:::::::::::::::{admonition} Oppgave 1 
---
class: exercise
---
På bakkenivå er lufttrykket 1 atm (atmosfærisk trykk). Lufttrykket avtar med $12 \, \%$ per km i høyden.


:::{cas-popup} 420 500
:::

::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a
Forklar at en modell som passer med beskrivelsen ovenfor er 

$$
L(x) = 1 \cdot 0.88^x
$$

der $L(x)$ er det atmosfæriske trykket $x$ kilometer over bakken.

:::::{admonition} Retteveiledning
---
class: summary, dropdown
---
* Inntil 1 poeng for å forklare at $L$ er en eksponentiell modell $L(x) = a \cdot b^x$.
* Inntil 1 poeng for å forklare verdiene $a$ og $b$ ut ifra opplysningene i oppgaven.
:::::

:::::{admonition} Løsning
---
class: solution, dropdown
---
$L$ vil være en eksponentiell modell siden lufftrykket avtar med en prosentvis endring per km. Derfor er det modell på formen

$$
L(x) = a \cdot b^x 
$$

der $a$ er startverdien ved $x = 0$ og $b$ er vekstfaktoren. Ved $x = 1$ er $L(0) = 1$ som betyr at $a = 1$. Siden lufttrykket avtar med $12 \, \%$ per km, er vekstfaktoren $b = 1 - 0.12 = 0.88$. Dermed får vi at

$$
L(x) = a \cdot b^x = 1 \cdot 0.88^x
$$
:::::



:::::::::::::


:::::::::::::{tab-item} b
Ved hvilken høyde er lufttrykket halvparten av det på bakkenivå?


:::::{admonition} Retteveiledning
---
class: summary, dropdown
---
* Inntil 1 poeng for å forklare å velge en gyldig fremgangsmåte.
* Inntil 1 poeng for riktig svar.
:::::


:::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
Ca. $5.42$ km over bakken.
:::::


:::::{admonition} Løsning
---
class: solution, dropdown
---
For å bestemme hvilken høyde lufttrykket er halvparten av det på bakkenivå, må vi løse likningen

$$
L(x) = \frac{1}{2}L(0)
$$

Vi bruker CAS til å løse likningen:

:::{figure} ./figurer/del_2/oppgave_1/b.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::

som betyr at lufttrykket er halvparten av det på bakkenivå ved $x \approx 5.42$ km over bakken.

:::::

:::::::::::::


:::::::::::::{tab-item} c
Bestem stigningstallet til linja som går gjennom $(0, L(0))$ og $(8, L(8))$. <br> Gi en praktisk tolkning av svaret.


:::::{admonition} Retteveiledning
---
class: summary, dropdown
---
* 1 poeng for å bestemme riktig stigningstall.
* 1 poeng for riktig praktisk tolkning av svaret.
:::::



:::::{admonition} Løsning
---
class: solution, dropdown
---
Stigningstallet til linja som går gjennom punktene $(0, L(0))$ og $(8, L(8))$ svarer til den gjennomsnittlige vekstfarten til $L$ i intervallet $[0, 8]$. Vi regner ut dette med CAS:

:::{figure} ./figurer/del_2/oppgave_1/c.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::

Stigningstallet til linja er altså ca. $-0.08$ atm/km. Det betyr at lufttrykket i gjennomsnitt blir $0.08$ atm lavere per km i høyden fra bakkenivå opp til $8$ km over bakken.

:::::

:::::::::::::

::::::::::::::

:::::::::::::::








---







:::::::::::::::{admonition} Oppgave 2
---
class: exercise
---
En regulær 6-kant er en 6-kant der alle sidene er like lange. 

En sirkel med radius $1$ er innskrevet i en regulær 6-kant. En trekant har et hjørne i sentrum av sirkelen. Se figuren nedenfor.


:::{figure} ./figurer/del_2/oppgave_2/figur.svg
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::


Bruk trigonometri til å bestemme arealet av 6-kanten.


:::{cas-popup} 420 500
:::

:::::{admonition} Retteveiledning
---
class: summary, dropdown
---
* Inntil 1 poeng for å bestemme sidelengdene i trekanten med en gyldig strategi.
* Inntil 1 poeng for å bestemme arealet av trekanten.
* Inntil 1 poeng for å bestemme arealet av 6-kanten.
:::::

:::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
Arealet av 6-kanten er $2\sqrt{3}$.
:::::

:::::{admonition} Løsning
---
class: solution, dropdown
---
6-kanten består av 6 like store trekanter. Vi trenger derfor å bestemme arealet av én slik trekant først. La trekanten som er tegnet inn være $\triangle ABC$ der $A$ er hjørnet i sentrum av sirkelen. Vi kan først merke oss at sentralvinkelen $\angle A = u$ vil være 

$$
\angle A = \frac{360\degree}{6} = 60\degree.
$$

siden det er $360\degree$ i en hel sirkel og det er 6 like store toppvinkler i de 6 trekantene vi har plass til med toppunkt i sentrum av sirkelen.

Trekant $\triangle ABC$ er *minimum* en likebeint trekant siden $AB = AC$. Videre er $\angle A = 60\degree$ som betyr at $\angle B = \angle C = 60\degree$ og trekanten er derfor også *likesidet*. Vi kan derfor lage følgende hjelpefigur der vi trekker en **midtnormal** fra hjørne $A$ ned på $BC$ som deler $\angle A$ nøyaktig i to like store vinkler, og tilsvarende deler $BC$ i to like lange linjestykker. Siden radien i sirkelen er $1$, følger det at lengden på midtnormalen er $1$. Vi lar sidelengdene i trekanten være $\ell$. Se figuren nedenfor.

:::{figure} ./figurer/del_2/oppgave_2/hjelpefigur.svg
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::

> I utregningen nedenfor bruker vi at $\sin 60 \degree = \cos 30 \degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Fra definisjonen av cosinus, kan vi da skrive 

$$
\cos 30 \degree = \dfrac{1}{\ell} \liff \ell = \dfrac{1}{\cos 30 \degree} = \dfrac{1}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}.
$$

Deretter bruker vi arealsetningen for å bestemme arealet av trekant $\triangle ABC$:

$$
T_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot \ell^2 \cdot \sin 60\degree = \dfrac{1}{2} \cdot \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}.
$$


6-kanten består av 6 slike trekanter, så det samlede arealet blir da 

$$
T_{6-\mathrm{kant}} = 6 \cdot T_{\triangle ABC} = 6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}.
$$

:::::
:::::::::::::::









---








:::::::::::::::{admonition} Oppgave 3
---
class: exercise
---

:::{cas-popup}
---
layout: sidebar
---
:::


Nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon $f$ og to tangenter som skjærer gjennom nullpunktene til $f$.
* Den ene tangenten har stigningstall $4$.
* Tangentene skjærer hverandre i $(-1, -8)$. 


Bestem $f(x)$ og $f'(x)$.

:::{figure} ./figurer/del_2/oppgave_3/figur.svg
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::



:::::{admonition} Retteveiledning
---
class: summary, dropdown
---
* Inntil 1 poeng for å sette opp et gyldig likningssystem for koeffisientene til $f(x)$ eller $f'(x)$.
* 1 poeng for å bestemme $f(x)$ med en gyldig fremgangsmåte.
* 1 poeng for å bestemme $f'(x)$ med en gyldig fremgangsmåte.

Andre gyldige fremgangsmåter som leder fram til $f(x)$ og $f'(x)$ vil også gi full uttelling.
:::::


:::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
$$
f(x) = x^2 + 2x - 3 \limplies f'(x) = 2x + 2.
$$
:::::


:::::{admonition} Løsning
---
class: solution, dropdown
---
Vi kan sette opp et likningssystem ut ifra opplysningene i oppgaven. Vi trenger tre likninger der minst én av de ikke er en nullpunktslikning. 

Begge tangenter går gjennom punktet $(-1, -8)$. Den ene tangenten har stigningstall $4$. Fra ettpunktsformelen kan vi dermed skrive ned likningen til denne tangenten som:

$$
y - (-8) = 4(x - (-1)) \liff y = 4x - 4 = 4(x - 1)
$$

Her kan vi konkludere at tangenten skjærer $x$-aksen i

$$
y = 0 \liff 4(x - 1) = 0 \liff x = 1
$$

Det betyr at vi fra denne tangenten kan sette opp likningene

\begin{align*}
    f(1) &= 0 && \text{Nullpunkt i $x = 1$} \\
    \\
    f'(1) &= 4 && \text{Stigningstallet til tangenten i $x = 1$} \\
\end{align*}

Den andre tangenten går gjennom det andre nullpunktet til $f$. På grunn av symmetrien til en andregradsfunksjon, betyr det at $x$-koordinaten til skjæringspunktet mellom de to tangentene svarer til symmetrilinja til $f$. Dermed vil en tangent i punktet ha stigningstall $0$ slik at den siste likningen vi trenger er

\begin{align*}
    f'(-1) &= 0 && \text{Stigningstallet til tangenten i $x = -1$. Bunnpunkt} \\
\end{align*}

En andregradsfunksjon $f$ er generelt sett gitt ved 

$$
f(x) = ax^2 + bx + c.
$$

Vi løser likningssystemet med CAS for å bestemme koeffisientene til $f(x)$:

:::{figure} ./figurer/del_2/oppgave_3/sol.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::

som betyr at 

$$
f(x) = x^2 + 2x - 3. 
$$

Deriverer vi uttrykket, får vi:

$$
f'(x) = (x^2 + 2x - 3)' = 2x + 2.
$$



> Andre likninger vi kunne hentet ut fra opplysningene i oppgaven er: 
> 1) $f(-3) = 0$
> 2) $f'(-3) = -4$

:::::

:::::::::::::::










---










:::::::::::::::{admonition} Oppgave 4
---
class: exercise
---
Nedenfor vises en sylinder fylt med vann med et lite hull i bunnen.

:::{figure} ./figurer/del_2/oppgave_4/merged_figure.svg
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::

Den horisontale avstanden vannstrålen beveger seg er $S_i$ meter når vannstanden er $x_i$ meter over bunnen av sylinderen. I tabellen nedenfor vises et datamateriale for dette.


| $x$ (meter) | $8$ | $6$ | $5$ | $3$ | $2$ | 
|:------------|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| **$S$ (meter)** | $5.66$ | $4.90$ | $4.47$ | $3.46$ | $2.83$ |

::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a
Lag en modell på formen 

$$
S(x) = a \cdot x^b
$$

som viser hvor mange meter $S(x)$ vannstrålen beveger seg horisontalt når vannstanden er $x$ meter over bunnen av sylinderen.


:::::{admonition} Retteveiledning
---
class: summary, dropdown
---
* Inntil 1 poeng for å velge en gyldig fremgangsmåte.
* 1 poeng for å bestemme en rimelig modell $S(x)$.
:::::

:::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
$$
S(x) \approx 2 \cdot x^{0.5} = 2\sqrt{x}
$$
:::::

:::::{admonition} Løsning
---
class: solution, dropdown
---
Vi skriver inn datapunktene i et regneark i Geogebra:

:::{figure} ./figurer/del_2/oppgave_4/a/regneark.png
---
width: 30%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::

Deretter gjør vi regresjonsanalyse og velger en potensfunksjon som modell siden dette er modelltypen som er oppgitt som gir:

:::{figure} ./figurer/del_2/oppgave_4/a/modell.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::

som betyr at 

$$
S(x) \approx 2\cdot x^{0.5} = 2\sqrt{x}
$$

er en passende modell for datamaterialet. 

> Vi definerer $S(x)$ som dette i resten av oppgaven.

:::::

:::::::::::::


:::::::::::::{tab-item} b
Etter at hullet ble åpnet, varierte høyden til vannstanden med tiden slik at den kan beskrives av en modell på formen 

$$
h(t) = k(t - r)^2. 
$$

Når hullet i bunnen ble åpnet var vannstanden $10$ meter over bunnen. Tanken ble halvfull etter $7$ sekunder.

Bestem $k$ og $r$. Gi en praktisk tolkning av konstanten $r$. 

:::::{admonition} Retteveiledning
---
class: summary, dropdown
---
* Inntil 1 poeng for å bestemme $k$ og $r$.
* Inntil 1 poeng for å gi en praktisk tolkning av konstanten $r$.
:::::


:::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
$$
k \approx 0.02 \and r \approx 23.9
$$

Den praktiske tolkningen av $r$ er at det tar $r \approx 23.9$ sekunder før tanken er tom for vann.
:::::


:::::{admonition} Løsning
---
class: solution, dropdown
---
Modellen $h$ er en andregradsfunksjon skrevet på ekstremalpunktsform. Fra opplysningene kan vi sette opp et likningssystem:

\begin{align*}
    h(0) &= 10 && \text{(høyden når hullet åpnes er 10 meter)} \\
    \\
    h(7) &= 5 && \text{(tanken er halvfull etter 7 sekunder)} \\
\end{align*}

Vi bestemmer $k$ og $r$ ved å løse likningssystemet i CAS:

:::{figure} ./figurer/del_2/oppgave_4/b/sol.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::

som gir oss at 

$$
k \approx 0.02 \and r \approx 23.9
$$

Siden $h(t)$ er skrevet på ekstremalpunktsform med en ekstremalverdi som er $y_0 = 0$, vil $t = r$ svare til $t$-koordinaten til bunnpunktet og nullpunktet til $h$. Den praktiske tolkningen er at det tar $r = 23.9$ sekunder før tanken er tom for vann.


:::::



:::::::::::::


:::::::::::::{tab-item} c
Hvor lang tid tar det før lengden av strålen og høyden på vannstanden er like?


:::::{admonition} Retteveiledning
---
class: summary, dropdown
---
* Inntil 1 poeng få bestemme ved hvilken høyde strålen og høyden på vannstanden er like.
* Inntil 1 poeng for å bestemme hvor lang tid det tar før strålen og høyden på vannstanden er like.

Andre gydlige fremgangsmåter for å bestemme hvor lang tid det tar før strålen og høyden på vannstanden er like vil også gi full uttelling.
:::::


:::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
$t \approx 9.76$ sekunder
:::::


:::::{admonition} Løsning
---
class: solution, dropdown
---
Vi har to modeller:
* $S(x)$ som gir oss lengden av strålen for en gitt høyde $x$ på vannstanden.
* $h(t)$ som gir oss høyden på vannet for en gitt tid $t$.

For å bestemme hvor lang tid det tar før lengden av strålen og høyden på vannstanden er like, løser vi oppgaven i to steg:
1. Vi løser $S(x) = x$ for å avgjøre når strålen og høyden er like.
2. Vi løser $h(t) = x$ for løsningen vi fikk i steg 1 for å avgjøre *når* vi er ved høyden som er lik lengden av strålen.

Vi løser dette med CAS:

:::{figure} ./figurer/del_2/oppgave_4/c/sol.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::

Her finner vi fra steg 1 at $x = 4$ er høyden der lengden av strålen og høyden på vannstanden er like. Så løser vi $h(t) = 4$ for å avgjøre hvor lang tid det tok før vannstanden hadde denne høyden, som ga oss to løsninger:

$$
t \approx 9.76 \or t \approx 38.04.
$$

Men vi vet allerede at vanntanken er tom etter $t \approx 23.9$ sekunder, som betyr at vi kan konkludere at høyden til vannstanden og lengden på vannstrålen var like etter $t \approx 9.76$ sekunder.


:::::





:::::::::::::

::::::::::::::


:::::::::::::::










---










:::::::::::::::{admonition} Oppgave 5
---
class: exercise
---
En båt skal reise fra en øy $A$ til en øy $C$. <br>
Båten må innom land på en kystlinje på et punkt $B$ for å hente ferskvann. Båten skal reise en så kort som mulig avstand for å spare drivstoff.

Kystlinjen er $9$ km lang. Øy $A$ ligger $2$ km fra land og øy $C$ ligger $4$ km fra land. Se figuren nedenfor.


:::{figure} ./figurer/del_2/oppgave_5/figur.svg
---
width: 90%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::

En strandkiosk $S$ er plassert på starten av kystlinja.


:::{cas-popup} 420 500
:::


::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a
Bestem lengden båten må kjøre fra $A$ til $C$ dersom den går i land $2$ km fra strandkiosken.


:::::{admonition} Retteveiledning
---
class: summary, dropdown
---
* Inntil 1 poeng for å bruke Pytagoras' setning til å bestemme lengdene $AB$ og $BC$.
* Inntil 1 poeng for å bestemme den totale lengden på reisen fra $A$ til $C$.
:::::

:::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
Ca. $10.89$ km
:::::


:::::{admonition} Løsning
---
class: solution, dropdown
---
Vi bruker Pytagoras' setning på de to trekantene med $x = 2$ km som gir at de horisontale katetene er henholdsvis $2$ km og $(9 - 2)$ km. 
Vi regner ut summen av lengdene $AB + BC$ med CAS:

:::{figure} ./figurer/del_2/oppgave_5/a/sol.png
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::

som betyr at båten da kjører ca. $10.89$ km.

:::::

:::::::::::::


:::::::::::::{tab-item} b
Lag en modell $L$ som gir lengden $L(x)$ som båten må kjøre dersom den går i land en avstand $x$ fra strandkiosken.


:::::{admonition} Retteveiledning
---
class: summary, dropdown
---
* Inntil 1 poeng for å bruke Pytagoras' setning til å bestemme lengdene $AB$ og $BC$.
* Inntil 1 poeng for å sette opp modellen $L(x)$.
:::::


:::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
$$
L(x) = \sqrt{4 + x^2} + \sqrt{16 + (9 - x)^2}
$$
:::::

:::::{admonition} Løsning
---
class: solution, dropdown
---
Lengden $L(x)$ vil være summen av lengdene $AB$ og $BC$ for en bestemt verdi av $x \in [0, 9]$. Med Pytagoras' setning følger det at:

\begin{align*}
    AB^2 &= 2^2 + x^2 \limplies AB = \sqrt{4 + x^2} \\
    \\
    BC^2 &= 4^2 + (9 - x)^2 \limplies BC = \sqrt{16 + (9 - x)^2} \\
\end{align*}

Dermed er modellen $L$ gitt ved 

$$
L(x) = AB + BC = \sqrt{4 + x^2} + \sqrt{16 + (9 - x)^2}
$$
:::::

:::::::::::::



:::::::::::::{tab-item} c
Bestem hvor langt unna strandkiosken båten må gå i land for å få kortest mulig reisevei fra $A$ til $C$.

:::::{admonition} Retteveiledning
---
class: summary, dropdown
---
* Inntil 1 poeng for å velge riktig fremgangsmåte.
* Inntil 1 poeng for å bestemme $x$ slik at reiseveien er kortest mulig. Maksimalt 0,5 poeng hvis det ikke argumentert for at $x$ gir et bunnpunkt.
:::::


:::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
$$
x = 3
$$
:::::

:::::{admonition} Løsning
---
class: solution, dropdown
---
For å bestemme hvor langt unna strandkiosken båten må gå i land for å få kortest mulig reisevei, løser vi likningen $L'(x) = 0$ for å finne kandidater for bunnpunkter til $L$. Vi løser likningen med CAS:

:::{figure} ./figurer/del_2/oppgave_5/c/sol_1.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::

som forteller oss at $x = 3$ er en kandidat for et bunnpunkt. For å være sikre på at dette er et bunnpunkt, holder det å sjekke $L(x)$ i endepunktene og sammenligne med $L(3)$:

:::{figure} ./figurer/del_2/oppgave_5/c/sol_2.png
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::

Vi ser altså at $L(3) < L(0)$ og $L(3) < L(9)$, og dermed er $x = 3$ et bunnpunkt. Dermed må båten gå i land $3$ km fra strandkiosken for å få kortest mulig reisevei fra $A$ til $C$.

:::::

:::::::::::::


::::::::::::::


:::::::::::::::








---








:::::::::::::::{admonition} Oppgave 6
---
class: exercise
---
Nedenfor vises et kvadrat med sidelengder $3$. 

Kvadratet er fylt med mindre fargelagte kvadrater som blir mindre og mindre.

:::{figure} ./figurer/del_2/oppgave_6/figur.svg
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::

Lag et program som regner ut summen av arealet til de 100 største fargelagte kvadratene.


:::{popup-code}
---
width: 450
height: 500
---
:::

:::::{admonition} Retteveiledning
---
class: summary, dropdown
---
* Inntil 1 poeng for å skrive et program som bruker en løkke som regner ut arealet av $100$ kvadrater.
* Inntil 1 poeng for å bestemme riktig sum av arealene. 

Mindre mangler i programmet kan fortsatt gi noe uttelling. Programmet bør være rimelig forklart med kommentarer eller en overordnet forklaring for å gi full uttelling.
:::::


:::::{admonition} Løsning
---
class: answer, dropdown
---
Først kan vi legge merke til at sidelengdene i det største fargelagte kvadratet er $3/2$. Deretter halveres sidelengden for hvert mindre fargelagte kvadrat. For å summere arealet til de 100 største fargelagte kvadratene, kan vi derfor bruke en løkke som gjør følgende:

1. Regner ut arealet $A$ av kvadratet med sidelengde $\ell$ ved $A = \ell^2$.
2. Legger til arealet til summen $s \to s + A$. 
3. Halverer sidelengden $\ell \to \ell / 2$.

Vi gjentar dette 100 ganger.

**Programkode**:
:::{code-block} python
---
linenos:
---
s = 0 # sum av arealer
lengde = 3 / 2 # sidelengder i første kvadrat

# summerer de 100 største fargelagte kvadratene
for i in range(100):
    areal = lengde ** 2 # areal av kvadrat
    s = s + areal    # legg til arealet
    
    lengde = lengde / 2 # halver sidelengden

print(s)
:::

**Utskrift**:

:::{code-block} console
2.9999999999999996
:::

Arealet til de 100 største fargelagte kvadratene er ca. $3$.

:::::

:::::::::::::::








---







:::::::::::::::{admonition} Oppgave 7
---
class: exercise
---
Nedenfor vises noen påstander. 

Avgjør om påstandenen er sanne eller usanne. <br> Husk å forklare hvordan du kommer fram til svarene dine.


Påstand 1
: Hvis $f$ er en polynomfunksjon og $f(-1) = f(3)$, så er $f'(1) = 0$.

<br>

Påstand 2
: Hvis $f(x)$ er et polynom av grad $5$, så må $f(x) = 0$ for *minst* én verdi av $x$.

<br>

Påstand 3
: Funksjonen $f$ gitt ved 

    $$
    f(x) = \dfrac{(x - 3)^m}{x^2 - 6x + 9} \quad \text{der} \quad m \in \mathbb{N}
    $$

: har en vertikal asymptote *kun* når $m = 1$.


:::::{admonition} Retteveiledning
---
class: summary, dropdown
---
* Inntil 1 poeng for hver påstand som er vurdert riktig.

Riktig svar uten argumentasjon gir ingen uttelling.
:::::

:::::{admonition} Løsning
---
class: solution, dropdown
---
::::{tab-set}
:::{tab-item} Påstand 1
Påstanden er **usann**. Påstanden er bare sann for andregradsfunksjoner, men generelt så vil det bare *finnes* et tall $c \in \langle -1, 3\rangle$ hvor $f'(c) = 0$, men dette punktet må ikke nødvendigvis være midt i intervallet.

Vi kan vise dette med et *moteksempel* ved å se på en tredjegradsfunksjon der $f(-1) = f(3)$. Én slik tredjegradsfunksjon er:

$$
f(x) = (x + 1)(x - 3)^2
$$ 

siden her er $f(-1) = f(3) = 0$. Så kan vi bestemme i hvilke punkter $x$ vi får $f'(x) = 0$ og undersøke hvor i intervallet $[-1, 3]$ et av disse punktene ligger.

```{figure} ./figurer/del_2/oppgave_7/påstand_1/sol.png
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
```

Her finner vi at $x = \dfrac{1}{3}$ er det eneste punktet som ligger i intervallet $\langle -1, 3 \rangle$. Men dette punktet er ikke $x = 1$ (midt i intervallet), så vi har motbevist påstanden.

:::


:::{tab-item} Påstand 2
Påstanden er **sann** fordi alle oddegradspolynomer må minst ha ett nullpunkt fordi et polynom $f(x)$ alltid kan faktoriseres i et produkt av lineære faktorer og andregradsfaktorer. For at vi skal få en oddetallspotens som høyeste potens må det alltid være minst én lineær faktor $(x - r)$ i $f(x)$ som sikrer at $f(x) = 0$ for minst én verdi av $x = r$.
:::


:::{tab-item} Påstand 3
Påstanden er **sann** som vi kan se ved å faktorisere nevneren:

$$
f(x) = \dfrac{(x - 3)^m}{(x - 3)^2}
$$

Bare når $m = 1$ vil vi ha færre faktorer av $(x - 3)$ i telleren enn i nevneren som dermed gir en vertikal asymptote i $x = 3$. For alle andre naturlig tall $m$ vil vi enten ha like mange faktorer eller flere i telleren som bare gir et bruddpunkt i $x = 3$.
:::


::::
:::::


:::::::::::::::