# Eksponentialfunksjoner :::::{admonition} Læringsmål --- class: tip --- * Kunne veksle mellom prosentvis endring og vekstfaktor. * Kunne sette opp og tolke eksponentialfunksjoner i praktiske situasjoner. * Kunne lage matematiske modeller ved bruk av regresjon. * Kunne skrive enkle programmer som bruker prosentvis endring og eksponentiell vekst. ::::: **Eksponentialfunksjoner** brukes til å beskrive situasjoner der noe vokser eller synker med en **fast prosentvis** endring. Denne prosentvise endringen kan vi uttrykke med en **vekstfaktor** som lar oss sette opp en funksjon som beskriver utviklingen. ## Prosent Når vi snakker om prosent av noe, så mener vi gjerne en del av det hele. Prosent betyr "per hundre" eller "delt på hundre", og vi kan tolke prosenttegnet $\% = \dfrac{1}{100} = 0.01$. Det betyr at vi kan representere prosent på tre ulike måter: :::::::::::::::{summary} Prosent: Representasjoner $$ \underbrace{\dfrac{30}{100}}_{\text{brøk}} = \underbrace{0.3}_{\text{desimaltall}} = \underbrace{30 \%}_{\text{prosent}} $$ Vi tolker prosenttegnet $\%$ som at det betyr $\% = \dfrac{1}{100} = 0.01$ og at $30\%$ betyr $30 \cdot \dfrac{1}{100} = 0.3$. ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Underveisoppgave 1 Ta quizen! Flere alternativer kan være riktig. ::::::::{quiz-2} :::::::{quiz-question} Hva er det samme som $20\%$? ::::::{quiz-answer} --- correct: true --- $$ 0.2 $$ :::::: ::::::{quiz-answer} --- correct: true --- $$ \dfrac{20}{100} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \dfrac{2}{100} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ 0.02 $$ :::::: ::::::: :::::::{quiz-question} Hva er det samme som $0.75$? ::::::{quiz-answer} --- correct: true --- $$ 75\% $$ :::::: ::::::{quiz-answer} --- correct: true --- $$ \dfrac{3}{4} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ 7.5 \% $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \dfrac{75}{10} $$ :::::: ::::::: :::::::{quiz-question} Hva er det samme som $\dfrac{1}{4}$? ::::::{quiz-answer} --- correct: true --- $$ 25\% $$ :::::: ::::::{quiz-answer} --- correct: true --- $$ \dfrac{25}{100} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ 2.5 \% $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ 0.20 $$ :::::: ::::::: :::::::{quiz-question} Hva er det samme som $150\%$? ::::::{quiz-answer} --- correct: true --- $$ \dfrac{150}{100} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} --- correct: true --- $$ 1.5 $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ 0.15 $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \dfrac{15}{100} $$ :::::: ::::::: :::::::{quiz-question} Hva er det samme som $0.08$? ::::::{quiz-answer} --- correct: true --- $$ 8 \% $$ :::::: ::::::{quiz-answer} --- correct: true --- $$ \dfrac{8}{100} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \dfrac{8}{10} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ 80 \% $$ :::::: ::::::: :::::::: ::::::::::::::: --- ## Vekstfaktor En **vekstfaktor** er det tallet vi må gange en opprinnelig verdi med for å få den nye verdien etter en prosentvis endring. Tenk deg at du har $1000$ kr på sparekonto og så øker beløpet med $5\%$. Pengene du har etter økningen er da $$ \underbrace{1000}_{100 \%} + \underbrace{0.05 \cdot 1000}_{5 \%} = \underbrace{(1 + 0.05)}_{105\%} \cdot 1000 = \textcolor{red}{1.05} \cdot 1000 $$ Tallet $1.05$ kaller vi for **vekstfaktoren** til endringen. Vi kan også forestille oss en situasjon der beløpet i stedet synker med $5\%$. Da har vi at det nye beløpet er $$ \underbrace{1000}_{100 \%} - \underbrace{0.05 \cdot 1000}_{5 \%} = \underbrace{(1 - 0.05)}_{95\%} \cdot 1000 = \textcolor{red}{0.95} \cdot 1000 $$ Da ble vekstfaktoren $0.95$. Vi kan merke oss at når det er en økning, så blir vekstfaktoren et tall større enn $1$, og når det er en nedgang, så blir vekstfaktoren et positivt tall mindre enn $1$. Mer generelt har vi følgende beskrivelse av vekstfaktorer: :::::::::::::::{summary} Vekstfaktor og prosentvis endring Når en størrelse øker eller minker med en prosent $p$, så er vekstfaktoren $V$ gitt ved $$ V = 1 + p $$ | $V$ | $p$ | Beskrivelse | | --- | --- | --- | | $V > 1$ | $p > 0$ | Økning | | $0 < V < 1$ | $p < 0$ | Nedgang | ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 1 En vare øker med $15 \%$. Bestem vekstfaktoren til endringen. ::::{solution} --- dropdown: 0 --- Her er $p = 15 \% = 0.15$ siden det er en økning på $15 \%$. Vekstfaktoren $V$ er da $$ V = 1 + p = 1 + 0.15 = 1.15. $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 2 Prisen på en vare synker med $8 \%$. Bestem vekstfaktoren til endringen. ::::{solution} --- dropdown: 0 --- Her er $p = -8 \% = -0.08$ siden det er en nedgang på $8 \%$. Vekstfaktoren $V$ er da $$ V = 1 + p = 1 - 0.08 = 0.92 $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Underveisoppgave 2 Ta quizen! ::::::::{quiz-2} :::::::{quiz-question} Hva blir vekstfaktoren ved $10\%$ økning? ::::::{quiz-answer} --- correct: true --- $$ 1.1 $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ 1.01 $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ 0.9 $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ 0.99 $$ :::::: ::::::: :::::::{quiz-question} Hva er vekstfaktoren ved $9\%$ nedgang? ::::::{quiz-answer} --- correct: true --- $$ 0.91 $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ 1.09 $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ -0.91 $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ -0.09 $$ :::::: ::::::: :::::::{quiz-question} Hva er den prosentvise endringen hvis vekstfaktoren er $1.02$? ::::::{quiz-answer} --- correct: true --- $$ 2\% $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ 20\% $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ 102\% $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ -2\% $$ :::::: ::::::: :::::::{quiz-question} Hva er den prosentvise endringen hvis vekstfaktoren er $0.70$? ::::::{quiz-answer} --- correct: true --- $$ -30\% $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ 30 \% $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ 70 \% $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ -70\% $$ :::::: ::::::: :::::::{quiz-question} Hva er den prosentvise endringen hvis vekstfaktoren er $1.25$? ::::::{quiz-answer} --- correct: true --- $$ 25\% $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ 125\% $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ -25\% $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ 0.25\% $$ :::::: ::::::: :::::::{quiz-question} Hva er den prosentvise endringen hvis vekstfaktoren er $0.85$? ::::::{quiz-answer} --- correct: true --- $$ -15\% $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ 15\% $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ -85\% $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ 85\% $$ :::::: ::::::: :::::::: ::::::::::::::: --- ## Eksponentiell vekst fremover og bakover La oss forestille oss en vare som koster $100$ kr i dag, og som øker med $10\%$. Da er vekstfaktoren $1.10$. Da vil verdien etter endringen være gitt ved $$ \underbrace{100}_{\mathrm{Startverdi}} \cdot \underbrace{1.10}_{\mathrm{Vekstfaktor}} = \underbrace{110}_{\mathrm{Sluttverdi}} $$ Når vi skal finne verdien *etter* en endring ganger vi altså vekstfaktoren med startverdien for å få sluttverdien. :::::::::::::::{summary} Eksponentiell vekst fremover La $G$ være startverdien og $V$ være vekstfaktoren for en prosentvis endring. Da er sluttverdien $N$ etter endringen gitt ved $$ N = G \cdot V $$ ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Underveisoppgave 3 En vare koster $300$ kr. Prisen øker med $20\%$. Bestem et uttrykk for prisen etter økningen. ::::{answer} $$ 300 \cdot 1.20 $$ :::: ::::::::::::::: --- La oss nå forestille oss at en vare opprinnelig kostet $G$ kr, og så sank prisen med $20 \%$. Da kostet den 400 kr. For å finne startverdien $G$ kan vi da sette opp likningen $$ G \cdot 0.80 = 400 \liff G = \dfrac{400}{0.80} = 500. $$ Altså deler vi med vekstfaktoren når vi ønsker å regne oss *bakover* for å finne startverdien. :::::::::::::::{summary} Eksponentiell vekst bakover La $N$ være sluttverdien og $V$ være vekstfaktoren for en prosentvis endring. Da er startverdien $G$ før endringen gitt ved $$ G = \dfrac{N}{V} $$ ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Underveisoppgave 4 En jakke er på tilbud med $30\%$ rabatt, og prisen er nå $700$ kr. Bestem et uttrykk for den opprinnelige prisen. ::::{answer} $$ \dfrac{700}{0.70} $$ :::: ::::::::::::::: ## Eksponentiell vekst i flere steg La oss forestille oss at en vare først koster $100$ kr, så øker den med $10\%$ og så synker den med $10\%$. Hva er prisen på varen etter disse to endringene? Vi kan beregne verdien etter hver endring hver for seg. Først har vi at $$ 100 \cdot \underbrace{1.10}_{10\% \, \mathrm{økning}} = 110 $$ Deretter skal varen synke med $10\%$, så vi har at $$ 110 \cdot \underbrace{0.90}_{10\% \, \mathrm{nedgang}} = 99. $$ Den samlede regningen vi har gjort fra den opprinnelige verdien er da $$ \underbrace{100}_{\mathrm{Startverdi}} \cdot \underbrace{ \underbrace{1.10}_{10\% \, \mathrm{økning}} \cdot\underbrace{0.90}_{10\% \, \mathrm{nedgang}}}_{\mathrm{Samlet \, vekstfaktor}} = \underbrace{99}_{\mathrm{Sluttverdi}} $$ Vi kan altså regne ut en **samlet** vekstfaktor for alle endringene ved å gange vekstfaktorene sammen. Deretter ganger vi den samlede vekstfaktoren med startverdien for å få sluttverdien. :::::::::::::::{summary} Eksponentiell vekst i flere steg Når en størrelse gjennomgår $n$ prosentvise endringer med vekstfaktorer $V_1, V_2, \ldots, V_n$, så er den samlede vekstfaktoren $V$ gitt ved $$ V = V_1 \cdot V_2 \cdot \ldots \cdot V_n $$ La $G$ være startverdien. Da er sluttverdien $N$ gitt ved $$ N = G \cdot V = G \cdot V_1 \cdot V_2 \cdot \ldots \cdot V_n $$ Hvis de prosentvise endringene er like, altså at $V_1 = V_2 = \ldots = V_n = V$, så vil sluttverdien være gitt ved $$ N = G \cdot V^n $$ ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Underveisoppgave 5 En vare koster $500$ kr. Prisen øker først med $20\%$, og så synker den med $10\%$. Bestem et uttrykk for prisen etter disse to endringene. ::::{answer} $$ 500 \cdot 1.2 \cdot 0.9 $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Underveisoppgave 6 Lønna til Anna har økt med $5\%$ per år i $3$ år. Lønnen til Anna var opprinnelig $400~000$ kr. Bestem et uttrykk for lønnen til Anna etter de $3$ årene. ::::{answer} $$ 400~000 \cdot 1.05^3 $$ :::: ::::::::::::::: --- ## Eksponentialfunksjoner Vi kan generalisere mønsteret vi har kommet fram til så langt til å lage oss en funksjon som beskriver en eksponentiell vekst. En slik funksjon kaller vi for en **eksponentialfunksjon**. En eksponentialfunksjon $f(x)$ består av to byggesteiner: 1. En **startverdi** $a$ som forteller oss hvor den eksponentielle veksten starter. 2. En **vekstfaktor** $b$ som forteller oss hvor stor den prosentvise veksten er når vi øker $x$ med $1$. > Vi bruker ordet "prosentvis vekst" både når det er en økning og når det er en nedgang. La oss lage oss en oversikt over funksjonstypen: :::::::::::::::{summary} Eksponentialfunksjoner En eksponentialfunksjon $f$ kan skrives på formen $$ f(x) = a \cdot b^x $$ der * $a$ er **startverdien** til den eksponentielle veksten når $x = 0$ (skjæring med $y$-aksen). * $b$ er **vekstfaktoren** som forteller oss hvor mye $f(x)$ vokser eller synker når $x$ øker med $1$. ::::{multi-plot2} --- rows: 1 cols: 2 --- :::{plot} width: 100% function: 1 * 2**x, blue function: 1 * 0.5**x, red ymin: -1 ymax: 6 xmax: 5 xmin: -5 text: 3.5, 4, "$b > 1$", center-center, bbox text: -3.5, 4, "$0 < b < 1$", center-center, bbox annotate: (2, 1), (0, 1), "$f(0) = a$", 0 point: (0, 1) ticks: off fontsize: 26 ::: :::{interactive-graph} width: 100% interactive-var: a, 0, 5, 50 interactive-var: b, 0, 5, 50 interactive-var-start: a=1, b=2 xmin: -6 xmax: 6 ymin: -1 ymax: 6 function: a * b**x point: (0, a) text: 0, a, "(0, {a :.2f})", top-left fontsize: 24 ::: :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 3 Nedenfor ser vi to eksempler på eksponentialfunksjoner. ::::{multi-plot2} --- rows: 1 cols: 2 fontsize: 26 --- :::{plot} function: 1 * 2**x, f ymin: -1 ymax: 6 xmax: 6 xmin: -6 text: -3.5, 4, "$f(x) = 1 \cdot 2^x$", center-center, bbox ::: :::{plot} function: 4 * 0.5**x, g ymin: -1 ymax: 6 xmax: 6 xmin: -6 text: -3.5, 4, "$g(x) = 4 \cdot \left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^x$", center-center, bbox ::: :::: ::::::::::::::: --- La oss se mer konkret på hvordan eksponentialfunksjoner kan brukes til å beskrive praktiske situasjoner. :::::::::::::::{example} Eksempel 4 Du setter inn $1000$ kr på en sparekonto som gir $5\%$ rente per år. Bestem en funksjon $f(x)$ som gir beløpet du har på kontoen etter $x$ år. ::::{solution} --- dropdown: 0 --- Siden vi setter inn $1000$ kr, så er startverdien $$ a = 1000. $$ Siden renten er $5\%$ per år, så er vekstfaktoren $$ b = 1 + 0.05 = 1.05. $$ Det betyr at funksjonen $f(x)$ som beskriver beløpet på kontoen etter $x$ år er $$ f(x) = 1000 \cdot 1.05^x $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Underveisoppgave 7 En bil blir kjøpt for 200 000 kr, og verdien synker med 15\% per år. Sett opp et funksjonsuttrykk $f(x)$ som gir verdien av bilen etter $x$ år. ::::{answer} $$ f(x) = 200 \, 000 \cdot 0.85^x $$ :::: ::::{solution} Startverdien er $200 \, 000$ kr siden dette er det bilen blir kjøpt for, så $$ a = 200 \, 000. $$ Verdien til bilen synker med $15 \%$ hvert år som betyr at vekstfaktoren er $$ b = 100\% - 15\% = 85\% = 0.85. $$ Dermed er funksjonen $f(x)$ som beskriver verdien av bilen etter $x$ år gitt ved $$ f(x) = a \cdot b^x = 200 \, 000 \cdot 0.85^x. $$ :::: ::::::::::::::: --- ## Negative eksponenter Når vi definerte eksponentialfunksjonen $f(x)$, så sa vi at $a = f(0)$ representerte startverdien og at $b$ var vekstfaktoren som forteller oss hvor mye $f(x)$ vokser eller synker når $x$ øker med $1$. Men funksjonsuttrykket kan helt fint brukes til å regne ut $f(x)$ for negative $x$-verdier også. Å regne ut $f(x)$ for negative $x$-verdier kan tolkes som å regne seg bakover i tid. For eksempel, hvis vi har at $$ f(x) = 100 \cdot 0.9^x $$ betyr det at at verdien $2$ år *før* "startverdien" må være $$ f(-2) = 100 \cdot 0.9^{-2} $$ Dette bør være et helt rimelig uttrykk å regne med siden det er helt rimelig å tenke at noe kan ha hatt en verdi i fortiden, men det er litt uklart hva det vil si å opphøye et tall med en negativ eksponent. Det vi skal *mene* med å opphøye med en negativ eksponent er at $$ 0.9^{-2} = \dfrac{1}{0.9^2} $$ Vi så tidligere at når vi ønsket å regne oss *bakover* fra en sluttverdi, så delte vi med vekstfaktoren. Siden det å sette inn en negativ $x$-verdi må svare til å regne oss bakover (gjerne bakover i *tid*), så er det rimelig å **definere** det som følger: :::::::::::::::{summary} Negative eksponenter La $b$ være et grunntall. Da vil en potens med negativ eksponent $-x$ være definert ved $$ b^{-x} = \dfrac{1}{b^x} $$ Når vi regner ut $b^{-x}$ betyr dette altså det samme som å dele med $b^x$. ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 5 Du har satt inn et innskudd på en bankkonto som gir $5\%$ rente per år. Etter $3$ år har du $20~000$ kr på kontoen. Hvilket eller hvilke av uttrykkene nedenfor kan brukes til å finne ut hvor mye du satte inn i utgangspunktet? ::::{grid} 1 1 2 3 --- gutter: 2 --- :::{grid-item-card} 1) ^^^ $$ 20~000 \cdot 0.95^3 $$ ::: :::{grid-item-card} 2) ^^^ $$ \dfrac{20~000}{1.05^3} $$ ::: :::{grid-item-card} 3) ^^^ $$ 20~000 \cdot 1.05^3 $$ ::: :::{grid-item-card} 4) ^^^ $$ 20~000 \cdot 0.95^{-3} $$ ::: :::{grid-item-card} 5) ^^^ $$ \dfrac{20~000}{0.95^3} $$ ::: :::{grid-item-card} 6) ^^^ $$ 20~000 \cdot 1.05^{-3} $$ ::: :::: ::::{solution} --- dropdown: 0 --- Siden innskuddet skal vokse med $5\%$ per år, så er vekstfaktoren $b = 1.05$. Da har vi at innskuddet vi satt inn må oppfylle $$ 20~000 \cdot 1.05^{-3} = 20~000 \cdot \dfrac{1}{1.05^3} = \dfrac{20~000}{1.05^3} $$ Dermed vil uttrykk 2) og 6) kunne brukes til å finne ut hvor mye du satte inn i utgangspunktet. :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Underveisoppgave 8 Ta quizen nedenfor. Flere alternativer kan være riktige. ::::::::{quiz-2} :::::::{quiz-question} En vare har økt med $4 \%$ over 5 år. Varen koster nå $500$ kr. Hvilket eller hvilke av uttrykkene nedenfor kan brukes til å finne ut hva varen kostet for noen år siden? ::::::{quiz-answer} --- correct: true --- $$ 500 \cdot 1.04^{-5} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} --- correct: true --- $$ \dfrac{500}{1.04^5} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ 500 \cdot 0.96^5 $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \dfrac{500}{0.96^5} $$ :::::: ::::::: :::::::{quiz-question} En bakteriekultur dobles hver time. Etter 6 timer er det 12 800 bakterier. Hvilket eller hvilke av uttrykkene nedenfor kan brukes til å finne ut hvor mange bakterier det var i utgangspunktet? ::::::{quiz-answer} --- correct: true --- $$ 12~800 \cdot 2^{-6} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} --- correct: true --- $$ \dfrac{12~800}{2^6} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ 12~800 \cdot 0.5^6 $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \dfrac{12~800}{0.5^6} $$ :::::: ::::::: :::::::{quiz-question} Mengden radioaktivt stoff minker med 8% per dag. Etter 10 dager er det 500 gram igjen. Hvilket eller hvilke av uttrykkene nedenfor kan brukes til å finne ut hvor mye stoff det var for 10 dager siden? ::::::{quiz-answer} --- correct: true --- $$ 500 \cdot 0.92^{-10} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} --- correct: true --- $$ \dfrac{500}{0.92^{10}} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ 500 \cdot 1.08^{10} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ 500 \cdot 0.08^{-10} $$ :::::: ::::::: :::::::{quiz-question} En befolkning vokser med 3% per år. Etter 8 år er befolkningen 150 000 mennesker. Hvilket eller hvilke av uttrykkene nedenfor kan brukes til å finne ut hvor mange mennesker det var for 8 år siden? ::::::{quiz-answer} --- correct: true --- $$ 150~000 \cdot 1.03^{-8} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} --- correct: true --- $$ \dfrac{150~000}{1.03^8} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ 150~000 \cdot 0.97^8 $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \dfrac{150~000}{0.97^8} $$ :::::: ::::::: :::::::{quiz-question} En bil minker i verdi med 12% per år. Etter 4 år er bilen verdt 88 000 kr. Hvilket eller hvilke av uttrykkene nedenfor kan brukes til å finne ut hva bilen kostet i utgangspunktet? ::::::{quiz-answer} --- correct: true --- $$ 88~000 \cdot 0.88^{-4} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} --- correct: true --- $$ \dfrac{88~000}{0.88^4} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ 88~000 \cdot 1.12^4 $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \dfrac{88~000}{1.12^4} $$ :::::: ::::::: :::::::{quiz-question} En investering øker med 6% per kvartal. Etter 12 kvartaler er investeringen verdt 45 000 kr. Hvilket eller hvilke av uttrykkene nedenfor kan brukes til å finne ut hva den opprinnelige investeringen var? ::::::{quiz-answer} --- correct: true --- $$ 45~000 \cdot 1.06^{-12} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} --- correct: true --- $$ \dfrac{45~000}{1.06^{12}} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ 45~000 \cdot 0.94^{12} $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \dfrac{45~000}{0.94^{12}} $$ :::::: ::::::: :::::::: ::::::::::::::: --- ## Programmering av eksponentiell vekst Vi kan bruke programmering til å regne med eksponentiell vekst. La oss se på et eksempel. :::::::::::::::{example} Eksempel 6 Du setter inn $1000$ kr på en sparekonto som gir $5\%$ rente per år. Lag et program som regner ut på kontoen etter $5$ år. ::::{solution} --- dropdown: 0 --- Vi har at startverdien er $a = 1000$ og at vekstfaktoren er $b = 1.05$. Da har vi at En algoritme for å regne ut beløpet på kontoen etter $5$ år kan da være: * Start med $s = 1000$. * for $n = 1, 2, \ldots, 5$: * Sett $s = s \cdot 1.05$ Programmet nedenfor regner ut beløpet på kontoen etter $5$ år: :::{interactive-code} s = 1000 # startverdi for n in range(1, 6): # for år 1, 2, 3, 4, 5 s = s * 1.05 # Øk sparebeløpet med 5% print(f"{s = :.2f} kr") ::: :::: ::::::::::::::: I eksempelet ovenfor kunne vi i prinsippet bare regnet ut $1000 \cdot 1.05^5$ direkte, så det kan virke litt *unødvendig* å bruke programmering her. Men la oss forestille oss at vi i stedet skal sette inn et innskudd på starten av hvert år. Det er her programmering kan skinne. :::::::::::::::{example} Eksempel 7 Du skal sette inn et innskudd på $1000$ kr på en sparekonto på starten av hvert år. Renten per år er på $5\%$. Hvor mye penger har du på kontoen etter $10$ år? ::::{solution} --- dropdown: 0 --- Her har vi at startverdien er $a = 1000$ og at vekstfaktoren er $b = 1.004$. Siden vi setter inn et innskudd hver måned, kan vi ikke bare bruke én eksponentiell modell for å regne ut beløpet på kontoen over tid. I stedet må vi bruke algoritmen nedenfor: * Start med $s = 0$. * For $n = 1, 2, \ldots, 10$ år: * Sett $s = s + 1000$ for å legge til det nye innskuddet * Sett $s = s \cdot 1.05$ for å øke sparebeløpet med 5% rente Programmet nedenfor bruker algoritmen ovenfor. :::{interactive-code} s = 0 for n in range(1, 11): # for år 1, 2, ..., 10 s = s + 1000 # Legg til det nye innskuddet s = s * 1.05 # Øk sparebeløpet med 5% rente print(f"{s = :.2f} kr") ::: :::: :::::::::::::::