# Repetisjon: *Speedrun* > Nedenfor finner du en oppgaver som er laget for å gi deg en raskt oversikt over fagstoffet i 1T organisert gjennom Jeopardy-oppgaver så alt ligger på ett sted. :::::::::::::::{exercise} Representasjoner av andregradsfunksjoner (Any% *glitchless*) ::::::::{jeopardy-2} :::::::{jeopardy-question} --- category: Standardform points: 100 --- Bestem symmetrilinja til funksjonen $$ f(x) = 2x^2 - 4x - 5 $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ x = 1 $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Standardform points: 200 --- En funksjon $f$ er gitt ved $f(x) = 2x^2 - 4x + 1$. Hvilken av grafene nedenfor viser grafen til $f$? ::::{multi-plot2} --- rows: 1 cols: 3 fontsize: 30 lw: 3.5 --- :::{plot} function: 2 * x**2 + 4 * x + 1 text: -4, 5, "A", center-center, bbox ::: :::{plot} function: 2 * x**2 - 4 * x + 1 text: -4, 5, "B", center-center, bbox ::: :::{plot} function: -(2 * x**2 + 4 * x) + 1 text: -4, 5, "C", center-center, bbox ::: :::: ::::::{jeopardy-answer} Graf B. :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Standardform points: 300 --- Grafen til en andregradsfunksjon $f$ er vist nedenfor. Bestem $f(x)$ på standardform. :::{plot} width: 50% function: -x**2 + 2 * x + 4, f fontsize: 28 ::: ::::::{jeopardy-answer} $$ f(x) = -x^2 + 2x + 4 $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Ekstremalpunktsform points: 100 --- En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = 2(x - 1)^2 - 4 $$
1. Bestem koordinatene til ekstremalpunktet til $f$. 2. Er ekstremalpunktet et topp- eller bunnpunkt? ::::::{jeopardy-answer} 1. $(1, -4)$ 2. Bunnpunkt siden den ledende koeffisienten er positiv. :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Ekstremalpunktsform points: 200 --- En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = -3(x + 2)^2 + 1 $$ Hvilke av grafene nedenfor viser grafen til $f$? ::::{multi-plot2} --- rows: 1 cols: 3 fontsize: 30 lw: 3.5 --- :::{plot} function: -3 * (x - 2)**2 + 1 text: -4, 5, "A", center-center, bbox ::: :::{plot} function: 3 * (x - 2) ** 2 + 1 text: -4, 5, "B", center-center, bbox ::: :::{plot} function: -3 * (x + 2)**2 + 1 text: -4, 5, "C", center-center, bbox ::: :::: ::::::{jeopardy-answer} Graf C. :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Ekstremalpunktsform points: 300 --- Grafen til en andregradsfunksjon $f$ er vist i figuren nedenfor. Bestem $f(x)$ på ekstremalpunktsform. :::{plot} width: 50% function: 2 * (x + 1)**2 - 3, f fontsize: 28 ::: ::::::{jeopardy-answer} $$ f(x) = 2(x + 1)^2 - 3 $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Nullpunktsform points: 100 --- Funksjonen $f$ er gitt ved $$ f(x) = 3(x - 1)(x + 2) $$ I hvilke punkter skjærer grafen til $f$ $x$-aksen? ::::::{jeopardy-answer} $$ (-2, 0) \quad \mathrm{og} \quad (1, 0) $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Nullpunktsform points: 200 --- En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = -2(x + 3)(x - 1) $$ Hvilke av grafene nedenfor viser grafen til $f$? ::::{multi-plot2} --- rows: 1 cols: 3 fontsize: 32 lw: 3.5 ymin: -10 ymax: 10 ystep: 2 --- :::{plot} function: -2 * (x + 3) * (x - 1) text: -4, 5, "A", center-center, bbox ::: :::{plot} function: 2 * (x + 3) * (x - 1) text: -4, 5, "B", center-center, bbox ::: :::{plot} function: -2 * (x - 3) * (x + 1) text: -4, 5, "C", center-center, bbox ::: ::::::{jeopardy-answer} Graf A. :::::: :::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Nullpunktsform points: 300 --- I figuren nedenfor vises grafen til en andregradsfunksjon $f$. Bestem $f(x)$ på nullpunktsform. :::{plot} width: 50% function: -1/2 * (x - 4) * (x + 2), f fontsize: 30 ::: ::::::{jeopardy-answer} $$ f(x) = -\frac{1}{2}(x - 4)(x + 2) $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Identiteter points: 100 --- En likning er gitt ved $$ (x - a)(x - b) = x^2 - x - 6 $$ Bestem $a$ og $b$ slik at likningen er en identitet. ::::::{jeopardy-answer} $$ a = -2 \quad \land \quad b = 3 $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Identiteter points: 200 --- Bestem $a$, $b$ og $x$ slik at likningen nedenfor er en identitet: $$ a(x - 2)(x - b) = 2x^2 - 8x + 8 $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ a = 2 \quad \land \quad b = 2 $$ ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Identiteter points: 300 --- Bestem $a$, $b$ og $c$ slik at likningen nedenfor er en identitet: $$ a(x - 2)^2 + b = 3(x + 1)(x - c) $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ a = 3 \quad \land \quad b = -27 \quad \land \quad c = 5 $$ :::::: ::::::: :::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Mer om andregradsfunksjoner (*no-skip-run*) ::::::::{jeopardy-2} :::::::{jeopardy-question} --- category: Andregradslikninger points: 100 --- Løs likningen $$ x^2 - x - 6 = 0 $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ x = -2 \quad \lor \quad x = 3 $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Andregradslikninger points: 200 --- Løs likningen $$ 2x^2 - 8x + 8 = 0 $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ x = 2 $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Andregradslikninger points: 300 --- Løs likningen $$ -x^2 + 3x = 2 $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ x = 1 \quad \lor \quad x = 2 $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Spesielle likninger points: 100 --- **Minuspoeng for å bruke $abc$-formelen!** Løs likningen $$ x^2 - 4 = 0 $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ x = -2 \quad \lor \quad x = 2 $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Spesielle likninger points: 200 --- **Minuspoeng for å bruke $abc$-formelen!** Løs likningen $$ x^2 - 6x = 0 $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ x = 0 \quad \lor \quad x = 6 $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Spesielle likninger points: 300 --- **Minuspoeng for å bruke $abc$-formelen!** $$ -2x^2 + 32 x = 0 $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ x = 0 \quad \lor \quad x = 16 $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Ulikheter points: 100 --- Løs ulikheten $$ (x - 1)(x + 3) > 0 $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ x \in \langle \gets, -3\rangle \cup \langle 1, \to \rangle $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Ulikheter points: 200 --- I figuren nedenfor vises fortegnslinja til en andregradsfunksjon $f$. Løs ulikheten $f(x) \geq 0$. :::{signchart-2} width: 70% function: -2 * (x + 2) * (x - 3), f(x) factors: false ::: ::::::{jeopardy-answer} $$ x \in [-2, 3] $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Ulikheter points: 300 --- Løs ulikheten $$ -x^2 + 4x + 5 < 0 $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ x \in \mathbb{R} \setminus [-1, 5] $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Vekstfart points: 100 --- En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = 3x^2 - 6x + 1 $$ Bestem $f'(x)$. ::::::{jeopardy-answer} $$ f'(x) = 6x - 6 $$ :::::: ::::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Vekstfart points: 200 --- En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^2 - x - 2 $$
Bestem likningen til tangenten til grafen til $f$ i punktet der $(1, f(1))$. ::::::{jeopardy-answer} $$ y = x - 3 $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Vekstfart points: 300 --- Om en andregradsfunksjon $f$ får du vite at 1. En tangent til grafen til $f$ i punktet $(2, f(2))$ har likningen $y = 3x - 1$. 2. En tangent til grafen til $f$ i punktet $(4, f(4))$ har stigningstall $-1$. Bestem $f'(x)$. ::::::{jeopardy-answer} $$ f'(x) = -2x + 7 $$ :::::: ::::::: :::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Polynomfunksjoner (*High-level-dungeons*) ::::::::{jeopardy-2} :::::::{jeopardy-question} --- category: Polynomdivisjon points: 100 --- Utfør polynomdivisjonen $$ (x^3 - 6x^2 + 11x - 6) : (x - 1) $$ ::::::{jeopardy-answer} :::{polydiv} --- p: x^3 - 6x^2 + 11x - 6 q: x - 1 width: 60% --- ::: :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Polynomdivisjon points: 200 --- Bestem $a$ og $b$ slik at likningen nedenfor er en identitet: $$ x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x + 2)(x - a)(x - b) $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ a = -2 \quad \land \quad b = 3 $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Polynomdivisjon points: 300 --- Bestem $a$, $b$ og $c$ slik at likningen nedenfor er en identitet: $$ x^3 - x^2 + 4x - 4 = (x - 1)(ax^2 + bx + c) $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ a = 1 \quad \land \quad b = 0 \quad \land \quad c = 4 $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Polynomlikninger points: 100 --- Løs likningen $$ x^3 - 3x + 2 = 0 $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ x = -2 \quad \lor \quad x = 1 $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Polynomlikninger points: 200 --- Bestem nullpunktene til $$ f(x) = x^3 + 3x^2 - 4x - 12 $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ x = -3 \quad \lor \quad x = -2 \quad \lor \quad x = 2 $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Polynomlikninger points: 300 --- Funksjonen $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^3 + 4x^2 - 3x - 18 $$
I hvilke punkter skjærer grafen til $f$ $x$-aksen? ::::::{jeopardy-answer} $$ (-3, 0) \quad \mathrm{og} \quad (2, 0) $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Polynomulikheter points: 100 --- Fortegnslinja til en tredjegradsfunksjon $f$ er vist i figuren nedenfor. Løs ulikheten $f(x) \geq 0$. :::{signchart-2} width: 70% function: (x + 3) * (x - 2)**2, f(x) factors: false ::: ::::::{jeopardy-answer} $$ x \in [-3, \to \rangle $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Polynomulikheter points: 200 --- I figuren nedenfor vises grafen til en tredjegradsfunksjon $f$. Bruk grafen til å løse ulikheten $f(x) < 0$. :::{plot} width: 60% function: -(x + 1) * (x - 2)**2, f yticks: off grid: off ::: ::::::{jeopardy-answer} $$ x \in \langle -1, 2 \rangle \cup \langle 2, \to \rangle $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Polynomulikheter points: 300 --- Bestem $a$ slik at ulikheten nedenfor har løsningen $x \in \langle -2, 1 \rangle \cup \langle 3, \to \rangle$ $$ (x - 1)(x + 2)(x - a) > 0 $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ a = 3 $$ :::::: ::::::: :::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Rasjonale funksjoner: (*Infinite-wall-glitch*) ::::::::{jeopardy-2} :::::::{jeopardy-question} --- category: Lineære-over-lineære points: 100 --- Grafen til en funksjon lineær-over-lineær funksjon $f$ er vist i figuren nedenfor. Bestem $f(x)$. :::{plot} width: 60% function: 2 * (x + 1) / (x - 3), f hline: 2, dashed, red vline: 3, dashed, red xmin: -10 xmax: 10 ymin: -10 ymax: 10 fontsize: 20 ::: ::::::{jeopardy-answer} $$ f(x) = \dfrac{2(x + 1)}{x - 3} $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Lineære-over-lineære points: 200 --- En rasjonal funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = \dfrac{4x + 2}{2x - 8} $$
Bestem likningene til asymptotene til grafen til $f$. ::::::{jeopardy-answer} * Vertikal asymptote: $x = 4$ * Horisontal asymptote: $y = 2$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Lineære-over-lineære points: 300 --- Om en lineær-over-lineær rasjonal funksjon $f$ får du vite at: * Grafen til $f$ har en vertikal asymptote i $x = 2$. * Grafen til $f$ har en horisontal asymptote i $y = 3$. * Grafen til $f$ skjærer $x$-aksen i punktet $(4, 0)$. Bestem $f(x)$. ::::::{jeopardy-answer} $$ f(x) = \dfrac{3(x - 4)}{x - 2} $$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Generelle rasjonale funksjoner points: 100 --- En rasjonal funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 1} $$ Hvilken av grafene nedenfor viser grafen til $f$? ::::{multi-plot2} --- rows: 1 cols: 3 ymin: -7 ymax: 7 xmin: -7 xmax: 7 fontsize: 28 --- :::{plot} function: (x**2 - 4) / (x**2 - 1) vline: -1, dashed, red vline: 1, dashed, red hline: 1, dashed, red text: -4, 5, "A", center-center, bbox ::: :::{plot} function: (x**2 - 1) / (x**2 - 4) vline: -2, dashed, red vline: 2, dashed, red hline: 1, dashed, red text: -4, 5, "B", center-center, bbox ::: :::{plot} function: -(x**2 - 4) / (x**2 - 1) vline: -1, dashed, red vline: 1, dashed, red hline: -1, dashed, red text: -4, 5, "C", center-center, bbox ::: :::: ::::::{jeopardy-answer} Graf A :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Generelle rasjonale funksjoner points: 200 --- Bestem asymptotene til $$ f(x) = \dfrac{2x^2 - 4}{(x + 3)(x - 2)} $$ ::::::{jeopardy-answer} * Horisontal asymptote: $y = 2$ * Vertikale asymptoter: $x = -3$ og $x = 2$ :::::: ::::::: :::::::{jeopardy-question} --- category: Generelle rasjonale funksjoner points: 300 --- Bestem nullpunktene til $$ f(x) = \dfrac{(x + 2)(x - 3)}{(x + 1)(x - 5)} $$ ::::::{jeopardy-answer} $$ x = -2 \quad \mathrm{og} \quad x = 3 $$ :::::: ::::::: :::::::: :::::::::::::::