# Potensfunksjoner :::{admonition} Læringsmål --- class: tip --- * Kan forklare begrepet proprosjonalitet og anvende begrepet proporsjonalitet. * Kan beskrive egenskapene til potensfunksjoner. * Kjenner til sammenhengen mellom potensfunksjoner og rotfunksjoner. ::: Mange sammenhenger både i naturen og i samfunnet kan beskrives ved hjelp av **potensfunksjoner**. Potensfunksjoner er sterkt knyttet til begrepet **proporsjonalitet**. ## Proporsjonalitet **Proporsjonalitet** er et begrep som vi bruker til å beskrive at sammenhengen mellom to størrelser $x$ og $y$ kan uttrykkes som $y = a \cdot x$ der $a$ kalles for en **proprosjonalitetskonstant**. :::::::::::::::{example} Eksempel 1 La oss si at hektoprisen for smågodt på butikken er $15$ kr/hg. Prisen $P$ vi må betale når vi kjøper $x$ hg smågodt er da $$ P(x) = 15 \cdot x $$ Dersom vi dobler mengden smågodt fra $x$ til $2x$, så får vi $$ P(2x) = 15 \cdot (2x) = 2 \cdot (15 \cdot x) = 2 \cdot P(x) $$ Det betyr at når vi dobler mengden smågodt, så dobles også prisen. Vi sier da at $P$ er proprosjonal med $x$ og skriver det $P \propto x$. Proprosjonalitetskonstanten er $15~\mathrm{kr/hg}$. ::::::::::::::: --- Men at to størrelser er proprosjonale betyr ikke nødvendigvis at det er en lineær sammenheng. Vi kan mer generelt ha at $y$ er proprosjonal med $x^b$ for en konstant $b$. :::::::::::::::{example} Eksempel 2 Arealet $A$ av et rektangel med sidelengde $s$ er lik $A(s) = s^2$. Dersom vi dobler verdien til $s$, så får vi $$ A(2s) = (2s)^2 = 2^2 s^2 = 4 \cdot s^2 = 4 \cdot A(s) $$ Altså blir arealet $4$ ganger større når vi dobler sidelengden $s$. I dette tilfellet sier vi at arealet $A$ er proprosjonalt med $s^2$ og skriver det $A \propto s^2$. ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{summary} Proporsjonalitet Dersom en størrelse $y$ er proporsjonal med $x^b$ for en konstant $b$, så betyr det at det finnes en **proporsjonalitetskonstant** $a$ slik at $$ y = a \cdot x^b $$ Vi sier da at $y$ og $x^b$ er **proprosjonale** størrelser og skriver det $y \propto x^b$. ::::::::::::::: ## Potensfunksjoner Konseptet om proporsjonalitet som vi har beskrevet over kan generaliseres til en funksjonsklasse vi kaller for **potensfunksjoner**. :::::::::::::::{summary} Potensfunksjoner En potensfunksjon $f$ er en funksjon skrevet på formen $$ f(x) = a \cdot x^b $$ der $a$ og $b$ er konstanter. Tallet $a$ kaller vi for en **proporsjonalitetskonstant**. ::::{multi-plot2} --- rows: 1 cols: 2 --- :::{plot} width: 100% def: f(x) = x**1.5 function: x**1.5, (0, 10), blue function: x**0.5, (0, 10), red function: x**-2, (1e-4, 10), green xmin: -0.5 xmax: 3 ymin: -0.5 ymax: 3 point: (1, f(1)) text: 0.9, f(1), "$(1, a)$", top-left text: 0.95, 2.5, "$b < 0$", center-center text: 2.5, 1.2, "$0 < b < 1$", center-center text: 2.2, 2.5, "$b > 1$", center-center ticks: off fontsize: 28 ::: :::{interactive-graph} interactive-var: a, 0, 6, 25 interactive-var: b, -5, 5, 49 interactive-var-start: a=1, b=2 function: a * x**b, (0, 10), blue point: (1, a) text: 1, a, "$(1, a)$", center-right xmin: -0.5 xmax: 6 ymin: -0.5 ymax: 6 fontsize: 28 ::: :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 1 Nedenfor vises noen eksempler på potensfunksjoner. :::::{grid} 1 1 2 2 --- gutter: 2 --- ::::{grid-item-card} $$ f(x) = x^{3/2} $$ ^^^ :::{plot} width: 100% function: x**(3/2), (0, 6), f, blue xmin: -0.5 ymin: -0.5 fontsize: 28 ::: :::: ::::{grid-item-card} $$ g(x) = x^{1/2} $$ ^^^ :::{plot} width: 100% function: x**(1/2), (0, 6), g, red xmin: -0.5 ymin: -0.5 fontsize: 28 ::: :::: ::::{grid-item-card} $$ h(x) = x^{-2} = \frac{1}{x^2} $$ ^^^ :::{plot} width: 100% function: x**(-2), (0, 6), h, green xmin: -0.5 ymin: -0.5 fontsize: 28 ::: :::: ::::{grid-item-card} $$ p(x) = x^{-1/2} = \frac{1}{x^{1/2}} $$ ^^^ :::{plot} width: 100% function: x**(-1/2), (0, 6), p, orange xmin: -0.5 ymin: -0.5 fontsize: 28 ::: :::: ::::: ::::::::::::::: --- ## Sammenheng mellom potensfunksjoner og røtter Kvadratroten $\sqrt{x}$ av et tall $x$ er definert som det tallet som opphøyd i 2 gir $x$: $$ \left(\sqrt{x}\right)^2 = x $$ Samtidig vil $$ x^{1/2} \cdot x^{1/2} = x^{1/2 + 1/2} = x^1 = x $$ Altså må $$ \sqrt{x} = x^{1/2} $$ Mer generelt, kan vi definere $n$-te roten av $x$ som det tallet vi må opphøye i $n$ for å få $x$: $$ \left(\sqrt[n]{x}\right)^n = x $$ Av samme årsak får vi derfor at $$ \underbrace{x^{1/n} \cdot x^{1/n} \cdot \ldots \cdot x^{1/n}}_{n\, \mathrm{ganger}} = x^{n \cdot 1/n} = x^1 = x $$ Dermed må $$ x^{1/n} = \sqrt[n]{x} $$ :::::::::::::::{summary} Sammenheng mellom potenser og $n$-røtter $n$-te roten av $x$ kan skrives som en potens av $x$: $$ \sqrt[n]{x} = x^{1/n} $$ :::::::::::::::