# Den deriverte :::{admonition} Læringsmål --- class: tip --- * Kunne derivere polynomfunksjoner algebraisk. * Kunne bestemme likningen til tangenter til polynomfunksjoner. * Kan beskrive sammenhengen mellom grafen til $f$ og grafen til $f'$. ::: ## Den deriverte til en polynomfunksjon Når vi fant den deriverte $f'$ til en andregradsfunksjon $f$, så fant vi at den deriverte var en lineær funksjon. Sagt på en annen måte: vi får et førstegradspolynom $f'(x)$ når vi finner den deriverte av et andregradspolynom $f(x)$. Dette var ikke bare et sammentreff – generelt sett vil $f'(x)$ være et polynom som har én grad lavere for et hvert polynom $f(x)$. :::::::::::::::{summary} Den deriverte til en polynomfunksjon Gitt et polynom $f(x)$ av grad $n$, vil den deriverte av polynomet $f'(x)$ være et polynom av grad $n - 1$. ::::::::::::::: I praksis kan vi finne den deriverte algebraisk ved å følge noen bestemte regneregler som gjelder for alle polynomer. :::::::::::::::{summary} Derivasjonsregler for polynomer Regel 1 : For et ledd $x^n$ i et polynom $f(x)$, vil den deriverte av leddet være $$ (x^n)' = n \cdot x^{n-1} $$ Regel 2 : For ethvert ledd $a x^n$ i et polynom $f(x)$, vil den deriverte av leddet være $$ (a x^n)' = a (x^n)' $$ Regel 3 : Hvert ledd i et polynom deriveres hver for seg: $$ (ax^n + bx^m)' = (ax^n)' + (bx^m)' $$ Regel 4 : Den deriverte av en konstant er null: $$ C' = 0 $$ Regel 5 : Den deriverte av et lineært ledd $ax$ er $$ (ax)' = a $$ ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{admonition} Eksempel 1 --- class: example --- Bestem den deriverte til $$ f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 6x - 2 $$ ::::{admonition} Løsning --- class: solution --- \begin{align*} f'(x) &= (2x^3 - 4x^2 + 6x - 2)' \\ \\ &= 2\cdot (x^3)' - 4\cdot (x^2)' + 6\cdot x' - 2' \\ \\ &= 2 \cdot 3\cdot x^2 - 4\cdot 2 \cdot x^1 + 6 \cdot 1 \cdot x^0 - 0 \\ \\ &= 6x^2 - 8x + 6 \end{align*} :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Underveisoppgave 1 Bestem den deriverte til $$ f(x) = x^4 - 3x^2 + 5x - 1 $$ ::::{answer} $$ f'(x) = 4x^3 - 6x + 5 $$ :::: ::::::::::::::: ## Likningen til en tangent :::{plot} width: 100% align: right function: (x - 1) * (x + 2) * (x + 1), f ymax: 3 ymin: -3 xmax: 3 xmin: -4 point: (0.75, f(0.75)) text: 0.75, f(0.75), "$(a, f(a))$", bottom-right tangent: 0.75, f ticks: off fontsize: 30 ::: Hvis vi ser på en tangent til grafen til $f$ i et punkt $(a, f(a))$, så vet vi to ting: 1. Tangenten går gjennom punktet $(a, f(a))$. 2. Stigningstallet til tangenten er lik $f'(a)$. Vi vet også at vi alltid kan skrive likningen til en linje som har stigningstall $m$ som går gjennom et punkt $(x_0, y_0)$ på ettpunktsform: $$ y = m(x - x_0) + y_0, $$ Siden vi vet at stigningstallet er $f'(a)$ så vet vi at $m = f'(a)$. Siden linjen går gjennom punktet $(a, f(a))$, så vet vi at $x_0 = a$ og $y_0 = f(a)$. Dermed kan vi skrive likningen til tangenten som $$ y = f'(a)(x - a) + f(a). $$ :::::::::::::::{summary} Likningen til en tangent Likningen til en tangent til grafen til $f$ i et punkt $(a, f(a))$ er gitt ved $$ y = f'(a)(x - a) + f(a) $$ ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 2 Funksjonen $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12. $$ Bestem likningen til tangenten til grafen til $f$ i punktet $(1, f(1))$. ::::{solution} --- dropdown: 0 --- Likningen til tangenten er gitt ved $$ y = f'(1)(x - 1) + f(1) $$ Vi har at $$ f(1) = 1^3 - 3\cdot 1^2 - 4\cdot 1 + 12 = 6 $$ Videre har vi at $$ f'(x) = (x^3 - 3x^2 - 4x + 12)' = 3x^2 - 6x - 4 $$ som gir $$ f'(1) = 3\cdot 1^2 - 6\cdot 1 - 4 = -7 $$ Setter vi dette inn i likningen for tangenten, så får vi $$ y = -7(x - 1) + 6 = -7x + 7 + 6 = -7x + 13 $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Underveisoppgave 2 En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^3 + 2x^2 - x + 1. $$ Bestem likningen til tangenten til grafen til $f$ i punktet $(2, f(2))$. ::::{answer} $$ y = 19x - 23 $$ :::: ::::{solution} Likningen til tangenten er $$ y = f'(2)(x - 2) + f(2) $$ Vi har at $$ f(2) = 2^3 + 2\cdot 2^2 - 2 + 1 = 15 $$ Videre har vi at $$ f'(x) = (x^3 + 2x^2 - x + 1)' = 3x^2 + 4x - 1 $$ som gir $$ f'(2) = 3\cdot 2^2 + 4\cdot 2 - 1 = 12 + 8 - 1 = 19 $$ Setter vi dette inn i likningen for tangenten, så får vi $$ y = 19(x - 2) + 15 = 19x - 38 + 15 = 19x - 23 $$ :::: ::::::::::::::: ## Sammenheng mellom $f(x)$ og $f'(x)$ Vi har allerede nevnt at grafen til den deriverte $f'$ vil være en polynomfunksjon av én grad lavere enn $f$. Men vi kan peke ut flere sammenhenger som er viktig å forstå for å anvende teorien i praksis. ### Ekstremalpunkter til $f$ og nullpunkter til $f'$ La oss forestille oss at vi har en tredjegradsfunksjon $f$. Da vil $f'$ være en andregradsfunksjon. La oss tegne tangenter til grafen til $f$ i ekstremalpunktene til $f$. Da får vi tangenter som er horisontale og dermed har stigningstall $0$. Dette vil derfor være punkter hvor $f'(x) = 0$. Altså punkter hvor grafen til $f'$ skjærer $x$-aksen. Se figuren nedenfor. ::::{multi-plot2} --- rows: 1 cols: 2 --- :::{plot} width: 100% function: 1/3 * x**3 + 1/2 * x**2 - 6 * x - 3, f ymax: 20 ymin: -20 xmin: -10 xmax: 10 ticks: off tangent: -3, f tangent: 2, f point: (-3, f(-3)) text: -3, f(-3), "$(a, f(a))$", top-center point: (2, f(2)) text: 2, f(2), "$(b, f(b))$", bottom-center fontsize: 26 ::: :::{plot} function: x**2 + x - 6, f' xmin: -8 xmax: 8 ymax: 15 ymin: -15 ticks: off fontsize: 26 point: (-3, 0) text: -3, 0, "$(a, 0)$", bottom-left point: (2, 0) text: 2, 0, "$(b, 0)$", bottom-right ::: :::: Men det finnes også polynomfunksjoner som har punkter hvor tangenten blir horisontal, men punktet er verken et toppunkt eller et bunnpunkt. I figuren nedenfor viser vi en femtegradsfunksjon $f$ og dens deriverte $f'$ som er en fjerdegradsfunksjon. Vi ser at grafen til $f$ har to ekstremalpunkter, men det er et punkt hvor grafen til $f$ ikke snur, men hvor tangenten likevel er horisontal. Dette punktet kaller vi i stedet for et **terrassepunkt**. ::::{multi-plot2} --- rows: 1 cols: 2 --- :::{plot} function: 1/5 * x**5 - 3/4 * x**4 - x**3 + 11/2 * x**2 - 6*x - 5, f ymax: 25 ymin: -25 xmax: 5 xmin: -4 ticks: off point: (-2, f(-2)) point: (1, f(1)) point: (3, f(3)) tangent: 1, f, dashed, red ::: :::{plot} function: x**4 - 3*x**3 - 3 * x**2 + 11*x - 6, f' ymax: 25 ymin: -25 xmax: 5 xmin: -4 ticks: off point: (-2, 0) point: (1, 0) point: (3, 0) ::: :::: :::::::::::::::{admonition} Sammenheng mellom $f(x)$ og $f'(x)$ --- class: summary --- La $f$ være en polynomfunksjon. Da vil følgende sammenhenger mellom grafene til $f$ og $f'$ gjelde: * Punkter hvor grafen til $f'$ skjærer $x$-aksen svarer til punkter på grafen til $f$ hvor tangenter har stigningstall $0$. * Punkter hvor $f'(x) = 0$, svarer til punkter på grafen til $f$ hvor tangenter har stigningstall $0$. * Grafen til $f$ stiger når $f'(x) > 0$. * Grafen til $f$ synker når $f'(x) < 0$. ::::::::::::::: Ut ifra sammenhengen over, vil det i mange tilfeller være slik at punkter hvor grafen til $f'$ skjærer $x$-aksen, så har grafen til $f$ et ekstremalpunkt. :::::::::::::::{admonition} Eksempel 2 --- class: example --- Grafen til en tredjegradsfunksjon $f$ er vist i {numref}`fig-polnyomfunksjoner-derivasjon-eksempel-2`. :::{figure} ./figurer/eksempler/eksempel_2/graf.svg --- name: fig-polnyomfunksjoner-derivasjon-eksempel-2 width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser grafen til en tredjegradsfunksjon $f$ ::: For å forstå hvordan grafen til $f'$ henger sammen med grafen til $f$ kan vi 1. Tegne en fortegnslinje for $f'(x)$. 2. Tegne grafen til $f'$ ved å bruke fortegnslinjen og passe på at nullpunktene til $f'$ svarer til ekstremalpunktene til $f$. ::::::::::::::{tab-set} :::::::::::::{tab-item} Fortegnslinje til $f'(x)$ :::{figure} ./figurer/eksempler/eksempel_2/fortegnslinje.svg --- name: fig-polnyomfunksjoner-derivasjon-eksempel-2-fortegnslinje width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- viser fortegnslinja til $f'(x)$. Sammenhengen med grafen til $f$ er at $f'(x) > 0$ når grafen til $f$ stiger og $f'(x) < 0$ når grafen til $f$ synker. I ekstremalpunktene til $f$ er $f'(x) = 0$ fordi en tangent gjennom punktet vil være horisontal og dermed ha stigningstall $0$. ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} Grafen til $f'$ :::{figure} ./figurer/eksempler/eksempel_2/f_derivert.svg --- name: fig-polnyomfunksjoner-derivasjon-eksempel-2-f-derivert width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser grafen til $f'$. Nullpunktene til $f'$ svarer til samme $x$-koordinater som ekstremalpunktene til $f$. ::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- ## Utledning av derivasjonsreglene (*) Vi har så langt bare påstått hva derivasjonsreglene for polynomer er. Her skal vi gå løs på å utlede én av reglene. $$ \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a} $$ :::::::::::::::{theory} Bevis for derivasjonsregel 1 La $f(x) = x^3$ være en tredjegradsfunksjon. Vi ønsker å finne den deriverte $f'(a)$ i et punkt $(a, f(a))$ på grafen til $f$. Vi starter med å finne den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ i intervallet $[a, x]$. Dette er gitt ved $$ \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a} = \dfrac{x^3 - a^3}{x - a} $$ Vi utfører polynomdivisjonen med et Horner-skjema: :::{horner} --- p: x^3 - a^3 x: a width: 50% --- ::: Vi får null i rest, og bare en kvotient: $$ \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a} = x^2 + ax + a^2 $$ Hvis vi nå tenker oss at vi lar punktet $(x, f(x))$ nærme seg punktet $(a, f(a))$. Da vil jo sekanten som går gjennom de punktene nærme seg en tangent i punktet $(a, f(a))$. Den gjennomsnittlige vekstfarten vil da nærme seg stigningstallet til tangenten fordi de to linjene blir gradvis mer og mer like. Setter vi $x = a$ i uttrykket, som svarer til å se at vi lar $(x, f(x))$ komme så nærme $(a, f(a))$ som overhode mulig, så får vi $$ a^2 + a\cdot a + a^2 = 3a^2 $$ Altså blir stigningstallet til tangenten $3a^2$. ::::::::::::::: ## Polynomdivisjon og tangenter (*) Vi har allerede sett at resten i polynomdivisjon med $f(x) : (x - r)$ lar oss bestemme $f(r)$. Her skal vi gå et steg videre å se at resten i en bestemt polynomdivisjon kan brukes til å bestemme likningen til en tangent til grafen til polynomfunksjonen. :::::::::::::::{admonition} Utforsk 1 --- class: explore --- En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^2 - 4x + 5. $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem likningen for tangenten til grafen til $f$ i $(1, f(1))$ ved å bruke at $f'(x) = 2ax + b$ for en andregradsfunksjon. :::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ y = -2x + 4 $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Regn ut $$ f(x) : (x - 1)^2 $$ Sammenlikn **resten** med likningen for tangenten du fant i **a**. > Husk å utvide $(x - 1)^2$ før du gjør polynomdivisjonen. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- :::{figure} ./koder/utforsk/utforsk_1/b_annotert.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{admonition} Setning: Resten i polynomdivisjon $f(x) : (x - r)^2$ --- class: summary --- Gitt et polynom $f(x)$, vil resten i polynomdivisjonen $f(x) : (x - r)^2$ være det algebraiske uttrykket til tangenten som går gjennom punktet $(r, f(r))$ på grafen til $f$. ::::::::::::::: Før vi går videre, bør du prøve å anvende setningen. :::::::::::::::{admonition} Underveisoppgave 1 --- class: check --- En tredjegradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12. $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Regn ut $$ f(x) : (x - 2)^2 $$ ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- :::{figure} ./koder/underveisoppgaver/underveisoppgave_1/a.svg --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bruk resultatet ditt fra **a** til å bestemme likningen for tangenten til grafen til $f$ i $(2, f(2))$. :::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- Fra oppgave **a** har vi at resten er gitt ved $$ y = -4x + 8, $$ som er tangenten til grafen til $f$ i $(2, f(2))$. ::: ::::::::::::: :::::::::::::: :::::::::::::::