# Oppgaver: Eksponentialfunksjoner
:::::::::::::::{exercise} Oppgave 1
::::{hints} Sammenheng mellom prosentvis endring og vekstfaktor
For en prosentvis endring $p$ er vekstfaktoren $V$ gitt ved
$$
V = 1 + p
$$
For eksempel er en økning på $25\%$ er $p = 25\%$, og da er vekstfaktoren
$$
V = 100\% + 25\% = 125\% = 1.25
$$
Ved en nedgang på $25\%$ er $p = -25\%$, og da er vekstfaktoren
$$
V = 100\% - 25\% = 75\% = 0.75
$$
::::
Ta quizen!
::::::::{quiz-2}
:::::::{quiz-question}
Hva er vekstfaktoren ved $20\%$ økning?
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
$$
1.20
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
0.20
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
20
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
2.0
$$
::::::
:::::::
:::::::{quiz-question}
Hva er vekstfaktoren ved $10\%$ nedgang?
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
$$
0.90
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
0.10
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
-0.10
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
-0.90
$$
::::::
:::::::
:::::::{quiz-question}
Hva er vekstfaktoren ved $35\%$ økning?
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
$$
1.35
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
0.35
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
1.035
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
35
$$
::::::
:::::::
:::::::{quiz-question}
Hva er vekstfaktoren ved $7\%$ nedgang?
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
$$
0.93
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
-0.07
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
1.07
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
-0.93
$$
::::::
:::::::
:::::::{quiz-question}
En vekstfaktor er $1.08$.
Hva er det prosentvise endringen?
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
$$
8\%\ \text{økning}
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
0.08\%\ \text{økning}
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
8\%\ \text{nedgang}
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
108\%\ \text{økning}
$$
::::::
:::::::
:::::::{quiz-question}
En vekstfaktor er $0.85$.
Hva er den prosentvise endringen?
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
$$
15\%\ \text{nedgang}
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
85\%\ \text{økning}
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
85\%\ \text{nedgang}
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
15\%\ \text{økning}
$$
::::::
:::::::
::::::::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{exercise} Oppgave 2
Bestem vekstfaktoren til de prosentvise endringene nedenfor.
::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a
$16\%$ økning.
::::{answer}
$$
V = 1.16
$$
::::
::::{solution}
$$
V = 100\% + 16\% = 116\% = 1.16
$$
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} b
$16\%$ nedgang.
::::{answer}
$$
V = 0.84
$$
::::
::::{solution}
$$
V = 100\% - 16\% = 84\% = 0.84
$$
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} c
$3.5\%$ økning.
::::{answer}
$$
V = 1.035
$$
::::
::::{solution}
$$
V = 100\% + 3.5\% = 103.5\% = 1.035
$$
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} d
$3.5\%$ nedgang.
::::{answer}
$$
V = 0.965
$$
::::
::::{solution}
$$
V = 100\% - 3.5\% = 96.5\% = 0.965
$$
::::
:::::::::::::
::::::::::::::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{exercise} Oppgave 3
:::{hints} Sammenhengen mellom prosentvis endring og vekstfaktor
For en prosentvis endring $p$ er vekstfaktoren $V$ gitt
$$
V = 1 + p
$$
Gitt en vekstfaktor har vi da at den prosentvise endringen $p$ er gitt ved
$$
p = V - 1
$$
Hvis $p > 0$ er det en prosentvis økning, og hvis $p < 0$ er det en prosentvis nedgang.
:::
Bestem den prosentvise endringen til vekstfaktorene nedenfor.
::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a
$$
V = 1.06
$$
::::{answer}
$6\%$ økning.
::::
::::{solution}
$$
V = 1 + p \liff p = V - 1 = 1.06 - 1 = 0.06 = 6\%\
$$
Altså $6\%$ økning.
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} b
$$
V = 0.96
$$
::::{answer}
$4\%$ nedgang.
::::
::::{solution}
$$
V = 1 + p \liff p = V - 1 = 0.96 - 1 = -0.04 = -4\%
$$
Altså $4\%$ nedgang.
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} c
$$
V = 1.025
$$
::::{answer}
$2.5\%$ økning.
::::
::::{solution}
$$
V = 1 + p \liff p = V - 1 = 1.025 - 1 = 0.025 = 2.5\%
$$
Altså $2.5\%$ økning.
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} d
$$
V = 0.68
$$
::::{answer}
$32\%$ nedgang.
::::
::::{solution}
$$
V = 1 + p \liff p = V - 1 = 0.68 - 1 = -0.32 = -32\%
$$
Altså $32\%$ nedgang.
::::
:::::::::::::
::::::::::::::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{exercise} Oppgave 4
::::{hints} Sammenhengen mellom gammel og ny verdi
La $G$ være den opprinnelige verdien og $V$ være vekstfaktoren.
Da er den nye verdien $N$ gitt ved
$$
N = G \cdot V
$$
::::
Ta quizen!
::::::::{quiz-2}
:::::::{quiz-question}
En genser koster $500$ kr og blir satt ned med $20\%$.
Hvilket uttrykk kan brukes til å regne ut den nye prisen?
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
$$
500 \cdot 0.80
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
500 \cdot 0.2
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
500 - 0.2
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
500 - 0.8
$$
::::::
:::::::
:::::::{quiz-question}
Lønnen til Anna økte med $20\%$ fra 2024 til 2025. Nå er lønnen hennes $720~000$.
Hvilket uttrykk kan brukes for å regne ut lønnen Anna hadde i 2024?
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
$$
\dfrac{720~000}{1.20}
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
720~000 \cdot 0.80
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
720~000 \cdot 0.2
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
\dfrac{720~000}{0.8}
$$
::::::
:::::::
:::::::{quiz-question}
En vare økte fra $600$ kr til $800$ kr.
Hvilket uttrykk kan brukes til å regne ut vekstfaktoren til endringen?
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
$$
\dfrac{800}{600}
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
\dfrac{600}{800}
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
1 - \dfrac{800}{600}
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
1 - \dfrac{600}{800}
$$
::::::
:::::::
:::::::{quiz-question}
En bil kostet $200~000$ kr i 2024. I 2025 hadde verdien av bilen sunket med $15\%$.
Hvilket uttrykk kan brukes for å finne verdien av bilen i 2025?
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
$$
200~000 \cdot 0.85
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
200~000 \cdot 0.15
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
\dfrac{200~000}{0.85}
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
\dfrac{200~000}{1.15}
$$
::::::
:::::::
:::::::{quiz-question}
Beløpet på en sparekonto har vokst med $2.5\%$ i løpet av 2025. Nå er beløpet $12~500$ kr.
Hvilket uttrykk kan brukes til å regne ut hvor mye det var på kontoen i starten av 2025?
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
$$
\frac{12~500}{1.025}
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
12~500 \cdot 0.975
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
\dfrac{12~500}{0.975}
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
12~500 \cdot 0.025
$$
::::::
:::::::
:::::::{quiz-question}
En jakke kostet $3000$ kr og ble satt ned til $2200$ kr.
Hvilket uttrykk kan brukes til å regne ut hvor mange prosent jakken ble satt ned?
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
$$
100\% - \dfrac{2200}{3000} \cdot 100\%
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
100\% - \dfrac{3000}{2200} \cdot 100\%
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
\dfrac{2200}{3000} \cdot 100\%
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
\dfrac{3000}{2200} \cdot 100\%
$$
::::::
:::::::
::::::::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{exercise} Oppgave 5
::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a
En vare koster $300$ kr og øker med $6\%$.
Bestem et uttrykk for hvor mye varen koster etter økningen.
::::{answer}
$$
300 \cdot 1.06
$$
::::
::::{solution}
Den gamle verdien er $G = 300$. Vekstfaktoren er
$$
V = 100\% + 6\% = 106\% = 1.06
$$
Da er den nye prisen gitt ved
$$
N = G \cdot V = 300 \cdot 1.06
$$
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} b
En jakke koster $4000$ kr og blir satt ned med $30\%$.
Bestem et uttrykk for prisen til jakken etter at den ble satt ned.
::::{answer}
$$
4000 \cdot 0.7
$$
::::
::::{solution}
Den gamle prisen er $G = 4000$. Vekstfaktoren for endringen er
$$
V = 100\% - 30\% = 70\% = 0.7
$$
Den nye prisen er da
$$
N = G \cdot V = 4000 \cdot 0.7
$$
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} c
Synne sin lønn i 2025 er $500~000$ kr. Da hadde lønnen hennes økt med $5\%$ fra 2024 til 2025.
Bestem et uttrykk for lønnen til Synne i 2024.
::::{answer}
$$
\dfrac{500~000}{1.05}
$$
::::
::::{solution}
Den nye verdien er $N = 500~000$. Vekstfaktoren for endringen er
$$
V = 100\% + 5\% = 105\% = 1.05
$$
Da er lønnen i 2024 gitt ved
$$
N = G \cdot V \liff G = \dfrac{N}{V} = \dfrac{500~000}{1.05}
$$
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} d
En sykkel koster $5000$ kr etter at den ble satt ned med $20\%$.
Bestem et uttrykk for prisen på sykkelen før at den ble satt ned.
::::{answer}
$$
\dfrac{5000}{0.8}
$$
::::
::::{solution}
Den nye prisen er $N = 5000$.
Vekstfaktoren for endringen er
$$
V = 100\% - 20\% = 80\% = 0.8.
$$
Den opprinnelige prisen er da gitt ved
$$
N = G \cdot V \liff G = \dfrac{N}{V} = \dfrac{5000}{0.8}
$$
::::
:::::::::::::
::::::::::::::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{exercise} Oppgave 6
::::{hints} Prosentvis vekst i flere perioder
La $G$ være den opprinnelige verdien og $V$ være vekstfaktoren for hver periode.
Etter $x$ perioder er den nye verdien $N$ gitt ved
$$
N = G \cdot V^\d{x}
$$
::::
Ta quizen!
::::::::{quiz-2}
:::::::{quiz-question}
Du setter inn $1000$ kr på en sparekonto med $3\%$ rente per år.
Hvilket uttrykk kan brukes til å regne ut beløpet på sparekontoen om 5 år?
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
$$
1000 \cdot 1.03^5
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
1000 \cdot 1.03 \cdot 5
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
1000 \cdot 1.15
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
1000 + 5 \cdot 0.03 \cdot 1000
$$
::::::
:::::::
:::::::{quiz-question}
Du setter inn $2000$ kr på en sparekonto med $5\%$ årlig rente.
Hvilket uttrykk kan brukes til å regne ut beløpet på sparekontoen om 4 år?
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
$$
2000 \cdot 1.05^4
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
2000 \cdot 1.05 \cdot 4
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
2000 \cdot 1.20
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
2000 + 4 \cdot 0.05 \cdot 2000
$$
::::::
:::::::
:::::::{quiz-question}
Et beløp på en sparekonto vokser med $4\%$ rente per år. Etter $6$ år er beløpet $2000$ kr.
Hvilket uttrykk kan brukes til å finne ut hvor stort beløpet var for 6 år siden?
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
$$
\frac{2000}{1.04^6}
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
2000 \cdot 0.96^6
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
\frac{2000}{0.96^6}
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
\dfrac{2000}{1.24}
$$
::::::
:::::::
:::::::{quiz-question}
En befolkning vokser med $2\%$ per år. Etter $10$ år er befolkningen $11~000$ mennesker.
Hvilket uttrykk kan brukes til å finne ut hvor stor befolkningen var for $10$ år siden?
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
$$
\frac{11~000}{1.02^{10}}
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
11~000 \cdot 0.98^{10}
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
\frac{11~000}{0.98^{10}}
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
\dfrac{11~000}{1.20}
$$
::::::
:::::::
:::::::{quiz-question}
En bil ble kjøpt for $300~000$ kr og har sunket med $8\%$ per år de siste 5 årene.
Hvilket uttrykk kan brukes til regne ut verdien av bilen etter 5 år?
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
$$
300~000 \cdot 0.92^5
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
300~000 \cdot 0.6
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
300~000 \cdot 0.4
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
300~000 \cdot 0.08^5
$$
::::::
:::::::
:::::::{quiz-question}
Verdien på en aksje har sunket med $4\%$ per år de siste 3 årene. Nå er verdien på aksjen $150$ kr.
Hvilket uttrykk kan brukes til å regne ut verdien på aksjen for 3 år siden?
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
$$
\frac{150}{0.96^3}
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
150 \cdot 1.04^3
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
150 \cdot 1.12
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
\dfrac{150}{0.88}
$$
::::::
:::::::
::::::::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{exercise} Oppgave 7
Ta quizen!
::::::::{quiz-2}
:::::::{quiz-question}
En bil koster opprinnelig $400~000$ kr. Verdien til bilen synker med $8\%$ per år.
Hvilket funksjonsuttrykk beskriver verdien til bilen etter $x$ år?
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
$$
f(x) = 400~000 \cdot 0.92^x
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
f(x) = 400~000 \cdot 0.08^x
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
f(x) = 400~000 \cdot 0.92 \cdot x
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
f(x) = 400~000 \cdot 1.08^x
$$
::::::
:::::::
:::::::{quiz-question}
Antall følgere på en konto i sosiale medier var opprinnelig $20~000$. Antall følgere øker med $5\%$ per år.
Hvilket funksjonsuttrykk beskriver antall følgere etter $x$ år?
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
$$
f(x) = 20~000 \cdot 1.05^x
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
f(x) = 20~000 \cdot 0.05^x
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
f(x) = 20~000 \cdot 1.05 \cdot x
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
f(x) = 20~000 \cdot 0.95^x
$$
::::::
:::::::
:::::::{quiz-question}
Mengden medisinsk oksygen i en tank er opprinnelig $1~000$ liter. Mengden oksygen minker med $10\%$ per time.
Hvilket funksjonsuttrykk beskriver mengden oksygen etter $x$ timer?
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
$$
f(x) = 1~000 \cdot 0.90^x
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
f(x) = 1~000 \cdot 0.10^x
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
f(x) = 1~000 \cdot 0.90 \cdot x
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
f(x) = 1~000 \cdot 1.10^x
$$
::::::
:::::::
:::::::{quiz-question}
Temperaturen i en kopp varm te er opprinnelig $80^\circ\text{C}$. Temperaturen synker med $12\%$ per minutt.
Hvilket funksjonsuttrykk beskriver temperaturen etter $x$ minutter?
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
$$
f(x) = 80 \cdot 0.88^x
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
f(x) = 80 \cdot 0.12^x
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
f(x) = 80 \cdot 0.88 \cdot x
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
f(x) = 80 \cdot 1.12^x
$$
::::::
:::::::
:::::::{quiz-question}
Verdien av et kunstverk var opprinnelig $120~000$ kr. Verdien øker med $6\%$ per år.
Hvilket funksjonsuttrykk beskriver verdien av kunstverket etter $x$ år?
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
$$
f(x) = 120~000 \cdot 1.06^x
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
f(x) = 120~000 \cdot 0.06^x
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
f(x) = 120~000 \cdot 1.06 \cdot x
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
f(x) = 120~000 \cdot 0.94^x
$$
::::::
:::::::
:::::::{quiz-question}
Antall abonnenter på en strømmetjeneste var opprinnelig $50~000$. Antall abonnenter synker med $4\%$ per år.
Hvilket funksjonsuttrykk beskriver antall abonnenter etter $x$ år?
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
$$
f(x) = 50~000 \cdot 0.96^x
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
f(x) = 50~000 \cdot 0.04^x
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
f(x) = 50~000 \cdot 0.96 \cdot x
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
f(x) = 50~000 \cdot 1.04^x
$$
::::::
:::::::
::::::::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{exercise} Oppgave 8
Alma og Synne leste om en lottovinner som vant et beløp i lotto for 10 år siden. Lottovinneren satte inn pengene på sparekonto med $5\%$ rente per år. Nå er beløpet på sparekontoen $1~500~000$ kr.
Alma og Synne diskuterer hvordan de kan regne ut hvor mye lottovinneren vant i lotto for 10 år siden.
:::{dialogue}
---
name1: Alma
name2: Synne
speaker1: left
speaker2: right
---
Alma: Å regne ut vekstfaktoren $V$ er jo ganske greit.
Synne: Sant! Vanligvis ville jeg bare tatt sluttverdien og delt på $V^{10}$ siden det har gått 10 år.
Alma: Ja, men jeg har også lest at vi har **definert** at $V^{-10} = \dfrac{1}{V^{10}}$
Synne: Åh! Det må jo bety at vi bare kan gange med $V^{-10}$ i stedet for å dele på $V^{10}$!
:::
Ta utgangspunkt i dialogen til Alma og Synne og avgjør hvilke av uttrykkene nedenfor som kan brukes til å regne ut hvor mye lottovinneren vant i lotto for 10 år siden.
::::{grid} 1 1 2 3
---
gutter: 2
---
:::{grid-item-card}
1)
^^^
$$
1~500~000 \cdot 1.05^{-10}
$$
:::
:::{grid-item-card}
2)
^^^
$$
1~500~000 \cdot 0.95^{10}
$$
:::
:::{grid-item-card}
3)
^^^
$$
\dfrac{1~500~000}{0.95^{10}}
$$
:::
:::{grid-item-card}
4)
^^^
$$
\dfrac{1~500~000}{1.05^{10}}
$$
:::
:::{grid-item-card}
5)
^^^
$$
1~500~000 \cdot 0.95^{-10}
$$
:::
:::{grid-item-card}
6)
^^^
$$
1~500~000 \cdot 1.05^{10}
$$
:::
::::
::::{answer}
Uttrykk 1 og uttrykk 4.
::::
::::{solution}
Vekstfaktoren er gitt ved
$$
V = 100\% + 5\% = 105\% = 1.05
$$
Dette eliminerer uttrykk 2, 3 og 5.
Vi kan enten gange sluttenverdien med $V^{-10}$ eller dele sluttverdien med $V^{10}$. Dette betyr at det uttrykkene enten er
$$
1~500~000 \cdot 1.05^{-10} \qquad \mathrm{(Uttrykk \, 1)}
$$
eller
$$
\dfrac{1~500~000}{1.05^{10}} \qquad \mathrm{(Uttrykk \, 4)}
$$
Altså er uttrykk 1 og uttrykk 4 riktige.
::::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{exercise} Oppgave 9
Ta quizen!
::::::::{quiz-2}
:::::::{quiz-question}
Beløpet på en sparekonto er nå $300~000$ kr. Beløpet er økt med $3\%$ per år siden pengene ble satt inn.
Hvilket eller hvilke av uttrykkene nedenfor kan brukes til å regne ut beløpet på kontoen for $8$ år siden?
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
$$
\dfrac{300~000}{1.03^8}
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
$$
300~000 \cdot 1.03^{-8}
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
300~000 \cdot 0.97^8
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
\dfrac{300~000}{0.97^8}
$$
::::::
:::::::
:::::::{quiz-question}
Verdien av en bolig er nå $4~000~000$ kr. Verdien har økt med $2\%$ per år de siste $10$ årene.
Hvilket eller hvilke av uttrykkene nedenfor kan brukes til å regne ut verdien av boligen for $10$ år siden?
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
$$
\dfrac{4~000~000}{1.02^{10}}
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
$$
4~000~000 \cdot 1.02^{-10}
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
4~000~000 \cdot 0.98^{10}
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
\dfrac{4~000~000}{0.98^{10}}
$$
::::::
:::::::
:::::::{quiz-question}
Mengden radioaktivt stoff er nå $800$ gram. Stoffet har avtatt med $6\%$ per år de siste $15$ årene.
Hvilket eller hvilke av uttrykkene nedenfor kan brukes til å regne ut hvor mye stoff det var for $15$ år siden?
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
$$
\dfrac{800}{0.94^{15}}
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
$$
800 \cdot 0.94^{-15}
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
800 \cdot 1.06^{15}
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
\dfrac{800}{1.06^{15}}
$$
::::::
:::::::
:::::::{quiz-question}
Verdien av en maskin er nå $600~000$ kr. Verdien har sunket med $10\%$ per år de siste $7$ årene.
Hvilket eller hvilke av uttrykkene nedenfor kan brukes til å regne ut hva maskinen var verdt for $7$ år siden?
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
$$
\dfrac{600~000}{0.90^{7}}
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
$$
600~000 \cdot 0.90^{-7}
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
600~000 \cdot 1.10^{7}
$$
::::::
::::::{quiz-answer}
$$
\dfrac{600~000}{1.10^{7}}
$$
::::::
:::::::
::::::::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{exercise} Oppgave 10
Alma og Synne skal spare penger til å reise om 5 år. Det skal sette inn $5000$ kr til sammen hvert år på en konto som har $3\%$ rente per år.
De vil bruke programmering til å løse oppgaven. De diskuterer:
:::{dialogue}
---
name1: Alma
name2: Synne
speaker1: left
speaker2: right
---
Alma: Når vi har regnet ut vekstfaktoren, så kan vi skrive kodelinjen `s = s * vekstfaktor**5`{l=python} for å regne ut hvor mye vi har etter 5 år.
Synne: Sant! Men det vil bare fungere når vi setter inn ett innskudd på starten. Jeg tror vi bør skrive
`s = s * vekstfaktor`{l=python}
i en løkke som kjører 5 ganger.
Alma: God idé! For da kan vi jo legge til et fast innskudd til `s`{l=python} i starten av hvert år også!
Synne: Nettopp, og da vil vi enklere kunne regne ut en mer realistisk sparesituasjon hvor vi setter inn penger hvert år.
:::
::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a
Hvilke **to** programmer nedenfor kan brukes til å regne ut hvor mye Alma og Synne har sammen etter 5 år hvis de bare setter inn 5000 kr **én gang** i starten?
:::::{grid} 1 1 2 2
---
gutter: 2
---
::::{grid-item-card}
1)
^^^
:::{code-block} python
---
linenos:
---
s = 5000
vekstfaktor = 1.03
s = s * vekstfaktor ** 5
:::
::::
::::{grid-item-card}
2)
^^^
:::{code-block} python
---
linenos:
---
s = 5000
vekstfaktor = 1.03
for x in range(5):
s = s * vekstfaktor
:::
::::
::::{grid-item-card}
3)
^^^
:::{code-block} python
---
linenos:
---
s = 5000
vekstfaktor = 0.97
s = s * vekstfaktor ** 5
:::
::::
::::{grid-item-card}
4)
^^^
:::{code-block} python
---
linenos:
---
s = 5000
vekstfaktor = 0.97
for x in range(5):
s = s * vekstfaktor
:::
::::
:::::
::::{answer}
Program 1 og program 2.
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} b
Alma og Synne skal i stedet sette inn $5000$ kr på starten av hvert år. Det riktige programmet som vil gjøre dette er plassert i tilfeldig rekkefølge nedenfor.
1. Sett sammen programmet i riktig rekkefølge
2. Bruk programmet til å bestemme sparebeløpet de vil ha etter 5 år.
::::{parsons-puzzle}
---
indentation: student
---
:::{code-block} python
# chunk-start
s = 0
vekstfaktor = 1.03
innskudd = 5000
# chunk-end
for x in range(5):
s = s + innskudd
s = s * vekstfaktor
print(s)
:::
::::
:::::::::::::
::::::::::::::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{exercise} Oppgave 11
Ta quizen!
::::::::{quiz-2}
:::::::{quiz-question}
Lønna til Bror var $400~000$ kr for fem år siden. Lønna hans har økt med $5\%$ per år de siste fem årene.
Hvilke **to** programmer nedenfor kan brukes til å beregne lønnen til Bror i dag?
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
:::{code-block} python
---
linenos:
---
L = 400_000
p = 5 / 100
V = 1 + p
L = L * V ** 5
print(L)
:::
::::::
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
:::{code-block} python
---
linenos:
---
L = 400_000
p = 5 / 100
V = 1 + p
for x in range(5):
L = L * V
print(L)
:::
::::::
::::::{quiz-answer}
:::{code-block} python
---
linenos:
---
L = 400_000
p = 5 / 100
V = 1 + p
for x in range(5):
L = L * V ** 5
print(L)
:::
::::::
::::::{quiz-answer}
:::{code-block} python
---
linenos:
---
L = 400_000
p = 5 / 100
V = 1 + p
for x in range(5):
L = L + V
print(L)
:::
::::::
:::::::
:::::::{quiz-question}
Anna satte inn et beløp på en sparekonto for 5 år siden. I dag har Anna $10~000$ kr på sparekontoen sin. Sparekontoen har $3\%$ rente per år.
Hvilke **to** programmer nedenfor kan brukes til å regne ut hvor mye Anna satte inn på sparekontoen for 5 år siden?
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
:::{code-block} python
---
linenos:
---
s = 10_000
p = 3 / 100
V = 1 + p
for x in range(5):
s = s / V
print(s)
:::
::::::
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
:::{code-block} python
---
linenos:
---
s = 10_000
p = 3 / 100
V = 1 + p
s = s / V ** 5
print(s)
:::
::::::
::::::{quiz-answer}
:::{code-block} python
---
linenos:
---
s = 10_000
p = 3 / 100
V = 1 - p
for x in range(5):
s = s * V
print(s)
:::
::::::
::::::{quiz-answer}
:::{code-block} python
---
linenos:
---
s = 10_000
p = 3 / 100
V = 1 - p
s = s * V**5
print(s)
:::
::::::
:::::::
:::::::{quiz-question}
En elsykkel ble kjøpt for 4 år siden. I dag er verdien av elsykkelen $18~000$ kr. Verdien har sunket med $10\%$ per år.
Hvilke **to** programmer nedenfor kan brukes til å regne ut hva elsykkelen var verdt da den ble kjøpt?
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
:::{code-block} python
---
linenos:
---
v = 18_000
p = 10 / 100
V = 1 - p
for x in range(4):
v = v / V
print(v)
:::
::::::
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
:::{code-block} python
---
linenos:
---
v = 18_000
p = 10 / 100
V = 1 - p
v = v / V ** 4
print(v)
:::
::::::
::::::{quiz-answer}
:::{code-block} python
---
linenos:
---
v = 18_000
p = 10 / 100
V = 1 + p
for x in range(4):
v = v / V
print(v)
:::
::::::
::::::{quiz-answer}
:::{code-block} python
---
linenos:
---
v = 18_000
p = 10 / 100
V = 1 - p
v = v * V**4
print(v)
:::
::::::
:::::::
:::::::{quiz-question}
En bestand med fisk er i dag på $25~000$ fisk. Bestanden har økt med $4\%$ per år de siste 6 årene.
Hvilke **to** programmer nedenfor kan brukes til å regne ut hvor mange fisk det var i bestanden for 6 år siden?
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
:::{code-block} python
---
linenos:
---
f = 25_000
p = 4 / 100
V = 1 + p
for x in range(6):
f = f / V
print(f)
:::
::::::
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
:::{code-block} python
---
linenos:
---
f = 25_000
p = 4 / 100
V = 1 + p
f = f / V ** 6
print(f)
:::
::::::
::::::{quiz-answer}
:::{code-block} python
---
linenos:
---
f = 25_000
p = 4 / 100
V = 1 - p
for x in range(6):
f = f * V
print(f)
:::
::::::
::::::{quiz-answer}
:::{code-block} python
---
linenos:
---
f = 25_000
p = 4 / 100
V = 1 - p
f = f * V ** 6
print(f)
:::
::::::
:::::::
:::::::{quiz-question}
Verdien av en bolig er i dag $3~200~000$ kr. Verdien har økt med $2\%$ per år de siste 12 årene.
Hvilke **to** programmer nedenfor kan brukes til å regne ut hva boligen var verdt for 12 år siden?
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
:::{code-block} python
---
linenos:
---
v = 3_200_000
p = 2 / 100
V = 1 + p
for x in range(12):
v = v / V
print(v)
:::
::::::
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
:::{code-block} python
---
linenos:
---
v = 3_200_000
p = 2 / 100
V = 1 + p
v = v / V ** 12
print(v)
:::
::::::
::::::{quiz-answer}
:::{code-block} python
---
linenos:
---
v = 3_200_000
p = 2 / 100
V = 1 - p
for x in range(12):
v = v * V
print(v)
:::
::::::
::::::{quiz-answer}
:::{code-block} python
---
linenos:
---
v = 3_200_000
p = 2 / 100
V = 1 - p
v = v * V ** 12
print(v)
:::
::::::
:::::::
:::::::{quiz-question}
Temperaturen i en kopp te er opprinnelig $80^\circ\text{C}$. Temperaturen synker med $5\%$ per minutt.
Hvilke **to** programmer nedenfor kan brukes til å regne ut temperaturen etter 6 minutter?
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
:::{code-block} python
---
linenos:
---
T = 80
p = 5 / 100
V = 1 - p
for x in range(6):
T = T * V
print(T)
:::
::::::
::::::{quiz-answer}
---
correct: true
---
:::{code-block} python
---
linenos:
---
T = 80
p = 5 / 100
V = 1 - p
T = T * V ** 6
print(T)
:::
::::::
::::::{quiz-answer}
:::{code-block} python
---
linenos:
---
T = 80
p = 5 / 100
V = 1 + p
for x in range(6):
T = T * V
print(T)
:::
::::::
::::::{quiz-answer}
:::{code-block} python
---
linenos:
---
T = 80
p = 5 / 100
V = 1 - p
for x in range(6):
T = T - V
print(T)
:::
::::::
:::::::
::::::::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{exercise} Oppgave 12
Nedenfor vises en figur som er satt sammen av mange linjestykker.
Lengden til et linjestykke er alltid $90\%$ av lengden til det forrige linjestykket. Det første linjestykket er $100 \, \mathrm{cm}$ langt.
:::{plot}
width: 80%
figsize: (8, 2)
lw: 2
fontsize: 20
axis: off
axis: equal
let: L = 100
let: k = 0.9
def: x(n) = L*k*(1 - k**(2*n))/(1 - k**2)
def: y(n) = L*(1 + (-1)**n * k**(2*n + 2))/(1 + k**2)
line-segment: (0, 0), (0, L), blue
repeat: n=0..49; line-segment: (x(n), y(n)), (x(n+1), y(n)), blue
repeat: n=0..49; line-segment: (x(n+1), y(n)), (x(n+1), y(n+1)), blue
text: -1, 0.5 * L, "100 cm", center-left
text: 0.5 * k * L, L, "90 cm", top-center
nocache:
:::
::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a
Bestem et uttrykk for den samlede lengden til de fire første linjestykkene.
::::{answer}
$$
100 + 100 \cdot 0.9 + 100 \cdot 0.9^2 + 100 \cdot 0.9^3
$$
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} b
Lag et program som beregner den samlede lengden av de 10 000 første linjestykkene.
:::{interactive-code}
# Din kode her
:::
::::{answer}
:::{code-block} python
---
linenos:
---
lengde = 100
s = 0
for n in range(10_000):
s = s + lengde
lengde = lengde * 0.9
print(s)
:::
::::
:::::::::::::
::::::::::::::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{exercise} Oppgave 13
I figuren nedenfor vises en følge av kvadrater der det første kvadratet har sidelengde $1$.
Sidelengden til det neste kvadratet er alltid $70\%$ av sidelengden til det forrige kvadratet.
:::{plot}
width: 70%
figsize: (8, 2)
let: a0 = 1 # first square side length
let: g = 0.7 # scale factor for side length
let: gap = 0.5 # horizontal gap between squares
def: s(n) = a0*g**n
def: x(n) = n*gap + a0*(1 - g**n)/(1 - g)
repeat: n=0..7; polygon: (x(n), 0), (x(n)+s(n), 0), (x(n)+s(n), s(n)), (x(n), s(n)), blue, 0.3
axis: off
axis: equal
:::
::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a
Bestem et uttrykk for summen av arealene til de fire første kvadratene.
::::{answer}
$$
1 + 0.7^2 + 0.7^4 + 0.7^6
$$
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} b
Lag et program som beregner summen av arealene til de 10 000 første kvadratene.
:::{interactive-code}
# Din kode her
:::
::::{answer}
:::{code-block} python
---
linenos:
---
sidelengde = 1
s = 0
for n in range(10_000):
areal = sidelengde ** 2
s = s + areal
sidelengde = sidelengde * 0.7
print(s)
:::
::::
:::::::::::::
::::::::::::::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{exercise} Oppgave 14
Nedenfor vises et kvadrat med sidelengder $3$.
Kvadratet er fylt med mindre kvadrater. Noen av kvadratene er fargelagte.
:::{plot}
width: 50%
let: L = 3
let: r = 1/2
def: s(n) = L*(1 - r**n)
polygon: (0, 0), (L, 0), (L, L), (0, L)
repeat: n=1..10; line-segment: (s(n), s(n-1)), (s(n), L), dashed, black
repeat: n=1..10; line-segment: (s(n-1), s(n)), (L, s(n)), dashed, black
repeat: n=1..10; fill-polygon: (s(n-1), s(n-1)), (s(n), s(n-1)), (s(n), s(n)), (s(n-1), s(n)), blue, 0.3
axis: off
axis: equal
lw: 1
nocache:
:::
::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a
Bestem et uttrykk for summen av arealene til de fire største fargelagte kvadratene.
::::{answer}
$$
\dfrac{9}{4} + \dfrac{9}{4^2} + \dfrac{9}{4^3} + \dfrac{9}{4^4}
$$
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} b
Lag et program som beregner summen av arealene til de 10 000 største fargelagte kvadratene.
:::{interactive-code}
# Din kode her
:::
::::{answer}
:::{code-block} python
---
linenos:
---
areal = 9 / 4
s = 0
for n in range(10_000):
s = s + areal
areal = areal / 4
print(f"{s = }")
:::
::::
:::::::::::::
::::::::::::::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{exercise} Oppgave 15
En likesidet trekant har areal $9$. Trekanten er delt i mindre likesidete trekanter der noen er fargelagte. Oppdelingen fortsetter for alltid. Se figuren nedenfor.
:::{plot}
width: 50%
let: L = 1
let: r = 1/2
let: k = sqrt(3)/2
let: h = k * L
def: s(n) = r * h * (r**n - 1) / (r - 1)
polygon: (-0.5 * L, 0), (0.5 * L, 0), (0, h)
repeat: n=1..10; polygon: (0, s(n-1)), (r * L / 2**n, s(n)), (-r * L / 2**n, s(n)), blue, 0.3
axis: off
axis: equal
nocache:
:::
::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a
Bestem et uttrykk for summen av arealene til de fire største fargelagte trekantene.
::::{answer}
$$
9 + \dfrac{9}{4} + \dfrac{9}{4^2} + \dfrac{9}{4^3}
$$
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} b
Lag et program som beregner summen av arealene til de 10 000 største fargelagte trekantene.
:::{interactive-code}
# Din kode her
:::
::::{answer}
Arealet av de 10 000 største fargelagte trekantene er omtrent lik 12.
::::
::::{solution}
:::{code-block} python
---
linenos:
---
areal = 9
s = 0
for n in range(10_000):
s += areal
areal /= 4
print(s)
:::
Når programmet kjøres får vi utskriften
:::{code-block} console
11.999999999999998
:::
Altså er arealet av de 10 000 største fargelagte trekantene omtrent lik 12.
::::
:::::::::::::
::::::::::::::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{exercise} Oppgave 16
:::{plot}
align: right
width: 100%
figsize: (3, 3)
xmin: -1.2
xmax: 1.2
ymin: -0.2
ymax: 2.0
axis: off
axis: equal
let: a0 = 2
polygon: (-a0/2, 0), (a0/2, 0), (0, sqrt(3)*a0/2), black, 0
let: a1 = a0/2
polygon: (-a1/2, sqrt(3)*a1/2), (a1/2, sqrt(3)*a1/2), (0, 0), black, 0
def: a(n) = a1/2**(n+1)
def: h(n) = sqrt(3)/3 + sqrt(3)/6 * (-1/2)**n
repeat: n=0..9; polygon: (-a(n)/2, h(n+1)), (a(n)/2, h(n+1)), (0, h(n)), black, 0
lw: 0.5
nocache:
:::
I figuren til høyre vises en likesidet trekant med sidelengder $2$.
Inni den ytre trekanten er det innskrevet en mindre likesidet trekant. Inni denne trekanten er det igjen innskrevet en enda mindre likesidet trekant.
Slik fortsetter det i det uendelige.
:::{clear}
:::
::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a
Bestem et uttrykk for summen av omkretsene til de fire største trekantene.
::::{answer}
$$
6 + \dfrac{6}{2} + \dfrac{6}{2^2} + \dfrac{6}{2^3}
$$
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} b
Lag et program som regner ut summen av omkretsene til de 10 000 største trekantene.
:::{interactive-code}
# Din kode her
:::
::::{answer}
Summen av omkretsene til de 10 000 største trekantene er omtrent lik 12.
::::
::::{solution}
:::{code-block} python
---
linenos:
---
s = 0
omkrets = 2 * 3
for x in range(10_000):
s += omkrets
omkrets = omkrets / 2
print(f"{s = }")
:::
som gir utskriften
:::{code-block} console
s = 11.999999999999998
:::
som betyr at summen av omkretsene til de 10 000 største trekantene er omtrent like 12.
::::
:::::::::::::
::::::::::::::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{exercise} Oppgave 17
Anna jobber med eksponentialfunksjonen
$$
f(x) = 10 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^x, \quad x \in [0, 5]
$$
Anna vil bestemme arealet av det fargelagt område mellom grafen til $f$ og $x$-aksen.
Hun har laget seg en figur som viser hvordan hun har tenkt at hun kan finne en tilnærmet verdi til arealet ved å bruke rektangler. Se figurene nedenfor.
::::{multi-plot2}
---
rows: 1
cols: 2
---
:::{plot}
width: 100%
fontsize: 24
function: 10 * 2**-x, (0, 5), f, blue
fill-between: f(x), 0, (0, 5), blue, 0.3
xmin: -1
xmax: 6
ymin: -1
ymax: 11
:::
:::{interactive-graph}
width: 100%
fontsize: 24
interactive-var: N, 1, 64, 64
interactive-var-start: 5
xmin: -1
xmax: 6
ymin: -1
ymax: 11
function: 10 * 2**-x, (0, 5), f, blue
let: a = 0
let: b = 5
let: h = (b - a) / N
let: M = N - 1
repeat: n=0..M; polygon: (a + n * h, 0), (a + (n + 1) * h, 0), (a + (n + 1) * h, f(a + n * h)), (a + n * h, f(a + n * h)), blue, 0.3
text: 6, 5, "{N:0.f} rektangler", bbox
:::
::::
::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a
Bestem et uttrykk for arealet som Anna kan bruke til å regne ut arealet med $5$ rektangler.
::::{answer}
$$
f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4)
$$
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} b
Bestem et uttrykk for arealet som Anna kan bruke til å regne ut arealet med $10$ rektangler.
::::{answer}
$$
f(0)\cdot 0.5 + f(0.5) \cdot 0.5 + f(1) \cdot 0.5 + \ldots + f(4) \cdot 0.5 + f(4.5) \cdot 0.5
$$
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} c
Lag et program som finner arealet av det fargelagte området ved å bruke 10 000 rektangler.
:::{interactive-code}
# Din kode her
:::
::::{answer}
:::{code-block} python
---
linenos:
---
def f(x):
return 10 * (1/2) ** x
N_rektangler = 10_000
bredde = 5 / N_rektangler
areal = 0
for i in range(N_rektangler):
x = i * bredde
areal = areal + f(x) * bredde
print(areal)
:::
::::
:::::::::::::
::::::::::::::
:::::::::::::::
---
:::::::::::::::{exercise} Oppgave 18
En pasient tar regelmessig et medikament som inneholder 1000 mg virkestoff per tablett. Kroppen bryter ned virkestoffet slik at det minker med $20\%$ per time.
::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a
Bestem et uttrykk som gir mengden virkestoff i kroppen til pasienten dersom en tablett tas hver time.
::::{answer}
$$
1000 + 1000 \cdot 0.8 + 1000 \cdot 0.8^2 + 1000 \cdot 0.8^3 + \ldots
$$
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} b
Bestem et uttrykk som gir mengden virkestoff i kroppen til pasienten dersom en tablett tas hver 4. time.
::::{answer}
$$
1000 + 1000 \cdot 0.8^4 + 1000 \cdot 0.8^8 + 1000 \cdot 0.8^{12} + \ldots
$$
::::
:::::::::::::
:::::::::::::{tab-item} c
Lag et program som bestemmer mengden virkestoff pasienten har i kroppen dersom en tablett tas hver 4.time over lang tid.
:::{interactive-code}
# Din kode her
:::
:::::::::::::
::::::::::::::
:::::::::::::::