# Polynomlikninger :::{admonition} Læringsmål --- class: tip --- * Kunne bestemme nullpunktene til et tredjegradspolynom. * Kunne løse tredjegradslikninger. ::: Først må vi utvide begrepsapparatet vårt litt: ::::{admonition} Definisjon: Røtter --- class: summary --- Et nullpunkt til en polynomfunksjon kalles for en **rot** til polynomet. Samlingen av alle nullpunktene til et polynom kalles for **røttene** til polynomet. :::: ## Nullpunktene til et tredjegradspolynom For å bestemme nullpunktene, eller røttene, til et tredjegradspolynom, får vi bruk for følgende fremgangmåte: 1. Liste opp alle mulige heltallsrøtter, og bestemme én rot $r$. 2. Utføre polynomdivisjon med $(x - r)$ for å få et andregradspolynom. 3. Bestemme røttene til andregradspolynomet med $abc$-formelen eller faktorisering. ## Tredjegradslikninger :::::::::::::::{admonition} Setning: Heltallsrøtter for polynomer --- class: summary --- Et tredjegradspolynom $$ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, $$ der koeffisientene er **hele tall**, vil alle heltallsrøttene til $f(x)$ være en faktor i konstantleddet $d$. ::::::::::::::: Setningen over lar oss systematisk finne alle *mulige* heltallsrøtter for et tredjegradspolynom. Polynomet må ikke ha heltallsrøtter, men hvis det har det, kan vi garantere at det må være i listen over alle tall som *kan* være en faktor i konstantleddet $d$. :::::::::::::::{admonition} Eksempel 1 --- class: example --- Et tredjegradspolynom $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^3 + 2x^2 - 4x - 8. $$ Bestem nullpunktene til $f$. ::::::::::::::{admonition} Løsning --- class: solution --- Vi starter med å observere at $d = -8$, så *hvis* $f$ har heltallsrøtter, så vil de være en faktor i $(-8)$. Dette gir mulighetene: $$ x = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8 $$ fordi $(-8)$ er delelig med alle disse tallene. Vi prøver ut noen av verdiene i lista. Vi kan enten 1. Regne ut funksjonsverdier og utføre polynomdivisjon når vi finner en rot. 2. Bruke et Horner-skjema til å regne ut funksjonsverdier og utføre polynomdivisjon samtidig. ````{tab} Vanlig polynomdivisjon Vi starter med å lete etter en rot ved å regne ut $f(x)$: \begin{align*} f(1) &= 1^3 + 2\cdot 1^2 - 4\cdot 1 - 8 = -9, \\ \\ f(-1) &= (-1)^3 + 2\cdot (-1)^2 - 4\cdot (-1) - 8 = -3, \\ \\ f(2) &= 2^3 + 2\cdot 2^2 - 4\cdot 2 - 8 = 0. \end{align*} Så vi finner at $f(2) = 0$, som betyr at $(x - 2)$ er en faktor i $f(x)$. Dermed har vi :::{figure} ./koder/eksempler/eksempel_1/eksempel_1_polydiv.svg --- width: 90% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ```` ````{tab} Horner-skjema Bruker vi et Horner-skjema, får vi utført polynomdivisjon samtidig som vi regner ut funksjonsverdiene: :::{figure} ./koder/eksempler/eksempel_1/eksempel_1_syntetisk_1.svg --- width: 50% class: no-click, adaptive-figure --- Horner-skjema for $x = 1$. Her finner vi at $f(1) = -9$. ::: Vi prøver videre. :::{figure} ./koder/eksempler/eksempel_1/eksempel_1_syntetisk_-1.svg --- width: 50% class: no-click, adaptive-figure --- Horner-skjema for $x = -1$. Her finner vi at $f(-1) = -3$. ::: Vi prøver neste verdi: :::{figure} ./koder/eksempler/eksempel_1/eksempel_1_syntetisk_2.svg --- width: 50% class: no-click, adaptive-figure --- Horner-skjema for $x = 2$. Her finner vi at $f(2) = 0$. ::: Dermed vet vi at $x = 2$ er en rot for $f$. Vi kan også lese av koeffisientene til kvotienten i polynomdivisjon som $$ f(x) : (x - 2) = x^2 + 4x + 4. $$ ```` Vi kan derfor skrive $f(x)$ som $$ f(x) = x^3 + 2x^2 - 4x - 8 = (x - 2)(x^2 + 4x + 4). $$ Videre kan vi faktorisere andregradspolynomet med 1.kvadratsetning: $$ (x^2 + 4x + 4) = (x + 2)^2, $$ som betyr at $$ f(x) = (x - 2)(x + 2)^2. $$ Altså er røttene til $f$ $$ x = -2 \quad \lor \quad x = 2. $$ Vi kan også observere her at **begge** røttene var i listen over *mulige kandidater* for heltallsrøtter! :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{admonition} Underveisoppgave 1 --- class: check --- Et tredjegradspolynom $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^3 + 6x^2 + 3x - 10. $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Skriv ned alle mulige heltallsrøtter for $f$. Bestem en av røttene til $f$ ved å prøve ut verdier fra lista. ::::::::::::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- $$ x = \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10 $$ :::::::::::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem alle røttene til $f$. ::::::::::::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- $$ x = -5 \quad \lor \quad x = -2 \quad \lor \quad x = 1 $$ :::::::::::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- Vi kan utvide setningen vår til å fungere mer generelt for alle rasjonale røtter: :::{margin} Merk! Selv om vi bruker tredjegradsfunksjoner som et eksempel her, så gjelder setningene vi ser på for **alle** polynomfunksjoner! Så bruk samme strategi uansett hvilken grad polynomet har! ::: :::::::::::::::{summary} Setning: Rasjonale røtter for polynomer For et tredjegradspolynom på formen $$ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $$ så vil alle rasjonale røtter være på formen $x = \dfrac{p}{q}$ der $p$ er en faktor i konstantleddet $d$ og $q$ er en faktor i den ledende koeffisienten $a$. ::::::::::::::: La oss se på et eksempel der vi bruker setningen ovenfor til å lage en liste over alle mulige rasjonale røtter før vi leter etter røttene. :::::::::::::::{example} Eksempel 2 En tredjegradsfunksjon er gitt ved $$ f(x) = 6x^3 - 7x^2 - 8x + 5. $$ Bestem i hvilke punkter grafen til $f$ skjærer $x$-aksen. ::::{solution} --- dropdown: 0 --- Først lister vi opp alle mulige faktorer $p$ i konstantleddet $d = 5$. Dette vil være $$ p \in \{\pm 1, \pm 5\} $$ Deretter lister vi opp alle mulige faktorer $q$ i den ledende koeffisienten $a = 6$. Dette vil være $$ q \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\} $$ Alle mulige rasjonale løsninger $x$ vil da være på formen $x = \dfrac{p}{q}$, som gir oss mulighetene $$ x \in \left\{\pm 1, \pm 5, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{5}{3}, \pm \frac{1}{6}, \pm \frac{5}{6}\right\} $$ Vi bruker et Horner-skjema for å finne én rot: :::{horner} --- p: 6x^3 - 7x^2 - 8x + 5 x: -1 width: 60% --- ::: Det betyr at $$ 6x^3 - 7x^2 - 8x + 5 = (x + 1)(6x^2 - 13x + 5). $$ Vi bruker så $abc$-formelen til å finne de resterende løsningene: $$ x = \dfrac{13 \pm \sqrt{(-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 5}}{2 \cdot 6} = \dfrac{13 \pm \sqrt{49}}{12} = \dfrac{13 \pm 7}{12} $$ som gir $$ x = \dfrac{5}{3} \quad \lor \quad x = \dfrac{1}{2} $$ Dermed skjærer grafen til $f$ gjennom $x$-aksen når $$ x = -1 \quad \lor \quad x = \dfrac{1}{2} \quad \lor \quad x = \dfrac{5}{3} $$ Vi kan spesielt merke oss at **alle** røttene var i lista over *mulige kandidater* for rasjonale røtter! :::: :::::::::::::::