# Funksjonsbegrepet :::{goals} Vis læringsmål * Kunne finne funksjonsverdier til funksjoner representert med formler, graf, verditabell eller et program. * Kunne tolke funksjoner representert som grafer og finne funksjonsverdier, nullpunkter, ekstremalpunkter og skjæringspunkter med koordinatakser. * Kunne bestemme definisjonsmengden og verdimengden til en funksjon fra grafen. ::: Når vi jobber med funksjoner, er **koordinatsystemet** et sentralt verktøy, så er det viktig at vi først og fremst forstår hvordan vi leser av koordinatene til punktet i et koordinatsystem: :::::::::::::::{summary} Koordinatsystemet Koordinatsystemet består av to tallinjer som vi kaller for **akser**. De to aksene er: * $x$-aksen (den horisontale aksen - også kalt *førsteaksen*). * $y$-aksen (den vertikale aksen - også kalt *andreaksen*). Punktet der aksene møtes kaller vi for **origo**. Origo har koordinatene $(0, 0)$. For å finne et punkt $(x, y)$ i koordinatsystemet, går vi $x$ plasser parallelt med $x$-aksen og $y$ plasser parallelt med $y$-aksen. Da står vi på punktet $(x, y)$. Vi kaller $x$-verdien til punktet for $x$-koordinaten og $y$-verdien for $y$-koordinaten. I figuren nedenfor vises et konkret eksempel med punktet $(3, 2)$. :::{plot} point: (3, 2) text: 3, 2, "$(3, 2)$", top-right hline: 2, 0, 3 vline: 3, 0, 2 width: 60% fontsize: 24 ::: ::::::::::::::: --- Nå som vi vet hvordan vi leser av koordinatene til punktet i et koordinatsystem, kan vi gå videre til å definere hva en funksjon er. :::::::::::::::{summary} Definisjon: Funksjoner En **funksjon** $f$ er en regel som tar inn et tall $x$, gjør noe med tallet og gir oss nøyaktig ett tall $y$. Vi skriver det som $$ y = f(x) $$ Tallet $x$ kalles for **argumentet**, mens $f(x)$ kalles for **funksjonsverdien**. Vi leser $f(x)$ som "$f$ av $x$". ::::::::::::::: ## Representasjoner En funksjon $f$ kan representeres på flere ulike måter: 1. **Funksjonsuttrykk**: En formel som lar oss regne ut funksjonsverdien $y = f(x)$ for et gitt argument $x$. 2. **Graf**: En kurve som består av punktene $(x, f(x))$ tegnet i et koordinatsystem. 3. **Verditabell**: En tabell som viser funksjonsverdiene $y = f(x)$ til funksjonen for ulike argumenter $x$. 4. **Programkode**: En programkode som beregner funksjonsverdien $y = f(x)$ for et gitt argument $x$. For å illustrere de ulike representasjonene tar vi utgangspunkt i samme funksjon. :::::::::::::::{example} Eksempel 1 Nedenfor ser du fire ulike representasjoner av den samme funksjonen $f$. :::::{grid} 1 1 2 2 --- gutter: 3 --- ::::{grid-item-card} **Funksjonsuttrykk** ^^^ $$ f(x) = x^2 - 4 $$ :::: ::::{grid-item-card} **Verditabell** ^^^ :::{table} --- transpose: true --- labels: $x$, $f(x)$ $-2$, $0$ $-1$, $-3$ $0$, $-4$ $1$, $-3$ $2$, $0$ ::: :::: ::::{grid-item-card} **Graf** ^^^ :::{plot} width: 100% function: x**2 - 4, f fontsize: 26 ::: :::: ::::{grid-item-card} **Programkode** ^^^ :::{code-block} python --- linenos: --- def f(x): return x**2 - 4 y = f(1) print(y) ::: :::: ::::: Bruk hver representasjon til å bestemme verdien til $f(1)$. ::::{solution} --- open: --- **Funksjonsuttrykk**: Med funksjonsuttrykket $f(x) = x^2 - 4$ setter vi inn $x = 1$ i $f(x)$ for å regne ut funksjonsverdien $f(1)$: $$ f(\textcolor{red}{1}) = \textcolor{red}{1}^2 - 4 = -3 $$ **Graf**: :::{plot} width: 340px align: right function: x**2 - 4, f fontsize: 26 vline: 1, 0, f(1), dashed, red hline: f(1), 0, 1, dashed, red point: (1, f(1)) text: 1, f(1), "$(1, f(1))$", bottom-right ::: Fra grafen kan vi lese av at når $x = 1$, så er $y = -3$. Dermed er $f(1) = -3$. :::{clear} ::: **Verditabell**: Verditabellen er gitt ved :::{table} --- transpose: true width: 70% --- labels: $x$, $f(x)$ $-2$, $0$ $-1$, $-3$ $0$, $-4$ $1$, $-3$ $2$, $0$ ::: Fra tabellen kan vi se at når $x = 1$ så er $f(x) = -3$. Dermed er $f(1) = -3$. **Programkode**: :::{interactive-code} def f(x): return x**2 - 4 y = f(1) print(y) ::: Kjører vi programmet ovenfor, blir utskriften lik `-3`{l=python} som betyr at $f(1) = -3$. :::: ::::::::::::::: ## Definisjonsmengder og verdimengder En funksjon $f$ kan ha en begrensning på hvilke verdier av $x$ som funksjonen er **definert** for. For eksempel vil funksjonen $f(x) = \sqrt{x}$ kun være meningsfull når $x \geq 0$ siden vi ikke kan regne ut kvadratroten av negative tall. Det finnes også situasjoner hvor vi selv velger hvilke $x$-verdier en funksjon skal gjelde for, for eksempel når vi vil lage en funksjon som skal brukes til en konkret situasjon vi ønsker å beskrive. Tallene vi kan få når vi *kun* bruker $x$-verdier som gir mening vil også avgrense hvilke mulige funksjonsverdier $f(x)$ vi kan få. Dette gir oss to ulike spesielle mengder som hører til funksjonen: :::::::::::::::{summary} Definisjon: Definisjonsmengde og verdimengde En funksjon $f$ har to tilhørende mengder: * **Definisjonsmengden** $D_f$ til $f$ består av alle $x$-verdier der funksjonen er definert. * **Verdimengden** $V_f$ til $f$ består av alle funksjonsverdier $f(x)$ vi kan få når $x \in D_f$. :::{plot} nocache: xmin: -2 ymin: -2 ymax: 6 xmax: 7 width: 70% function: 0.25 * (x - 3) ** 2 + 2, (1, 6], f, blue function-endpoints: true ticks: off hline: 0, 1, 6, solid, red vline: 0, f(3), f(6), solid, red vline: 1, 0, f(1), dashed, gray vline: 6, 0, f(6), dashed, gray hline: f(3), 0, 3, dashed, gray hline: f(6), 0, 6, dashed, gray bar: (1, -0.5), 6 - 1, h text: 0.5 * (6 + 1), -0.5, "$D_f$", bottom-center bar: (-0.5, f(3)), f(6) - f(3), v text: -0.5, 0.5 * (f(6) + f(3)), "$V_f$", center-left ::: Vi markerer endepunktene til grafen til $f$ med klammeparenteser $[,]$ hvis endepunktet er med i definisjonsmengden. Vi bruker vinkelparenteser $\langle, \rangle$ hvis endepunktet ikke er med i definisjonsmengden. ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Underveisoppgave 1 Ta quizen! ::::::::{quiz-2} :::::::{quiz-question} Grafen til en funksjon $f$ er vist i figuren nedenfor. :::{plot} width: 60% function: (x - 1)**2 - 4, [-2, 4], f, blue function-endpoints: true ::: Hvilket alternativ viser riktig definisjonsmengde? ::::::{quiz-answer} --- correct: true --- $$ D_f = [-2, 4] $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ D_f = \langle -2, 4\rangle $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ D_f = [-4, 5] $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ D_f = \langle -4, 5\rangle $$ :::::: ::::::: :::::::{quiz-question} Grafen til en funksjon $g$ er vist i figuren nedenfor. :::{plot} width: 60% function: 4 * 2**-x, [-1, 2), g, blue function-endpoints: true xmin: -3 xmax: 3 ymin: -1 ymax: 9 ::: Hvilket alternativ viser riktig definisjonsmengde? ::::::{quiz-answer} --- correct: true --- $$ D_g = [-1, 2\rangle $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ D_g = \langle-1, 2] $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ D_g = \langle 1, 8] $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ D_g = [1, 8\rangle $$ :::::: ::::::: :::::::{quiz-question} Grafen til en funksjon $h$ er vist i figuren nedenfor. :::{plot} width: 60% function: -0.5 * (x - 1)**2 + 3, [-3, 3), h, blue function-endpoints: true ::: Hvilket alternativ viser riktig verdimengde? ::::::{quiz-answer} --- correct: true --- $$ V_h = [-5, 3] $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ V_h = [-5, 1\rangle $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ V_h = [-3, 3\rangle $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ V_h = [-5, -1] $$ :::::: ::::::: :::::::{quiz-question} Grafen til en funksjon $p$ er vist i figuren nedenfor. :::{plot} xmin: -2 ymin: -2 width: 70% function: 0.125 * (x - 1) * (x - 3)**2 + 1, [1, 5], p, blue function-endpoints: true ::: Hvilket alternativ viser riktig verdimengde? ::::::{quiz-answer} --- correct: true --- $$ V_p = [1, 3] $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ V_p = [1, 5] $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ V_p = \langle 1, 3 \rangle $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ V_p = \langle 1, 5\rangle $$ :::::: ::::::: :::::::: ::::::::::::::: ## Egenskaper ved funksjoner Det er spesielt tre sentrale egenskaper ved funksjoner vi skal bestemme igjen og igjen: :::::::::::::::{summary} Sentrale egenskaper ved funksjoner For en funksjon $f$ vil følgende punkter gi oss sentrale egenskaper ved funksjonen: * **Skjæringspunktet med $y$-aksen**: Punktet der grafen til funksjonen krysser $y$-aksen. * **Nullpunkter**: Punkter der grafen til $f$ treffer $x$-aksen. Dette er punkter der $f(x) = 0$. * **Ekstremalpunkter**: Punkter der grafen snur. Et slikt punkt kaller vi for et **bunnpunkt** dersom grafen har formen {poly-icon}`smile` rundt punktet, og for et **toppunkt** dersom grafen har formen {poly-icon}`frown` rundt punktet. :::{plot} width: 70% function: (x + 3) * (x - 1) * (x - 2), f xmin: -4 xmax: 4 ymin: -6 ymax: 20 point: (0, 6) point: (1, 0) point: (2, 0) point: (-3, 0) ticks: off annotate: (-2, -4), (1, 0), "Nullpunkter", +0.3 annotate: (-2, -4), (2, 0), "Nullpunkter", +0.7 annotate: (-2, -4), (-3, 0), "Nullpunkter", -0.3 annotate: (1, 8), (sqrt(21)/3, f(sqrt(21)/3)), "Bunnpunkt", +0.3 annotate: (-4, 16), (-sqrt(21)/3, f(-sqrt(21)/3)), "Toppunkt", -0.3 point: (sqrt(21)/3, f(sqrt(21)/3)) point: (-sqrt(21)/3, f(-sqrt(21)/3)) annotate: (-1, 16), (0, 6), "Skjæringspunkt med $y$-aksen", +0.3 ::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 2 :::{plot} width: 350px align: right fontsize: 24 function: (x + 1)**2 * (x - 2), f ::: Grafen til en funksjon $f$ er vist i figuren til høyre. Bruk grafen til å bestemme 1. Skjæringspunktet med $y$-aksen. 2. Nullpunktene til $f$. 3. Ekstremalpunktene til $f$. ::::{solution} --- open: --- **1. Skjæring med $y$-aksen**: Fra grafen til $f$ kan vi se at grafen skjærer $y$-aksen i $(0, -2)$ som betyr at $f(0) = -2$. **2. Nullpunkter**: Grafen treffer $x$-aksen i to punkter $(-1, 0)$ og $(2, 0)$ som betyr at grafen har nullpunktene $$ x = -1 \or x = 2 $$ Det er vanlig å oppgi nullpunktene med bare $x$-verdiene fordi $y = 0$ i punktene uansett. **3. Ekstremalpunkter**: Grafen til $f$ har et toppunkt i $(-1, 0)$ og et bunnpunkt i $(1, -4)$ som er ekstremalpunktene til $f$. :::: :::::::::::::::