# Funksjonsdrøfting :::::{admonition} Læringsmål --- class: tip --- * Kunne beskrive sammenhengen mellom den $f$ og $f'$, og bruke $f'$ til å bestemme ulike egenskaper ved $f$. ::::: Funksjonsdrøfting handler om å finne ut alt om grafen til en funksjon $f$ ved hjelp av $f(x)$ og dens deriverte. ## Stasjonære punkter :::::::::::::::{summary} Stasjonære punkter Et **stasjonært punkt** på grafen til $f$ er et punkt der $f'(x) = 0$. Det finnes tre typer stasjonære punkter: 1. **Bunnpunkt**: Den deriverte er negativ før og positiv etter punktet. 2. **Toppunkt**: Den deriverte er positiv før og negativ etter punktet. 3. **Terrassepunkt**: Den deriverte har samme fortegn før og etter punktet. Se figuren nedenfor. :::{plot} width: 70% ticks: off function: -((x + 1) ** 2) * (x - 2) ** 3 + 3, f xmin: -3 xmax: 3 ymin: -2 ymax: 14 point: (-1, f(-1)) point: (1/5, f(1/5)) point: (2, f(2)) text: -1, f(-1), "Bunnpunkt", bottom-center text: 1/5, f(1/5), "Toppunkt", top-right text: 2, f(2), "Terrassepunkt", top-right ::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 1 Bestem de stasjonære punktene og klassifiser dem for funksjonen $f$ gitt ved $$ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x $$ :::::{solution} --- dropdown: 0 --- Vi starter med å finne den deriverte: $$ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 $$ deretter løser vi $f'(x) = 0$: $$ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \liff x^2 - 4x + 3 = 0 \liff (x-3)(x-1) = 0 $$ som betyr at de stasjonære punktene til $f$ er $$ x = 1 \or x = 3 $$ Dermed kan vi skrive $f'(x)$ som $$ f'(x) = 3(x - 1)(x - 3) $$ For å avgjøre om punktene er bunnpunkter, toppunkter eller terrassepunkter, tegner vi et fortegnsskjema for $f'(x)$: :::{signchart} width: 100% function: 3*x**2 - 12*x + 9, f'(x) ::: Fra fortegnsskjema ser vi at $f'(x)$ går fra positiv til negativ i $x = 1$, som betyr at $f$ har et toppunkt i $(1, f(1))$. I $x = 3$ går $f'(x)$ fra negativ til positiv, som betyr at $f$ har et bunnpunkt i $(3, f(3))$. ::::: ::::::::::::::: --- Vi tar et eksempel til der alle tre typene dukker opp slik at vi vet hvordan vi kan lese de av fra et fortegnsskjema. :::::::::::::::{example} Eksempel 2 En femtegradsfunksjon er gitt ved $$ f(x) = \dfrac{1}{5}x^5 - \dfrac{3}{4}x^4 - x^3 + \dfrac{11}{2}x^2 - 6x + 2 $$ Bestem de stasjonære punktene og klassifiser dem. :::::{solution} --- dropdown: 0 --- Vi starter med å finne den deriverte: $$ f'(x) = x^4 - 3x^3 - 3x^2 + 11x - 6 $$ Deretter skal vi løse likningen $f'(x) = 0$. Her kan vi lete etter en rot med polynomdivisjon ved å se etter mulige kandidater som deler konstantleddet. Tallene som deler konstantleddet er $$ x \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\} $$ Så bruker vi et Horner-skjema til å sjekke om noen av disse er en rot (og utføre polynomdivisjon samtidig!): :::{figure} ./koder/eksempler/eksempel_2/horner_skjema_1.svg --- width: 70% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Vi får $0$ i rest som betyr at $x = 1$ er en rot i $f'(x)$. Fra Horner-skjema kan vi også lese av at $f'(x)$ kan faktoriseres som $$ f'(x) = (x - 1)(x^3 - 2x^2 - 5x + 6) $$ Nå må vi utføre samme prosedyre én gang til med tredjegradspolynomet $$ x^3 - 2x^2 - 5x + 6 $$ Vi bruker Horner-skjema én gang til: :::{figure} ./koder/eksempler/eksempel_2/horner_skjema_2.svg --- width: 60% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Her får vi også $0$ i rest med $x = 1$ som betyr at vi kan skrive tredjegradspolynomet som $$ x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x^2 - x - 6) $$ Til slutt bruker vi $abc$-formelen for å sjekke å faktorisere andregradspolynomet: $$ x^2 - x - 6 = 0 $$ som gir $$ x = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 6}}{2} = \dfrac{1 \pm 5}{2} $$ som gir løsningene $$ x = 3 \or x = -2 $$ Dermed kan vi skrive andregradspolynomet som $$ x^2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3) $$ Kombinerer vi alle resultatene her, får vi \begin{align*} f'(x) &= (x - 1)(x^3 - 2x^2 - 5x + 6) \\ \\ & = (x - 1)(x - 1)(x^2 - x - 6) \\ \\ &= (x - 1)(x - 1)(x + 2)(x - 3) \\ \\ &= (x + 2)(x - 1)^2 (x - 3) \end{align*} Vi vet nå at de stasjonære punktene til $f$ er $$ x = -2 \or x = 1 \or x = 3. $$ Nå kan vi tegne et fortegnsskjema for $f'(x)$ for å klassifisere dem som toppunkter, bunnpunkter eller terassepunkter: :::{figure} ./figurer/eksempler/eksempel_2/fortegnsskjema.svg --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: I $x = -2$ så skifter $f'(x)$ fortegn fra positiv til negativ som betyr at dette er et toppunkt. I $x = 1$ så skifter ikke $f'(x)$ fortegn, men synker både før og etter punktet som betyr at det er et terassepunkt. I $x = 3$ så skifter $f'(x)$ fortegn fra negativ til positiv som betyr at dette er et bunnpunkt. ::::: ::::::::::::::: --- ## Vendepunkter Et **vendepunkt** på grafen til $f$ forteller oss hvor grafen har minst eller størst stigning. For å finne vendepunkter på grafen til en funksjon $f$, bruker vi den **andrederiverte** som vi skriver som $f''(x)$. :::::::::::::::{summary} Vendepunkter Et **vendepunkt** på grafen til en funksjon $f$, er et punkt der $f''(x) = 0$ og $f''(x)$ skifter fortegn rundt dette punktet. :::{plot} width: 70% function: (x**3 - 3*x**2 + 4), f ticks: off point: (1, f(1)) ::: Vendepunkter svarer til topp- eller bunnpunkter på grafen til den deriverte $f'$. ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 3 En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 $$ Bestem koordinatene til vendepunktet til $f$. ::::{solution} --- dropdown: 0 --- Først finner vi den andrederiverte: $$ f'(x) = (x^3 - 3x^2 + 4)' = 3x^2 - 6x $$ $$ f''(x) = (3x^2 - 6x)' = 6x - 6 $$ Så løser vi likningen $f''(x) = 0$: $$ f''(x) = 0 \liff 6x - 6 = 0 \liff x = 1 $$ Nå har vi $x$-koordinaten til vendepunktet. Vi må ha $y$-koordinaten til punktet også: $$ y = f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 4 = 2 $$ Dermed har grafen til $f$ et vendepunkt i $(1, 2)$. For å være sikker på at dette faktisk er et vendepunkt, så må $f''(x)$ skifte fortegn rundt $x = 1$. Vi tegner et fortegnsskjema for $f''(x)$: :::{signchart} width: 100% function: 6*x - 6, f''(x) ::: Vi ser at $f''(x)$ går fra negativ til positiv i $x = 1$, som betyr at grafen til $f$ har et vendepunkt i $(1, 2)$. :::: :::::::::::::::