# Oppgaver:
Generelle rasjonale funksjoner :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 Bestem nullpunktene til funksjonene. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a $$ f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x + 1} $$ ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ x = -2 \or x = 2 $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Vi leter først etter nullpunktene til tellerpolynomet: $$ x^2 - 4 = 0 \liff (x + 2)(x - 2) = 0 \liff x = -2 \or x = 2. $$ Til slutt vi må sjekke nullpunktene til nevnerpolynomet og ekskludere nullpunkter de har til felles: $$ x + 1 = 0 \liff x = -1. $$ Teller- og nevnerpolynomet har ingen felles nullpunkter som betyr at $f$ har samme nullpunkter som tellerpolynomet. Dermed har vi at nullpunktene til $f$ er $$ x = -2 \or x = 2. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b $$ g(x) = \dfrac{x - 1}{(x + 3)^2} $$ ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ x = 1 $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Tellerpolynomet og nevnerpolynomet er allerede nullpunktsfaktorisert, og vi kan se at de ikke har noen felles faktorer. Derfor holder det å bestemme nullpunktene til tellerpolynomet: $$ x - 1 = 0 \liff x = 1. $$ Dermed er nullpunktet til $g$ $$ x = 1. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c $$ h(x) = \dfrac{(x - 2)(x + 3)}{x^2 - 4} $$ ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ x = -3 $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Tellerpolynomet er nullpunktsfaktorisert allerede, men vi må nullpunktsfaktorisere nevnerpolynomet for å sjekke om de to polynomeme har noen lineære faktorer til felles. Vi bruker konjugatsetningen på nevnerpolynomet: $$ x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x + 2)(x - 2). $$ Dermed kan vi skrive $$ h(x) = \dfrac{(x - 2)(x + 3)}{(x + 2)(x - 2)} = \dfrac{x + 3}{x + 2}, \quad x \neq 2. $$ Vi ser altså at $x = 2$ er et bruddpunkt for $h$ siden det er nullpunkt for både teller og nevner. Nå kan vi lete etter nullpunktene til $h$ ved å undersøke når tellerpolynomet er null: $$ x + 3 = 0 \liff x = -3. $$ Dermed er nullpunktet til $h$ gitt ved $$ x = -3. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d $$ p(x) = \dfrac{x^2 - x - 2}{x^2 - 9} $$ ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ x = -1 \or x = 2. $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Vi starter med å nullpunktsfaktorisere teller- og nevnerpolynomet for å sjekke om de har noen felles lineære faktorer. Vi bruker $abc$-formelen på tellerpolynomet: $$ x = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \dfrac{1 \pm 3}{2} = \begin{cases} 2 \\ -1 \end{cases} $$ Dermed kan vi nullpunktsfaktorisere tellerpolynomet som $$ x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2). $$ Så nullpunktsfaktoriserer vi nevnerpolynomet med konjugatsetningen: $$ x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3). $$ De har ingen lineær faktor til felles, så da holder det å bestemme nullpunktene til tellerpolynomet for å finne nullpunktene til $p$. Disse fant vi med $abc$-formelen som ga oss $$ x = -1 \or x = 2. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 **Bruk polynomdivisjon** til å bestemme likningene til de horisontale eller skrå asymptotene til funksjonene. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a $$ f(x) = \dfrac{4x - 6}{2x + 1} $$ ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ y = 2 $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Vi utfører polynomdivisjon for å lese av kvotienten $K(x)$ i divisjonen: :::{figure} ./koder/oppgaver/oppgave_2/a.svg --- width: 50% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Vi kan se at kvotienten er $K(x) = 2$ som betyr at likningen for den horisontale asymptoten er $y = 2$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b $$ g(x) = \dfrac{4x^2 + x - 8}{x^2 + 1} $$ ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ y = 4 $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Vi utfører polynomdivisjon for å bestemme kvotienten $K(x)$ i divisjonen: :::{figure} ./koder/oppgaver/oppgave_2/b.svg --- width: 60% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Fra divisjonen får vi at $K(x) = 4$ som betyr at likningen for den horisontale asymptoten er $y = 4$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c $$ h(x) = \dfrac{x^2 + x - 2}{x + 5} $$ ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ y = x - 4. $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Vi utfører polynomdivisjon for å bestemme kvotienten $K(x)$ i divisjonen: :::{figure} ./koder/oppgaver/oppgave_2/c.svg --- width: 60% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Fra divisjonen får vi at $K(x) = x - 4$ som betyr at likningen for den skrå asymptoten er $y = x - 4$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d $$ p(x) = \dfrac{x + 3}{x^2 + 2x + 1} $$ ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ y = 0 $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Tellergraden er lavere enn nevnergraden som betyr at telleren allerede *er* et restpolynom i divisjonen. Derfor vil kvotienten være $K(x) = 0$ og vi får at likningen til den horisontale asymptoten er $y = 0$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 Bestem likningene til de vertikale asymptotene til hver av funksjonene (dersom de eksisterer). ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a $$ f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 9} $$ ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ x = -3 \or x = 3. $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Vi må starte med å nullpunktsfaktorisere teller- og nevnerpolynomet for å sjekke om de har noen felles faktorer. Med konjugatsetningen kan vi skrive: $$ x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x + 2)(x - 2) $$ og $$ x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x + 3)(x - 3). $$ Dermed har vi at $$ f(x) = \dfrac{(x + 2)(x - 2)}{(x + 3)(x - 3)} $$ Vi kan se at telleren og nevner ikke har noen felles faktorer, som betyr at vi nå trygt kan finne de vertikale asymptotene ved å se på nullpunktene til nevneren: $$ (x + 3)(x - 3) = 0 \liff x = -3 \or x = 3. $$ som er likningene til de vertikale asymptotene til $f$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b $$ g(x) = \dfrac{x^2 - x - 6}{(x + 3)(x - 4)} $$ ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Vi starter med å nullpunktsfaktorisere tellerpolynomet for å se etter lineære faktorer som er felles: $$ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) $$ Dermed får vi $$ g(x) = \dfrac{(x - 3)(x + 2)}{(x + 3)(x - 4)} $$ Vi ser at tellerpolynomet og nevnerpolynomet ikke deler noen lineære faktorer, så vi kan bestemme de vertikale asymptotene ved å se på nullpunktene til nevnerpolynomet: $$ (x + 3)(x - 4) = 0 \liff x = -3 \or x = 4. $$ Dermed likningene til de vertikale asymptotene $x = -3$ og $x = 4$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c $$ h(x) = \dfrac{x + 3}{x^2 + 6x + 9} $$ ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ x = -3. $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Vi starter med å se de lineære faktorene i teller- og nevnerpolynomet. Vi kan skrive om nevnerpolynomet med 1.kvadratsetning: $$ x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 $$ som betyr at $f(x)$ kan skrives om til $$ f(x) = \dfrac{x + 3}{(x + 3)^2} = \dfrac{1}{x + 3} $$ Vi har eliminert alle felles lineære faktorer, og kan gå videre på se etter vertikale asymptoter ved å bestemme nullpunktene til nevnerpolynomet: $$ x + 3 = 0 \liff x = -3. $$ Dermed har $f$ er en vertikal asymptote i $x = -3$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d $$ p(x) = \dfrac{x^2 + 4x + 3}{x + 1} $$ ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- Ingen vertikale asymptoter. :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Vi starter med å se om teller- og nevnerpolynomet har felles lineære faktorer og kvitter oss med dem. Vi skriver om tellerpolynomet med fullstendig kvadraters metode: $$ x^2 + 4x + 3 = x^2 + 4x + 2^2 - 2^2 + 3 = (x + 2)^2 - 1 = (x + 1)(x + 3) $$ Dermed kan vi skrive $p(x)$ som $$ p(x) = \dfrac{(x + 1)(x + 3)}{x + 1} = x + 3, \quad x \neq -1. $$ Vi ser at selv om $x = -1$ er et bruddpunkt for $p$ siden det er nullpunktet til nevnerpolynomet, så vil det ikke være en vertikal asymptote fordi tellerpolynomet hadde én av den samme lineære faktoren. Dermed har $p$ ingen vertikale asymptoter. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 En rasjonal funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = \dfrac{x^2 + 4x + 4}{x - 2} $$ Nedenfor vises 4 figurer der én av dem viser grafen til $f$. Bestem hvilken graf som hører til $f$. :::{multi-plot} width: 100% functions: (x - 2)**2 / (x + 2), -(x - 2)**2 / (x + 2), (x + 2)**2 / (x - 2), -(x + 2)**2 / (x - 2) function-names: A, B, C, D rows: 2 cols: 2 ticks: off xmin: -16 xmax: 16 ymin: -40 ymax: 40 vlines: -2, -2, 2, 2 lines: [(1,-6), (-1, 6), (1, 6), (-1,-6)] points: [(2, 0), (2, 0), (-2, 0), (-2, 0)] ::: ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- Graf **C**. :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 To rasjonale funksjoner $f$ og $g$ er gitt ved $$ f(x) = \dfrac{x^2 - 2x - 3}{x^2 + 2x + 1} \quad \text{og} \quad g(x) = \dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 2x - 3} $$ Nedenfor viser 4 figurer der én av dem viser grafen til $f$ og én av dem viser grafen til $g$. :::{multi-plot} width: 100% functions: (x - 3) * (x + 1) / (x - 1)**2, (x**2 - 2*x - 3) / (x**2 + 2*x + 1), (x - 1)**2 / ((x + 1) * (x - 3)), -(x - 3) * (x + 1) / (x - 1)**2 function-names: A, B, C, D rows: 2 cols: 2 ticks: off xmin: -10 xmax: 10 ymin: -10 ymax: 10 vlines: 1, -1, (-1, 3), 1 hlines: 1, 1, 1, -1 points: [((-1, 0), (3, 0)), (3, 0), (1, 0), ((-1, 0), (3, 0))] ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem hvilken graf som tilhører $f$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- Graf **B**. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem hvilken graf som tilhører $g$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- Graf **C**. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 6 To rasjonale funksjoner $f$ og $g$ er gitt ved $$ f(x) = \dfrac{x - 2}{x^2 + 4x +4} \quad \text{og} \quad g(x) = \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x - 1} $$ Nedenfor vises 4 figurer. Én av dem viser grafen til $f$ og én av dem viser grafen til $g$. :::{multi-plot} width: 100% functions: (x - 2) / (x + 2)**2, (x + 2) / (x - 2)**2, (x + 1)**2 / (x - 1), -(x + 1)**2 / (x - 1) function-names: A, B, C, D rows: 2 cols: 2 ticks: off xmin: -10 xmax: 10 ymin: -20 ymax: 20 vlines: -2, 2, 1, 1 lines: [None, None, (1, 3), (-1, -3)] points: [(2, 0), (-2, 0), (-1, 0), (-1, 0)] ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem hvilken graf som tilhører $f$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- Graf **A**. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem hvilken graf som tilhører $g$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- Graf **C**. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 7 En rasjonal funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = \dfrac{x^2 - 16}{(x + 2)(x - 2)} $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem nullpunktene til $f$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ x = \pm 4. $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: answer, dropdown --- Vi starter med å se etter nullpunktene til tellerpolynomet: $$ x^2 - 16 = 0 \liff x^2 = 16 \liff x = \pm 4. $$ Ingen av disse er også nullpunkter for nevnerpolynomet, så som betyr at nullpunktene til $f$ er $$ x = \pm 4. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem likningen til den horisontale asymptoten til $f$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ y = 1. $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Vi utfører polynomdivisjon for å bestemme kvotienten $K(x)$: :::{figure} ./koder/oppgaver/oppgave_7/b.svg --- width: 60% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Dermed er $K(x) = 1$ som betyr at likningen til den horisontale asymptoten er $$ y = 1. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bestem likningene til $f$ sine vertikale asymptoter, dersom de eksisterer. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ x = \pm 2. $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Vi starter med å nullpunktsfaktorisere teller- og nevnerpolynomet for å eliminere felles faktorer. Fra **a** har vi at nullpunktene til tellerpolynomet er $x = \pm 4$. Det betyr at vi kan skrive $f(x)$ som $$ f(x) = \dfrac{(x + 4)(x - 4)}{(x + 2)(x - 2)} $$ siden den ledende koeffisientene til tellerpolynomet var $1$. Vi kan ikke eliminere noen lineære faktorer som betyr at vi kan gå rett på å bestemme nullpunktene til nevnerpolynomet for å bestemme likningene til $f$ sine vertikale asymptoter: $$ (x + 2)(x - 2) = 0 \liff x = -2 \or x = 2. $$ som er likningene til de vertikale asymptotene til $f$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Tegn et fortegnsskjema for $f(x)$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- :::{signchart} width: 100% function: (x**2 - 16) / ((x + 2) * (x - 2)), f(x) ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} e Lag en skisse av grafen til $f$. Skissen skal inneholde: * Nullpunktene til $f$. * Horisontale asymptoter. * Vertikale asymptoter. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- :::{plot} width: 80% function: (x**2 - 16) / ((x + 2) * (x - 2)), f ticks: off xmin: -10 xmax: 10 ymax: 10 vline: -2 vline: 2 hline: 1 text: 2, 6, "$x = 2$", center-right text: -2, 6, "$x = -2$", center-left text: 4, 1, "$y = 1$", top-center point: (4, 0) point: (-4, 0) text: 4, 0, "$(4,0)$", bottom-right text: -4, 0, "$(-4,0)$", bottom-left ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} f Løs ulikheten $f(x) \geq 0$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ x \in \langle \gets, -4] \cup \langle -2, 2 \rangle \cup [4, \to \rangle. $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Vi bruker fortegnslinja til $f(x)$ som vi tegnet i **d** til å bestemme hvor $f(x) \geq 0$: :::{signchart} width: 100% function: (x**2 - 16) / ((x + 2) * (x - 2)), f(x) factors: false ::: Fra fortegnslinja til $f(x)$ kan vi se at $f(x) \geq 0$ når $$ x \in \langle \gets, -4] \cup \langle -2, 2 \rangle \cup [4, \to \rangle. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 8 En rasjonal funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = \dfrac{x^2 - 8x + 12}{(x - 2)(x + 3)} $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem nullpunktene til $f$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ x = 6. $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Nullpunktene til $f$ er gitt ved nullpunktene til tellerpolynomet så lenge nevnerpolynomet ikke også har samme nullpunkter. Nullpunktene til tellerpolynomet kan vi bestemme med $abc$-formelen som gir \begin{align*} x &= \dfrac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4\cdot 1 \cdot 12}}{2\cdot 1} \\ \\ &= \dfrac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} \\ \\ &= \dfrac{8 \pm \sqrt{16}}{2} \\ \\ &= \dfrac{8 \pm 4}{2} \\ \\ &= 4 \pm 2. \end{align*} Dermed er nullpunktene til tellerpolynomet $$ x = 2 \or x = 6. $$ Nullpunktene til nevnerpolynomet er $$ (x - 2)(x + 3) = 0 \liff x = 2 \or x = -3. $$ Dermed er $x = 2$ et felles nullpunkt for både teller- og nevnerpolynomet og dette kan derfor ikke være et nullpunkt for $f$. Dermed har $f$ kun ett nullpunkt i $$ x = 6. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem likningene til asymptotene til $f$ dersom de eksisterer. ::::::::::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- :::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- ::::::::::{tab-item} Horisontale/skrå asymptoter $$ y = 1. $$ :::::::::: ::::::::::{tab-item} Vertikale asymptoter $$ x = -3. $$ :::::::::: ::::::::::: :::::::::::: ::::::::::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- :::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- ::::::::::{tab-item} Horisontale/skrå asymptoter For å bestemme eventuelle horisontale eller skrå asymptoter, utfører polynomdivisjon for å bestemme kvotienten $K(x)$: :::{figure} ./koder/oppgaver/oppgave_8/b.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Fra polynomdivisjonen finner vi at $K(x) = 1$ som betyr at likningen til den horisontale asymptoten til $f$ er $$ y = 1. $$ :::::::::: ::::::::::{tab-item} Vertikale asymptoter For å bestemme likningene til eventuelle vertikale asymptoter, faktoriserer vi teller- og nevnerpolynomet og eliminerer alle lineære faktorer som er felles. Vi har at $$ f(x) = \dfrac{x^2 - 8x + 12}{(x - 2)(x + 3)} = \dfrac{(x - 2)(x - 6)}{(x - 2)(x + 3)} = \dfrac{x - 6}{x + 3} $$ der vi forutsetter at $x \neq 2$. For å bestemme de vertikale asymptotene til $f$ ser vi på nullpunktene til nevnerpolynomet som gjenstår som gir: $$ x + 3 = 0 \liff x = -3. $$ Likningen til den vertikale asymptoten til $f$ er derfor $$ x = -3. $$ :::::::::: ::::::::::: :::::::::::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Lag en skisse av grafen til $f$. Skissen skal inneholde: * Nullpunkter * Horisontale/skrå asymptoter * Vertikale asymptoter * "Hull" i grafen til $f$ (bruddpunkter). > Hint: Det kan være lurt å tegne et fortegnsskjema for $f(x)$ først. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_8/c_graf.svg --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Vi har allerede sett at vi kan skrive $f(x)$ som $$ f(x) = \dfrac{x - 6}{x + 3} $$ så lenge $x \neq 2$. I $x = 2$ vil grafen til $f$ ha et hull, men vil ellers oppføre som en lineær-over-lineær rasjonal funksjon slik som vi har uttrykt over. Vi kan tegne et fortegnsskjema for det forenklede uttrykket for $f(x)$ og så må vi huske på at $x = 2$ representerer et bruddpunkt. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_8/c_fortegnslinje.svg --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Denne informasjonen om fortegnet til $f(x)$ sammen med asymptotene $y = 1$ og $x = -3$ kan vi skissere grafen til $f$ som følger: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_8/c_graf.svg --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Løs ulikheten $f(x) \leq 0$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ x \in \langle -3, 6] \setminus \{2\}. $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- For å løse ulikheten $f(x) \leq 0$ bruker vi fortegnslinja til $f(x)$ som vi tegnet i **c**: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_8/c_fortegnslinje.svg --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Fra fortegnslinja til $f(x)$ kan vi lese av at for det *forenklede* uttrykket er $f(x) \leq 0$ når $$ x \in \langle -3, 6]. $$ Men så var $x = 2$ et bruddpunkt for $f$ og siden $2 \in \langle -3, 6]$ så må vi ekskludere $2$ fra løsningsmengden. Dermed er løsningen til ulikheten $$ x \in \langle -3, 6] \setminus \{2\}. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 9 > I 1T skal du ikke lære å finne $f'(x)$ for den deriverte til en rasjonal funksjon $f$. Likevel kan vi finne ut mye om $f'$ fra grafen til $f$. I {numref}`fig-generelle-rasjonale-funksjoner-oppgave-9-graf` vises grafen til en rasjonal funksjon $f$ gitt ved $$ f(x) = \dfrac{x - 2}{x + 1} $$ :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_9/graf.svg --- name: fig-generelle-rasjonale-funksjoner-oppgave-9-graf width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- viser grafen til en rasjonal funksjon $f$. ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem nullpunktet og likningene til asymptotene til $f$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- * Nullpunkt: $x = 2$. * Vertikal asymptote: $x = -1$. * Horisontal asymptote: $y = 1$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bruk grafen til $f$ til å bestemme den horisontale asymptoten til $f'$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ y = 0. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c > Grafen til $f'$ har samme vertikal asymptote som $f$. Tegn en fortegnslinje for $f'(x)$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_9/f_derivert_fortegnslinje.svg --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Lag en skisse av grafen til $f'$. Skissen skal inneholde (hvis de eksisterer): * Nullpunktene til $f'$. * Vertikale asymptoter til $f'$. * Horisontale asymptoter til $f'$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- * Ingen nullpunkter * Vertikal asymptote: $x = -1$. * Horisontal asymptote: $y = 0$ ($x$-aksen). :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_9/graf_derivert.svg --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 10 I {numref}`fig-generelle-rasjonale-funksjoner-oppgave-10-graf` vises grafen til en rasjonal funksjon $f$ gitt ved $$ f(x) = \dfrac{-x^2 + 1}{x^2 - 4} $$ :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_10/graf.svg --- name: fig-generelle-rasjonale-funksjoner-oppgave-10-graf width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- viser grafen til en rasjonal funksjon $f$. ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem nullpunktene og likningene til asymptotene til $f$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- * Nullpunkter: $x = \pm 1$. * Vertikale asymptoter: $x = \pm 2$. * Horisontal asymptote: $y = -1$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bruk grafen til å bestemme nullpunktene til $f'$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ x = 0. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bruk grafen til $f$ til å bestemme likningen til den horisontale asymptoten til $f'$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ y = 0. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Tegn en fortegnslinje for $f'(x)$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_10/derivert_fortegnslinje.svg --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} e Lag en skisse av grafen til $f'$. Skissen skal inneholde: * Nullpunktene til $f'$. * Vertikale asymptoter til $f'$. * Horisontale asymptoter til $f'$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- * Nullpunkt: $x = 0$. * Vertikale asymptoter: $x = -2$ og $x = 2$. * Horisontal asymptote: $y = 0$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_10/derivert_graf.svg --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 11 En rasjonal funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = \dfrac{x^2 - 2x - 8}{x^m + 8}, \quad m \in \mathbb{N}. $$ Nedenfor følger noen påstander. 1. Avgjør om påstanden er **sann** eller **usann**. 2. Hvis påstanden er **usann**, rett opp i påstanden så den blir **sann**. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} Påstand 1 Grafen til $f$ har én vertikal asymptote så lengde $m$ er et oddetall. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- Påstanden er usann når $m = 3$. Påstanden er sann for alle andre oddetall. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} Påstand 2 Grafen til $f$ skjærer $x$-aksen i to punkter for alle $m \in \mathbb{N}$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- Påstanden er usann for $m = 3$. Påstanden er sann for alle $m \in \mathbb{N} \setminus \{3\}$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} Påstand 3 Grafen til $f$ har en skrå asymptote **kun** når $m = 1$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- Påstanden er sann fordi det er **kun** når $m = 1$ at tellerpolynomet er én grad høyere enn nevnerpolynomet. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: :::::::::::::::