# Lineære modeller ::::{admonition} Læringsmål --- class: tip --- Etter det delkapitlet, er målet at du skal: * Kunne forklare og lage lineære modeller for praktiske situasjoner. * Kunne beskrive og bestemme definisjonsmengden og verdimengden til en lineær funksjon i en praktisk situasjon. :::: Lineære modeller er en type matematisk modell som beskriver en sammenheng mellom to variabler $x$ og $y$ der vi antar at sammenhengen mellom dem er lineær, som vil si at $$ y = ax + b $$ der $a$ og $b$ er koeffisientene til modellen. Når vi snakker om lineære modeller, kaller vi ofte koeffisientene for **parametere**. ## Lage lineære modeller for praktiske situasjoner I en del tilfeller er det rimelig å anta en lineær sammenhengen mellom to variabler $x$ og $y$. Vi ser på en slik situasjon i eksempel 1. ::::{admonition} Eksempel 1 --- class: example --- Hvis du skal leie en el-sparkesykkel fra Voi, må du betale $10$ kr for å låse opp sparkesykkelen og $3$ kr per minutt du leier den. Sett opp en lineær modell $f$ slik at $f(x)$ gir prisen i kroner for å leie sparkesykkelen i $x$ minutter. :::{admonition} Løsning --- class: solution --- Modellen vår har formen $$ f(x) = ax + b. $$ Siden startprisen er $10$ kr, vet vi at $f(0) = 10$. Dette gir oss at $b = 10$. Videre vet vi at prisen øker med $3$ kr for hvert minutt som betyr at stigningstallet er $a = 10$. Dermed er modellen vår beskrevet av $$ f(x) = 3x + 10. $$ ::: :::: --- :::::{admonition} Underveisoppgave 1 --- class: check --- Et annet el-sparkesykkelselskap har en annen prismodell. For å leie en el-sparkesykkel hos dette selskapet i $x$ minutter, er prisen i kroner gitt ved $$ f(x) = 8x + 12. $$ Hvor mye koster det å låse opp sparkesykkelen, og hvor mye koster det å leie sparesykkelen per minutt? ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- Stigningstallet er $a = 8$ som betyr at det koster $8$ kr per minutt å leie sparkesykkelen. Konstantleddet er $b = 12$ kr som betyr at det koster $12$ kr å låse opp sparkesykkelen. :::: ::::: --- Når vi skriver $y = f(x)$, antar vi at $x$ bestemmer verdien til $y$. Da sier vi at $x$ er den **uavhengige** variabelen og $y$ er den **avhengige** variabelen. :::::{admonition} Oppsummering: lage lineære modeller --- class: summary --- Gitt en **uavhengig** variabel $x$ og en **avhengig** variabel $y$, kan vi lage en lineær modell $f$ som beskriver sammenhengen mellom $x$ og $y$ på formen $$ f(x) = ax + b $$ der $y = f(x)$. > Når vi jobber med lineære modeller, kaller vi ofte koeffisientene $a$ og $b$ for **parameterne** til modellen. ::::: --- ## Definisjonsmengde og verdimengde To nye typer mengder som hører til en funksjon $f$ er **definisjonsmengden** $D_f$ og **verdimengden** $V_f$. Rent praktisk betyr dette at hvis vi har grafen til $f$, vil de to mengdene inneholde følgende tall: * **Definisjonsmengde $D_f$** – Mengden av alle $x$-verdier som ligger på grafen til $f$. * **Verdimengde $V_f$** – Mengden av alle $f(x)$-verdier ($y$-verdier) som ligger på grafen til $f$. La oss prøve å forstå dette gjennom et par eksempler. :::::{admonition} Eksempel 1 --- class: example --- Under vises tre eksempler på lineære funksjoner og deres definisjonsmengde og verdimengde. I figurene har vi marker med klammeparentes hvis endepunktet er inkludert i mengden, og vinkelparentes hvis ikke. `````{tab-set} --- class: tabs-parts --- ````{tab-item} Figur 1 For grafen til $f$ har vi at $$ x \in \langle 3, 8] \quad \text{og} \quad f(x) \in \langle 1, 6] $$ Dermed er definisjonsmengden og verdimengden til $f$ gitt ved $$ D_f = \langle 3, 8] \quad \text{og} \quad V_f = \langle 1, 6] $$ :::{figure} ./figurer/eksempler/eksempel_2/figur_1.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser en lineær funksjon $f$ som har definisjonsmengde $D_f = \langle 3, 8]$ og verdimengde $V_f = \langle 1, 6]$. ::: ```` ````{tab-item} Figur 2 Fra grafen til $g$ kan vi se at $$ x \in [2, 6] \quad \text{og} \quad g(x) \in [4, 8]. $$ Derfor er definisjonsmengden og verdimengden til $g$ gitt ved $$ D_g = [2, 6] \quad \text{og} \quad V_g = [4, 8] $$ :::{figure} ./figurer/eksempler/eksempel_2/figur_2.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser en lineær funksjon $g$ som har definisjonsmengde $D_g = [2, 6]$ og verdimengde $V_g = [4, 8]$. ::: ```` ````{tab-item} Figur 3 Fra grafen til $h$ kan vi se at $$ x \in \langle 2, 6 \rangle \quad \text{og} \quad h(x) \in \langle 3, 5 \rangle. $$ Dermed er definisjonsmengden og verdimengden til $h$ gitt ved $$ \displaystyle{D_h = \langle 2, 6 \rangle \quad \text{og} \quad V_h = \langle 3, 5 \rangle} $$ :::{figure} ./figurer/eksempler/eksempel_2/figur_3.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser en lineær funksjon $h$ som har definisjonsmengde $D_h = \langle 2, 6 \rangle$ og verdimengde $V_h = \langle 3, 5 \rangle$. ::: ```` ````` ::::: --- :::::{admonition} Oppsummering: Definisjonsmengde og Verdimengde --- class: summary --- For en funksjon $f$, kan vi gi flere tolkninger av definisjonsmengde og verdimengde ut ifra hvilken representasjon vi bruker. Definisjonsmengde $D_f$ : Mengden av alle $x$-verdier som vi kan bruke til å regne ut funksjonsverdier $f(x)$. : Mengden av alle $x$-verdier som ligger på grafen til $f$. Verdimengde $V_f$ : Mengden av alle funksjonsverdier $f(x)$ som vi kan få fra $x$-verdiene i definisjonsmengden. : Mengden av alle $f(x)$-verdier ($y$-verdier) som ligger på grafen til $f$. ::::{figure} ./figurer/teori/teori_1.svg --- name: fig-lineære-funksjoner-modellering-lage-modell-teori width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser grafisk hva som er definisjonsmengden $D_f$ og verdimengden $V_f$ til en lineær funksjon $f$. :::: ::::: --- ::::{admonition} Underveisoppgave 1 --- class: check --- Ta quizen! :::{raw} html --- file: quiz/quiz_1/quiz_1.html --- ::: :::: --- ## Praktisk betydning av definisjonsmengde og verdimengde I praktiske situasjoner finnes det ofte begrensninger på hva som gir mening å bruke som $x$-verdier, og hva som gir mening som $f(x)$-verdier. Da setter vi opp definisjonsmengden og verdimengden ut ifra hva som gir mening i den praktiske situasjonen. ::::{admonition} Eksempel 3 --- class: example --- Prisen i $f(x)$ kroner for å leie en el-sparkesykkel i $x$ minutter var i eksempel 1 gitt ved funksjonen $$ f(x) = 3x + 10. $$ Sparkesykkelselskapet tillatter bare at du leier sparkesykkelen i inntil 90 minutter. Hva er definisjonsmengden og verdimengden til $f$ i denne situasjonen? :::{admonition} Løsning --- class: solution --- Den minste mulige tiden vi kan leie en sparkesykkel må være $0$ minutter som betyr at $x \geq 0$. Men vi kan heller ikke leie sparkesykkelen i mer enn 90 minutter, som betyr at $x \leq 90$. Dette betyr derfor at $$ x \geq 0 \, \land \, x \leq 90 \quad \iff \quad 0 \leq x \leq 90 \quad \iff \quad x \in [0, 90]. $$ Derfor blir definisjonsmengden $$ D_f = [0, 90]. $$ For å bestemme den tilhørende verdimengden, kan vi merke oss at $f$ vokser hele tiden og vi kan derfor se at verdimengden blir avgrenset av $f(0)$ og $f(90)$. Dette gir oss begrensningene $$ f(0) = 10 \quad \text{og} \quad f(90) = 280. $$ Derfor er verdimengden $$ V_f = [10, 280]. $$ Den praktiske tolkningen av dette er at vi kan ikke betale mindre enn 10 kroner (hvis vi leier i 0 minutter) og ikke mer enn 280 kroner (hvis vi leier i 90 minutter). ::: ::::