# Oppgaver: Polynomlikninger :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 En tredjegradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^3 + 4x^2 + x - 6 $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Skriv ned alle *mulige* heltallsrøtter til $f$. ::::{answer} $$ x \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\}. $$ :::: ::::{solution} De mulige heltallsrøttene til $f$ er tall som deler konstantleddet $-6$. Alle hele tall som deler $-6$ er gitt ved $$ x \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\}. $$ ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Ta utgangspunkt i listen fra **a** og finn én rot til $f(x)$. Bruk polynomdivisjon til å faktorisere $f(x)$. :::{answer} Én mulighet er $x = 1$, som gir $$ x^3 + 4x^2 + x - 6 = (x - 1)(x^2 + 5x + 6) $$ ::: ::::{solution} En av røttene til $f(x)$ er $x = 1$. Det kan vi se enten med et Horner-skjema eller vanlig polynomdivisjon: ````{tab} Horner-skjema :::{figure} ./koder/oppgaver/oppgave_1/b.svg --- width: 50% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ```` ````{tab} Vanlig polynomdivisjon :::{figure} ./koder/oppgaver/oppgave_1/b_polydiv.svg --- width: 90% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ```` Dette betyr at $$ (x^3 + 4x^2 + x - 6) = (x - 1)(x^2 + 5x + 6) $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Finn resten av nullpunktene til $f$. Hvis nullpunktene er heltallige, sjekk at de også er en del av listen fra **a**. :::{answer} $$ x = 1 \or x = -2 \or x = -3 $$ ::: :::{solution} Vi bruker $abc$-formelen med andregradspolynomet for å finne de resterende røttene til $f$: $$ x^2 + 5x + 6 = 0 $$ som gir $$ x = \dfrac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2} = \dfrac{-5 \pm \sqrt{1}}{2} = \dfrac{-5 \pm 1}{2} $$ som gir $$ x = -2 \or x = -3. $$ Samtidig fant vi tidligere at $x = 1$ også var en rot, så dermed har vi $$ x = 1 \or x = -2 \or x = -3 $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 En tredjegradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12. $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem alle røttene til $f(x)$ og faktoriser $f(x)$ i lineære faktorer. ::::{answer} $$ x = 2 \or x = -2 \or x = 3 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Tegn et fortegnsskjema for $f(x)$. ::::{answer} :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_2/b.svg --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Lag en **skisse** av grafen til $f$. Marker nullpunktene. ::::{answer} :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_2/c.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Løs ulikheten $f(x) \geq 0$. ::::{answer} $$ x \in [-2, 2] \cup [3, \to \rangle $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 En tredjegradsfunksjon er gitt ved $$ f(x) = -2x^3 + 14x^2 - 14x - 30. $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem alle røttene til $f(x)$. ::::{answer} $$ x = -1 \or x = 3 \or x = 5. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Løs ulikheten $f(x) \leq 0$. ::::{answer} $$ -1 \leq x \and x \leq 3 \or 5 \leq x. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Løs tredjegradslikningen $$ x^3 - x^2 - 2x + 2 = 0. $$ ::::{answer} $$ x = 1 \or x = -\sqrt{2} \or x = \sqrt{2} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Løs ulikheten $$ x^3 - x^2 - 2x + 2 > 0. $$ ::::{answer} $$ x \in \langle -\sqrt{2}, 1 \rangle \cup \langle \sqrt{2}, \to \rangle $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 En likning er gitt ved $$ x^3 - 3x - 2 = (x + 1)(ax^2 + bx + c). $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem $a$, $b$ og $c$ slik at likningen er en **identitet**. ::::{answer} Én mulighet er $$ x^3 - 3x - 2 = (x + 1)(x^2 - x - 2). $$ som gir $$ a = 1 \and b = -1 \and c = -2. $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Løs ulikheten $$ x^3 - 3x - 2 < 0. $$ ::::{answer} $$ x \in \langle \gets, 2\rangle \setminus \{-1\}. $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 6 Funksjonen $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6 $$ I hvilke punkter skjærer grafen til funksjonen $x$-aksen? ::::{answer} $$ x = -3 \or x = -1 \or x = 2. $$ :::: ::::{solution} De mulige heltallige røttene til $f(x)$ er $$ x \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\}. $$ Vi prøver oss fram til vi finner en rot: :::{horner} --- p: x^3 + 2x^2 - 5x - 6 x: 1 width: 60% --- ::: Det funket ikke med $x = 1$, så vi går videre: :::{horner} --- p: x^3 + 2x^2 - 5x - 6 x: -1 width: 60% --- ::: Her fikk vi $0$ i rest, så $x = -1$ er en rot. Vi kan dermed faktorisere $f(x)$ som $$ f(x) = (x + 1)(x^2 + x - 6). $$ Vi bestemmer røttene til andregradspolynomet med $abc$-formelen: $$ x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{-1 \pm 5}{2} $$ som gir $$ x = 2 \or x = -3. $$ Altså skjærer grafen til $f$ gjennom $x$-aksen i punktene $$ x = -3 \or x = -1 \or x = 2. $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 7 Funksjonen $f$ er gitt ved $$ f(x) = 2x^3 + x^2 - 18x - 9 $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Vis at divisjonen $f(x) : (x - 3)$ går opp. ::::{solution} :::{polydiv} --- p: 2x^3 + x^2 - 18x - 9 q: x - 3 width: 70% --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Gjør beregninger og vurder hvilken av grafene nedenfor som kan være grafen til $f$. ::::{multi-plot2} --- rows: 1 cols: 3 fontsize: 30 --- :::{plot} function: (x + 3) * (x - 3) * (2*x - 1), A xmin: -5 xmax: 5 ymin: -20 ymax: 30 ticks: off ::: :::{plot} function: (x + 3) * (x - 3) * (2*x + 1), B xmin: -5 xmax: 5 ymin: -30 ymax: 20 ticks: off ::: :::{plot} function: (x + 3) * (x - 1/2) * (2*x + 1), C xmin: -5 xmax: 5 ymin: -20 ymax: 20 ticks: off ::: :::: ::::{answer} Graf B. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 8 Gitt likningen $$ x^3 - 5x^2 - 8x + 12 = (x - 1)(x + a)(x - b) $$ Bestem $a$ og $b$ slik at likningen blir en identitet. ::::{answer} $$ a = 2 \and b = 6 \or a = -6 \and b = -2 $$ :::: ::::{solution} Vi utfører polynomdivisjonen $$ (x^3 - 5x^2 - 8x + 12) : (x - 1) $$ for å bestemme andregradspolynomet i faktoriseringen: :::{polydiv} --- p: x^3 - 5x^2 - 8x + 12 q: x - 1 width: 70% --- ::: Altså er $$ x^3 - 5x^2 - 8x + 12 = (x - 1)(x^2 - 4x - 12). $$ Vi bestemmer røttene til andregradspolynomet med $abc$-formelen: $$ x = \dfrac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} = \dfrac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} = \dfrac{4 \pm 8}{2} $$ som gir løsningene $$ x = 6 \or x = -2. $$ Altså vil vi kunne skrive $$ x^3 - 5x^2 - 8x + 12 = (x - 1)(x + 2)(x - 6). $$ Dermed må vi ha at $$ a = 2 \and b = 6 \or a = -6 \and b = -2 $$ for at likningen skal bli en identitet. :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 9 En fjerdegradslikning er gitt ved $$ x^4 + 3x^3 - 15x^2 - 19x + 30 = 0. $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Lag en liste over alle *mulige* heltallige løsninger til likningen. ::::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- $$ x \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 5, \pm 6, \pm 10, \pm 15, \pm 30\}. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Finn én løsning til likningen og faktoriser fjerdegradspolynomet i én lineær faktor og et tredjegradspolynom. ::::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- $x = 1$ løser likningen. Fjerdegradspolynomet kan da skrives som $$ (x^4 + 3x^3 - 15x^2 - 19x + 30) = (x - 1)(x^3 + 4x^2 - 11x - 30). $$ :::: :::::{admonition} Løsning --- class: dropdown, solution --- $x = 1$ er en løsning til likningen så vi kan se fra et Horner-skjema eller vanlig polynomdivisjon: ````{tab} Horner-skjema :::{figure} ./koder/oppgaver/oppgave_6/b.svg --- width: 70% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ```` ````{tab} Vanlig polynomdivisjon :::{figure} ./koder/oppgaver/oppgave_6/b_polydiv.svg --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ```` som gir $0$ i rest og $$ \dfrac{x^4 + 3x^3 - 15x^2 - 19x + 30}{x - 1} = x^3 + 4x^2 - 11x - 30. $$ Dermed er $$ (x^4 + 3x^3 - 15x^2 - 19x + 30) = (x - 1)(x^3 + 4x^2 - 11x - 30). $$ ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Finn én rot i tredjegradspolynomet og faktoriser polynomet i én lineær faktor og et andregradspolynom. ::::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- $x = -2$ er en rot i tredjegradspolynomet $(x^3 + 4x^2 - 11x - 30)$. Polynomet kan da skrives som $$ (x^3 + 4x^2 - 11x - 30) = (x + 2)(x^2 + 2x - 15). $$ :::: :::::{admonition} Løsning --- class: dropdown, solution --- $x = -2$ løser likningen. Vi kan se dette fra et Horner-skjema eller vanlig polynomdivisjon: ````{tab} Horner-skjema :::{figure} ./koder/oppgaver/oppgave_6/c.svg --- width: 70% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ```` ````{tab} Vanlig polynomdivisjon :::{figure} ./koder/oppgaver/oppgave_6/c_polydiv.svg --- width: 90% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ```` som gir $0$ i rest. Dermed er $$ \dfrac{x^3 + 4x^2 - 11x - 30}{x + 2} = x^2 + 2x - 15. $$ Altså kan vi skrive $$ x^3 + 4x^2 - 11x - 30 = (x + 2)(x^2 + 2x - 15). $$ ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Bestem alle løsningene til likningen. ::::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- $$ x = 1 \or x = -2 \or x = 3 \or x = -5 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: :::::::::::::::