# Oppgaver: Potensfunksjoner




:::::::::::::::{exercise} Oppgave 1
::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a
I figuren nedenfor vises grafene til potensfunksjonene

$$
f(x) = x^2 \qog g(x) = x^{0.5} \qog h(x) = x^{-1}
$$

Koble sammen riktig funksjon med riktig graf.

:::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_1/a.svg
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::


::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
* Graf A tilhører $f$.
* Graf B tilhører $h$.
* Graf C tilhører $g$.
::::


:::::::::::::


:::::::::::::{tab-item} b
I figuren nedenfor vises grafene til potensfunksjonene

$$
f(x) = x^{-1} \quad\quad g(x) = 2\cdot x^{-1} \quad\quad h(x) = 4 \cdot x^{-2}
$$

Koble sammen riktig funksjon med riktig graf.

:::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_1/b.svg
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
viser grafene til tre funksjoner.
:::


::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
* Graf A tilhører $h$.
* Graf B tilhører $f$.
* Graf C tilhører $g$.
::::

:::::::::::::


:::::::::::::{tab-item} c
I figuren nedenfor vises grafene til tre funksjoner gitt ved

$$
f(x) = x^{1/3} \quad\quad g(x) = 2 x^{1/2} \quad\quad h(x) = 2 x^{2/3}
$$

Koble sammen riktig funksjon med riktig graf.

:::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_1/c.svg
---
width: 80%
class: no-click, adaptive-figure
---
viser grafene til tre funksjoner.
:::


::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
* Graf A tilhører $f$.
* Graf B tilhører $h$.
* Graf C tilhører $g$.
::::

:::::::::::::

::::::::::::::


:::::::::::::::


---


:::::::::::::::{admonition} Oppgave 5
---
class: problem-level-2
---
Perioden til en planet er tiden det tar for en planet å gjennomføre et fullt omløp i banen sin rundt solen. 

:::{figure} ./figurer/eksempler/eksempel_3/planetbane.svg
---
width: 50%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::

Nedenfor vises en tabell over periodene til noen av planetene i solsystemet og deres avstand til solen. Avstandene er gitt i astronomiske enheter (AU) som er avstanden fra solen til jorden.

| Planet | Avstand (AU) | Periode (år) |
|--------|:--------------:|:--------------:|
| Merkur | 0.39         | 0.24         |
| Venus  | 0.72         | 0.62         |
| Mars   | 1.52         | 1.88         |
| Jupiter| 5.20         | 11.86        |
| Saturn | 9.58         | 29.46        |

::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a
Lag en modell $P$ som gir perioden til en planet i $P(x)$ år når avstanden til solen er $x$ AU på formen

$$
P(x) = a \cdot x^b.
$$


:::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---

$$
P(x) \approx 1 \cdot x^{1.5}
$$

````{tab} Geogebra 

Bruker `RegPot` for å lage en potensfunksjon med regresjon:

:::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_5/a_sol.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::

````


````{tab} Python


:::{code-block} python
---
linenos:
---
from casify import *

xdata = [0.39, 0.72, 1.52, 5.2, 9.58]
ydata = [0.24, 0.62, 1.88, 11.86, 29.46]
modell = "a * x ** b"

# Utfører regresjon
P = reg(
    modell=modell,
    xdata=xdata,
    ydata=ydata,
)

print(P)
::: 

:::{code-block} console
       1.49
1.015*x  
::: 

som gir:

$$
P(x) = 1.015 \cdot x^{1.49}
$$


````

:::::

:::::::::::::


:::::::::::::{tab-item} b
Regn ut perioden til en planet som er $1$ AU fra solen.

Er svaret rimelig? 

:::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---

````{tab} Geogebra
Vi regner ut $P(1)$ med modellen vi bestemte i **a**:

:::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_5/b_sol.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::

som gir en periode på $P(1) \approx 1$ år som stemmer godt overens med at dette er perioden til jorda.

````


````{tab} Python 
Vi utvider programmet fra **a** med følgende kodelinje:

:::{code-block} python
print(P(1)) # Periode til planet 1 AU unna sola (aka jorda)
:::

som gir utskriften 

:::{code-block} console
1.01500000000000
:::

Som betyr at $P(1) \approx 1.015$ år som stemmer godt overens med jordens periode er $1$ år. 

````

:::::

:::::::::::::

:::::::::::::{tab-item} c
Uranus har en periode på $84.01$ år. 


Bruk modellen din til å anslå avstanden til Uranus og sammenlign med den virkelige avstanden på $19.22$ AU.


:::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
Vi må løse likningen $P(x) = 84.01$ for $x$ for å bestemme perioden til Uranus. 

````{tab} Geogebra
Vi utvider CAS-vinduet med å løse likningen

:::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_5/c_sol.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::

Ut ifra modellen vår er avstanden til Uranus $x \approx 19.2$ AU. I virkeligheten er den $19.22$ AU, så modellen gir en god tilnærming.

````

````{tab} Python 
Vi utvider programmet fra **a** og **b** for å løse likningen $P(x) = 84.01$:

:::{code-block} python
avstand_uranus = nløs("P(x) = 84.01")
print(avstand_uranus)
:::

som gir utskriften

:::{code-block} console
x = 19.371
:::

som betyr at avstanden ifølge modellen vår er $x \approx 19.37$ AU som stemmer godt overens med den virkelige avstanden på $19.22$ AU.

````
:::::

:::::::::::::
::::::::::::::

> Du kan bruke Geogebra eller Python nedenfor for å løse oppgavene.

````{tab} Geogebra 

:::{raw} html
---
file: ./ggb/oppgaver/oppgave_5/oppgave_5.html
---
:::

````

````{tab} Python 

:::{raw} html
---
file: ./python/oppgaver/oppgave_5/oppgave_5.html
---
:::

````


:::::::::::::::




:::::::::::::::{admonition} Oppgave 6
---
class: problem-level-3
---
Kokepunktet til vann varierer med lufttrykket. Lufttrykket på sin side varierer med høyden over havet. I tabellen nedenfor vises kokepunktet til vann ved ulike høyder over havet.

| Lufttrykk (hPa) | Kokepunkt (°C) |
|-----------------|----------------|
| 1000            | 100            |
| 800             | 92.3           |
| 600             | 84.9           |
| 500             | 81.4           |
| 100             | 48.9           |



::::::::::::::{tab-set}
---
class: tabs-parts
---
:::::::::::::{tab-item} a

Bestem en modell $f$ på formen 

$$
f(x) = a \cdot x^b
$$

som gir kokepunktet til vann i $f(x)$ $^\circ \mathrm{C}$ ved et lufttrykk på $x$ hPa.


:::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
Vi bruker regresjon til å bestemme $f(x)$. 


````{tab} Geogebra

:::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_6/a_sol.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::

````

````{tab} Python 


:::{code-block} python
---
linenos:
---
from casify import *

xdata = [1000, 800, 600, 500, 100] # lufttrykk
ydata = [100, 92.3, 84.9, 81.4, 48.9] # kokepunkt
modell = "a * x ** b"


f = reg(
    modell=modell,
    xdata=xdata,
    ydata=ydata,
)


print(f) # Skriver ut f(x)
:::

som gir utskriften

:::{code-block} console
        0.308
11.904*x     
:::

som betyr at 

$$
f(x) = 11.904 \cdot x^{0.308}
$$

````


:::::



:::::::::::::


:::::::::::::{tab-item} b
Lufttrykket synker med ca. $12 \%$ per km i høyden. 

Bestem en modell $g$ som gir lufttrykket $g(x)$ hPa ved en høyde på $x$ km over havnivået.


:::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
$$
g(x) = 1000 \cdot 0.88^x
$$
:::::

:::::::::::::

:::::::::::::{tab-item} c
Bestem hvor langt over bakken lufttrykket er $300$ hPa.


:::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
Vi må løse likningen $g(x) = 300$ for å bestemme hvor langt over bakken lufttrykket er $300$ hPa. 

````{tab} Geogebra  

:::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_6/c_sol.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::

````

````{tab} Python 
Vi utvider programmet fra **a** med kodelinjene:

:::{code-block} python
g = funksjon("1000 * 0.88 ** x")
høyde = nløs("g(x) = 300")

print(høyde)
:::

som gir utskriften:

:::{code-block} console
x = 9.418
:::

som betyr at lufttrykket er $300$ hPa ca. $9.42$ km over bakken.

````

:::::

:::::::::::::


:::::::::::::{tab-item} d
Bestem hvor langt over bakken kokepunktet til vann er $30 \, ^\circ \mathrm{C}$.

::::{admonition} Fasit
---
class: answer, dropdown
---
Vi løser dette problemet i to steg:
1. Vi finner ved hvilket trykk kokepunktet er $30 \, ^\circ \mathrm{C}$ med $f(x)$. Dette ved å løse likningen $f(x) = 30$.
2. Vi finner hvor langt over bakken dette trykket er med $g(x)$. Dette ved å løse likningen $g(x) = \text{trykket fra steg 1}$.


````{tab} Geogebra 

<br>

1. Vi løser først likning $f(x) = 30$ med CAS-vinduet som forteller oss hvor høyt trykket er for at kokepunktet til vann er $30 \, ^\circ \mathrm{C}$. Dette ga et lufttrykk på $20.44$ hPa.
2. Deretter løser vi likningen $g(x) = 20.44$ som forteller oss hvor høyt over bakken dette trykket er. Dette ga en høyde på $30.43$ km.

:::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_6/d_sol.png
---
width: 100%
class: no-click, adaptive-figure
---
:::

Kokepunktet til vann er altså $30 \, ^\circ \mathrm{C}$ ca. $30.43$ km over bakken, ifølge modellene.

````


````{tab} Python 
Først løser vi likningen $f(x) = 30$ med kodelinjene:

:::{code-block} python
trykk = nløs("f(x) = 30")
print(trykk)
:::

som gir utskriften

:::{code-block} console
x = 20.107
:::

som betyr at kokepunktet til vann er $30 \, ^\circ \mathrm{C}$ ved et trykk på $20.107$ hPa. For å bestemme hvilken høyde dette svarer til, løser vi likningen

$$
g(x) = 20.107
$$

som vi kan gjøre med kodelinjene:

:::{code-block} python
høyde = nløs("g(x) = 20.107")
print(høyde)
:::

som gir utskriften

:::{code-block} console
x = 30.561
:::

som betyr at kokepunktet til vann er $30 \, ^\circ \mathrm{C}$ ca. $30.56$ km over bakken, ifølge modellene.

````

::::

:::::::::::::


::::::::::::::


> Nedenfor kan du bruke Geogebra eller Python som hjelpemiddel.

````{tab} Geogebra

:::{raw} html
---
file: ./ggb/oppgaver/oppgave_6/cas.html
---
:::

````


````{tab} Python 

:::{raw} html
---
file: ./python/oppgaver/oppgave_6/kode.html
---
:::


````


:::::::::::::::