# Oppgaver: Optimering :::::::::::::::{admonition} Oppgave 1 --- class: problem-level-1 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = -x^2 + 4x + 1. $$ Bestem $x$ slik at $f(x)$ er størst mulig. ::::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- $$ x = 2 $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: dropdown, answer --- Siden ledende koeffisient $a < 0$, er $f(x)$ er størst mulig når $f'(x) = 0$. Vi kan derfor finne $x$ ved å løse $f'(x) = 0$: $$ f'(x) = (-x^2 + 4x + 1)' = -2x + 4 = 0 \liff 2x = 4 \liff x = 2. $$ Altså er $f(x)$ størst mulig når $x = 2$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En tredjegradsfunksjon $g$ er gitt ved $$ g(x) = x^3 - 3x + 5. $$ Bestem toppunktet og bunnpunktet til $g$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- Toppunktet er $(-1, 7)$ og bunnpunktet er $(1, 3)$. :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- For å bestemme toppunktet og bunnpunktet til $g$, kan vi løse $g'(x) = 0$. Vi starter med å bestemme $g'(x)$: $$ g'(x) = (x^3 - 3x + 5)' = 3x^2 - 3. $$ Deretter løser vi likningen $g'(x) = 0$: $$ 3x^2 - 3 = 0 \liff 3x^2 = 3 \liff x^2 = 1 \liff x = \pm 1. $$ Altså må ekstremalpunktene til $g$ være $x = \pm 1$. For å bestemme hvilket som er et toppunkt og hvilket som er et bunnpunkt, kan vi se på fortegnet til den ledende koeffisienten. Siden denne er positiv vil det ekstremalpunktet med lavest $x$-verdi være et toppunkt og det med høyest $x$-verdi være et bunnpunkt. Dermed er toppunktet $(-1, g(-1))$ og bunnpunktet $(1, g(1))$. For å finne koordinatene til de to punktene trenger vi funksjonsverdiene i de to punktene: \begin{align*} g(-1) &= (-1)^3 - 3(-1) + 5 = -1 + 3 + 5 = 7, \\ \\ g(1) &= 1^3 - 3(1) + 5 = 1 - 3 + 5 = 3. \end{align*} Dermed er toppunktet $(-1, 7)$ og bunnpunktet $(1, 3)$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En tredjegradsfunksjon $h$ er gitt ved $$ h(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x - 4. $$ Bestem ektremalpunktene til $h$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ x = 2 \or x = -1. $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Ekstremalpunktene til $h$ er punktene hvor $h'(x) = 0$. Vi starter derfor med å bestemme $h'(x)$: $$ h'(x) = (-2x^3 + 3x^2 + 12x - 4)' = -6x^2 + 6x + 12. $$ Deretter løser vi likningen $h'(x) = 0$: $$ -6x^2 + 6x + 12 = 0 \liff -6(x^2 - x - 2) = 0 \liff x^2 - x - 2 = 0. $$ Vi bruker $abc$-formelen for å bestemme røttene til andregradspolynomet: $$ x = \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \dfrac{1 \pm 3}{2} \, , $$ som gir $$ x = \dfrac{1 + 3}{2} = 2 \or x = \dfrac{1 - 3}{2} = -1. $$ Dermed er ekstremalpunktene $$ x = 2 \or x = -1. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{admonition} Oppgave 2 --- class: problem-level-1 --- En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = -x^2 + 16, \quad D_f = [-4, 4]. $$ Et rektangel har hjørnene $(-3, 0)$, $(-3, f(-3))$, $(3, 0)$ og $(3, f(3))$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_2.svg --- name: fig-polynomer-optimering-oppgave-2 width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser grafen til en andregradsfunksjon $f(x) = -x^2 + 16$ og et rektangel med hjørnene $(-3, 0)$, $(-3, f(-3))$, $(3, 0)$ og $(3, f(3))$. ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem arealet av rektangelet. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ A = 42 $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Lengden i trekanten er $6$ og høyden er $$ f(3) = -3^2 + 16 = -9 + 16 = 7. $$ Arealet av rektangelet er derfor $$ A = 6 \cdot 7 = 42. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Et annet rektangel har hjørnene $(-k, 0)$, $(-k, f(-k))$, $(k, 0)$ og $(k, f(k))$ der $k \in \langle 0, 4 \rangle$. Bestem arealet $A(k)$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ A(k) = -2k^3 + 32k $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Lengden i rektangelet blir $k - (-k) = 2k$ og høyden blir $f(k)$. Arealet $A(k)$ er derfor $$ A(k) = 2k f(k) = 2k(-k^2 + 16) = -2k^3 + 32k. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bestem $k$ slik at arealet blir størst mulig. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ k = \dfrac{4}{\sqrt{3}} \, . $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- For å bestemme $k$ slik at arealet er størst mulig, kan vi finne løsningene til $A'(k) = 0$. Først deriverer vi $A(k)$ som gir: $$ A'(k) = -6k^2 + 32. $$ Deretter løser vi $A'(k) = 0$: $$ A'(k) = 0 \liff -6k^2 + 32 \liff 6k^2 = 32 \liff k^2 = \dfrac{32}{6} = \dfrac{16}{3} $$ som gir $$ k = \pm \sqrt{\dfrac{16}{3}} = \pm \dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{3}} = \pm \dfrac{4}{\sqrt{3}} $$ Men $k \in \langle 0, 4 \rangle$ som betyr at vi må velge den positive løsningen. Dermed vil verdien av $k$ som gir størst mulig areal være $$ k = \dfrac{4}{\sqrt{3}} \, . $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{admonition} Oppgave 3 --- class: problem-level-1 --- Du skal bygge en innhegning for en rektangulær hage. På den ene siden er det en stor fjellvegg. Du har $100$ meter med gjerde som du skal bruke til å bygge innhegningen til hagen. Se {numref}`fig-polynomer-optimering-oppgave-3`. Bestem sidelengdene slik at arealet av hagen blir størst mulig. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_3.svg --- name: fig-polynomer-optimering-oppgave-3 width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser en rektangulær hage med sidelengder $x$ og $y$ der den ene siden er dekket av et stor fjellvegg. Gjerde som skal settes opp har til sammen en lengde på $100$ meter. ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem arealet $A(x)$ av hagen for en gitt verdi av sidelengden $x$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ A(x) = -\dfrac{1}{2}x^2 + 50x $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Først kan vi observere at siden vi har $100$ meter med gjerde til rådighet, må $$ y + x + y = 100 \liff x + 2y = 100 \liff 2y = 100 - x $$ som vi kan skrive om til $$ y(x) = \dfrac{100 - x}{2} = 50 - \dfrac{1}{2}x. $$ Arealet $A(x)$ av rektangelet er bare produktet av sidelengdene $x$ og $y(x)$ som betyr at $$ A(x) = x \cdot y(x) = x\cdot \left(50 - \dfrac{1}{2}x\right) = -\dfrac{1}{2}x^2 + 50x. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem sidelengdene slik at arealet blir størst mulig. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ x = 50 \, \mathrm{m} \and y = 25 \, \mathrm{m}. $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Arealet blir størst mulig dersom $A'(x) = 0$. Vi starter derfor med å bestemme $A'(x)$: $$ A'(x) = \left(-\dfrac{1}{2}x^2 + 50x\right)' = -x + 50. $$ Deretter løser vi likningen $A'(x) = 0$ som gir $$ -x + 50 = 0 \liff x = 50. $$ Altså er arealet størst mulig dersom $$ x = 50 \and y = 50 - \dfrac{1}{2} \cdot 50 = 25. $$ Sidelengdene til hagen som gir størst areal er derfor $50$ meter og $25$ meter. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::{admonition} Påminnelse: Definisjonsmengde --- class: margin, reminder --- Definisjonsmengden $D_f$ til en funksjon $f$ er mengden av alle $x$-verdier vi kan bruke til å regne ut $f(x)$ med. ::: :::::::::::::::{admonition} Oppgave 4 --- class: problem-level-2 --- > I denne oppgaven skal vi bygge opp en strategi for å løse oppgave 3b med programmering. Denne strategien vil også kunne brukes på andre oppgaver som handler om å maksimere noe. Vi starter med en beskrivelse av strategien. :::::{admonition} Strategi 1: Maksimere en funksjon --- class: summary --- For en polynomfunksjon $f$ med en definisjonsmengde $D_f$ der et **heltall** $x$ gjør $f(x)$ størst mulig, kan vi lete etter heltallet $x$ med følgende strategi: 1. Start med det laveste heltallet $x \in D_f$. 2. Øk verdien til $x$ med $1$ så lenge $f(x) < f(x + 1)$. Når $f(x) \geq f(x + 1)$ er sant, har vi funnet heltallet $x$ som gjør $f(x)$ størst mulig. ::::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En `while`{l=python}-løkke er en løkke som kjører så lenge en betingelse er sann. Under vises et program som bruker en `while`{l=python}-løkke til å lage noen verdier av $x$. Les programmet og forutsi hva programmet skriver ut. Skriv inn hypotesen din og sjekk svaret ditt. :::{raw} html --- file: ./python/oppgaver/oppgave_4/a.html --- ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Fyll ut programmet under slik at det skriver ut tallfølgen $1, 3, 5, 7, 9$. :::{raw} html --- file: ./python/oppgaver/oppgave_4/b.html --- ::: ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- :::{code-block} python --- linenos: true --- x = 1 while x < 10: print(x) x = x + 2 ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Fyll ut programmet under slik at det skriver ut tallfølgen $0, 3, 6, 9, 12$. :::{raw} html --- file: ./python/oppgaver/oppgave_4/c.html --- ::: ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- :::{code-block} python --- linenos: true --- x = 0 while x < 13: print(x) x = x + 3 ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d En polynomfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = -(x - 2)^2 + 4, \quad D_f = [0, 6]. $$ Bruk **Strategi 1** for å **maksimere en funksjon** og fyll ut programmet under slik at det finner den verdien av $x$ som gjør $f(x)$ størst mulig. :::{raw} html --- file: ./python/oppgaver/oppgave_4/d.html --- ::: ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- **Programkode**: :::{code-block} python --- linenos: true --- def f(x): return -(x - 2)**2 + 4 x = 0 while f(x) < f(x + 1): x = x + 1 print(f"{x = } \t {f(x) = }") ::: **Utskrift**: ```console x = 2 f(x) = 4 ``` som betyr at $f(x)$ er størst mulig når $x = 2$. Da er $f(x) = 4$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} e Bruk **Strategi 1** for å **maksimere en funksjon** til å fylle ut programmet under for å løse **oppgave 3b**. :::{raw} html --- file: ./python/oppgaver/oppgave_4/e.html --- ::: ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- **Programkode**: :::{code-block} python --- linenos: true --- def A(x): y = 50 - x / 2 return x * y x = 0 while A(x) < A(x + 1): x = x + 1 print(f"{x = } \t {A(x) = }") ::: **Utskrift**: ```console x = 50 A(x) = 1250.0 ``` som betyr at arealet $A(x)$ er størst mulig når $x = 50$. Da er $A(x) = 1250$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- ::::{admonition} Påminnelse: Arealet til en trekant --- class: margin, reminder --- Arealet $A$ til en trekant er $$ A = \dfrac{g \cdot h}{2} $$ der $g$ er grunnlinjen og $h$ er høyden til trekanten. :::: :::::::::::::::{admonition} Oppgave 5 --- class: problem-level-2 --- I {numref}`fig-polynomer-optimering-oppgave-5` vises grafen til en andregradsfunksjon $f$ som er gitt ved $$ f(x) = -x^2 + 9, $$ der $D_f = [0, 3]$, og en trekant som har hjørner i punktene $(0, 0)$, $(2, 0)$ og $(2, f(2))$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_5.svg --- name: fig-polynomer-optimering-oppgave-5 width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser grafen til en andregradsfunksjon $f$ og en trekant med hjørner $(0, 0)$, $(2, 0)$ og $(2, f(2))$. ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem arealet $A$ av trekanten. :::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- $$ A = 5. $$ ::: :::{admonition} Løsning --- class: dropdown, solution --- Grunnlinjen i trekanten er $2$ og høyden er $$ f(2) = -2^2 + 9 = -4 + 9 = 5. $$ Arealet av trekanten er derfor $$ A = \dfrac{2\cdot 5}{2} = 5. $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En annen trekant går gjennom punktene $(0, 0)$, $(k, 0)$ og $(k, f(k))$ der $k \in \langle 0, 3 \rangle$. Bestem arealet $A(k)$ til trekanten. :::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ A(k) = \dfrac{1}{2}(-k^3 + 9k) $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bestem $k$ slik at arealet til trekanten blir størst mulig. :::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- $$ k = \sqrt{3}. $$ ::: :::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- For å bestemme når arealet er størst mulig, finner vi løsningene til $A'(k) = 0$. Først deriverer vi $A(k)$ som gir $$ A'(k) = \dfrac{1}{2}(-3k^2 + 9). $$ Deretter løser vi $A'(k) = 0$: $$ A'(k) = 0 \liff \dfrac{1}{2}(-3k^2 + 9) = 0 \liff -3k^2 + 9 = 0 $$ som gir $$ 3k^2 = 9 \liff k^2 = 3 \liff k = \pm \sqrt{3} $$ Men $k \in \langle 0, 3 \rangle$ som betyr at vi må velge den positive løsningen. Dermed vil verdien av $k$ som gir størst mulig areal være $$ k = \sqrt{3}. $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{admonition} Oppgave 6 --- class: problem-level-2 --- > I denne oppgaven skal vi bygge opp en mer generell strategi for å maksimere en funksjon og anvende den på **oppgave 5**. Strategien er en variant av Strategi 1 som ble introdusert i Oppgave 4, men den vil nå også funke selv om løsningen **ikke** er et heltall. Vi starter med en beskrivelse av strategien: :::::{admonition} Strategi 2: Maksimere en funksjon --- class: summary --- For en polynomfunksjon $f$ med en definisjonsmengde $D_f$ kan vi bestemme $x$ slik at $f(x)$ er størst mulig med følgende strategi: 1. Start med den laveste verdien av $x \in D_f$. 2. Øk $x$ med en liten positiv endring $\Delta x$ så lenge $f(x) < f(x + \Delta x)$. Når $f(x) \geq f(x + \Delta x)$ er sant, har vi funnet $x$ slik at $f(x)$ er størst mulig. > I strategi 1 brukte vi $\Delta x = 1$. I strategi 2 kan vi bruke en annen verdi for $\Delta x$. ::::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = -(x - 1)^2 + 9. $$ Fyll ut programmet og bruk **Strategi 1** til å bestemme $x$ slik at $f(x)$ blir størst mulig. :::{raw} html --- file: ./python/oppgaver/oppgave_6/a.html --- ::: ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- :::{code-block} python --- linenos: true --- def f(x): return -(x - 1)**2 + 9 x = 0 while f(x) < f(x + 1): x = x + 1 print(f"{x = } \t {f(x) = }") ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Fyll ut programmet slik at det i stedet bruker **Strategi 2** med $\Delta x = 0.5$ til å bestemme $x$ slik at $f(x)$ blir størst mulig. :::{raw} html --- file: ./python/oppgaver/oppgave_6/b.html --- ::: ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- :::{code-block} python --- linenos: true --- def f(x): return -(x - 1)**2 + 9 x = 0 while f(x) < f(x + 0.5): x = x + 0.5 print(f"{x = } \t {f(x) = }") ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Fyll ut programmet under slik at det bruker **Strategi 2** til å finne en løsning til **oppgave 5c**. Bruk $\Delta x = 0.001$. :::{raw} html --- file: ./python/oppgaver/oppgave_6/c.html --- ::: ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- **Programkode**: :::{code-block} python --- linenos: true --- def f(x): return -x**2 + 9 def A(x): return x * f(x) / 2 x = 0 while A(x) < A(x + 0.001): x = x + 0.001 print(f"{x = :.3f} \t {A(x) = :.3f}") ::: **Utskrift**: ```console x = 1.732 A(x) = 5.196 ``` som betyr at $x \approx 1.732$ gir størst mulig areal. Dette stemmer ganske bra med løsningen i oppgave 5c hvor $k = \sqrt{3} \approx 1.732$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{admonition} Oppgave 7 --- class: problem-level-2 --- I {numref}`fig-polynomer-optimering-oppgave-7` vises grafen til en andregradsfunksjon $f$ gitt ved $$ f(x) = -x^2 + 36, \quad D_f = [-6, 6], $$ og et fargelagt området med hjørner i punktene $(-4, 0)$, $(-4, f(-4))$, $(4, 0)$ og $(4, f(4))$. ::::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_7.svg --- name: fig-polynomer-optimering-oppgave-7 width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser grafen til en andregradsfunksjon $f(x) = -x^2 + 36$ og et fargelagt område med hjørner $(-4, 0)$, $(-4, f(-4))$, $(4, 0)$ og $(4, f(4))$. :::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem arealet til det fargelagte området. :::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- $$ A = 80 $$ ::: :::{admonition} Løsning --- class: dropdown, solution --- Det fargelagte området består av to trekanter som har høyde $4$ og grunnlinje $f(4) = f(-4)$ siden $f$ er en andregradsfunksjon som er symmetrisk om $x = 0$. Derfor er arealet av det fargelagte området: \begin{align*} A &= \dfrac{4 \cdot f(4)}{2} \cdot \textcolor{red}{2} && \text{Ganger med 2 siden det er to trekanter} \\ \\ &= 4 \cdot f(4) \\ \\ &= 4 \cdot (-4^2 + 36) \\ \\ &= 4 \cdot (-16 + 36) \\ \\ &= 4 \cdot 20 \\ \\ &= 80. \end{align*} Arealet er derfor $A = 80$. ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Det fargelagte området endres slik at har hjørner i $(-k, 0)$, $(-k, f(-k))$, $(k, 0)$ og $(k, f(k))$ der $k \in \langle 0, 4 \rangle$. Bestem arealet $A(k)$ av det fargelagte området. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ A(k) = -k^3 + 36k. $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Det fargelagte området består av to trekanter med grunnlinje $f(k)$ og høyde $k$. Arealet av det fargelagte området blir derfor $$ A(k) = \dfrac{kf(k)}{2}\cdot 2 = kf(k) = k(-k^2 + 36) = -k^3 + 36k. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bestem $k$ slik at arealet av det fargelagte området blir størst mulig. :::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- $$ k = 2\sqrt{3} $$ ::: :::{admonition} Løsning --- class: dropdown, solution --- For å bestemme $k$ slik at arealet blir størst mulig, finner vi løsningene til $A'(k) = 0$. Først deriverer vi $A(k)$ som gir $$ A'(k) = -3k^2 + 36. $$ Deretter løser vi $A'(k) = 0$: $$ A'(k) = 0 \liff -3k^2 + 36 = 0 \liff 3k^2 = 36 \liff k^2 = 12 $$ Vi merker oss at $$ k^2 = 4\cdot 3 \liff k = \pm \sqrt{4 \cdot 3} = \pm \sqrt{4}\cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} $$ Vi husker på at $k \in \langle 0, 4 \rangle$ som betyr at vi må velge den positive løsningen. Dermed vil verdien av $k$ som gir størst mulig areal være $$ k = 2\sqrt{3} $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{admonition} Oppgave 8 --- class: problem-level-2 --- I {numref}`fig-polynomer-optimering-oppgave-8` vises grafen til en tredjegradsfunksjon $f$ som er gitt ved $$ f(x) = -x^3 + 4x^2, $$ der $D_f = [0, 4]$, og en trekant som har hjørner i punktene $(1, 0)$, $(4, 0)$ og $(1, f(1))$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_8.svg --- name: fig-polynomer-optimering-oppgave-8 width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser grafen til en tredjegradsfunksjon $f$ og en trekant med hjørner $(1, 0)$, $(4, 0)$ og $(1, f(1))$. ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem arealet $A$ av trekanten. :::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- $$ A = \dfrac{9}{2} $$ ::: :::{admonition} Løsning --- class: dropdown, solution --- Først kan vi observere at grunnlinjen er $4 - 1 = 3$ og høyden er $$ f(1) = -1^3 + 4\cdot 1^2 = -1 + 4 = 3. $$ Arealet $A$ til trekanten blir derfor $$ A = \dfrac{3 \cdot f(1)}{2} = \dfrac{3 \cdot 3}{2} = \dfrac{9}{2}. $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En annen trekant har hjørner i punktene $(a, 0)$, $(4, 0)$ og $(a, f(a))$ der $a \in \langle 0, 4 \rangle$. Bestem arealet $A(a)$ til trekanten. ::::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- $$ A(a) = \dfrac{1}{2}(4 - a)(-a^3 + 4a^2). $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: dropdown, solution --- Grunnlinja til trekanten er $(4 - a)$ siden to av hjørnene er $(a, 0)$ og $(4, 0)$ og $a \in \langle 0, 4 \rangle$. Høyden til trekanten er $f(a)$. Derfor blir arealet $A(a)$ til trekanten $$ A(a) = \dfrac{(4 - a)\cdot f(a)}{2} = \dfrac{(4 - a)(-a^3 + 4a^2)}{2} = \dfrac{1}{2}(4 - a)(-a^3 + 4a^2). $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bestem $a$ slik at arealet av trekanten blir størst mulig. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ a = 2 $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- For å bestemme $a$ slik at arealet er størst mulig, finner vi løsningene til $A'(a) = 0$. For å finne den deriverte $A'(a)$ trenger vi først å gange ut $A(a)$: \begin{align*} A(a) &= \dfrac{1}{2}(4 - a)(-a^3 + 4a^2) \\ \\ &= \dfrac{1}{2}\left(4\cdot(-a^3 + 4a^2) - a\cdot(-a^3 + 4a^2)\right) \\ \\ &= \dfrac{1}{2}\left(-4a^3 + 16a^2 + a^4 - 4a^3\right) \\ \\ &= \dfrac{1}{2}(a^4 - 8a^3 + 16a^2). \end{align*} Så deriverer vi $A(a)$: $$ A'(a) = \dfrac{1}{2}(4a^3 - 24a^2 + 32a). $$ Deretter løser vi $A'(a) = 0$: $$ A'(a) = 0 \liff \dfrac{1}{2}(4a^3 - 24a^2 + 32a) = 0 \liff 4a^3 - 24a^2 + 32a = 0 $$ Vi kan faktorisere ut $4a$ fra tredjegradspolynomet som gir $$ 4a(a^2 - 6a + 8) = 0 $$ som betyr at $$ 4a = 0 \or a^2 - 6a + 8 = 0 $$ Vi bruker $abc$-formelen på andregradspolynomet som gir: $$ a = \dfrac{6 \pm \sqrt{6^2 - 4\cdot 1 \cdot 8}}{2\cdot 1} = \dfrac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \dfrac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \dfrac{6 \pm 2}{2} = \begin{cases} 4 \\ 2 \end{cases} $$ Altså er $A'(a) = 0$ hvis $$ a = 0 \or a = 2 \or a = 4. $$ Både $a = 0$ og $a = 4$ gir $A(a) = 0$ som betyr at $a = 2$ gir det største mulige arealet. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{admonition} Oppgave 9 --- class: problem-level-3 --- En fjerdegradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = -x(x - 3)^3, \quad D_f = [0, 3]. $$ En trekant har hjørnene $(0, 0)$, $(2, 0)$ og $(2, f(2))$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_9.svg --- name: fig-polynomer-optimering-oppgave-9 width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser grafen til en fjerdegradsfunksjon $f(x) = -x(x - 3)^3$ og en trekant med hjørner $(0, 0)$, $(2, 0)$ og $(2, f(2))$. ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem arealet $A$ til trekanten. :::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- $$ A = 2. $$ ::: :::{admonition} Løsning --- class: dropdown, solution --- Trekanten har grunnlinje $2$ og høyde $$ f(2) = -2\cdot (2 - 3)^3 = -2\cdot(-1)^3 = -2\cdot (-1) = 2. $$ Dermed er arealet av trekanten $$ A = \dfrac{2\cdot f(2)}{2} = \dfrac{2\cdot 2}{2} = 2. $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En annen trekant har hjørnene $(0, 0)$, $(r, 0)$ og $(r, f(r))$ der $r \in \langle 0, 3 \rangle$. Bestem arealet $A(r)$ til trekanten. :::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- $$ A(r) = -\dfrac{1}{2}r^2(r - 3)^3 $$ ::: :::{admonition} Løsning --- class: dropdown, solution --- Grunnlinjen til trekanten er $r$ og høyden er $f(r)$. Derfor er arealet $A(r)$ til trekanten $$ A(r) = \dfrac{r\cdot f(r)}{2} = \dfrac{r\cdot (-r(r - 3)^3)}{2} = -\dfrac{1}{2}r^2(r - 3)^3. $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bestem $r$ slik at arealet til trekanten blir størst mulig. ::::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- $$ r = \dfrac{6}{5} $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: dropdown, solution --- For å bestemme $r$ slik at arealet blir størst mulig, finner vi løsningene til $A'(r) = 0$. For å bestemme $A'(r)$ må vi først gange ut $A(r)$: \begin{align*} A(r) &= -\dfrac{1}{2}r^2(r - 3)^3 \\ \\ &= -\dfrac{1}{2}r^2(r - 3)(r - 3)^2 \\ \\ &= -\dfrac{1}{2}r^2(r - 3)(r^2 - 6r + 9) \\ \\ &= -\dfrac{1}{2}r^2(r^3 - 6r^2 + 9r - 3r^2 + 18r - 27) \\ \\ &= -\dfrac{1}{2}r^2(r^3 - 9r^2 + 27r - 27) \\ \\ &= -\dfrac{1}{2}(r^5 - 9r^4 + 27r^3 - 27r^2). \end{align*} Så finner vi $A'(r)$: $$ A'(r) = -\dfrac{1}{2}(5r^4 - 36r^3 + 81r^2 - 54r). $$ Deretter løser vi $A'(r) = 0$: $$ A'(r) = 0 \liff -\dfrac{1}{2}(5r^4 - 36r^3 + 81r^2 - 54r) = 0 $$ som gir $$ 5r^4 - 36r^3 + 81r^2 - 54r = 0 \liff r(5r^3 - 36r^2 + 81r - 54) = 0. $$ som med produktregelen gir $$ r = 0 \or 5r^3 - 36r^2 + 81r - 54 = 0. $$ Vi må nå angripe tredjegradslikningen ved å lete etter mulige kandidater for røtter $r$. Først kan vi observere at alle koeffisientene er hele tall og konstantleddet er $-54$. Da må alle røtter som er *hele tall* (dersom de finnes) være en faktor i $-54$. Det betyr at det er mulig at $$ r \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 3\} $$ løser tredjegradslikningen siden $-54 = -1\cdot 2\cdot 3^3$. Vi tester ut heltallene for å se om noen av dem løser likningen: $r = 1$: : $5 - 36 + 81 - 54 = 5 - 36 + 81 - 54 = -4 \neq 0$ $r = -1$: : $-5 - 36 - 81 + 54 = -5 - 36 - 81 + 54 = -68 \neq 0$ $r = 2$: : $40 - 144 + 162 - 108 = 40 - 144 + 162 - 108 = -50 \neq 0$ $r = -2$: : $-40 - 144 - 162 + 108 = -40 - 144 - 162 + 108 = -238 \neq 0$ $r = 3$: : $135 - 324 + 243 - 54 = 135 - 324 + 243 - 54 = 0$ Dermed vil $r = 3$ være en løsning som betyr at vi kan skrive $$ 5r^3 - 36r^2 + 81r - 54 = (r - 3)(ar^2 + br + c) $$ for noen koeffisienter $a$, $b$ og $c$. Vi kan finne $a$, $b$ og $c$ ved å utføre polynomdivisjon: :::{figure} ./koder/oppgaver/oppgave_9_løsning.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: som betyr at $$ 5r^3 - 36r^2 + 81r - 54 = (r - 3)(5r^2 - 21r + 18) = 0 $$ som gir $$ r - 3 = 0 \or 5r^2 - 21r + 18 = 0 $$ Vi bruker $abc$-formelen på andregradspolynomet som gir: $$ r = \dfrac{21 \pm \sqrt{21^2 - 4\cdot 5 \cdot 18}}{2\cdot 5} = \dfrac{21 \pm \sqrt{441 - 360}}{10} = \dfrac{21 \pm \sqrt{81}}{10} = \dfrac{21 \pm 9}{10} $$ Dermed er $$ r = \dfrac{21 + 9}{10} = \dfrac{30}{10} = 3 \or r = \dfrac{21 - 9}{10} = \dfrac{12}{10} = \dfrac{6}{5}. $$ Vi kan merke oss at $r \in \langle 0, 3 \rangle$ som betyr at den eneste løsningen som er innenfor dette intervallet er $$ r = \dfrac{6}{5}, $$ som gir det største mulige arealet til trekanten. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: :::::::::::::::