:::::::::::::::{admonition} Oppgave 1 --- class: exercise --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^2 - 3x - 4. $$ Bestem i hvilke punkter grafen til $f$ skjærer $x$-aksen. :::::{admonition} Retteveiledning --- class: summary, dropdown --- * Inntil 1 poeng for gyldig strategi. * Inntil 1 poeng for riktig svar. ::::: :::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- Grafen til $f$ skjærer $x$-aksen i $x = -1$ og $x = 4$. ::::: :::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Grafen til $f$ skjærer $x$-aksen når $f(x) = 0$. Bruker $abc$-formelen til å finne røttene til $f(x)$: $$ x = \dfrac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-4)}}{2\cdot 1} = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \dfrac{3 \pm 5}{2}. $$ som gir $$ x = 4 \or x = -1. $$ Dermed skjærer grafen til $f$ gjennom $x$-aksen i $x = -1$ og $x = 4$. ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En andregradsfunksjon $g$ er gitt ved $$ g(x) = -(x + 3)(x - 5). $$ Bestem ekstremalpunktet til $g$. :::::{admonition} Retteveiledning --- class: summary, dropdown --- * Inntil 1 poeng for gyldig strategi. * Inntil 1 poeng for riktig svar. Det gis full uttelling om bare $x$-koordinaten er oppgitt, men det gis også full uttelling om en $y$-koordinat er oppgitt i tillegg, selv hvis feil $y$-koordinat er oppgitt.
Det er forvirring rundt definisjonen av ekstremalpunkt (trolig på grunn av Geogebra), men det er formelt sett bare $x$-koordinaten til et bunn- eller toppunkt. ::::: :::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ x = 1. $$ ::::: :::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Ekstremalpunktet $x_0$ til $g$ svarer til symmetrilinja til grafen som vi kan finne ved å ta gjennomsnittet av nullpunktene. Vi har at $$ g(x) = 0 \liff (x + 3)(x - 5) = 0 \liff x = -3 \or x = 5. $$ som betyr at $$ x_0 = \dfrac{(-3) + 5}{2} = \dfrac{2}{2} = 1. $$ Dermed er ekstremalpunktet til $g$ i $x = 1$. ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En andregradsfunksjon $h$ er gitt ved $$ h(x) = -(x + 2)^2 + 5 \quad \text{der} \quad D_h = \mathbb{R}. $$ Bestem verdimengden til $h$. :::::{admonition} Retteveiledning --- class: summary, dropdown --- * Inntil 1 poeng for gyldig strategi. * Inntil 1 poeng for riktig svar. ::::: :::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ h(x) \in \langle \gets, 5]. $$ ::::: :::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Verdimengden til $h$ vil være alle verdier $h(x)$ vi kan få fra $x \in D_h = \mathbb{R}$. Siden definisjonsmengden er alle reelle tall, må vi avgjøre hvilke verdier $h(x)$ kan ta helt generelt. Siden $h$ er en andregradsfunksjon, følger det at den enten har et topp- eller bunnpunkt. Siden den ledende koeffisienten til $h$ er negativ, har den et toppunkt. Videre er $h(x)$ skrevet på ekstremalpunktsform $$ h(x) = -(x + 2)^2 + 5, $$ som betyr at vi kan lese av toppunktet som $(-2, 5)$. Dermed er $h(x) \leq 5$ for alle $x \in D_h$. Verdimengden til $h$ er derfor $$ h(x) \in \langle \gets, 5]. $$ ::::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{admonition} Oppgave 2 --- class: exercise --- Nedenfor vises en trekant $\triangle ABC$. Bruk trekanten til å bestemme $\tan 60\degree$. :::{figure} ./figurer/del_1/oppgave_2/figur.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: :::::{admonition} Retteveiledning --- class: summary, dropdown --- * Inntil 1 poeng for å bestemme $AC$ med en gyldig strategi. * Inntil 1 poeng for å bestemme $\tan 60 \degree$ med en gyldig strategi. ::::: :::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ \tan 60 \degree = \sqrt{3} $$ ::::: :::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- I figuren har vi at $$ \tan 60 \degree = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{2\sqrt{3}}{AC} $$ siden $AB$ er motstående katet og $AC$ er hosliggende katet til $\angle C$. Vi kan bruke Pytagoras' setning til å bestemme $AC$: $$ AC^2 + (2\sqrt{3})^2 = 4^2 \liff AC^2 + 12 = 16 \liff AC^2 = 4 $$ dermed er $$ AC = 2. $$ Da følger det at $$ \tan 60 \degree = \dfrac{2\sqrt{3}}{AB} = \dfrac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}. $$ ::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{admonition} Oppgave 3 --- class: exercise --- Grafen til en andregradsfunksjon $f$ er vist i figuren nedenfor. :::{figure} ./figurer/del_1/oppgave_3/figur.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem $f(x)$. :::::{admonition} Retteveiledning --- class: summary, dropdown --- * Inntil 1 poeng for å velge en gyldig fremgangsmåte. * 1 poeng for å bestemme riktig $f(x)$. ::::: :::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ f(x) = -(x + 2)(x - 4) = -x^2 + 2x + 8. $$ ::::: :::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Grafen til $f$ skjærer $x$-aksen i $x = - 2$ og $x = 4$ som betyr at vi kan skrive $f(x)$ på nullpunktsform: $$ f(x) = a(x + 2)(x - 4). $$ Grafen til $f$ skjærer $y$-aksen i $y = 8$ som betyr at $$ f(0) = 8 \liff a(0 + 2)(0 - 4) = 8 \liff -8a = 8 \liff a = -1. $$ Dermed følger det at $$ f(x) = -(x + 2)(x - 4) = -x^2 + 2x + 8. $$ ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem likningen til tangenten i $(3, f(3))$. :::::{admonition} Retteveiledning --- class: summary, dropdown --- * Inntil 1 poeng for å velge en gyldig fremgangsmåte. * 1 poeng for riktig likning for tangenten. ::::: :::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ y = -4x + 17. $$ ::::: ::::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- :::::{tab-set} ::::{tab-item} Strategi 1: Den deriverte For å bestemme likningen til tangenten i $(3, f(3))$ må vi finne $y$-koordinaten til punktet og stigningstallet til tangenten. $$ y_1 = f(3) = -(3 + 2)(3 - 4) = 5. $$ Stigningstallet $a$ til tangenten er gitt ved den deriverte i $x = 3$: \begin{align*} f'(x) &= -2x + 2 \\ \\ a = f'(3) &= -2(3) + 2 = -6 + 2 = -4. \end{align*} Vi bruker ettpunktsformelen til å bestemme likningen \begin{align*} y - y_1 &= a(x - x_1) \\ \\ y - 5 &= -4(x - 3) \\ \\ y - 5 &= -4x + 12 \\ \\ y &= -4x + 17. \end{align*} Altså er likningen til tangenten $$ y = -4x + 17. $$ :::: ::::{tab-item} Strategi 2: Polynomdivisjon Resten i polynomdivisjonen $f(x) : (x - 3)^2$ gir oss uttrykket for tangenten i $x = 3$. :::{figure} ./koder/del_1/oppgave_3/polydiv.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Fra resten i polynomdivisjonen finner vi at likningen er $$ y = -4x + 17. $$ :::: ::::: :::::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{admonition} Oppgave 4 --- class: exercise --- En rasjonal funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1} $$ Avgjør hvilken graf som tilhører $f$. Husk å forklare hvordan du kommer fram til svaret ditt. :::{clickable-figure} ./figurer/del_1/oppgave_4/merged_figure.svg --- width: 100% --- ::: :::::{admonition} Retteveiledning --- class: summary, dropdown --- * Inntil 2 poeng for å bestemme relevante egenskaper for $f$. * Inntil 1 poeng for å bestemme riktig graf ut ifra egenskapene. ::::: :::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- Graf B. ::::: :::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Vi nullpunktsfaktoriserer teller- og nevnerpolynomet i $f(x)$: $$ f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1} = \dfrac{(x + 1)(x - 1)}{(x - 1)^2} = \dfrac{x + 1}{x - 1} $$ der vi brukte konjugatsetningen i tellerpolynomet og 2.kvadratsetning i nevnerpolynomet. Ettersom vi nå har forkortet bort alle felles faktorer, kan vi bestemme $f$ sine nullpunkter og asymptoter. Fra tellerpolynomet i det fortkortede uttrykket får vi at $$ f(x) = 0 \liff x + 1 = 0 \liff x = -1 $$ som betyr at $f$ har et nullpunkt i $x = -1$. Fra nevnerpolynomet får vi at $$ x - 1 = 0 \liff x = 1 $$ som betyr at $f$ har en vertikal asymptote i $x = 1$. Siden ledende koeffisient for teller og nevnerpolynomet er $1$ og polynomeme er av samme grad, følger det at den horisontale asymptoten er $y = 1$. Graf $B$ er den eneste grafen som samtidig har * et nullpunkt for $x < 0$ * en vertikal asymptote når $x > 0$ * en horisontal asymptote der $y > 0$. Dermed må graf B gære grafen til $f$. ::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{admonition} Oppgave 5 --- class: exercise --- I figuren nedenfor til venstre vises en sirkel med radius $1$ og en trekant som har to hjørner på sirkelen. I figuren nedenfor til høyre vises en trekant $\triangle ABC$. :::{figure} ./figurer/del_1/oppgave_5/merged_figure.svg --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Bestem arealet av $\triangle ABC$. :::::{admonition} Retteveiledning --- class: summary, dropdown --- * Inntil 1 poeng for å sette opp riktig formel for arealet med arealsetningen. * Inntil 1 poeng for å bestemme $\sin 120 \degree$ med en gyldig strategi. * Bruk av formlikhet for å bestemme arealet kan også gi full uttelling. ::::: :::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- Arealet er $4\sqrt{3}$. ::::: :::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Først kan vi merke oss at $\triangle ABC$ er likebeint siden $\angle A = 120\degree$ og $\angle B = 30 \degree$ som betyr at $$ \angle C = 180 \degree - 30\degree - 120 \degree = 30 \degree. $$ Dermed følger det at $AB = AC = 4$. Vi kan derfor bruke arealsetningen med utgangspunkt i hjørne $A$: $$ T_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2}\cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle A = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \sin 120\degree = 8 \cdot \sin 120 \degree. $$ Fra figuren med enhetssirkelen, har vi fått oppgitt et punkt på enhetssirkelen som svarer til en vinkel på $120 \degree$. Da vil $y$-koordinaten til dette punktet være $\sin 120\degree$. Dermed har vi at $$ \sin 120 \degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. $$ Da følger det at arealet av $\triangle ABC$ er $$ T_{\triangle ABC} = 8 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}. $$ ::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{admonition} Oppgave 6 --- class: exercise --- En elev jobber med en funksjon $f$. Grafen til $f$ er vist i figuren nedenfor. :::{figure} ./figurer/del_1/oppgave_6/figur.svg --- width: 60% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Eleven har skrevet programmet nedenfor :::{code-block} python --- linenos: --- def f(x): return x**3 + x**2 - 5 * x + 3 for x in range(0, 6): print(f(x)) ::: som ga utskriften :::{code-block} console 3 0 5 24 63 128 ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem én mulighet for verdiene til $a$, $b$ og $c$ slik at likningen nedenfor er en identitet. $$ x^3 + x^2 - 5x + 3 = (x - a)(x - b)(x - c). $$ :::::{admonition} Retteveiledning --- class: summary, dropdown --- * Inntil 1 poeng for å velge en gyldig fremgangsmåte. * 1 poeng for å bestemme én mulighet for $a$, $b$ og $c$. ::::: :::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ a = -3 \and b = c = 1 $$ ::::: :::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Programmet til eleven bruker en for-løkke som går gjennom verdiene $x \in \{0, 1, 2, \ldots, 5\}$. Fra utskriften kan vi se at den 2. verdien som skrives ut er $0$ som betyr at $f(1) = 0$. Dermed er $x = 1$ et nullpunkt. Fra figuren kan vi se at det positive nullpunktet til $f$ også er et bunnpunkt som betyr at det er et dobbelt nullpunkt. Da vet vi at $(x - 1)^2 | f(x)$ og polynomdivisjonen $f(x) : (x - 1)^2$ vil gå opp: :::{figure} ./koder/del_1/oppgave_6/polydiv.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure, polydiv-figure --- ::: Fra polynomdivisjonen følger det at $$ (x^3 + x^2 - 5x + 3) = (x + 3)(x - 1)^2 $$ som betyr at én mulighet for verdiene til $a$, $b$ og $c$ er $$ a = -3 \and b = c = 1. $$ ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Løs ulikheten $f(x) < 0$. :::::{admonition} Retteveiledning --- class: summary, dropdown --- * Inntil 1 poeng for å velge en gyldig fremgangsmåte. * Inntil 1 poeng for riktig svar. ::::: :::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ x \in \langle \gets, -3 \rangle. $$ ::::: :::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Fra grafen til $f$, kan vi se at $f(x) < 0$ når for alle verdier av $x$ som ligger på nedsiden av det negative nullpunktet til $f$. Det negative nullpunktet til $f$ er $x = -3$. Dermed kan vi konkludere at $$ f(x) < 0 \liff x \in \langle \gets, -3 \rangle. $$ ::::: ::::::::::::: :::::::::::::: :::::::::::::::