# Oppgaver: Den deriverte :::::::::::::::{admonition} Oppgave 1 --- class: problem-level-1 --- Deriver polynomfunksjonene. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a $$ f(x) = x^2 - 3x + 2 $$ :::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- $$ f'(x) = 2x - 3 $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b $$ g(x) = -x^3 + 4x + 1 $$ :::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- $$ g'(x) = -3x^2 + 4 $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c $$ h(x) = 2x^4 - 3x^2 + 1 $$ :::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- $$ h'(x) = 8x^3 - 6x $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d $$ p(x) = 3x^5 - 2x^3 + 4x $$ :::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- $$ p'(x) = 15x^4 - 6x^2 + 4 $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: ::::::::::::::{admonition} Oppgave 2 --- class: problem-level-1 --- > I denne oppgaven skal du finne likningene til tangentene ved å bruke den deriverte og ettpunktsformelen. ::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::{tab-item} a En polynomfunksjon er gitt ved $$ f(x) = -x^2 + 3x + 1 $$ Bestem likningen til tangenten i $(2, f(2))$. :::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- $$ y = -x + 5 $$ ::: ::::::::::: :::::::::::{tab-item} b En polynomfunksjon er gitt ved $$ g(x) = 2x^3 - 3x^2 - 5x + 6 $$ Bestem likningen til tangenten i $(1, g(1))$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ y = -5x + 5 $$ :::: ::::::::::: :::::::::::{tab-item} c En polynomfunksjon er gitt ved $$ h(x) = 3x^4 - 2x^2 + 1 $$ Bestem likningen til tangenten i $(0, h(0))$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ y = 1 $$ :::: ::::::::::: :::::::::::{tab-item} d En polynomfunksjon er gitt ved $$ p(x) = 4x^5 - 3x^3 + 2x $$ Bestem likningen til tangenten i $(-1, p(-1))$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ y = 13x + 10. $$ :::: ::::::::::: :::::::::::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: :::::::::::::::{admonition} Oppgave 3 --- class: problem-level-1 --- > I denne oppgaven skal du bruke polynomdivisjon til å finne likningen til tangentene. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En polynomfunksjon er gitt ved $$ f(x) = -x^2 + 3x + 1 $$ Bruk polynomdivisjon til å bestemme likningen til tangenten i $(2, f(2))$. :::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- $$ y = -x + 5 $$ ::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Vi utfører polynomdivisjonen $f(x) : (x - 2)^2$ og leser av resten siden dette gir likningen til tangenten i $(2, f(2))$. Vi bruker 2.kvadratsetning for å regne ut divisoren: $$ (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4. $$ Polynomdivisjonen blir da: :::{figure} ./koder/oppgaver/oppgave_3/a.svg --- width: 85% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Vi kan se at resten er $-x + 5$ som gir likningen til tangenten: $$ y = -x + 5. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En polynomfunksjon er gitt ved $$ g(x) = 2x^3 - 3x^2 - 5x + 6. $$ Bruk polynomdivisjon til å bestemme likningen til tangenten i $(1, g(1))$. :::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- $$ y = -5x + 5 $$ ::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Vi utfører polynomdivisjonen $g(x) : (x - 1)^2$ for å finne resten som gir likningen til tangenten i $(1, g(1))$. Fra 2.kvadratsetning får vi divisoren som: $$ (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1. $$ Dermed blir polynomdivisjonen: :::{figure} ./koder/oppgaver/oppgave_3/b.svg --- width: 85% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Vi kan lese av at resten er $-5x + 5$ som gir likningen til tangenten: $$ y = -5x + 5. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En polynomfunksjon er gitt ved $$ h(x) = 3x^4 - 2x^2 + 1. $$ Bruk polynomdivisjon til å bestemme likningen til tangenten i $(0, h(0))$. :::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- $$ y = 1 $$ ::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Vi utfører polynomdivisjonen $h(x) : (x - 0)^2$ for å finne resten som gir likningen til tangenten i $(0, h(0))$. Siden $(x - 0)^2 = x^2$, kan vi utføre polynomdivisjonen direkte: :::{figure} ./koder/oppgaver/oppgave_3/c.svg --- width: 85% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Vi kan lese av at resten er $1$ som betyr at likningen til tangenten er $$ y = 1. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d En polynomfunksjon er gitt ved $$ p(x) = 4x^5 - 3x^3 + 2x. $$ Bruk polynomdivisjon til å bestemme likningen til tangenten i $(-1, p(-1))$. :::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- $$ y = 13x + 10. $$ ::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Vi utfører polynomdivisjonen $p(x) : (x + 1)^2$ for å finne resten som gir likningen til tangenten i $(-1, p(-1))$. Vi bruker 1.kvadratsetning til å regne ut divisoren: $$ (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1. $$ Så utfører vi polynomdivisjonen: :::{figure} ./koder/oppgaver/oppgave_3/d.svg --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Vi leser av at resten er $13x + 10$ som gir likningen til tangenten: $$ y = 13x + 10. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{admonition} Oppgave 4 --- class: problem-level-1 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a {numref}`fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-4-a` viser grafen til en andregradsfunksjon $f$. Bruk grafen til å tegne fortegnslinja til $f'(x)$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_4/a.svg --- name: fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-4-a width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser grafen til en andregradsfunksjon $f$. ::: ::::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_4/a_løsning.svg --- name: fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-4-a-løsning width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- viser fortegnslinja til $f'(x)$. ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b {numref}`fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-4-b` viser grafen til en tredjegradsfunksjon $g$. Bruk grafen til å tegne fortegnslinja til $g'(x)$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_4/b.svg --- name: fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-4-b width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser grafen til en tredjegradsfunksjon $g$. ::: ::::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_4/b_løsning.svg --- name: fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-4-b-løsning width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- viser fortegnslinja til $g'(x)$. ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c {numref}`fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-4-c` viser grafen til en tredjegradsfunksjon $h$. Bruk grafen til å tegne fortegnslinja til $h'(x)$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_4/c.svg --- name: fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-4-c width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser grafen til en tredjegradsfunksjon $h$. ::: ::::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_4/c_løsning.svg --- name: fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-4-c-løsning width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- viser fortegnslinja til $h'(x)$. ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d {numref}`fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-4-d` viser grafen til en fjerdegradsfunksjon $p$. Bruk grafen til å tegne fortegnslinja til $p'(x)$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_4/d.svg --- name: fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-4-d width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser grafen til en fjerdegradsfunksjon $p$. ::: ::::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_4/d_løsning.svg --- name: fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-4-d-løsning width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- viser fortegnslinja til $p'(x)$. ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{admonition} Oppgave 5 --- class: problem-level-2 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a {numref}`fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-5-a` viser grafen til en andregradsfunksjon $f$. Lag en skisse av grafen til $f'$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_5/a.svg --- name: fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-5-a width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser grafen til en andregradsfunksjon $f$. ::: ::::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_5/a_løsning.svg --- name: fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-5-a-løsning width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser grafen til den deriverte $f'$. ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b {numref}`fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-5-b` viser grafen til en tredjegradsfunksjon $g$. Lag en skisse av grafen til $g'$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_5/b.svg --- name: fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-5-b width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser grafen til en tredjegradsfunksjon $g$. ::: ::::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_5/b_løsning.svg --- name: fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-5-b-løsning width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser grafen til den deriverte $g'$. ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c {numref}`fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-5-c` viser grafen til en tredjegradsfunksjon $h$. Lag en skisse av grafen til $h'$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_5/c.svg --- name: fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-5-c width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser grafen til en tredjegradsfunksjon $h$. ::: ::::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_5/c_løsning.svg --- name: fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-5-c-løsning width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser grafen til den deriverte $h'$. ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d {numref}`fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-5-d` viser grafen til en fjerdegradsfunksjon $p$. Lag en skisse av grafen til $p'$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_5/d.svg --- name: fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-5-d width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser grafen til en fjerdegradsfunksjon $p$. ::: ::::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_5/d_løsning.svg --- name: fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-5-d-løsning width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser grafen til den deriverte $p'$. ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{admonition} Oppgave 6 --- class: problem-level-2 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a {numref}`fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-6-a` viser grafen til en lineær funksjon $f'$. Lag en skisse av grafen til $f$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_6/a.svg --- name: fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-6-a width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser grafen til $f'$. ::: ::::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_6/a_løsning.svg --- name: fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-6-a-løsning width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser en skisse av grafen til $f$. ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b {numref}`fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-6-b` viser grafen til en andregradsfunksjon $g'$. Lag en skisse av grafen til $g$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_6/b.svg --- name: fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-6-b width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser grafen til $g'$. ::: ::::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_6/b_løsning.svg --- name: fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-6-b-løsning width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser en skisse av grafen til $g$. ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c {numref}`fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-6-c` viser grafen til en andregradsfunksjon $h'$. Lag en skisse av grafen til $h$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_6/c.svg --- name: fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-6-c width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser grafen til $h'$. ::: ::::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_6/c_løsning.svg --- name: fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-6-c-løsning width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser en skisse av grafen til $h$. ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d {numref}`fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-6-d` viser grafen til en tredjegradsfunksjon $p'$. Lag en skisse av grafen til $p$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_6/d.svg --- name: fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-6-d width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser grafen til $p'$. ::: ::::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_6/d_løsning.svg --- name: fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-6-d-løsning width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser en skisse av grafen til $p$. ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: :::::::::::::::{admonition} Oppgave 7 --- class: problem-level-2 --- {numref}`fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-7` viser grafen til en andregradsfunksjon $f$ og to tangenter. Om tangentene får du vite at: * Tangentene går gjennom nullpunktene til $f$. * Den ene tangenten har likningen $y = 4x + 4$. * Den andre tangenten skjærer $y$-aksen i $(0, 12)$. * Grafen til $f$ skjærer $y$-aksen i $(0, 3)$. Bestem $f(x)$ og $f'(x)$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_7/graf.svg --- name: fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-7 width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser grafen til en andregradsfunksjon $f$ og to tangenter. Den ene tangenten har likningen $y = 4x + 4$ og den andre tangenten skjærer $y$-aksen i $(0, 12)$. ::: :::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- $$ f(x) = -x^2 + 2x + 3 \quad \text{og} \quad f'(x) = -2x + 2. $$ ::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{admonition} Oppgave 8 --- class: problem-level-2 --- {numref}`fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-8` viser grafen til en andregradsfunksjon $f'$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_8/graf.svg --- name: fig-polynomfunksjoner-derivasjon-oppgave-8 width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser grafen til en andregradsfunksjon $f'$. ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem $f'(x)$. :::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- $$ f'(x) = (x + 1)^2 - 4 $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Grafen til $f$ har et nullpunkt i $x = 1$. Bestem $f(x)$. :::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- $$ f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x + \dfrac{5}{3} $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{admonition} Oppgave 9 --- class: problem-level-3 --- Figuren nedenfor viser grafen til $f'$. :::{plot} width: 70% function: -x**2 + 2*x + 3, f' ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem $f'(x)$. :::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- $$ f'(x) = -x^2 + 2x + 3 $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En tangent som går gjennom $(0, f(0))$ har likningen $y = 3x - 2$. Bestem $f(x)$. :::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- $$ f(x) = -\dfrac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x - 2. $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::: :::::::::::::::