# Funksjoner (Del 1) > Oppgavene skal løses **uten hjelpemidler**. :::::::::::::::{admonition} Oppgave 1 (Vår 2023) --- class: exercise --- Funksjonen $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^2 - 2x - 8. $$ I hvilke punkter skjærer grafen til funksjonen $x$-aksen? ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- Grafen til $f$ skjærer gjennom $x$-aksen i $x = -2$ og $x = 4$. :::: ::::{solution} Vi bruker $abc$-formelen til å bestemme når $f(x) = 0$: $$ x = \dfrac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 + 4\cdot 8}}{2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \dfrac{2 \pm 6}{2} = 1\pm 3 $$ som betyr at $$ x = 4 \or x = -2. $$ Dermed skjærer grafen til $f$ gjennom $x$-aksen i $x = -2$ og $x = 4$. :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{admonition} Oppgave 2 (Høst 2023) --- class: exercise --- Funksjonen $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6 $$ I hvilke punkter skjærer grafen til funksjonen $x$-aksen? ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- Grafen til $f$ skjærer gjennom $x$-aksen i $x = -1$, $x = 2$ og $x = -3$. :::: ::::{solution} Vi må bestemme hvilke $x$ som medfører at $f(x) = 0$. Først kan vi lete etter et heltallige nullpunkter $x$ som deler konstantleddet i $f(x)$. Kandidater for dette er $$ x \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\}. $$ Vi tester ut verdiene systematisk til vi får $f(x) = 0$: \begin{align*} f(1) &= 1^3 + 2\cdot 1^2 - 5\cdot 1 - 6 = 1 + 2 - 5 - 6 = -8 \\ \\ f(-1) &= (-1)^3 + 2\cdot (-1)^2 - 5\cdot (-1) - 6 = -1 + 2 + 5 - 6 = 0 \\ \end{align*} dermed finner vi at $f(-1) = 0$ som betyr at $(x + 1) | f(x)$, det vil si $(x + 1)$ er en faktor av $f(x)$. Vi kan utføre polynomdivisjon for å faktorisere $f(x)$: :::{figure} ./koder/oppgave_2/polydiv.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Så må vi finne røttene til $(x^2 + x - 6)$ som vi gjør med $abc$-formelen: $$ x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2 + 4\cdot 6}}{2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{-1 \pm 5}{2} $$ som gir $$ x = 2 \or x = -3. $$ Dermed skjærer grafen til $f$ gjennom $x$-aksen i $x = -1$, $x = 2$ og $x = -3$. :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{admonition} Oppgave 3 (Høst 2023) --- class: exercise --- Funksjonen $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^3 - 3x^2 - x + 4 $$ Bestem likningen for tangenten til grafen til $f$ i punktet $(1, f(1))$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ y = -4x + 5. $$ :::: ::::::::{solution} :::::::{tab-set} ::::::{tab-item} Strategi 1: Den deriverte Tangenten går gjennom punktet $(1, f(1))$ som har $y$-koordinat: $$ f(1) = 1^3 - 3\cdot 1^2 - 1 + 4 = 1 - 3 - 1 + 4 = 1. $$ Videre er stigningstallet til tangenten $a = f'(1)$ som vi finner ved å derivere $f(x)$: $$ f'(x) = 3x^2 - 6x - 1 $$ som gir $$ a = f'(1) = 3\cdot 1^2 - 6\cdot 1 - 1 = 3 - 6 - 1 = -4. $$ Ved ettpunktsformelen finner vi likningen til tangenten: \begin{align*} y - y_1 &= a(x - x_1) \\ \\ y - 1 &= -4(x - 1) \\ \\ y - 1 &= -4x + 4 \\ \\ y &= -4x + 5. \end{align*} som er likningen for tangenten. :::::: ::::::{tab-item} Strategi 2: Polynomdivisjon Vi utfører polynomdivisjonen $f(x) : (x - 1)^2$ og leser av resten i polynomdivisjonen som vil være uttrykket til tangenten: :::{figure} ./koder/oppgave_3/polydiv.svg --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Vi kan lese av at resten er $-4x + 5$ som betyr at likningen til tangenten er $$ y = -4x + 5. $$ :::::: ::::::: :::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{admonition} Oppgave 4 (Høst 2023) --- class: exercise --- Funksjonen $f$ og $g$ er gitt ved $$ f(x) = \dfrac{2x - 8}{x + 2} \quad \quad \quad g(x) = \dfrac{x^2 - 4}{(x - 3)(x + 3)} $$ Nedenfor vises seks grafer. ::::{multi-plot2} --- rows: 2 cols: 3 ticks: off fontsize: 30 xmin: -10 xmax: 10 lw: 4 --- :::{plot} function: (2 * x - 8) / (x - 2) ymin: -10 ymax: 10 hline: 2, dashed, red vline: 2, dashed, red text: -8, 8, "A", center-center, bbox ::: :::{plot} function: -(2 * x - 8) / (x + 2) ymin: -10 ymax: 10 hline: -2, dashed, red vline: -2, dashed, red text: -8, 8, "B", center-center, bbox ::: :::{plot} function: (2 * x - 8) / (x + 2) ymin: -10 ymax: 10 hline: 2, dashed, red vline: -2, dashed, red text: -8, 8, "C", center-center, bbox ::: :::{plot} function: (x**2 + 1) / ((x + 2) * (x - 2)) - 1 ymin: -10 ymax: 10 hline: 0, dashed, red vline: -2, dashed, red vline: 2, dashed, red text: -8, 8, "D", center-center, bbox ::: :::{plot} function: (x**2 - 1) / ((x + 3) * (x - 2)) ymin: -6 ymax: 6 hline: 1, dashed, red vline: -3, dashed, red vline: 2, dashed, red text: -8, 5, "E", center-center, bbox ::: :::{plot} function: (x**2 - 4) / ((x + 3) * (x - 3)) vline: -3, dashed, red vline: 3, dashed, red hline: 1, dashed, red ymin: -6 ymax: 6 text: -8, 5, "F", center-center, bbox ::: :::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Hvilke av grafene nedenfor er grafen til $f$? ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- Graf C. :::: ::::{solution} Vi kan skrive om $f(x)$ til $$ f(x) = \dfrac{2(x - 4)}{x + 2} $$ som betyr at $f$ har * En horisontal asymptote $y = 2$ * En vertikal asymptote $x = -2$ * Et nullpunkt $x = 4$ Graf C er den eneste grafen som har en horisontal aysmptote $y > 0$, en vertikal asymptote $x < 0$ og et nullpunkt $x > 0$. Dermed er graf C grafen til $f$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Hvilke av grafene nedenfor er grafen til $g$? ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- Graf F. :::: ::::{solution} Vi kan bruke konjugatsetningen til å skrive om $g(x)$ til $$ g(x) = \dfrac{(x + 2)(x - 2)}{(x - 3)(x + 3)} $$ Vi kan merke oss at $g(x)$ har ingen felles faktorer i teller og nevner som betyr at $$ g(x) = 0 \liff (x + 2)(x - 2) = 0 \liff x = -2 \or x = 2 $$ som betyr at $g$ har to nullpunkter $x = -2$ og $x = 2$. Siden teller og nevnerpolynomet til $g$ har samme grad, og ledende koeffisient for begge polynomer er $1$, må den horisontale asymptoten til $g$ være $y = 1$. Til slutt har nevnerpolynomet i $g(x)$ nullpunktene $x = \pm 3$ som blir $g$ sine vertikale asymptoter. Det er bare **graf F** som passer med egenskapene til $g$ fordi 1. Avstanden fra $y$-aksen til hvert nullpunkt er like stor. Dette er ikke tilfelle i graf D (som ikke har nullpunkter). 2. Avstanden fra $y$-aksen til hver vertikal asymptote er like stor. Dette er ikke tilfelle i graf E der avstanden til den éne asymptoten er større enn avstanden til den andre (fra $y$-aksen). 3. Den horisontale asymptoten er en konstant linje $y = k$ der $k > 0$. Dette stemmer ikke for graf D. Graf A, B og C har alle sammen bare én vertikal asymptote og er automatisk eliminert fra lista over kandidater. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{admonition} Oppgave 5 (Vår 2023) --- class: exercise --- Gitt likningen $$ x^3 - 5x^2 - 8x + 12 = (x - 1)(x + a)(x - b). $$ Bestem $a$ og $b$ slik at likningen blir en identitet. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ (a = -6 \and b = -2) \or (a = 2 \and b = 6). $$ :::: ::::{solution} Vi utfører polynomdivisjon for å få et andregradspolynom vi kan faktorisere: :::{polydiv} --- p: x^3 - 5x^2 - 8x + 12 q: x - 1 width: 80% --- ::: Altså kan vi faktorisere tredjegradspolynomet som $$ x^3 - 5x^2 - 8x + 12 = (x - 1)(x^2 - 4x + 12) $$ Vi må bestemme røttene til andregradspolynomet for å bestemme $a$ og $b$. $$ x = \dfrac{4 \pm \sqrt{16 + 4\cdot 12}}{2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{64}}{2} = \dfrac{4 \pm 8}{2} = 2 \pm 4 $$ som gir $$ x = 6 \or x = -2. $$ Dette betyr at $$ x^2 - 4x + 12 = (x + a)(x - b) = (x - 6)(x + 2) = (x + 2)(x - 6) $$ som betyr at likningen er en identitet hvis $$ (a = -6 \and b = -2) \or (a = 2 \and b = 6). $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{admonition} Oppgave 6 (Vår 2023) --- class: exercise --- Nedenfor ser du grafen til en rasjonal funksjon $f$. Bestem $f(x)$. Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig. :::{figure} ./figurer/oppgave_6/figur.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ f(x) = \dfrac{3(x - 2)}{x - 1} = \dfrac{3x - 6}{x - 1} $$ :::: ::::{solution} Grafen til $f$ passer med en rasjonal funksjon der teller- og nevnerpolynomet er lineære polynomer. Da kan vi skrive $f(x)$ på formen $$ f(x) = \dfrac{a(x - b)}{x - c} $$ der * $y = a$ er den horisontale asymptoten * $x = b$ er nullpunktet til $f$ * $x = c$ er den vertikale asymptoten til $f$ Fra grafen til $f$ kan vi lese av at * den horisontale asymptoten er $y = 3$. * nullpunktet er $x = 2$. * den vertikale asymptoten er $x = 1$. Dermed er $$ f(x) = \dfrac{3(x - 2)}{x - 1} = \dfrac{3x - 6}{x - 1} $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{admonition} Oppgave 7 (Vår 2024) --- class: exercise --- I figuren nedenfor vises grafen til en funksjon $f$. :::{figure} ./figurer/oppgave_7/figur.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem $f(x)$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ f(x) = -2(x + 3)(x - 4) $$ :::: ::::{solution} Vi skriver $f(x)$ på nullpunktsform siden vi kan lese av begge nullpunktene til $f$ som gir: $$ f(x) = a(x + 3)(x - 4) $$ Siden grafen til $f$ går gjennom $(0, 24)$, betyr det at \begin{align*} f(0) &= 24 \\ \\ a(0 + 3)(0 - 4) &= 24 \\ \\ a\cdot 3 \cdot (-4) &= 24 \\ \\ -12a &= 24 \\ \\ a &= -2 \end{align*} Dermed er $f(x)$ gitt ved $$ f(x) = -2(x + 3)(x - 4) $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Løs ulikheten $f(x) > 12$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ x \in \langle -2, 3 \rangle $$ :::: ::::{solution} Ulikheten $f(x) > 12$ er gitt ved $$ -2(x + 3)(x - 4) > 12 $$ For å løse ulikheten, ganger vi ut venstresiden og samler alle ledd på én side så vi får \begin{align*} -2(x + 3)(x - 4) &> 12 \\ \\ -2(x^2 - x - 12) &> 12 \\ \\ -2x^2 + 2x + 24 &> 12 \\ \\ -2x^2 + 2x + 12 &> 0 \\ \\ 2x^2 - 2x - 12 &< 0 \\ \\ x^2 - x - 6 &< 0 \\ \\ (x - 3)(x + 2) &< 0 \end{align*} der vi har brukt at $(x - 3)(x + 2) = x^2 - x - 6$. Vi tegner et fortegnsskjema for $g(x) = (x - 3)(x + 2)$ og leser av når $g(x) < 0$. Løsningen vil være ekvivalent med løsningen av $f(x) > 12$. :::{figure} ./figurer/oppgave_7/fortegnsskjema.svg --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Fra fortegnslinja til $g(x)$ har vi at $$ g(x) < 0 \liff x \in \langle -2, 3 \rangle \liff f(x) > 12. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{admonition} Oppgave 8 (Vår 2024) --- class: exercise --- Sett opp en matematisk identitet med utgangspunkt i arealet av det grønne fargelagte området. :::{figure} ./figurer/oppgave_8/figur.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) $$ :::: ::::{solution} Vi kan skrive arealet av det grønne fargelagte området som $$ \mathrm{areal} = a^2 - b^2 $$ ved å ta arealet av det store kvadratet med sidelenger $a$ og trekke fra det lille hvite kvadratet med sidelengde $b$. Men vi kan også skrive arealet av det grønne fargelagte området direkte: $$ \mathrm{areal} = a \cdot (a - b) + b \cdot (a - b) = (a + b)(a - b) $$ Dermed er $$ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{admonition} Oppgave 9 (Vår 2024) --- class: exercise --- Guri har utført to ulike polynomdivisjoner og påstår begge divisjonene viser at faktoriseringen nedenfor er riktig. $$ 2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 = (2x^2 + 7x + 3)\cdot (x - 2) $$ Hvilke to polynomdivisjoner kan hun ha utført? Utfør de to polynomdivisjonene, og forklar at hver av dem viser at faktoriseringen er riktig. ::::{solution} Guri kan ha utført polynomdivisjonen: :::{figure} ./koder/oppgave_9/polydiv1.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: eller hun kan ha utført polynomdivisjonen: :::{figure} ./koder/oppgave_9/polydiv2.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Fra begge divisjonene følger det at $$ 2x^3 + 3x^2 - 11x - 6 = (2x^2 + 7x + 3)\cdot (x - 2) $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{admonition} Oppgave 10 (Høst 2024) --- class: exercise --- Funksjonen $f$ er gitt ved $$ f(x) = (x - 1)(x + 3). $$ Bestem koordinatene til bunnpunktet på grafen til $f$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- Bunnpunktet er $(-1, -4)$. :::: ::::{solution} Symmetrilinja til $f$ kan vi bestemme ved gjennomsnittet av nullpunktene som gir $$ x_0 = \dfrac{(-3) + 1}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1. $$ $y$-koordinaten til punktet finner vi derfor med $f(-1)$ som gir $$ f(-1) = (-1 - 1)\cdot (-1 + 3) = (-2)\cdot (2) = -4. $$ Altså er bunnpunktet $(-1, -4)$. :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{admonition} Oppgave 11 (Høst 2024) --- class: exercise --- Funksjonen $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^3 + 7x^2 + 4x - 12 $$ Løs ulikheten $f(x) < 0$ og illustrer løsningen grafisk ved å lage en skisse. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ x \in \langle \gets , -6 \rangle \cup \langle -2, 1 \rangle $$ :::: ::::{solution} Vi må nullpunktsfaktorisere $f(x)$ for å løse ulikheten. Først leter vi etter et heltallig nullpunkt ved å prøve ut verdier av $x$ som deler konstantleddet i $f(x)$. Kandidatene for dette er $$ x \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 12\}. $$ Vi prøver oss fram systematisk frem til vi får $f(x) = 0$: $$ f(1) = 1^3 + 7\cdot 1^2 + 4\cdot 1 - 12 = 1 + 7 + 4 - 12 = 0 $$ Altså er $x = 1$ et nullpunkt til $f$ som betyr at $(x - 1) | f(x)$. Vi utfører polynomdivisjonen $f(x) : (x - 1)$ for å faktorisere $f(x)$ fullstendig: :::{figure} ./koder/oppgave_11/polydiv.svg --- width: 90% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Vi anvender $abc$-formelen på $x^2 + 8x + 12$ for å finne de andre nullpunktene: $$ x = \dfrac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4\cdot 12}}{2} = \dfrac{-8 \pm \sqrt{16}}{2} = \dfrac{-8 \pm 4}{2} = -4 \pm 2 $$ som gir $$ x = -2 \or x = -6. $$ Altså kan vi skrive $f(x)$ som $$ f(x) = (x + 6)(x + 2)(x - 1). $$ For å løse en ulikheten $f(x) < 0$ tegner vi et fortegnsskjema for $f(x)$: :::{figure} ./figurer/oppgave_11/fortegnsskjema.svg --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Vi kan lese av fra fortegnsslinja til $f(x)$ at $$ f(x) < 0 \liff x \in \langle \gets , -6 \rangle \cup \langle -2, 1 \rangle $$ Vi kan illustrere løsningen grafisk ved å lage en skisse av grafen til $f$ og markere områdene der $f(x) < 0$ med rødt. :::{figure} ./figurer/oppgave_11/skisse.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{admonition} Oppgave 12 (Høst 2022) --- class: exercise --- Grafen til en andregradsfunksjon $f$ er vist nedenfor. :::{figure} ./figurer/oppgave_12/figur.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Om andregradsfunksjonen $f$ får du vite at * Tangenten i punktet $(-2, 0)$ har likningen $y = 9x + 18$ * Tangenten i punktet $(8, -10)$ har likningen $y = -11x + 78$ Bestem $f'(x)$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ f'(x) = -2x + 5. $$ :::: ::::{solution} Siden $f$ er en andregradsfunksjon, betyr det at $f'$ er en lineær funksjon $$ f'(x) = ax + b. $$ Vi vet også at stigningstallet til tangenter til grafen til $f$ i $(x, f(x))$, har samme verdi som den momentane vekstfarten $f'(x)$ i punktet. Likningen til tangenten i punktet $(-2, 0)$ er gitt ved $y = 9x + 18$ som betyr at stigningstallet til tangenten er $9$. \begin{align*} f'(-2) &= 9 \\ \\ a\cdot (-2) + b &= 9 \\ \\ -2a + b &= 9 \end{align*} Likningen til tangenten i punktet $(8, -10)$ er gitt ved $y = -11x + 78$ som betyr at stigningstallet til tangenten er $-11$. Da følger det at \begin{align*} f'(8) &= -11 \\ \\ a\cdot 8 + b &= -11 \\ \\ 8a + b &= -11 \end{align*} Siden den deriverte er en lineær funksjon, kan vi bestemme stigningstallet til $f'(x)$ ved å bruke topunktsformelen fremfor å gå løs på likningssystemet. Da får vi: $$ a = \dfrac{f'(8) - f'(-2)}{8 - (-2)} = \dfrac{-11 - 9}{10} = \dfrac{-20}{10} = -2. $$ Så setter vi inn verdien for $a$ i én av likningene vi har funnet: $$ 8 \cdot (-2) + b = -11 \liff -16 + b = -11 \liff b = 5. $$ Dermed er $$ f'(x) = -2x + 5. $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{admonition} Oppgave 13 (Høst 2022) --- class: exercise --- Funksjonen $f$ er gitt ved $$ f(x) = (x - 4)(x - 2)(x + 4) $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Hvilken av grafene nedenfor kan være grafen til $f$? Husk å argumentere for svaret ditt. :::{clickable-figure} ./figurer/oppgave_13/merged_figure.svg --- width: 100% --- ::: ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- Graf A :::: ::::{solution} Vi kan sjekke skjæringen med $y$-aksen for å se om vi kan eliminere graf $C$: $$ f(0) = (0 - 4)\cdot(0 - 2)\cdot(0 + 4) = (-4)\cdot(-2)\cdot(4) = 32. $$ Graf C skjærer $y$-aksen når $y < 0$ som betyr at det ikke kan være grafen til $f$. Fra $f(x)$ kan vi hente ut at $$ f(x) = 0 \liff x = \pm 4 \or x = 2. $$ Det betyr at to av nullpunktene er symmetrisk fordelt om $y$-aksen, og at ett nullpunkt må ligge *mellom* to de som er symmetrisk fordelt. Vi kan se at graf B ikke oppfyller kravet siden det er et nullpunkt som ligger på oversiden av de to som ligger symmetrisk fordelt om $y$-aksen. Graf A derimot oppfyller kravet og er derfor grafen til $f$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Løs $$ (x - 4)(x - 2)(x + 4) > 0 $$ ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ x \in \langle -4, 2 \rangle \cup \langle 4, \to \rangle. $$ :::: ::::{solution} Løsningen av ulikheten $$ (x - 4)(x - 2)(x + 4) > 0 \liff f(x) > 0 $$ Dermed kan vi lese av fra graf A hvor $f(x) > 0$. Dette kan vi observere er når $$ x \in \langle -4, 2 \rangle \cup \langle 4, \to \rangle. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{admonition} Oppgave 14 (Vår 2022) --- class: exercise --- Bestem $r$ og $s$ slik at sammenhengen nedenfor blir en identitet $$ 9x^2 - 30x + r = (3x - s)^2 $$ ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ s = 5 \and r = 25. $$ :::: ::::{solution} Vi ganger ut høyresiden: $$ (3x - s)^2 = 9x^2 - 6sx + s^2 $$ Så setter vi de lik hverandre som gir: \begin{align*} 9x^2 - 30x + r &= 9x^2 - 6sx + s^2 \\ \\ -30x + r &= -6sx + s^2 \end{align*} Sammenligner vi koeffisientene til $x$ og konstantleddene, får vi to likninger som må være oppfylt uavhengig av verdien til $x$: \begin{align*} -30 &= -6s \\ \\ r &= s^2 \end{align*} Fra den første likningen får vi at $s = 5$. Setter vi inn verdien til $s$ i den andre likningen, får vi at $$ r = 5^2 = 25. $$ Dermed er sammenhengen en identitet hvis $$ s = 5 \and r = 25. $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 15 (Vår 2022) ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Løs likningen $$ (x - 2)(x + 1) = 0 $$ :::::{answer} $$ x = 2 \or x = -1. $$ ::::: :::::{solution} Vi bruker produktregelen som gir oss at $$ (x - 2)\cdot (x + 1) = 0 \liff x - 2 = 0 \or x + 1 = 0 $$ som betyr at $$ x = 2 \or x = -1. $$ ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Sett opp en ulikhet som har løsning $x \in \langle \gets, -1 \rangle \cup \langle 2, \to \rangle$. Husk å begrunne svaret. :::::{answer} $$ (x - 2)(x + 1) > 0. $$ ::::: :::::{solution} Vi kan tegne et fortegnsskjema for $f(x) = (x - 2)(x + 1)$. Da får vi: :::{figure} ./figurer/oppgave_15/figur.svg --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure align: right --- ::: Fra fortegnslinja, kan vi lese av at vi kan få løsningen $x \in \langle \gets, -1 \rangle \cup \langle 2, \to \rangle$ med ulikheten $f(x) > 0$. Dermed vil en ulikhet som har den oppgitt løsningen være $$ (x - 2)(x + 1) > 0. $$ ::::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 16 En fjerdegradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^4 - x^2 - 2 $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem $a$ og $b$ slik at likningen nedenfor blir en identitet $$ x^4 - x^2 - 2 = (x^2 - a)(x^2 - b) $$ :::::{answer} $$ (a = 2 \and b = -1) \or (a = -1 \and b = 2). $$ ::::: :::::{solution} Vi kan starte med å observere at hvis vi setter $u = x^2$ så kan høyresiden skrives om til et andregradspolynom: $$ x^4 - x^2 - 2 = u^2 - u - 2 $$ Dette polynomet kan vi bruke $abc$-formelen på for å finne røttene $u$ til polynomet: $$ u = \dfrac{1 \pm \sqrt{1^2 + 4\cdot 2}}{2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \dfrac{1 \pm 3}{2} $$ som gir $$ u = 2 \or u = -1. $$ Dermed kan vi skrive om polynomet til $$ u^2 - u - 2 = (u - 2)(u + 1) = (x^2 - 2)(x^2 + 1). $$ Altså er $$ x^4 - x^2 - 2 = (x^2 - 2)(x^2 + 1) $$ som betyr at likningen er en identitet hvis $$ a = 2 \and b = -1 \or a = -1 \and b = 2. $$ ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem i hvilke punkter grafen til $f$ skjærer $x$-aksen. :::::{answer} $$ x = -\sqrt{2} \or x = \sqrt{2}. $$ ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Løs ulikheten $f(x) > 0$. :::::{answer} $$ x \in \left\langle -\sqrt{2}, \sqrt{2} \right\rangle. $$ ::::: ::::::::::::: :::::::::::::: :::::::::::::::