# Oppgaver: Lineære likninger :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 --- level: 1 --- I figuren nedenfor vises grafen til $f(x) = x + 3$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_1/figur.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bruk figuren til å løse likningen $$ x + 3 = 0 $$ ::::{answer} $$ x = -3 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bruk figuren til å løse likningen $$ x + 3 = 4 $$ ::::{answer} $$ x = 1 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bruk figuren til å løse likningen $$ x + 3 = -2 $$ ::::{answer} $$ x = -5 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Bruk figuren til å løse likningen $$ x + 3 = 5 $$ ::::{answer} $$ x = 2 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 --- level: 1 --- Løs likningene grafisk med graftegneren i Geogebra. ::::{hints} Hvordan løser jeg likningen grafisk med Geogebra? En likning er gitt ved $$ 3x - 1 = -4 $$ Nedenfor ser du en gif som viser hvordan man løser likningen med grafvinduet i Geogebra. Vi trykker på {ggb-icon}`mode_intersect` (Skjæring mellom to objekt) etterfulgt av å trykke på hver graf for å finne skjæringspunktet. :::{figure} ./videoer/grafisk_løsning.gif --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: Skjæringspunktet er $(-1, -4)$. Det er $x$-koordinaten som er løsningen av likningen, så løsningen er $$ x = -1 $$ :::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{ggb-popup} --- layout: sidebar --- ::: $$ 2x - 5 = 1 $$ :::{clear} ::: ::::{answer} $$ x = 3 $$ :::: ::::{solution} Vi skriver uttrykkene til venstre og høyre side i algebrafeltet og trykker på {ggb-icon}`mode_intersect` (Skjæring mellom to objekt) etterfulgt av å trykke på hver graf for å finne skjæringspunktet. Se figuren nedenfor. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_2/a.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: Vi ser at skjæringspunktet er $(3, 1)$. Det er $x$-koordinaten som er løsningen av likningen, så løsningen er $$ x = 3 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{ggb-popup} --- layout: sidebar --- ::: $$ x + 4 = -2x + 1 $$ :::{clear} ::: ::::{answer} $$ x = -1 $$ :::: ::::{solution} Vi skriver inn uttrykkene på venstre og høyre side av likningen i algebrafeltet og trykker på {ggb-icon}`mode_intersect` (Skjæring mellom to objekt) etterfulgt av å trykke på hver graf for å finne skjæringspunktene. Se figuren nedenfor. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_2/b.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: Vi ser at skjæringspunktet er $(-1, 3)$. Det er $x$-koordinaten som er løsningen av likningen, så løsningen er $$ x = -1 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c :::{ggb-popup} --- layout: sidebar --- ::: $$ -x + 1 = 2x + 7 $$ :::{clear} ::: ::::{answer} $$ x = -2 $$ :::: ::::{solution} Vi skriver inn uttrykkene på venstre og høyre side av likningen i algebrafeltet og trykker på {ggb-icon}`mode_intersect` (Skjæring mellom to objekt) etterfulgt av å trykke på hver graf for å finne skjæringspunktene. Se figuren nedenfor. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_2/c.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: Vi ser at skjæringspunktet er $(-2, 3)$. Det er $x$-koordinaten som er løsningen av likningen, så løsningen er $$ x = -2 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d :::{ggb-popup} --- layout: sidebar --- ::: $$ x - 3 = -x + 5 $$ :::{clear} ::: ::::{answer} $$ x = 4 $$ :::: ::::{solution} Vi skriver inn uttrykkene på venstre og høyre side av likningen i algebrafeltet og trykker på {ggb-icon}`mode_intersect` (Skjæring mellom to objekt) etterfulgt av å trykke på hver graf for å finne skjæringspunktene. Se figuren nedenfor. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_2/d.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: Vi ser at skjæringspunktet er $(4, 1)$. Det er $x$-koordinaten som er løsningen av likningen, så løsningen er $$ x = 4 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 --- level: 1 --- Løs likningene nedenfor algebraisk. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a $$ x - 2 = 0 $$ ::::{answer} $$ x = 2 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b $$ x - 2 = 4 $$ ::::{answer} $$ x = 6 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c $$ -2x + 4 = 8 $$ ::::{answer} $$ x = -2 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d $$ -4x + 6 = 7x $$ ::::{answer} $$ x = \dfrac{6}{11} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 --- level: 1 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a I programmet nedenfor løses en likning. 1. Bestem hvilken likning programmet løser. 2. Hvilke verdier er det programmet prøver ut for $x$? 3. Bestem verdien programmet skriver ut og sjekk svaret ditt ved å kjøre programmet. :::{interactive-code} --- predict: --- for x in range(-10, 11): if x + 5 == 0: print(x) ::: ::::{answer} 1. Programmet løser likningen $x + 5 = 0$. 2. Programmet prøver ut verdiene $x \in \set{-10, -9, \ldots, 9, 10}$. 3. Programmet skriver ut verdien $-5$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b I programmet nedenfor løses en likning. 1. Bestem hvilken likning programmet løser. 2. Bestem verdien programmet skriver ut og sjekk svaret ditt ved å kjøre programmet. :::{interactive-code} --- predict: --- for x in range(-10, 11): if x - 2 == 8: print(x) ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c I programmet nedenfor løses en likning. 1. Bestem hvilken likning programmet løser. 2. Bestem verdien programmet skriver ut og sjekk svaret ditt ved å kjøre programmet. :::{interactive-code} --- predict: --- for x in range(-10, 11): if -x + 8 == 3*x: print(x) ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d I programmet nedenfor løses en likning. 1. Bestem hvilken likning programmet løser. 2. Bestem verdien programmet skriver ut og sjekk svaret ditt ved å kjøre programmet. :::{interactive-code} --- predict: --- for x in range(-10, 11): if 2*x - 4 == 3*x + 1: print(x) ::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 --- level: 2 --- Grafene til to lineære funksjoner $f$ og $g$ er vist i figuren nedenfor. Funksjonsuttrykkene er gitt ved $$ f(x) = x - 2 \quad \text{og} \quad g(x) = -3x - 6. $$ :::{plot} width: 70% function: x - 2, f function: -3*x - 6, g ::: Løs likningene nedenfor ved hjelp av figuren der det er mulig. Hvis ikke må du bruke en annen metode. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Løs likningen $$ f(x) = 0 $$ ::::{answer} $$ x = 2 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Løs likningen $$ g(x) = 3 $$ ::::{answer} $$ x = -3 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Løs likningen $$ f(x) = g(x) $$ ::::{answer} $$ x = -1 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Løs likningen $$ g(x) = -2 $$ ::::{answer} $$ x = -\dfrac{4}{3} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 6 --- level: 2 --- En lineær funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = \dfrac{1}{2}x + 3. $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem i hvilket punkt grafen til $f$ skjærer $x$-aksen. ::::{answer} $$ (-6, 0) $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem i hvilket punkt grafen til $f$ skjærer linja $y = 2$. ::::{answer} $$ (-2, 2) $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En annen lineær funksjon $g$ er gitt ved $$ g(x) = 2x. $$ Bestem i hvilket punkt grafen til $f$ og $g$ skjærer hverandre. ::::{answer} $$ (2, 2) $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 7 --- level: 2 --- Bruk CAS til å løse likningene nedenfor. ::::{hints} Hvordan løser jeg en likning med CAS? Nedenfor ser du en *gif* som viser hvordan man kan løse en likning med CAS. Du trenger bare å åpne CAS-vinduet og gjøre slik det vises i *gif-en*. :::{figure} ./videoer/cas-likninger.gif --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: :::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: $$ 4x + 2 = 0 $$ ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: $$ 2x - 3 = 5 $$ ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: $$ 3x + 4 = 2x + 7 $$ ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: $$ \dfrac{3}{2}x - 1 = 2x + 4 $$ > For å lage en brøk i CAS, skriver du bare telleren etterfulgt av skråstrek `/`. Deretter kan du skrive nevneren. ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 8 --- level: 2 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Fyll ut programmet nedenfor slik at det løser likningen $$ -4x + 3 = -2x + 5 $$ :::{interactive-code} for x in range(????): if ????: print(x) ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Fyll ut programmet nedenfor slik at det løser likningen $$ 3x - 7 = 2x + 5 $$ :::{interactive-code} for x in range(????): if ????: print(x) ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Fyll ut programmet nedenfor slik at det løser likningen $$ 2x + 4 = 10 $$ :::{interactive-code} for x in range(????): if ????: print(x) ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Fyll ut programmet nedenfor slik at det løser likningen $$ 3x + 2 = 2x + 7 $$ :::{interactive-code} for x in range(????): if ????: print(x) ::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 9 --- level: 2 --- To lineære funksjoner er gitt ved $$ f(x) = 3x - 2 \quad \text{og} \quad g(x) = -2x + 4. $$ :::{cas-popup} ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bruk CAS til å løse likningen $$ f(x) = 0 $$ ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bruk CAS til å løse likningen $$ f(x) = 2 $$ ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bruk CAS til å løse likningen $$ f(x) = g(x) $$ ::::::::::::: :::::::::::::: :::::::::::::::