# Oppgaver: Funksjonsdrøfting :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 En tredjegradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^3 - 12x + 2. $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$. ::::{answer} * Toppunkt i $(-2, 18)$ * Bunnpunkt i $(2, -14)$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem koordinatene til eventuelle vendepunkter på grafen til $f$. ::::{answer} Vendepunkt i $(0, 2)$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^3 - 6x^2 + 3. $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$. ::::{answer} * Toppunkt i $(0, 3)$ * Bunnpunkt i $(4, -29)$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem koordinatene til eventuelle vendepunkter på grafen til $f$. ::::{answer} Vendepunkt i $(2, -13)$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bestem likningene til eventuelle vendetangenter til grafen til $f$. ::::{answer} $$ y = -12x + 11 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: En tredjegradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $$ Om funksjonen får du vite at * Grafen til $f$ har et toppunkt i $(-1, 4)$. * Grafen til $f$ har et vendepunkt i $(2, 1)$. Bestem $a$, $b$, $c$ og $d$. ::::{answer} $$ a = \dfrac{1}{18} \and b = -\dfrac{1}{3} \and c = -\dfrac{5}{6} \and d = \dfrac{32}{9} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: En tredjegradsfunksjon $g$ er gitt ved $$ g(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $$ Om funksjonen $g$ får du vite at * Grafen til $g$ har et bunnpunkt i $(1, -2)$. * Grafen til $g$ har en vendetangent i punktet $(3, g(3))$ med likningen $y = \dfrac{9}{2}x - \dfrac{19}{2}$. Bestem $g(x)$. ::::{answer} $$ g(x) = -\dfrac{3}{8}x^3 + \dfrac{27}{8}x^2 - \dfrac{45}{8}x + \dfrac{5}{8} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: En tredjegradsfunksjon $h$ er gitt ved $$ h(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $$ Om funksjonen $h$ får du vite at * Grafen til $h$ har et bunnpunkt i $(3, -28)$. * Grafen til $h$ har et vendepunkt i $(1, -12)$. Bestem $a$, $b$, $c$ og $d$. ::::{answer} $$ a = 1 \and b = -3 \and c = -9 \and d = -1 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: En tredjegradsfunksjon $p$ er gitt ved $$ p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $$ Om funksjonen $p$ får du vite at * Grafen til $p$ har stasjonære punkter i $(-3, p(-3))$ og $(1, p(1))$. * Grafen til $p$ har en vendetangent i punktet $(-1, p(-1))$ med likningen $y = -12x - 21$. Bestem $p(x)$. ::::{answer} $$ p(x) = x^3 + 3x^2 - 9x - 20 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 En fjerdegradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^4 - 4x^3 + 10. $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$. ::::{answer} Bunnpunkt i $(3, -17)$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem koordinatene til eventuelle vendepunkter på grafen til $f$. ::::{answer} Vendepunkter i $(0, 10)$ og $(2, -6)$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^3 + 4x^2 - 3x - 18 $$ Avgjør hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til $f$. ::::{multi-plot2} --- rows: 2 cols: 2 ticks: off ymax: 20 ymin: -20 fontsize: 30 --- :::{plot} function: (x - 2)**2 * (x + 3) text: 5, 15, "A", center-center, bbox ::: :::{plot} function: (x - 2) * (x + 3)**2 text: 5, 15, "B", center-center, bbox ::: :::{plot} function: -(x - 2)**2 * (x + 3) text: 5, 15, "C", center-center, bbox ::: :::{plot} function: x**3 + 6 * x**2 - 18 text: 5, 15, "D", center-center, bbox ::: :::: ::::{answer} Graf B. :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 6 En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^3 - 3x^2 + 1. $$ Avgjør hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til $f$. ::::{multi-plot2} --- rows: 2 cols: 2 ymin: -10 ymax: 10 ticks: off fontsize: 30 --- :::{plot} function: -x**3 + 3 * x**2 - 1 text: 5, 8, "A", center-center, bbox ::: :::{plot} function: x**3 + 3 * x**2 - 4 text: 5, 8, "B", center-center, bbox ::: :::{plot} function: x**3 - 3 * x**2 + 1 text: 5, 8, "C", center-center, bbox ::: :::{plot} function: x**3 - 6*x + 2 text: 5, 8, "D", center-center, bbox ::: :::: ::::{answer} Graf C. :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 7 For en funksjon $f$, er den deriverte $f'$ gitt ved $$ f'(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2. $$ Avgjør hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til $f$. ::::{multi-plot2} --- rows: 2 cols: 2 ymin: -8 ymax: 8 ticks: off grid: off fontsize: 30 --- :::{plot} function: 1/4 * x**4 + 2/3 * x**3 - 1/2 * x**2 - 2*x - 5 text: 5, 6, "A", center-center, bbox ::: :::{plot} function: -(1/4 * x**4 + 2/3 * x**3 - 1/2 * x**2 - 2*x - 5) text: 5, 6, "B", center-center, bbox ::: :::{plot} function: 1/4 * x**4 - 2/3 * x**3 - 1/2 * x**2 + 2*x - 5 text: 5, 6, "C", center-center, bbox ::: :::{plot} function: -(1/4 * x**4 - 2/3 * x**3 - 1/2 * x**2 + 2*x - 5) text: 5, 6, "D", center-center, bbox ::: :::: ::::{answer} Graf C. :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 8 Funksjonen $f$ er gitt ved $$ f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 6. $$ Avgjør hvilken av grafene nedenfor som viser grafen til $f'$. ::::{multi-plot2} --- rows: 2 cols: 2 ymax: 16 ymin: -16 ticks: off fontsize: 30 --- :::{plot} function: -6 * (x - 2) * (x + 1) text: 5, 15, "A", center-center, bbox ::: :::{plot} function: -6 * (x + 2) * (x - 1) text: 5, 15, "B", center-center, bbox ::: :::{plot} function: 6 * (x + 2) * (x - 1) text: 5, 15, "C", center-center, bbox ::: :::{plot} function: 6 * (x - 2) * (x + 1) text: 5, 15, "D", center-center, bbox ::: :::: ::::{answer} Graf D. :::: :::::::::::::::