# Oppgaver:
Lineære modeller ::::::::::::{admonition} Oppgave 1 --- class: problem-level-1 --- Lise handler på en perlebutikk der man kan lage seg et perkesmykke ved å plukke ut et antallet perler og lage smykket. For å lage et smykke trenger man et kjede, det koster $15$ kr. Hver perle koster $2$ kr. :::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- ::::::::::{tab-item} a Sett opp en funksjon $f$ som gir prisen i $f(x)$ kroner for å kjøpe ett smykke med $x$ perler. :::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ f(x) = 2x + 15 $$ ::: :::::::::: ::::::::::{tab-item} b Det er bare plass til 60 perler i et smykke. Sett opp en passende definisjonsmengde og tilhørende verdimengde for $f$. :::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ D_f = \langle 0, 60] \quad \text{og} \quad V_f = \langle 15, 135] $$ ::: :::::::::: ::::::::::: :::::::::::: --- ::::::::::::{admonition} Oppgave 2 --- class: problem-level-1 --- For å ta en taxi betaler man en fastpris på $50$ kr og $9$ kr per minutt. :::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- ::::::::::{tab-item} a Sett opp en funksjon $f$ som gir prisen i $f(x)$ kroner for å ta en taxi i $x$ minutter. :::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ f(x) = 9x + 50 $$ ::: :::::::::: ::::::::::{tab-item} b Hvor mye koster det å kjøre taxi i $10$ minutter? :::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ f(10) = 9\cdot 10 + 50 = 140 $$ Det koster altså $140$ kr å kjøre taxi i $10$ minutter. ::: :::::::::: ::::::::::{tab-item} c Hvor lenge kan du kjøre taxi for $230$ kr? :::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ $x = 20 $$ Man kan altså kjøre taxi i $20$ minutter for $230$ kr. ::: :::::::::: :::::::::::: --- ::::::::::::{admonition} Oppgave 3 --- class: problem-level-1 --- I 1987 kostet en kroneis 6 kr. I 2022 hadde prisen steget til 27 kroner. Vi antar at prisutviklingen har vært tilnærmet lineær i perioden fra 1987 til 2022. :::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- ::::::::::{tab-item} a Sett opp en funksjon $f$ som gir prisen for en kroneis i $f(x)$ kroner $x$ år etter 1987. :::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ f(x) = \dfrac{3}{5}x + 6 $$ ::: :::::::::: ::::::::::{tab-item} b Hvor mye endret prisen på en kroneis seg per år, ifølge modellen? :::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- Stigningstallet til $f$ er $a = 3/5$. Prisen på en kroneis har derfor økt med $$ a = \dfrac{3}{5} = 0.6 $$ kroner per år. ::: :::::::::: ::::::::::{tab-item} c En kroneis kostet 1 krone i 1970. Hvor mye kostet en krone i 1970 ifølge modellen? :::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ f(1970 - 1987) = f(-17) = \dfrac{3}{5} \cdot (-17) + 6 \approx -4.2 $$ Prisen blir negativ som ikke gir praktisk mening. Modellen fungerer altså ikke så langt tilbake i tid. ::: :::::::::: ::::::::::{tab-item} d Hvor mye vil en kroneis koste i 2030, ifølge modellen? :::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ f(2030 - 1987) = \dfrac{3}{5} \cdot 43 + 6 \approx 32 $$ Isen koster 32 kroner, noe som kan være rimelig. Modellen ser dermed ut til å fungere greit fremover i tid. ::: :::::::::: ::::::::::: :::::::::::: --- ::::::::::::{admonition} Oppgave 4 --- class: problem-level-1 --- Lydfarten i luft er ca. $343 \, \mathrm{m/s}$ (meter per sekund). Når det lyner ute, produseres det en kraftig lyd som vi kaller torden. :::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- ::::::::::{tab-item} a Sett opp en funksjon $f$ som slik at modellen gir $f(x)$ meter lyden reiser på $x$ sekunder etter lynet har slått ned. :::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ f(x) = 343x $$ ::: :::::::::: ::::::::::{tab-item} b Hvis du ser lynglimtet, og hører det tordner $6$ sekunder etterpå – hvor langt skjedde lynnedslaget fra deg? :::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ f(6) = 343\cdot 6 = 2058 $$ Lynnedslaget skjedde dermed 2058 m unna der du stod, noe som tilsvarer litt over 2 km. ::: :::::::::: ::::::::::{tab-item} c Hvor lang tid vil det ta før du hører torden dersom du er $4 \, \mathrm{km}$ unna lynnedslaget? :::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- For å finne svaret må vi løse likningen $ 343x = 4000 $ Vi finner da at $x \approx 11,66$. Du hører altså lynnedslaget etter 11,7 sekunder. ::: :::::::::: ::::::::::: :::::::::::: --- ::::::::::::{admonition} Oppgave 5 --- class: problem-level-2 --- To av aktørene i Oslo som tilbyr leie av el-sparkesykkel er Ryde og Bolt. De to aktørene har følgende prismodeller: :::::{grid} --- gutter: 3 --- ::::{grid-item-card} Ryde * Startpris: 10 kr * Pris per minutt: 2.5 kr :::: ::::{grid-item-card} Bolt * Startpris: 5 kr * Pris per kilometer: 12 kr :::: ::::: --- :::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- ::::::::::{tab-item} a Sett opp en funksjon $R$ som gir prisen i $R(t)$ kroner for å leie en el-sparkesykkel fra Ryde i $t$ minutter. :::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ R(t) = 2.5t + 10 = \dfrac{5}{2}t + 10 $$ ::: :::::::::: ::::::::::{tab-item} b Sett opp en funksjon $B$ som gir prisen i $B(x)$ kroner for å leie en el-sparkesykkel fra Bolt for å kjøre $x$ kilometer. :::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ B(x) = 12x + 5 $$ ::: :::::::::: ::::::::::{tab-item} c Maksfarten til en el-sparkesykkel er 20 km/t. Vi antar at du i gjennomsnitt kjører i 15 km/t (siden du må bremse og følge trafikk og lignende i Oslo sine gater). Gjør beregninger og vurder hvilket tilbud som er billigst dersom du skal reise 2 km. :::::{admonition} Hint --- class: dropdown, hints --- Du får bruk for vei-fart-tid formelen $$ s = v\cdot t $$ der $s$ er strekning, $v$ er fart og $t$ er tid. --- Husk at du også må bruke riktig tidsenhet for å sammenlikne. ::::: :::::::::: ::::::::::{tab-item} d René kjører ofte el-sparkesykkel og bruker i gjennomsnitt 5 minutter per tur. Anta at han kjører i 15 km/t i gjennomsnitt. Hvilket tilbud er mest gunstig for René? :::::::::: ::::::::::: :::::::::::: --- ::::::::::::{admonition} Oppgave 6 --- class: problem-level-2 --- To biler begynner å kjøre samtidig fra to forskjellige steder. * Bil $\mathrm{A}$ kjører fra Oslo i retning nord med en konstant fart på 80 km/t. * Bil $\mathrm{B}$ kjører fra Lillehammer sør med en konstant fart på 100 km/t. * Avstanden fra Oslo til Lillehammer er ca. 180 km. :::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- ::::::::::{tab-item} a Sett opp en funksjon $f$ som angir avstanden fra Oslo til bil $\mathrm{A}$ i $f(t)$ kilometer etter $t$ timer. :::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ f(t) = 80t $$ ::: :::::::::: ::::::::::{tab-item} b Sett opp en funksjon $g$ som gir avstanden fra Oslo til bil $\mathrm{B}$ i $g(t)$ kilometer etter $t$ timer. :::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ g(t) = -100t + 180 $$ ::: :::::::::: ::::::::::{tab-item} c Når vil bilene møte hverandre? :::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ t = 1 $$ Bilene møter hverandre etter 1 time. ::: :::::::::: ::::::::::{tab-item} d Bilene skal kun kjøre fram til din destinasjon. Hva er en passende definisjonsmengde og verdimengde for $f$ og $g$? :::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $ D_f = [0, 2.25] $ $ V_f = [0, 180] $ $ D_g = [0, 1.8] $ $ V_g = [0, 180] $ ::: :::::::::: ::::::::::: ::::::::::::