet $(0, f(0))$ har stigningstall $3$.
Sett opp én eller flere likninger som passer med opplysningen.
::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
$$
f'(0) = 3.
$$
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} d
I CAS-vinduet nedenfor er tredjegradsfunksjon $f$ definert og to av likningene er skrevet inn.
Fyll ut CAS-vinduet og bestem $a$, $b$, $c$ og $d$ ved å løse likningssystemet.
:::{admonition} Hva var likningene igjen?
---
class: hints, dropdown
---
* $f(2) = -4$
* $f(-1) = -4$
* $f'(-1) = 0$
* $f'(0) = 3$
:::
::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
:::{figure} ./ggb/utforsk/utforsk_5/d.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
**Svar**:
$$
a = -1 \and b = 0 \and c = 3 \and d = -2.
$$
::::
:::{cas} 700 600
:::
:::::::::::::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{admonition} Underveisoppgave 5
---
class: check
---
En tredjegradsfunksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d.
$$
Om $f$ får du vite at
* Grafen til $f$ skjærer $x$-aksen i $x = 2$.
* Punktet $(-3, 0)$ er et toppunkt på grafen til $f$.
* Tangenten til grafen til $f$ i punktet $(1, f(1))$ har stigningstall $8$.
::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a
Sett opp likninger som passer med opplysningene om $f$.
::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
Likningene blir
1. $f(2) = 0$.
2. $f(-3) = 0$.
3. $f'(-3) = 0$.
4. $f'(1) = 8$.
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} b
Bestem $a$, $b$, $c$ og $d$.
:::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
:::{figure} ./ggb/underveisoppgaver/underveisoppgave_5/b.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
**Svar**:
$$
x = 1 \and b = 4 \and c = -3 \and d = -18
$$
:::::
:::{cas} 700 600
:::
:::::::::::::
::::::::::::::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{admonition} Utforsk 6
---
class: explore
---
> Her skal vi se på et eksempel der vi skal bruke CAS til å løse en optimeringsoppgave.
I {numref}`fig-cas-del-2-utforsk-6` vises grafen til en andregradsfunksjon $f$ som er gitt ved
$$
f(x) = -x^2 + 9,
$$
der $D_f = [0, 3]$, og en trekant som har hjørner i punktene $(0, 0)$, $(k, 0)$ og $(k, f(k))$.
:::{figure} ./figurer/utforsk/utforsk_6/figur.svg
---
name: fig-cas-del-2-utforsk-6
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
viser grafen til $f(x) = -x^2 + 9$ for $x \in [0, 3]$ og en trekant med hjørner i $(0, 0)$, $(k, 0)$ og $(k, f(k))$.
:::
::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a
Bestem arealet $A(k)$ til uttrykt ved $f(k)$ og $k$.
:::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
$$
A(k) = \dfrac{k\cdot f(k)}{2}
$$
:::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} b
Sett opp en likning som kan brukes til å bestemme den verdien av $k$ som gir størst mulig areal for trekanten.
:::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
$$
A'(k) = 0.
$$
:::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} c
I CAS-vinduet nedenfor har vi definert $f(x)$ og $A(k)$.
Fyll ut CAS-vinduet og bruk det til å bestemme den verdien av $k$ som gir størst mulig areal for trekanten.
::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
:::{figure} ./ggb/utforsk/utforsk_6/c.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
**Svar**:
$$
k = \sqrt{3}
$$
::::
:::{cas} 700 600
:::
:::::::::::::
::::::::::::::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{admonition} Underveisoppgave 6
---
class: check
---
En fjerdegradsfunksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = -x(x - 3)^3, \quad D_f = [0, 3].
$$
En trekant har hjørner i $(0, 0)$, $(k, 0)$ og $(k, f(k))$. Se {numref}`fig-cas-del-2-underveisoppgave-6`.
Bestem den verdien av $k$ som gir størst mulig areal for trekanten.
:::{figure} ./figurer/underveisoppgaver/underveisoppgave_6/figur.svg
---
name: fig-cas-del-2-underveisoppgave-6
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
viser grafen til $f(x) = -x(x - 3)^3$ for $x \in [0, 3]$ og en trekant med hjørner i $(0, 0)$, $(k, 0)$ og $(k, f(k))$.
:::
:::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
:::{figure} ./ggb/underveisoppgaver/underveisoppgave_6/solution.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
**Svar**:
$$
k = \dfrac{6}{5}
$$
:::::
:::{cas} 720 600
:::
:::::::::::::::
## Oppgaver
:::::::::::::::{admonition} Oppgave 1
---
class: problem-level-1
---
En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = (x - 1)^2 - 9.
$$
Løs oppgavene nedenfor med CAS.
::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a
Regn ut $f(-4)$.
::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
:::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_1/a.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
**Svar**:
$$
f(-4) = 16.
$$
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} b
Finn nullpunktene til $f$.
::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
:::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_1/b.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
**Svar**:
$$
x = -2 \or x = 4.
$$
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} c
Bestem ekstremalpunktet til $f$.
::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
:::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_1/c.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
**Svar**:
$$
x = 1.
$$
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} d
Løs ulikheten $f(x) > 0$.
::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
:::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_1/d.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
**Svar**:
$$
x < -2 \or x > 4.
$$
::::
:::::::::::::
::::::::::::::
:::{cas} 720 600
:::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{admonition} Oppgave 2
---
class: problem-level-1
---
En tredjegradsfunksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 - 19x + 30.
$$
::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a
Bestem i hvilke punkter grafen til $f$ skjærer $x$-aksen.
::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
:::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_2/a.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
**Svar**:
$$
x = -5 \or x = 2 \or x = 3.
$$
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} b
Faktoriser $f(x)$.
> Hint: Du kan bruke en funksjon i CAS som heter `Faktoriser(f)` til å faktorisere $f(x)$.
::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
:::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_2/b.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
**Svar**:
$$
f(x) = (x - 2)(x - 3)(x + 5).
$$
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} c
Løs ulikheten $f(x) \leq 0$.
::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
:::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_2/c.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
**Svar**:
$$
x \leq -5 \or 2 \leq x \leq 3.
$$
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} d
Bestem ekstremalpunktene til $f$.
::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
:::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_2/d.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
**Svar**:
$$
x = -\dfrac{\sqrt{57}}{3} \or x = \dfrac{\sqrt{57}}{3}
$$
::::
:::::::::::::
::::::::::::::
:::{cas} 720 600
:::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{admonition} Oppgave 3
---
class: problem-level-2
---
Et likningssystem er gitt ved
$$
x^2 + y^2 = 25 \and x - y = 1.
$$
I {numref}`fig-cas-kurs-del-2-likningssystem-oppgave-3` vises en grafisk representasjon av de to likningene.
:::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_3/likningssystem_figur.svg
---
name: fig-cas-kurs-del-2-likningssystem-oppgave-3
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
viser en grafisk representasjon av likningene $x^2 + y^2 = 25$ og $x - y = 1$.
:::
::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a
Bruk {numref}`fig-cas-kurs-del-2-likningssystem-oppgave-3` til å bestemme løsningen av likningssystemet.
::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
$$
x = -3 \lland y = -4 \or x = 4 \lland y = 3.
$$
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} b
Bruk innsettingsmetoden til å bestemme løsningen av likningssystemet.
::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
$$
x = -3 \lland y = -4 \or x = 4 \lland y = 3.
$$
::::
::::{admonition} Løsning
---
class: solution, dropdown
---
Likning 2 gir oss
$$
x - y = 1 \liff y = x - 1.
$$
Vi setter inn dette uttrykket for $y$ i likning 1:
\begin{align*}
x^2 + y^2 &= 25 \\
\\
x^2 + (x - 1)^2 &= 25 \\
\\
x^2 + x^2 - 2x + 1 &= 25 \\
\\
2x^2 - 2x - 24 &= 0 \\
\\
x^2 - x - 12 &= 0
\end{align*}
som gir
$$
x = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 12}}{2} = \dfrac{1 \pm 7}{2}
$$
som betyr at
$$
x = -3 \or x = 4.
$$
Kombinerer vi disse løsningene med $y = x - 1$, får vi:
$$
x = -3 \implies y = -3 - 1 = -4
$$
og
$$
x = 4 \implies y = 4 - 1 = 3.
$$
Dermed er løsningene av likningssystemet gitt ved
$$
x = -3 \lland y = -4 \or x = 4 \lland y = 3.
$$
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} c
Bruk CAS-vindu nedenfor til å løse likningssystemet.
:::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
:::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_3/c.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
**Svar**:
$$
x = -3 \lland y = -4 \or x = 4 \lland y = 3.
$$
:::::
:::{cas} 700 600
:::
:::::::::::::
::::::::::::::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{admonition} Oppgave 4
---
class: problem-level-2
---
Om en tredjegradsfunksjon $f$ gitt ved
$$
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
$$
får du vite at
* Grafen til $f$ går gjennom punktet $(2, 6)$.
* Punktet $(-2, 8)$ er et toppunkt på grafen til $f$.
* Tangenten til grafen til $f$ i punktet $(3, f(3))$ har stigningstall $4$.
::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a
Sett opp et likningssystem som passer med opplysningene om $f$.
::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
* $f(2) = 6$.
* $f(-2) = 8$.
* $f'(-2) = 0$.
* $f'(3) = 4$.
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} b
Bruk likningssystemet fra oppgave **a** til å bestemme koeffisientene $a$, $b$, $c$ og $d$.
::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
:::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_4/b.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
**Svar**:
$$
a = \dfrac{3}{20} \lland b = \dfrac{7}{40} \lland c = -\dfrac{11}{10} \lland d = \dfrac{63}{10}
$$
::::
:::::::::::::
::::::::::::::
:::{cas} 720 600
:::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{admonition} Oppgave 5
---
class: problem-level-2
---
En rasjonal funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \dfrac{8}{x^2 + 16} \quad \text{der} \quad D_f = [0, \to\rangle
$$
Et rektangel har hjørner i $(0, 0)$, $(r, 0)$, $(r, f(r))$ og $(0, f(r))$.
:::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_5/graf.svg
---
name: fig-cas-del-2-oppgave-5
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a
Lag en modell $A$ som beskriver arealet $A(r)$ til rektangelet.
::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
:::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_5/a.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
**Svar**:
$$
A(r) = \dfrac{8r}{r^2 + 16}
$$
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} b
Bestem $r$ slik at arealet blir **størst mulig**.
::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
:::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_5/b.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
**Svar**:
$$
r = 4.
$$
::::
:::::::::::::
::::::::::::::
:::{cas} 720 600
:::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{admonition} Oppgave 6
---
class: problem-level-2
---
I {numref}`fig-cas-del-2-oppgave-6` vises grafen til en andregradsfunksjon $f$ og to tangenter.
* Tangenten i $(1, f(1))$ har stigningstall $1$.
* Tangenten i $(3, f(3))$ har stigningstall $-3$.
* Tangentene skjærer hverandre i $(2, 4)$.
:::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_6/figur.svg
---
name: fig-cas-del-2-oppgave-6
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
viser grafen til en andregradsfunksjon $f$ og to tangenter gjennom $(1, f(1))$ og $(3, f(3))$.
:::
::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a
Sett opp et likningssystem for $f(x)$ ut ifra opplysningene.
::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
* $f(x) = ax^2 + bx + c$.
* $f'(1) = 1$
* $f'(3) = -3$.
* $f(1) = 3$.
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} b
Bestem $f(x)$.
::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
:::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_6/b.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
**Svar**:
$$
f(x) = -x^2 + 3x + 1.
$$
::::
:::::::::::::
::::::::::::::
:::{cas} 720 600
:::
:::::::::::::::