# Oppgaver: Potensfunksjoner :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a I figuren nedenfor vises grafene til potensfunksjonene $$ f(x) = x^2 \qog g(x) = x^{1/2} \qog h(x) = x^{-1} $$ Koble sammen riktig funksjon med riktig graf. :::{plot} nocache: width: 70% function: x**2, (0, 6), A, blue function: x**-1, (0, 6), B, red function: x**0.5, (0, 6), C, green xmin: 0 ymin: 0 ::: ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- * Graf A tilhører $f$. * Graf B tilhører $h$. * Graf C tilhører $g$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b I figuren nedenfor vises grafene til potensfunksjonene $$ f(x) = x^{-1} \quad\quad g(x) = 2\cdot x^{-1} \quad\quad h(x) = 4 \cdot x^{-2} $$ Koble sammen riktig funksjon med riktig graf. :::{plot} nocache: width: 70% function: 4 * x**-2, (0, 5), A, blue function: x**-1, (0, 5), B, red function: 2 * x**-1, (0, 5), C, teal xmin: 0 ymin: 0 xmax: 5 ::: ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- * Graf A tilhører $h$. * Graf B tilhører $f$. * Graf C tilhører $g$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c I figuren nedenfor vises grafene til tre funksjoner gitt ved $$ f(x) = x^{1/3} \quad\quad g(x) = 2 x^{1/2} \quad\quad h(x) = 2 x^{2/3} $$ Koble sammen riktig funksjon med riktig graf. :::{plot} width: 70% function: 2 * x**(2/3), (0, 6), A, blue function: x**(1/3), (0, 6), B, red function: 2 * x**(1/2), (0, 6), C, teal xmin: 0 ymin: 0 xmax: 5 ::: ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- * Graf A tilhører $h$. * Graf B tilhører $f$. * Graf C tilhører $g$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En kule med radius $r$ har et overflatearealet $A \propto r^2$. Hvor mange ganger større blir overflatearealet radius dobles? ::::{answer} $4$ ganger større. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En kule med radius $r$ har et volum $V \propto r^3$. Hvor mange ganger større blir volumet dersom radius dobles? ::::{answer} $8$ ganger større. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Forholdet mellom volumet og overflatearealet til en kule er $\dfrac{V}{A}$. Hvor mange ganger større blir dette forholdet dersom radius firedobles? ::::{answer} $4$ ganger større. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Den elektriske kraften $F$ mellom to elektriske ladninger oppfyller $F \propto r^{-2}$ der $r$ er avstanden mellom de to elektriske ladningene. Hvor mange ganger svakere blir kraften dersom avstanden mellom ladningene blir tre ganger så stor? ::::{answer} $\dfrac{1}{9}$ svakere. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Tyngdekraften $G$ mellom to planeter er $G \propto r^{-2}$ der $r$ er avstanden mellom de to planetene. Hvor mange ganger sterkere blir tyngdekraften dersom avstanden mellom de to planetene halveres? ::::{answer} $4$ ganger sterkere. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bevegelsesenergien $E$ til en stein med fart $v$ tilfredsstiller $E \propto v^2$. Hvor manger ganger større blir bevegelsesenergien dersom farten blir fire ganger så stor? ::::{answer} $16$ ganger så stor. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 :::{plot} nocache: figsize: (3, 3) width: 60% axis: off axis: equal align: left let: r = 1 let: dr = 1.2 let: R = 2 let: v = pi/4 circle: (0, 0), r, solid, orange, fill circle: (0, 0), R, dashed, gray text: 0, 0, "Sola", center-center circle: (R * cos(v), R * sin(v)), 0.3, solid, teal, fill text: R * cos(v), R * sin(v), "Planet", top-right vector: R * cos(v), R * sin(v), -dr * sin(v), dr * cos(v), black ::: :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: :::{clear} ::: Perioden til en planet er tiden det tar for planeten å gjennomføre en runde rundt solen. Nedenfor vises en tabell over periodene til noen av planetene i solsystemet vårt og deres avstand til solen. Avstandene er gitt i astronomiske enheter (AU) der $1 \text{ AU} = 149.6$ millioner km er avstanden fra jorden til solen. :::{table} labels: Planet, Avstand (AU), Periode (År) Merkur, 0.39, 0.24 Venus, 0.72, 0.62 Mars, 1.52, 1.88 Jupiter, 5.20, 11.86 Saturn, 9.58, 29.46 ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Lag en modell på formen $$ P(x) = a \cdot x^b $$ som viser sammenhengen mellom perioden $P(x)$ i år og avstanden $x$ i AU. ::::{solution} Vi utfører regresjon med en potensmodell: :::{figure} ./figurer/oppgaver/2/a/regresjon.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: Altså er modellen vår $$ P(x) = 1 \cdot x^{1.5} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Hva er perioden til jorda, ifølge modellen din? ::::{solution} Jorden er en avstand $x = 1$ AU fra solen. Dermed er perioden til jorden gitt ved $P(1)$. Vi regner ut og bruker {ggb-icon}`mode_numeric` for å få en numerisk verdi: :::{figure} ./figurer/oppgaver/2/b/sol.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: Altså er $P(1) \approx 1$ år som stemmer overens med det vi vet om jorden. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Neptun er den planeten som ligger lengst unna solen med en avstand på ca. $30.1 \, \mathrm{AU}$. Hvor lang tid bruker Neptun på én runde rundt solen, ifølge modellen din? ::::{solution} Siden Neptun ligger $30.1$ AU fra solen, så er $x = 30.1$. Perioden er da gitt ved $P(30.1)$. Vi regner ut og bruker {ggb-icon}`mode_numeric` for å få en numerisk verdi: :::{figure} ./figurer/oppgaver/2/c/sol.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: Altså bruker Neptun ca. 167 år på én runde rundt solen, ifølge modellen vår. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Pluto er en dvergplanet som bruker hele 247.94 år på én runde rundt solen. Hvor langt unna solen er Pluto, ifølge modellen din? ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} e Johannes Kepler var en astronom som levde rundt år 1600. Han oppdaget en lov som vi i dag kaller for Keplers 3.lov: > For perioden $P$ og avstanden $x$ til en planet, så er $P^2$ proporsjonal med $x^3$. Det betyr at det finnes en konstant $k$ slik at $P^2 = k \cdot x^3$. Undersøk om modellen din stemmer med Keplers 3.lov. ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: :::{plot} nocache: figsize: (3, 3) align: left axis: off axis: equal width: 70% let: v = pi / 6 let: u = -pi / 6 let: l = 3 let: dr = 0.5 let: L = 3 line-segment: (-L, 0), (L, 0), solid, gray line-segment: (0, 0), (l * sin(v), -l * cos(v)), solid, blue circle: ((l + dr) * sin(v), -(l + dr) * cos(v)), dr, solid, red, fill line-segment: (0, 0), (l * sin(u), -l * cos(u)), dashed, blue circle: ((l + dr) * sin(u), -(l + dr) * cos(u)), dr, dashed, red, fill angle-arc: (0, 0), l + dr, 270 + 30, 270 - 30, dashed, gray text: 0.5 * l, -0.5 * l, "$\ell$", top-right point: (0, 0) ::: :::{clear} ::: Tiden det tar for en pendel å svinge frem og tilbake én gang kalles for perioden til pendelen. I tabellen nedenfor vises perioden til en pendel for ulike snorlengder $\ell$. :::{table} --- transpose: --- labels: Snorlengde (meter), Periode (sekunder) 0.1, 0.69 0.3, 1.17 0.5, 1.44 0.8, 1.82 1.0, 2.08 1.3, 2.27 1.6, 2.53 2.0, 2.80 ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Lag en modell $T$ på formen $$ T(x) = a \cdot x^{b} $$ der $T(x)$ er perioden i sekunder for en pendel med en snorlengde på $x$ meter. ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Hva er perioden til en pendel med en snorlengde på $1.5$ meter, ifølge modellen din? ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c På Universitetet i Oslo, er en såkalt **Foucaults pendel** bygget for å demonstrere at jorden roterer. Pendelen sin periode er omtrent på $7.5$ sekunder. Pendelen er ca. $20$ cm over bakken på sitt laveste. Hvor høyt er taket over bakken der pendelen henger? :::{figure} ./bilder/oppgaver/oppgave_3/pendel.jpeg --- class: no-click width: 50% align: right --- ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Fra fysikken, er perioden $T$ til en pendel med snorlengde $L$ omtrentlig gitt ved formelen $$ T = 2\pi \sqrt{\dfrac{L}{g}} $$ der $g = 9.82 \, \mathrm{m/s^2}$ (meter per sekund per sekund) er tyngdeakselerasjonen i Oslo. Undersøk om modellen din samsvarer med denne formelen. ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 6 :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: :::{plot} width: 70% align: left figsize: (3, 3) axis: off axis: equal let: r = 0.5 let: h = 3 let: L = 2 line-segment: (-L, 0), (L, 0), solid, gray line-segment: (0, h), (0, r), dashed, gray circle: (0, h), r, solid, blue, fill circle: (0, r), r, dashed, blue, fill text: 0, 0, "Bakken", bottom-center vector: 2*r, h, 0, -2*r text: -2*r, h, "Kule", center-left ::: :::{clear} ::: Når en kule blir sluppet fra forskjellige høyder, vil det ta lenger og lenger tid før kulen treffer bakken. I tabellen nedenfor vises tiden det tar for en kule å treffe bakken når den slippes fra ulike høyder. :::{table} --- transpose: --- labels: Høyde (meter), Tid (sekunder) 0.5, 0.32 1.0, 0.47 1.5, 0.58 2.0, 0.63 2.5, 0.72 3.0, 0.82 ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Lag en modell $T$ på formen $$ T(x) = a \cdot x^{b} $$ der $T(x)$ er tiden i sekunder det tar for en kule å treffe bakken når den slippes $x$ meter over bakken. ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Hvor lang tid tar det før en kule treffer bakken dersom den slippes fra $10$ meter, ifølge modellen? ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En kule ble sluppet fra en bro og traff bakken etter $3$ sekunder. Hvor høy var broen? ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d En modell fra fysikken forutsier at tiden $t$ det tar for en kule å treffe bakken når den slippes fra en høyde $h$ er gitt ved formelen $$ t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} $$ der $g = 9.82 \, \mathrm{m/s^2}$ (meter per sekund per sekund) er tyngdeakselerasjonen i Oslo. Undersøk om modellen din samsvarer med denne formelen. :::::::::::::: :::::::::::::::