# Oppgaver: Polynomfunksjoner :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 --- level: 1 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Grafen til en tredjegradsfunksjon $f$ er vist i {numref}`fig-polynomer-polynomfunksjoner-oppgave-1-a`. Bestem $f(x)$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_1/a.svg --- name: fig-polynomer-polynomfunksjoner-oppgave-1-a width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser grafen til en tredjegradsfunksjon $f$. ::: ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ f(x) = \dfrac{1}{2}(x + 2)(x - 1)(x - 3) $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Grafen til en tredjegradsfunksjon $g$ er vist i {numref}`fig-polynomer-polynomfunksjoner-oppgave-1-b`. Bestem $g(x)$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_1/b.svg --- name: fig-polynomer-polynomfunksjoner-oppgave-1-b width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser grafen til en tredjegradsfunksjon $g$. ::: ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ g(x) = -\dfrac{1}{4}(x - 3)^2(x + 2) $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Grafen til en tredjegradsfunksjon $h$ er vist i {numref}`fig-polynomer-polynomfunksjoner-oppgave-1-c`. Bestem $h(x)$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_1/c.svg --- name: fig-polynomer-polynomfunksjoner-oppgave-1-c width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser grafen til en tredjegradsfunksjon $h$. ::: ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ h(x) = -\dfrac{1}{2}(x + 2)(x + 3)(x - 1) $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Grafen til en tredjegradsfunksjon $p$ er vist i {numref}`fig-polynomer-polynomfunksjoner-oppgave-1-d`. Bestem $p(x)$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_1/d.svg --- name: fig-polynomer-polynomfunksjoner-oppgave-1-d width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser grafen til en tredjegradsfunksjon $p$. ::: ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ p(x) = -(x + 2)^3 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 --- level: 1 --- Grafen til en tredjegradsfunksjon $f$ gitt ved $$ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, $$ er vist i :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_2/graf.svg --- name: fig-polynomer-polynomfunksjoner-oppgave-2 width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- viser grafen til en tredjegradsfunksjon $f$. ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Sett opp en likningssystem for koeffisientene uttrykt ved $f(x)$. > Det vil si, én av likningene blir $f(-3) = -2$ siden grafen går gjennom $(-3, -2)$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ f(-3) = -2 \and f(-2) = 3 \and f(-1) = 2 \and f(0) = 1. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b > Her skal du bruke CAS til å bestemme koeffisientene til $f(x)$. Bestem $f(x)$. :::{cas-popup} 350 500 ::: ::::{answer} $$ f(x) = x^3 + 3x^2 + x + 1. $$ :::: ::::{solution} Vi skriver inn et generelt funksjonsuttrykk og likningene i CAS, og løser deretter likningssystemet: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_2/sol.png --- width: 60% class: no-click, adaptive-figure --- ::: som betyr at $$ a = 1 \and b = 3 \and c = 1 \and d = 1. $$ Dermed er $$ f(x) = x^3 + 3x^2 + x + 1. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 --- level: 2 --- > Bruk CAS til å bestemme funksjonsuttrykkene for hver av funksjonene nedenfor. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Grafen til en tredjegradsfunksjon $f$ er vist i figuren nedenfor. Bestem $f(x)$. :::{cas-popup} 350 500 ::: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_3/a.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Grafen til en tredjegradsfunksjon $g$ er vist i figuren nedenfor. Bestem $g(x)$. :::{cas-popup} 350 500 ::: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_3/b.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Grafen til en tredjegradsfunksjon $h$ er vist i figuren nedenfor. Bestem $h(x)$. :::{cas-popup} 350 500 ::: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_3/c.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Grafen til en tredjegradsfunksjon $p$ er vist i figuren nedenfor. Bestem $p(x)$. :::{cas-popup} 350 500 ::: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_3/d.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 --- level: 2 --- En tredjegradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = -(x + 1)(x - 1)(x - 2). $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem nullpunktene til $f$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ f(x) = 0 \liff x = -1 \or x = 1 \or x = 2. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Tegn en fortegnslinje for $f(x)$ inkludert faktorene til $f$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_4/b.svg --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Lag en **skisse** av grafen til $f$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_4/c.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Løs ulikheten $$ f(x) > 0. $$ ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ x \in \langle \gets, -1 \rangle \cup \langle 1, 2 \rangle. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 --- level: 2 --- En tredjegradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = (x - 1)^2 (x + 3) $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem nullpunktene til $f$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ f(x) = 0 \liff x = 1 \or x = -3. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Tegn et fortegnsskjema for $f(x)$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_5/b.svg --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Tegn en **skisse** av grafen til $f$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_5/c.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Løs ulikheten $$ f(x) > 0. $$ ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- > Det holder med ett av alternativene under. $$ x \in \langle -3, \to \rangle \setminus \{1\} \liff x > -3 \and x \neq 1. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 6 --- level: 2 --- En fjerdegradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = (x + 1)^2(x - 2)(x - 3). $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem nullpunktene til $f$. :::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ f(x) = 0 \liff x = -1 \or x = 2 \or x = 3. $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Tegn et fortegnsskjema for $f(x)$, inkludert faktorene i $f(x)$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_6/b.svg --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Tegn en **skisse** av grafen til $f$. ::::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_6/c.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Løs ulikheten $$ f(x) \leq 0. $$ :::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- > Det holder med ett av alternativene under. $$ x \in [2, 3] \cup \{-1\} \liff -2 \leq x \leq 3 \or x = -1. $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::: :::::::::::::::