# Oppgavesamling: Tall og algebra :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 Skriv kvadratrøttene så enkelt som mulig. :::::::::::::{part} a $$ \sqrt{324} $$ :::::{answer} $$ \sqrt{324} = 18 $$ ::::{solution} :::{factor-tree} --- n: 324 width: 100% figsize: (4, 8) align: right --- ::: Vi primtallsfaktoriserer $324$ som gir $$ 324 = 2^2 \cdot 3^4 $$ Kvadratroten av $324$ kan skrives som $$ \sqrt{324} = \sqrt{2^2 \cdot 3^4} = 2 \cdot 3^2 = 18 $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b $$ \sqrt{360} $$ :::::{answer} $$ \sqrt{360} = 6\sqrt{10} $$ ::::{solution} :::{factor-tree} --- n: 360 width: 100% figsize: (4, 8) align: right --- ::: Vi primtallsfaktoriserer $360$ som gir $$ 360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 $$ Kvadratroten av $360$ kan skrives som $$ \sqrt{360} = \sqrt{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5} = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2 \cdot 5} = 6\sqrt{10} $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c $$ \sqrt{2016} $$ :::::{answer} $$ \sqrt{2016} = 12\sqrt{14} $$ ::::{solution} :::{factor-tree} --- nocache: n: 2016 width: 100% figsize: (5, 12) align: right --- ::: Vi primtallsfaktoriserer $2016$ som gir $$ 2016 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7 $$ Tar vi kvadratroten av dette får vi $$ \sqrt{2016} = \sqrt{2^5 \cdot 3^2 \cdot 7} = 2^2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2 \cdot 7} = 12\sqrt{14} $$ :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 :::::::::::::{part} a Skriv så enkelt som mulig. $$ \sqrt{75} + \sqrt{27} - \sqrt{12} $$ :::::{answer} $$ 6\sqrt{3} $$ ::::{solution} Vi har at $$ \begin{align*} \sqrt{75} &= \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3} \\ \\ \sqrt{27} &= \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \\ \\ \sqrt{12} &= \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \\ \end{align*} $$ Altså er $$ \begin{align*} \sqrt{75} + \sqrt{27} - \sqrt{12} &= 5\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \end{align*} $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b Skriv så enkelt som mulig. $$ \dfrac{\sqrt{75} + \sqrt{27} - \sqrt{12}}{2\sqrt{3}} $$ :::::{answer} $$ 3 $$ ::::{solution} Fra oppgave **a** har vi at $$ \sqrt{75} + \sqrt{27} - \sqrt{12} = 6\sqrt{3} $$ Dermed blir brøken $$ \dfrac{\sqrt{75} + \sqrt{27} - \sqrt{12}}{2\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 3 $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c Skriv så enkelt som mulig. $$ \dfrac{\sqrt{125} + 3\sqrt{80} - \sqrt{20}}{\sqrt{45}} $$ :::::{answer} $$ \dfrac{\sqrt{125} + 3\sqrt{80} - \sqrt{20}}{\sqrt{45}} = 5 $$ ::::{solution} Vi skriver først alle kvadratrøttene så enkelt som mulig. Vi har at $$ \begin{align*} \sqrt{125} &= \sqrt{25 \cdot 5} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{5} = 5\sqrt{5} \\ \\ \sqrt{80} &= \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{5} = 4\sqrt{5} \\ \\ \sqrt{20} &= \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5} \\ \\ \sqrt{45} &= \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5} \\ \end{align*} $$ Så kombinerer vi resultatene som gir: $$ \begin{align*} \dfrac{\sqrt{125} + 3\sqrt{80} - \sqrt{20}}{\sqrt{45}} &= \dfrac{5\sqrt{5} + 3 \cdot 4\sqrt{5} - 2\sqrt{5}}{3\sqrt{5}} \\ \\ &= \dfrac{5\sqrt{5} + 12\sqrt{5} - 2\sqrt{5}}{3\sqrt{5}} \\ \\ &= \dfrac{15\sqrt{5}}{3\sqrt{5}} \\ \\ &= 5 \end{align*} $$ :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 Faktoriser uttrykkene. :::::::::::::{part} a $$ x^2 - 4x + 4 $$ :::::{answer} $$ x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 $$ ::::{solution} Vi bruker 2. kvadratsetning med $a = x$ og $b = 2$ som gir $$ x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b $$ x^2 + 2x + 1 $$ :::::{answer} $$ x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 $$ ::::{solution} Vi bruker 1. kvadratsetning med $a = x$ og $b = 1$. Da får vi $$ x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c $$ x^2 - 100 $$ :::::{answer} $$ x^2 - 100 = (x + 10)(x - 10) $$ ::::{solution} Vi bruker konjugatsetningen med: $$ x^2 - 100 = x^2 - 10^2 = (x + 10)(x - 10) $$ :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 Utvid uttrykkene. :::::::::::::{part} a $$ (x + 4)^2 $$ :::::{answer} $$ x^2 + 8x + 16 $$ ::::{solution} Vi utvider med 1. kvadratsetning: $$ (x + 4)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16 $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b $$ (3x - 9)^2 $$ :::::{answer} $$ 9x^2 - 54x + 81 $$ ::::{solution} Vi utvider med 2. kvadratsetning der $a = 3x$ og $b = 9$. Da får vi: $$ (3x - 9)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 9 + 9^2 = 9x^2 - 54x + 81 $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c $$ (x - 11)(x + 11) $$ :::::{answer} $$ (x - 11)(x + 11) = x^2 - 121 $$ ::::{solution} Vi bruker konjugatsetningen med: $$ (x - 11)(x + 11) = x^2 - 11^2 = x^2 - 121 $$ :::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 Faktoriser uttrykkene så mye som mulig. :::::::::::::{part} a $$ (x + 3)^2 - 4 $$ :::::{answer} $$ (x + 3)^2 - 4 = (x + 1)(x + 5) $$ ::::{solution} Vi bruker konjugatsetningen med $a = x + 3$ og $b = 2$. Da får vi at $$ (x + 3)^2 - 4 = (x + 3)^2 - 2^2 = (x + 3 - 2)(x + 3 + 2) = (x + 1)(x + 5) $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b $$ (x - 2)^2 - 9 $$ :::::{answer} $$ (x - 2)^2 - 9 = (x - 5)(x + 1) $$ ::::{solution} Vi bruker konjugatsetningen med $a = x - 2$ og $b = 3$. Da får vi at $$ (x - 2)^2 - 9 = (x - 2)^2 - 3^2 = (x - 2 - 3)(x - 2 + 3) = (x - 5)(x + 1) $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c $$ -(x + 1)^2 + 25 $$ :::::::::::::{answer} $$ -(x + 1)^2 + 25 = -(x - 4)(x + 6) $$ ::::{solution} Vi bruker konjugatsetningen med $a = x + 1$ og $b = 5$. Da får vi at $$ \begin{align*} -(x + 1)^2 + 25 &= -(x + 1)^2 + 5^2 \\ \\ &= -(x + 1 - 5)(x + 1 + 5) \\ \\ &= -(x - 4)(x + 6) \end{align*} $$ :::: ::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 6 Utvid uttrykkene. :::::::::::::{part} a $$ (2x - 1)^2 $$ :::::{answer} $$ (2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1 $$ ::::{solution} Vi bruker 2. kvadratsetning med $a = 2x$ og $b = 1$. Da får vi: $$ (2x - 1)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1 $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b $$ \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 $$ :::::{answer} $$ \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 = x^2 + x + \dfrac{1}{4} $$ ::::{solution} Vi bruker 2. kvadratsetning med $a = x$ og $b = \frac{1}{2}$. Da får vi: $$ \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = x^2 + x + \frac{1}{4} $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c $$ (3x - 4)^2 $$ :::::{answer} $$ (3x - 4)^2 = 9x^2 - 24x + 16 $$ ::::{solution} Vi bruker 2. kvadratsetning med $a = 3x$ og $b = 4$. Da får vi $$ (3x - 4)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 4 + 4^2 = 9x^2 - 24x + 16 $$ :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 7 Faktoriser uttrykkene så mye som mulig. :::::::::::::{part} a $$ 9x^2 - 6x + 1 $$ :::::{answer} $$ 9x^2 - 6x + 1 = (3x - 1)^2 $$ ::::{solution} Vi bruker 2. kvadratsetning der $$ a^2 = 9x^2 \limplies a = 3x $$ og $$ b^2 = 1 \limplies b = 1 $$ Da har vi også at $2ab = 2 \cdot 3x \cdot 1 = 6x$ som passer. Dermed får vi: $$ 9x^2 - 6x + 1 = (3x - 1)^2 $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b $$ 4x^2 + 16x + 16 $$ :::::{answer} $$ 4x^2 + 16x + 16 = (2x + 4)^2 $$ ::::{solution} Vi bruker 1. kvadratsetning der $$ a^2 = 4x^2 \limplies a = 2x $$ og $$ b^2 = 16 \limplies b = 4 $$ Da er også $2ab = 2 \cdot 2x \cdot 4 = 16x$ som stemmer med uttrykket. Dermed får vi: $$ 4x^2 + 16x + 16 = (2x + 4)^2 $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c $$ 4(x^2 - 2) - 28 $$ :::::{answer} $$ 4(x^2 - 2) - 28 = 4(x - 3)(x + 3) $$ ::::{solution} Vi starter med å gange ut parentesen for å skrive det enklere: $$ 4(x^2 - 2) - 28 = 4x^2 - 8 - 28 = 4x^2 - 36 $$ Her kan vi faktorisere ut $4$ og deretter bruke konjugatsetningen: $$ 4x^2 - 36 = 4(x^2 - 9) = 4(x^2 - 3^2) = 4(x - 3)(x + 3) $$ :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 8 Ta quizen! ::::::::{quiz-2} :::::::{quiz-question} Hva skal stå i den tomme boksen for at påstanden skal bli sann? $$\dfrac{3}{2} \quad \boxed{\phantom{= -2}} \quad \mathbb{N}$$ ::::::{quiz-answer} --- correct: --- $$ \notin $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \in $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \implies $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \impliedby $$ :::::: ::::::: :::::::{quiz-question} Hva skal stå i den tomme boksen for at påstanden skal bli sann? $$x = \dfrac{3}{2} \quad \boxed{\phantom{= -2}} \quad x \in \langle -1, 3 \rangle$$ ::::::{quiz-answer} --- correct: --- $$ \implies $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \impliedby $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \iff $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \in $$ :::::: ::::::: :::::::{quiz-question} Hva skal stå i den tomme boksen for at påstanden skal bli sann? $$x \in \langle -1, 3\rangle \quad \boxed{\phantom{= -2}} \quad x \in \langle 0, 2\rangle$$ ::::::{quiz-answer} --- correct: --- $$ \impliedby $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \implies $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \iff $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \in $$ :::::: ::::::: :::::::{quiz-question} Hva skal stå i den tomme boksen for at påstanden skal bli sann? $$x \lt -2 \quad \boxed{\phantom{= -2}} \quad x \in \langle \gets, -4]$$ ::::::{quiz-answer} --- correct: --- $$ \impliedby $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \implies $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \iff $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \in $$ :::::: ::::::: :::::::{quiz-question} Hva skal stå i den tomme boksen for at påstanden skal bli sann? $$|x| = 3 \quad \boxed{\phantom{= -2}} \quad x^2 = 9$$ ::::::{quiz-answer} --- correct: --- $$ \iff $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \implies $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \impliedby $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \in $$ :::::: ::::::: :::::::{quiz-question} Hva skal stå i den tomme boksen for at påstanden skal bli sann? $$x \in \mathbb{Z} \quad \boxed{\phantom{= -2}} \quad x \in \mathbb{Q}$$ ::::::{quiz-answer} --- correct: --- $$ \impliedby $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \implies $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \iff $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \in $$ :::::: ::::::: :::::::{quiz-question} Hva skal stå i den tomme boksen for at påstanden skal bli sann? $$x \in \{-4, 2, 9\} \quad \boxed{\phantom{= -2}} \quad x \in [-4, 9]$$ ::::::{quiz-answer} --- correct: --- $$ \implies $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \impliedby $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \iff $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \in $$ :::::: ::::::: :::::::{quiz-question} Hva skal stå i den tomme boksen for at påstanden skal bli sann? $$x \in \mathbb{Q} \quad \boxed{\phantom{= -2}} \quad x \in \mathbb{R}$$ ::::::{quiz-answer} --- correct: --- $$ \implies $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \impliedby $$ :::::: ::::::{quiz-answer} $$ \iff $$ :::::: ::::::::{quiz-2} $$ \notin $$ :::::::: ::::::: :::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 9 Skriv om påstandene med intervaller. :::::::::::::{part} a $$ x \gt -2 $$ :::::{answer} $$ x \in \langle -2, \to \rangle. $$ ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b $$ -2 \lt x \lt 3 $$ :::::{answer} $$ x \in \langle -2, 3 \rangle $$ ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c $$ x \leq -3 $$ :::::{answer} $$ x \in \langle \gets, -3] $$ ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 10 Skriv om påstandene med ulikheter. :::::::::::::{part} a $$ x \in [0, 2\rangle $$ :::::{answer} $$ 0 \leq x \lt 2 $$ ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b $$ x \in \langle \gets, 5\rangle $$ :::::{answer} $$ x \lt 5 $$ ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c $$ x \in [3, \to\rangle $$ :::::{answer} $$ x \geq 3 $$ ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 11 Faktoriser uttrykkene. :::::::::::::{part} a $$ (x + 3)^2 - 36 $$ :::::{answer} $$ (x + 3)^2 - 36 = (x - 3)(x + 9) $$ ::::{solution} Vi bruker konjugatsetningen med $a = x + 3$ og $b = 6$ som gir $$ (x + 3)^2 - 6^2 = (x + 3 - 6)(x + 3 + 6) = (x - 3)(x + 9) $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b $$ (x - 1)^2 - 9 $$ :::::{answer} $$ (x - 1)^2 - 9 = (x - 4)(x + 2) $$ ::::{solution} Vi bruker konjugatsetningen med $a = x - 1$ og $b = 3$ som gir $$ (x - 1)^2 - 3^2 = (x - 1 - 3)(x - 1 + 3) = (x - 4)(x + 2) $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c $$ -(x + 4)^2 + 81 $$ :::::{answer} $$ -(x + 4)^2 + 81 = -(x + 4 - 9)(x + 4 + 9) = -(x - 5)(x + 13) $$ ::::{solution} Vi bruker konjugatsetningen med $a = x + 4$ og $b = 9$ som gir $$ -(x + 4)^2 + 9^2 = -(x + 4 - 9)(x + 4 + 9) = -(x - 5)(x + 13) $$ :::: ::::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 12 Faktoriser uttrykkene. :::::::::::::{part} a $$ 16 - x^2 $$ :::::{answer} $$ 16 - x^2 = (4 + x)(4 - x) = -(x + 4)(x - 4) $$ ::::{solution} Vi kan faktorisere direkte med konjugatsetninge: $$ 16 - x^2 = 4^2 - x^2 = (4 + x)(4 - x) $$ eller så kan vi skrive først skrive om til $$ 16 - x^2 = -(x^2 - 4^2) = -(x + 4)(x - 4) $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} b $$ 25 - 10x + x^2 $$ :::::{answer} $$ 25 - 10x + x^2 = (x - 5)^2 $$ ::::{solution} Vi omkrokkerer på uttrykket slik at vi kan gjenkjenne at dette bare er 2. kvadratsetning: $$ 25 - 10x + x^2 = x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2 $$ :::: ::::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{part} c $$ (x^2 - 5)^2 - 25 $$ :::::{answer} $$ (x^2 - 5)^2 - 25 = x^2(x - \sqrt{10})(x + \sqrt{10}) $$ ::::{solution} Vi bruker konjugatsetningen med $a = x^2 - 5$ og $b = 5$ som gir $$ (x^2 - 5)^2 - 25 = (x^2 - 5 + 5)(x^2 - 5 - 5) = x^2(x^2 - 10) $$ Deretter kan vi faktorisere $(x^2 - 10)$ videre med konjugatsetningen ved å bruke $a = x$ og $b = \sqrt{10}$ som gir $$ x^2 - 10 = (x - \sqrt{10})(x + \sqrt{10}) $$ Dermed får vi den fullstendige faktoriseringen: $$ (x^2 - 5)^2 - 25 = x^2(x - \sqrt{10})(x + \sqrt{10}) $$ :::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::::