# Trigonometri (Del 2)
> Oppgavene her kan løses **med** hjelpemidler.
:::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 (Vår 2024)
:::{cas-popup}
---
layout: sidebar
---
:::
Du får vite følgende om en trekant $ABC$
* $AB$ er $8$
* $\angle A = 120\degree$
* Arealet av trekanten er $4\sqrt{3}$
Bestem lengdene av sidene $AC$ og $BC$ eksakt.
:::::{answer}
$$
AC = 2 \and BC = 2 \sqrt{21}
$$
:::::
:::::{solution}
Vi kan lage oss en hjelpetegning for å få oversikt over trekanten:
:::{figure} ./figurer/oppgave_1/hjelpefigur.svg
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
viser en skisse av trekanten der vi har satt $x = AC$ og $y = BC$.
:::
Siden arealet er $T = 4\sqrt{3}$, kan vi sette opp en likningen for $x$ med utgangspunkt i arealsetningen for trekanten:
$$
T = \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot 8 \cdot \sin (120\degree)
$$
\begin{align*}
4\sqrt{3} &= \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot 8 \cdot \sin (120\degree)\\
\\
4 \cancel{\sqrt{3}} &= \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot 8 \cdot \dfrac{\cancel{\sqrt{3}}}{2}\\
\\
4 &= \dfrac{8x}{4} \\
\\
4 &= 2x \\
\\
x &= 2
\end{align*}
Dermed er $AC = 2$. Så bruker vi cosinussetningen for å bestemme $y = BC$:
\begin{align*}
y^2 &= 8^2 + 2^2 - 2 \cdot 8 \cdot 2 \cdot \cos (120\degree) \\
\\
y^2 &= 64 + 4 - 2 \cdot 8 \cdot 2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) \\
\\
y^2 &= 64 + 4 + 16 \\
\\
y^2 &= 84 \\
\\
y &= \sqrt{84} = \sqrt{4\cdot 21} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{21} \\
\\
y &= 2\sqrt{21}
\end{align*}
Dermed er $BC = 2\sqrt{21}$.
:::::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 (Høst 2024)
:::{plot}
axis: equal
axis: off
width: 50%
let: s = 4
let: v = pi / 3
repeat: n=0..5; line-segment: (s * cos(v * n), s * sin(v * n)), (s * cos(v * (n + 1)), s * sin(v * (n + 1))), dashed, gray
repeat: n=0..5; line-segment: (0, 0), (s * cos(v * n), s * sin(v * n)), dashed, gray
repeat: n=0..5; line-segment: (s * cos(v * n), s * sin(v * n)), ((s * cos(v * n) + s * cos(v * (n + 1))), s * sin(v * n) + s * sin(v * (n + 1))), solid, black
repeat: n=0..5; line-segment: ((s * cos(v * n) + s * cos(v * (n + 1))), s * sin(v * n) + s * sin(v * (n + 1))), (s * cos(v * (n + 1)), s * sin(v * (n + 1))), solid, black
:::
:::{cas-popup}
---
layout: sidebar
---
:::
Maria skal lage en stjerne ved å sette sammen $12$ like store likesidede trekanter.
Lengdene av sidekantene i trekantene er $4$.
Ved å bruke Pytagoras' setning og arealberegninger har Maria kommet fram til at arealet av stjernen vil bli $48\sqrt{3}$.
Vis at du kan komme fram til samme resultat ved å bruke trigonometri.
:::::{solution}
Hver trekant er likesidet som betyr at alle vinklene er $60\degree$. Sidelengdene i trekantene er $4$, som betyr at arealet av én trekant kan regnes ut med arealsetningen direkte:
$$
T_\triangle = \dfrac{1}{2}\cdot 4 \cdot 4 \cdot \sin (60\degree) = \dfrac{16}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{3}.
$$
Stjernen består av $12$ slike trekanter, som betyr at arealet av stjernen er:
$$
T_\mathrm{stjerne} = 12 \cdot T_\triangle = 12 \cdot 4\sqrt{3} = 48\sqrt{3}.
$$
:::::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 (Høst 2024)
Klassen til Isabel og Anniken skal vise at de kan bruke trigonometri til å bestemme arealet av figuren nedenfor.
:::{figure} ./figurer/oppgave_3/figur.svg
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
Læreren har delt klassen i grupper og gitt hver gruppe noen opplysninger i tillegg til informasjon kan leses ut fra figuren.
:::{cas-popup} 350 500
:::
::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a
Gruppen til Isabel har fått vite at $AD = 6.0$, $BC = 10.0$, og at diagonalen $AC = 16.4$.
Vis hvordan gruppen til Isabel kan bestemme arealet ved å bruke opplysningene de har tilgang til.
Husk å gjøre rede for hvilke trigonometriske sammenhenger du bruker.
:::::{answer}
$$
T_{\square ABCD} \approx 58.5
$$
:::::
:::::{solution}
Med den oppgitte diagonalen, er det naturlig å tenke på $\square ABCD$ som bestående av to trekanter $\triangle ABC$ og $\triangle ACD$. Vi kan bestemme arealet av de to trekantene hver for seg og så summere dem.
For $\triangle ABC$ kan vi bruke arealsetningen umiddelbart så lenge vi kjenner til sinus til én av vinklene i trekanten. Vi kan bruke cosinussetningen for å bestemme $\cos \angle B$, og deretter kan vi Pytagoras' identitet til å bestemme $\sin \angle B$ ved
$$
(\sin \angle B)^2 + (\cos \angle B)^2 = 1 \limplies \sin \angle B = \sqrt{1 - (\cos \angle B)^2}.
$$
deretter brukes vi arealsetningen ved
$$
T_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle B.
$$
Vi utfører beregningene med CAS:
:::{figure} ./figurer/oppgave_3/a_del1.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
her har vi satt $x = \cos \angle B$ i første likning.
:::
Vi gjør tilsvarende utregning for $\triangle ACD$ der vi må bestemme $\cos \angle D$ med cosinussetningen etterfulgt av å bruke Pytagoras' identitet for å bestemme $\sin \angle D$ som vi så plugger inn i arealsetningen:
:::{figure} ./figurer/oppgave_3/a_del2.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
her har vi satt $x = \cos \angle D$ i første likning.
:::
Til slutt summerer vi de to arealene som gir:
:::{figure} ./figurer/oppgave_3/a_del3.png
---
width: 85%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
Dermed er arealet av figuren
$$
T_{\square ABCD} = \dfrac{24 \sqrt{989} + 8\sqrt{7826}}{25} \approx 58.5
$$
:::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} b
Gruppen til Anniken har fått vite at $\angle A = 62.5\degree$, $\angle C = 38.3\degree$, $\angle ABD = 45.5\degree$ og $\angle CBD = 85.5\degree$.
Vis hvordan gruppen til Anniken kan bestemme arealet ved å bruke opplysningene de har tilgang til.
Husk å gjøre rede for hvilke trigonometriske sammenhenger du bruker.
:::::{answer}
$$
T_{\square ABCD} \approx 58.5
$$
:::::
:::::{solution}
Med opplysningene som er oppgitt, er det naturlig å trekke en diagonal $BD$ slik at firkanten deles inn i to trekanter $\triangle ABD$ og $\triangle BCD$. Da kan vi bruke sinussetningen til å bestemme $x = AB$ ved
$$
\dfrac{x}{\sin \angle C} = \dfrac{CD}{\sin \angle CBD}
$$
som vi gjør med CAS:
:::{figure} ./figurer/oppgave_3/b_del1.png
---
width: 90%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
Deretter kan vi bruke at
$$
\angle BCD = 180\degree - \angle C - \angle CBD
$$
og så bruke arealsetningen ut ifra denne vinkelen for å bestemme arealet av $\triangle BCD$:
:::{figure} ./figurer/oppgave_3/b_del2.png
---
width: 90%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
Deretter bruker vi arealsetningen utifra vinkelen $\angle ABD$ til å bestemme arealet av $\triangle ABD$:
:::{figure} ./figurer/oppgave_3/b_del3.png
---
width: 90%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
Deretter er det bare å summere arealene av de to trekantene:
:::{figure} ./figurer/oppgave_3/b_del4.png
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
Altså er arealet av figuren
$$
T_{\square ABCD} \approx 58.5
$$
:::::
:::::::::::::
::::::::::::::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 (Høst 2024)
:::{figure} ./figurer/oppgave_4/figur.svg
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
I denne oppgaven skal du vise at du kan bruke trigonometri til å bestemme arealet av figuren ovenfor.
Bestem arealet.
Husk å gjøre rede for hvilke trigonometriske sammenhenger du bruker.
:::{cas-popup} 350 500
:::
:::::{answer}
$$
T_{\square ABCD} \approx 50.78.
$$
:::::
:::::{solution}
Vi starter med å lage en diagonal $AC$ i firkanten slik at vi får to trekanter $\triangle ABC$ og $\triangle ACD$. Se figuren nedenfor.
:::{figure} ./figurer/oppgave_4/hjelpefigur.svg
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
viser firkanten der diagonalen $x = AC$ er tegnet inn.
:::
Så bruker vi cosinussetningen for å bestemme lengden av diagonalen:
:::{figure} ./figurer/oppgave_4/del_1.png
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
Dermed er $AC$ eksakt gitt ved
$$
AC = 5 \sqrt{\sqrt{2} - \sqrt{6} + 5}
$$
Deretter kan vi bruke cosinussetningen til å bestemme $\angle D$ slik at vi kan regne ut $\sin \angle D$ når vi skal bruke arealsetningen for $\triangle ACD$:
:::{figure} ./figurer/oppgave_4/del_2.png
---
width: 85%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
Med andre ord er $\angle D \approx 80.47\degree$. Da kan vi bruke arealsetningen for å bestemme arealet av $\triangle ACD$:
:::{figure} ./figurer/oppgave_4/del_3.png
---
width: 70%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
Altså er arealet av $\triangle ACD$ gitt ved
$$
T_{\triangle ACD} \approx 26.63.
$$
Deretter bruker vi arealsetningen for å bestemme arealet av $\triangle ABC$:
:::{figure} ./figurer/oppgave_4/del_4.png
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
Til slutt summerer vi de to arealene for å bestemme arealet av firkanten:
:::{figure} ./figurer/oppgave_4/del_5.png
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
Altså er arealet av firkanten
$$
T_{\square ABCD} \approx 50.78.
$$
:::::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 (Høst 2022)
:::{figure} ./figurer/oppgave_5/figur.svg
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
En sirkel har sentrum i $S$. $AB$ er diameter og $C$ er ligger på {popup}`sirkelperiferien.`
Arealet av $\triangle SBC$ er $3\cdot \sqrt{2}$.
:::{cas-popup} 350 500
:::
::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a
Bestem sirkelens radius. Bruk eksakte verdier.
:::::{answer}
$$
r = 2\sqrt{3}
$$
:::::
:::::{solution}
Vi lar $r$ være radiusen til sirkelen. Arealet til $\triangle SBC$ kan da skrives som
$$
T_{\triangle SBC} = \dfrac{1}{2} \cdot r \cdot r \cdot \sin (45\degree) = \dfrac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{r^2 \cdot \sqrt{2}}{4}
$$
> I utregningen ovenfor brukte vi at $\sin (45\degree) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Videre er $T_{\triangle SBC} = 3\sqrt{2}$, så vi kan sette opp en likning og løse den for radiusen $r$ som gir:
\begin{align*}
3\sqrt{2} &= \dfrac{r^2 \cdot \sqrt{2}}{4} \\
\\
3 \cancel{\sqrt{2}} &= \dfrac{r^2 \cdot \cancel{\sqrt{2}}}{4} \\
\\
3 &= \dfrac{r^2}{4} \\
\\
3 \cdot 4 &= r^2 \\
\\
12 &= r^2 \\
\\
r &= \sqrt{12} = \sqrt{4\cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}.
\end{align*}
:::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} b
Bestem arealet av $\triangle ABC$. Bruk eksakte verdier.
:::::{answer}
$$
T_{\triangle ABC} = 6\sqrt{2}
$$
:::::
:::::{solution}
Trekant $\triangle ABC$ har samme høyde som $\triangle SBC$, men grunnlinja er dobbelt så lang siden $AB = 2\cdot SB = 2r$. Det betyr at arealet av $\triangle ABC$ er dobbelt så stort som arealet av $\triangle SBC$:
$$
T_{\triangle ABC} = 2 \cdot T_{\triangle SBC} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}.
$$
:::::
:::::::::::::
::::::::::::::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{exercise} Oppgave 6 (Vår 2022)
:::{figure} ./figurer/oppgave_6/figur.svg
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
Gitt firkanten $ABCD$ ovenfor.
:::{cas-popup} 350 500
:::
::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a
Bestem et eksakt uttrykk for omkretsen av firkanten $ABCD$.
:::::{answer}
$$
\mathcal{O} = \left( 3\sqrt{2} + \sqrt{3} + 7\right) a
$$
:::::
:::::{solution}
For å regne ut omkretsen av firkanten, trenger vi først å bestemme lengden av $BD$. Vi kan bruke cosinussetningen til dette. La $x = BD$. Da får vi:
:::{figure} ./figurer/oppgave_6/del_1.png
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
som betyr at $BD = 2\sqrt{3} a$. Deretter kan vi bruke sinussetningen til å bestemme $AB$. La $x = AB$, da har vi:
:::{figure} ./figurer/oppgave_6/del_2.png
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
som betyr at $AB = 3 \sqrt{2} a$. Så kan vi bruke sinussetningen én gang til for å bestemme $AD$. Vi lar $x = AD$, som gir:
:::{figure} ./figurer/oppgave_6/del_3.png
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
som betyr at $AD = \left(\sqrt{3} + 3\right) a$. Så legger vi sammen alle sidene i firkanten for å bestemme omkretsen $\mathcal{O}$:
\begin{align*}
\mathcal{O} &= AB + BC + CD + AD \\
\\
&= 3\sqrt{2} a + 2a + 2a + \left(\sqrt{3} + 3\right) a \\
\\
&= \left(3\sqrt{2} + 2 + 2 + \sqrt{3} + 3\right) a \\
\\
&= \left( 3\sqrt{2} + \sqrt{3} + 7\right) a
\end{align*}
:::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} b
Vis at forholdet mellom arealet av $\triangle ABC$ og arealet av $\triangle BCD$ er $\dfrac{3}{2}\left(\sqrt{3} + 1\right)$
:::::{solution}
Vi regner ut arealet av $\triangle ABC$ og $\triangle BCD$ hver for seg, og deretter summerer vi de to arealene:
:::{figure} ./figurer/oppgave_6/b_del_1.png
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
som betyr at
$$
T_{ABC} = \dfrac{1}{2} a^2 (3\sqrt{3} + 9) \and T_{BCD} = \sqrt{3} a^2.
$$
Deretter tar vi forholdet mellom $T_{ABC}$ og $T_{BCD}$:
:::{figure} ./figurer/oppgave_6/b_del_2.png
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
Altså er forholdet mellom arealene:
$$
\dfrac{T_{ABC}}{T_{BCD}} = \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{3} + 3\right) = \dfrac{3}{2}\left(\sqrt{3} + 1\right)
$$
:::::
:::::::::::::
::::::::::::::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{exercise} Oppgave 7 (Høst 2023)
:::{figure} ./figurer/oppgave_7/figur.svg
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
I denne oppgaven skal du vise at du kan bruke trigonometri til å bestemme arealet av figuren ovenfor.
Bestem arealet.
Husk å gjøre rede for hvilke trigonometriske sammenhenger du bruker.
:::{cas-popup} 350 500
:::
:::::{answer}
$$
T_{ABCD} \approx 38.57.
$$
:::::
:::::{solution}
Vi starter med å bestemme vinkel $\angle C$ i $\triangle BCD$ slik at vi kan bruke arealsetningen. Vi bruker cosinussetningen til å bestemme $\angle C$:
:::{figure} ./figurer/oppgave_7/del_1.png
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
som betyr at $\angle C \approx 117.28\degree$. Deretter bruker vi arealsetningen for å bestemme arealet av $\triangle BCD$:
:::{figure} ./figurer/oppgave_7/del_2.png
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
som betyr at $T_{BCD} \approx 21.33$. Deretter bruker vi sinussetningen for å bestemme $AD$. La $x = AD$. Da får vi:
:::{figure} ./figurer/oppgave_7/del_3.png
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
som gir $AD \approx 8.4$. Til slutt bruker vi arealsetningen med utgangspunkt i $\angle ADB$. Først kan vi merke oss at
$$
\angle ABD = 180\degree - 35\degree - 125\degree = 20\degree.
$$
Med arealsetningen får vi da:
:::{figure} ./figurer/oppgave_7/del_4.png
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
som gir $T_{ABD} \approx 17.24$. Til slutt legger vi arealene sammen for å bestemme arealet til figuren:
:::{figure} ./figurer/oppgave_7/del_5.png
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
Altså er arealet av figuren
$$
T_{ABCD} \approx 38.57.
$$
:::::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{exercise} Oppgave 8 (Høst 2021)
:::{figure} ./figurer/oppgave_8/figur.svg
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
Gitt firkanten $ABCD$.
:::{cas-popup} 350 500
:::
::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a
Vis at $BD = \sqrt{3} \cdot a$.
:::::{solution}
Først kan vi observere at $\triangle ABD$ er en likebeint trekant siden
$$
\angle ABD = 180\degree - 30\degree - 120\degree = 30\degree.
$$
Da følger det at $AD = a$. Da kan vi bruke cosinussetningen til å bestemme $BD$. La $x = BD$. Da har vi:
:::{figure} ./figurer/oppgave_8/a_del_1.png
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
som betyr at $AD = \sqrt{3} a$.
:::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} b
Bestem et eksakt uttrykk for omkretsen av firkanten.
:::::{answer}
$$
\mathcal{O} = \dfrac{1}{2} \left(4 + 3\sqrt{2} + \sqrt{6}\right) a
$$
:::::
:::::{solution}
For å bestemme omkretsen av firkanten, mangler vi nå bare å bestemme $CD$. Siden vi kjenner til både $BC$ og $BD$, kan vi bruke cosinussetningen til å bestemme $CD$. La $x = CD$. Da får vi:
:::{figure} ./figurer/oppgave_8/b_del_1.png
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
som betyr at
$$
CD = \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}\cdot a
$$
Da blir omkretsen $\mathcal{O}$ av firkanten:
\begin{align*}
\mathcal{O} &= AB + BC + CD + AD \\
\\
&= a + \sqrt{2} a + \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}\cdot a + a\\
\\
&= 2a + \dfrac{3\sqrt{2}}{2}a + \dfrac{\sqrt{6}}{2}a \\
\\
&= \left(2 + \dfrac{3\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{6}}{2}\right) a \\
\\
&= \dfrac{1}{2} \left(4 + 3\sqrt{2} + \sqrt{6}\right) a
\end{align*}
:::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} c
Bestem $a$ slik at arealet av firkanten blir lik $\sqrt{3}$.
:::::{answer}
$$
a = \sqrt{6} - \sqrt{2}
$$
:::::
:::::{solution}
Vi starter med å bestemme et eksakt uttrykk for arealet av firkanten. Vi tar først utgangspunkt i $\triangle ABD$ og bruker arealsetningen med utgangspunkt i $\angle A$:
:::{figure} ./figurer/oppgave_8/c_del_1.png
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
som gir $T_{ABD} = \dfrac{1}{4}\sqrt{3} a^2$. Deretter bruker vi arealsetningen for $\triangle BCD$ med utgangspunkt i $\angle DBC$:
:::{figure} ./figurer/oppgave_8/c_del_2.png
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
som gir at $T_{BCD} = \dfrac{1}{4}\left(\sqrt{3} + 3\right) a^2$. Til slutt setter vi opp likningen
$$
T_{ABD} + T_{BCD} = \sqrt{3}
$$
og løser likningen med hensyn på $a$:
:::{figure} ./figurer/oppgave_8/c_del_3.png
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
Siden $\sqrt{6} > \sqrt{2}$, følger det at den eneste gyldige løsningen som gir det ønskede arealet er
$$
a = -\sqrt{2} + \sqrt{6} = \sqrt{6} - \sqrt{2}
$$
:::::
:::::::::::::
::::::::::::::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{exercise} Oppgave 9 (Vår 2023)
:::{figure} ./figurer/oppgave_9/figur.svg
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
Punktene $A$, $B$ og $C$ ligger på en sirkel med sentrum i $S$ og radius $r$.
$\angle SBA = 30\degree$ og $\angle BSC = 90\degree$.
Arealet av $\triangle ABC$ er $2\sqrt{3} + 6$.
Se figuren ovenfor.
Bestem en eksakt verdi for $r$.
:::{cas-popup} 350 500
:::
:::::{answer}
$$
r = 2\sqrt{2}
$$
:::::
:::::{solution}
Først kan vi finne et eksakt uttrykk for arealet av $\triangle ABC$ uttrykt ved $r$. Vi har først og fremst at
$$
T_{SBC} = \dfrac{1}{2}r^2
$$
Videre er $\angle BSA = 120\degree$ siden $\triangle ABS$ er en likebeint trekant der toppvinkelen er $120\degree$. Dermed er arealet $\triangle ABS$ gitt ved
:::{sidebar}
$\sin (120\degree) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
:::
$$
T_{ABS} = \dfrac{1}{2}r^2 \cdot \sin (120\degree) = \dfrac{1}{2}r^2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}r^2
$$
Vi kan bestemme toppvinkelen i $\triangle ASC$ ved å merke oss at en sirkel har $360\degree$, som gir summen av toppvinklene, som betyr at
$$
\angle ASC + 120\degree + 90\degree = 360\degree \liff \angle ASC = 360\degree - 120\degree - 90\degree = 150\degree.
$$
Dermed er arealet av $\triangle ASC$ gitt ved
:::{sidebar}
$\sin (150\degree) = \dfrac{1}{2}$
:::
$$
T_{ASC} = \dfrac{1}{2}r^2 \cdot \sin (150\degree) = \dfrac{1}{2}r^2 \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}r^2
$$
Arealet av trekanten er $2\sqrt{3} + 6$ som betyr at vi bestemme $r$ ved å løse likningen
$$
T_{SBC} + T_{ABS} + T_{SBC} = 2\sqrt{3} + 6
$$
Vi gjør den siste her med CAS:
:::{figure} ./figurer/oppgave_9/sol.png
---
width: 90%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
Dermed er vil arealet av trekanten være lik $2 \sqrt{3} + 6$ når
$$
r = 2\sqrt{2}
$$
:::::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{exercise} Oppgave 10 (Høst 2025)
:::{plot}
axis: off
axis: equal
width: 70%
polygon: (0, 0), (3, 0), (3 - sqrt(3)*cos(pi/6), 0 + sqrt(3)*sin(pi/6))
polygon: (0, 0), ((3*sqrt(2) + sqrt(6))/2 * cos(pi/4), -(3*sqrt(2) + sqrt(6))/2 * sin(pi/4)), (3, 0)
angle-arc: (3, 0), 0.3 , 180, 150
text: 2.7, 0, "$30^\circ$", top-left
angle-arc: (3 - sqrt(3)*cos(pi/6), 0 + sqrt(3)*sin(pi/6)), 0.3, -30, -30-120
text: 3 - sqrt(3)*cos(pi/6), sqrt(3)*sin(pi/6) - 0.3, "$120^\circ$", bottom-center
angle-arc: (0, 0), 0.3, 0, -45
text: 0.3, -0.05, "$45^\circ$", bottom-right
text: 0, 0, "$A$", center-left
text: 3, 0, "$C$", center-right
text: 3 - sqrt(3)*cos(pi/6), sqrt(3)*sin(pi/6), "$D$", top-center
text: (3*sqrt(2) + sqrt(6))/2 * cos(pi/4), -(3*sqrt(2) + sqrt(6))/2 * sin(pi/4), "$B$", bottom-center
text: 0.5 * (3 - sqrt(3)*cos(pi/6) + 3), 0.5 * sqrt(3)*sin(pi/6) + 0.1, "$\sqrt{3}$", top-right
text: 0.5 * ( (3*sqrt(2) + sqrt(6))/2 * cos(pi/4) + 3), 0.5 * (-(3*sqrt(2) + sqrt(6))/2 * sin(pi/4)), "$\sqrt{6}$", bottom-right
:::
:::{cas-popup}
---
layout: sidebar
---
:::
Gitt figuren ovenfor.
:::{clear}
:::
::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a
Gjør beregninger og vis at $AC = 3$.
::::{solution}
La $x = AC$. Vi bruker sinussetningen for å bestemme sidelengden med CAS:
:::{figure} ./figurer/oppgave_10/a.png
---
class: no-click, adaptive-figure
width: 60%
---
:::
Altså er $AC = 3$.
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} b
Bestem arealet av firkanten $ABCD$.
Gi svaret eksakt.
::::{answer}
$$
T_{\square ABCD} = \dfrac{3}{4}\left(2\sqrt{3} + 3\right)
$$
::::
::::{solution}
Firkanten $ABCD$ er består av to trekanter $\triangle ABC$ og $\triangle ACD$.
Arealet av $\triangle ACD$ kan vi bestemme direkte med arealsetningen:
$$
T_{\triangle ACD} = \dfrac{1}{2}\cdot AC \cdot CD \cdot \sin 30\degree
$$
Vi regner ut med CAS:
:::{figure} ./figurer/oppgave_10/b_1.png
---
class: no-click, adaptive-figure
width: 60%
---
:::
Altså er $T_{\triangle ACD} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}$.
For å bestemme arealet av $\triangle ABC$ bruker vi også arealsetningen. Her velger vi å ta utgangspunkt i vinkelen $\angle BAC = 45\degree$ som vil gi
$$
T_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin 45\degree
$$
Vi kjenner ikke til $AB$, men den kan vi bestemme ved hjelp av cosinussetningen med utgangspunkt i vinkelen $\angle BAC$ som gir
$$
BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2 \cdot AC \cdot AB \cdot \cos 45\degree
$$
Vi bruker CAS til å bestemme $AB$. La $x = AB$.
:::{figure} ./figurer/oppgave_10/b_2.png
---
class: no-click, adaptive-figure
width: 60%
---
:::
Sidelengden $AB$ er lenger enn $AC$, så vi må velge den største løsningen. Altså er
$$
AB = \dfrac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}
$$
Så regner vi ut arealet av $\triangle ABC$ med CAS:
:::{figure} ./figurer/oppgave_10/b_3.png
---
class: no-click, adaptive-figure
width: 60%
---
:::
Så legger vi sammen de to arealene for å få det eksakte arealet av firkanten $ABCD$:
:::{figure} ./figurer/oppgave_10/b_4.png
---
class: no-click, adaptive-figure
width: 60%
---
:::
Dermed er det eksakte arealet av firkanten $ABCD$ gitt ved
$$
T_{\square ABCD} = \dfrac{3}{4}\left(2\sqrt{3} + 3\right)
$$
::::
:::::::::::::
::::::::::::::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{exercise} Oppgave 11
:::{cas-popup}
---
layout: sidebar
---
:::
En sirkel med sentrum $S$ og radius $6$ er vist i figuren nedenfor.
Bestem en eksakt verdi for arealet av det fargelagte området.
:::{plot}
width: 50%
axis: off
axis: equal
let: r = 2
let: v = 30 * pi / 180
let: u = 2 * v
circle: (0, 0), r, solid, black
line-segment: (-r, 0), (r * cos(u), r*sin(u)), solid, blue
line-segment: (-r, 0), (r, 0), solid, blue
angle-arc: (-r, 0), 0.5, 0, v * 180 / pi
text: -r + 0.5, 0, "$30^\circ$", top-right
line-segment: (0, 0), (r * cos(u), r*sin(u)), dashed, gray
fill-between: tan(v) * (x + r), 0, (-r, r*cos(u)), blue, 0.2, where=above
fill-between: sqrt(r**2 - x**2), 0, (r*cos(u), r), blue, 0.2, where=above
angle-arc: (0, 0), 0.4, 0, u * 180 / pi
point: (0, 0)
text: 0, 0, "$S$", bottom-center
fontsize: 26
:::
::::{answer}
$$
T = 9\sqrt{3} + 6\pi
$$
::::
::::{solution}
Vi kan tenke på det fargelagte området som å være summen av to områder:
1. En trekant
2. En sirkelsektor
To av sidene i trekanten vil være lik radius i sirkelen som betyr at den er likebeint. Da følger det at to av vinklene er $30\degree$ som betyr at sentralvinkelen i trekanten må være $120\degree$. Arealet av trekanten er derfor
$$
T_\triangle = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin 120\degree = 9\sqrt{3}.
$$
La $v$ være vinkelen i sirkelsektoren som er fargelagt. Da har vi at
$$
v + 120\degree = 180\degree \liff v = 60\degree.
$$
Arealet av sirkelsektoren vil være prosentandelen av hele sirkelen ganget med arealet til en full sirkel. Altså:
$$
T_\circ = \dfrac{v}{360\degree} \cdot \pi \cdot 6^2 = \dfrac{60\degree}{360\degree} \cdot 36\pi = \dfrac{1}{6} \cdot 36\pi = 6\pi.
$$
Dermed er arealet av det fargelagte området gitt ved
$$
T = T_\triangle + T_\circ = 9\sqrt{3} + 6\pi.
$$
::::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{exercise} Oppgave 12 (Vår 2024)
:::{figure} ./figurer/oppgave_12/figur.svg
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
align: right
---
:::
Når en lysstråle går fra luft til vann, skifter den retning.
På figuren står linjen $m$ vinkelrett på vannoverflaten og lysstrålen går fra å danne en vinkel $u$ med $m$ til å danne en vinkel $v$ med $m$.
Når lysstrålen går fra luft til vann, vil
$$
\sin u = 1.33 \cdot \sin v
$$
:::{clear}
:::
::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a
Hvor stor må vinkelen $u$ være for at vinkelen $v$ skal bli $39\degree$?
::::::{answer}
$$
u \approx 56.82\degree
$$
::::::
:::::{solution}
Vi løser likningen
$$
\sin u = 1.33 \cdot \sin (39\degree)
$$
ved å bruke CAS:
:::{figure} ./figurer/oppgave_12/a.png
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
Altså er $u \approx 56.82\degree$ dersom $v = 39\degree$.
:::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} b
Hva vil skje med vinkelen $v$ dersom vinkelen $u$ nærmer seg $90\degree$?
:::::{answer}
$$
v \approx 48.75\degree
$$
:::::
:::::{solution}
Når vinkelen $u$ nærmer seg $90\degree$, så vil $\sin u$ nærme seg $1$. Det betyr at vi nærmer oss likningen
$$
1 = 1.33 \cdot \sin v
$$
Vi løser likningen med CAS:
:::{figure} ./figurer/oppgave_12/b.png
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::
Som betyr at vinkelen $v$ nærmer seg $v \approx 48.75\degree$ når $u$ nærmer seg $90\degree$. Det betyr at retningen på lysstrålen endrer seg når den omtrent går parallelt med vannoverflaten med en vinkel på $48.75\degree$ med linja $m$.
:::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} c
Kan vinklene $u$ og $v$ bli like store?
:::::{answer}
Ja, da er $u = v = 0\degree$.
:::::
:::::{solution}
Vinklene $u$ og $v$ kan bli like store dersom lysstrålen går parallelt med linja $m$, siden da er $\sin u = 0$ og dermed også $\sin v = 0$. Den praktiske tolkningen av dette er at dersom lysstrålen kommer normalt ned på vannoverflaten, så endrer den ikke retning. Det betyr at vinklene bare kan bli like store dersom $u = v = 0\degree$.
:::::
:::::::::::::
::::::::::::::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{exercise} Oppgave 13
:::{plot}
width: 60%
axis: off
axis: equal
let: r = 2
let: N = 7
circle: (0, 0), r, dotted, gray
repeat: n=0..N-1; point: (r * cos(pi/ 2 + 2 * n * pi / N), r * sin(pi/ 2 + 2 * n * pi / N))
let: s = 4 * sin(pi / 7)
let: t = 4 * cos(pi / 7) * sin(pi/7) / (cos(2*pi/7) + 1)
let: u = 2 * pi / 7
let: v = 5 * pi / 7
let: h = t * sin(u)
let: H = r - h
repeat: n=0..N-1; line-segment: (r * cos(pi/ 2 + 2 * n * pi / N), r * sin(pi/ 2 + 2 * n * pi / N)), (H / cos(u/2) * cos(pi/2 + u/2 + 2 * n * pi / N), H / cos(u/2) * sin(pi/2 + u/2 + 2 * n * pi / N)), solid, blue
repeat: n=0..N-1; line-segment: (r * cos(pi/ 2 + 2 * (n + 1) * pi / N), r * sin(pi/ 2 + 2 * (n + 1) * pi / N)), (H / cos(u/2) * cos(pi/2 + u/2 + 2 * n * pi / N), H / cos(u/2) * sin(pi/2 + u/2 + 2 * n * pi / N)), solid, blue
repeat: n=0..N-1; line-segment: (H / cos(u/2) * cos(pi/2 + u/2 + 2 * n * pi / N), H / cos(u/2) * sin(pi/2 + u/2 + 2 * n * pi / N)), (H / cos(u/2) * cos(pi/2 + u/2 + 2 * (n + 1) * pi / N), H / cos(u/2) * sin(pi/2 + u/2 + 2 * (n + 1) * pi / N)), dashed, gray
let: m = 4
let: n = 5
line-segment: (0, 0), (r * cos(pi / 2 + 2 * m * pi / N), r * sin(pi / 2 + 2 * m * pi / N)), dashdot, black
line-segment: (0, 0), (r * cos(pi / 2 + 2 * n * pi / N), r * sin(pi / 2 + 2 * n * pi / N)), dashdot, black
angle-arc: (0, 0), 0.4, (pi / 2 + 2 * m * pi / N) * 180 / pi, (pi / 2 + 2 * n * pi / N) * 180 / pi
angle-arc: (H / cos(u/2) * cos(pi/2 + u/2 + 2 * m * pi / N), H / cos(u/2) * sin(pi/2 + u/2 + 2 * m * pi / N)), 0.2, (pi / 2 - v/2 + 2 * (m + n)/2 * pi / N) * 180/ pi, (pi / 2 + v/2 + 2 * (m + n)/2 * pi / N) * 180 / pi
text: 0.4 * cos(pi / 2 + 2 * (m + n)/2 * pi / N), 0.4 * sin(pi / 2 + 2 * (m + n)/2 * pi / N), "$u$", bottom-right
text: 1.25 * H * cos(pi / 2 + 2 * (m + n)/2 * pi / N), 1.25 * H * sin(pi / 2 + 2 * (m + n)/2 * pi / N), "$v$", bottom-right
line-segment: (r * cos(pi/2 + 2 * m * pi / N), r * sin(pi/2 + 2 * m * pi / N)), (r * cos(pi/2 + 2 * n * pi / N), r * sin(pi/2 + 2 * n * pi / N)), solid, red
annotate: (r + 0.1, -0.8 * r), (0.5 * r * cos(pi/2 + 2 * m * pi / N) + 0.5 * r * cos(pi/2 + 2 * n * pi / N), 0.5 * r * sin(pi/2 + 2 * m * pi / N) + 0.5 * r * sin(pi/2 + 2 * n * pi / N)), "$s$", top-left
text: r * cos(pi / 2 + 2 * 0 * pi / N), r * sin(pi / 2 + 2 * 0 * pi / N) + 0.1, "$D$", top-center
text: r * cos(pi / 2 + 2 * 1 * pi / N), r * sin(pi / 2 + 2 * 1 * pi / N) + 0.1, "$E$", top-left
text: r * cos(pi / 2 + 2 * 2 * pi / N), r * sin(pi / 2 + 2 * 2 * pi / N) - 0.1, "$F$", bottom-left
text: r * cos(pi / 2 + 2 * 3 * pi / N), r * sin(pi / 2 + 2 * 3 * pi / N) - 0.1, "$G$", bottom-left
text: r * cos(pi / 2 + 2 * 4 * pi / N), r * sin(pi / 2 + 2 * 4 * pi / N) - 0.1, "$A$", bottom-right
text: r * cos(pi / 2 + 2 * 5 * pi / N) + 0.1, r * sin(pi / 2 + 2 * 5 * pi / N) , "$B$", bottom-right
text: r * cos(pi / 2 + 2 * 6 * pi / N), r * sin(pi / 2 + 2 * 6 * pi / N), "$C$", top-right
:::
I figuren ovenfor vises et heptagram $ABCDFG$ som er innskrevet i en sirkel med radius $r = 2$. Linjestykke $AB = s$.
::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a
Bestem vinkel $u$ og vinkel $v$.
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} b
Bestem $s$.
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} c
Sidelengdene i figuren er $t$.
Bestem omkretsen av heptagrammet.
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} d
Bestem arealet av heptagrammet.
:::::::::::::
::::::::::::::
:::::::::::::::