# Oppgaver: Formler :::{margin} Tips: Oppgave 1c Når det står "Bestem $S_n$" så mener vi at du skal finne en formel for $S_n$ som gjelder for alle naturlige tall $n$. ::: :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 --- level: 1 --- Nedenfor vises noen figurer som følger et bestemt mønster. Vi tenker oss at figurene fortsetter etter samme mønster. La $S_n$ være antall prikker i figur $n$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_1/figur.svg --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem verdien til $S_1$, $S_2$ og $S_3$ fra figurene. ::::{answer} $$ S_1 = 4 \qog S_2 = 8 \qog S_3 = 12 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem $S_4$. ::::{answer} $$ S_4 = 16 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bestem $S_n$. ::::{answer} $$ S_n = 4n \qder n \in \mathbb{N} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Hvilken figur har $120$ sirkler? ::::{answer} Figur $30$ har $120$ sirkler siden $S_{30} = 4 \cdot 30 = 120$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 --- level: 1 --- Nedenfor vises noen figurer som følger et bestemt mønster. Vi tenker oss at figurene fortsetter etter samme mønster. La $S_n$ være antall prikker i figur $n$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_2/figur_4n_plus_2.svg --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem verdien til $S_1$, $S_2$, $S_3$ og $S_4$ fra figurene. ::::{answer} $$ S_1 = 6 \qog S_2 = 10 \qog S_3 = 14 \qog S_4 = 18 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem $S_n$. ::::{answer} $$ S_n = 4n + 2 \qder n \in \mathbb{N} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Hvilken figur har $82$ sirkler? ::::{answer} Figur $20$ har $82$ sirkler siden $S_{20} = 4 \cdot 20 + 2 = 82$. :::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 --- level: 2 --- Nedenfor vises noen figurer som følger et bestemt mønster. Vi tenker oss at figurene fortsetter etter samme mønster. La $R_n$ være antall prikker i figur $n$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_3/figur_rektangulære.svg --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem verdien til $R_5$. ::::{answer} $$ R_5 = 30 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem et uttrykk for $R_n$. ::::{answer} $$ R_n = n(n + 1) \qder n \in \mathbb{N} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c La $T_n$ være antall prikker i figur $n$ som er blå. Bestem en formel for $T_n$. ::::{answer} $$ T_n = \dfrac{R_n}{2} = \dfrac{n(n + 1)}{2} \qder n \in \mathbb{N} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 --- level: 2 --- Nedenfor vises de tre første figurene i en figurfølge. Vi tenker oss at figurene følger dette mønsteret videre. La $K_n$ være antall kvadrater i figur $n$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_4/figur.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem $K_1$, $K_2$ og $K_3$. ::::{answer} $$ K_1 = 2 \and K_2 = 6 \and K_3 = 12 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem $K_4$. ::::{answer} $$ K_4 = 20 $$ :::: ::::{solution} $$ K_4 = 5 \cdot 4 = 20 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bestem $K_n$. ::::{answer} $$ K_n = n(n + 1) \qder n \in \mathbb{N} $$ :::: ::::{solution} Vi kan se et mønster i figurene som at $$ K_1 = 2 \cdot 1 \and K_2 = 3 \cdot 2 \and K_3 = 4 \cdot 3 $$ Vi kan se at det er $n$ rader og $(n + 1)$ kolonner i figur $n$ ut ifra mønsteret, som betyr at formelen for $K_n$ er $$ K_n = (n + 1) \cdot n = n(n + 1) \qder n \in \mathbb{N} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 --- level: 2 --- Nedenfor vises noen figurer som følger et bestemt mønster. Vi tenker oss at figurene fortsetter etter samme mønster. La $F_n$ være antall fargelagte firkanter i figur $n$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_5/figur.svg --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem $F_1$, $F_2$ og $F_3$ fra figurene. ::::{answer} $$ F_1 = 2 \and F_2 = 12 \and F_3 = 30 $$ :::: ::::{solution} $$ F_1 = 1 \cdot 2 = 2 \and F_2 = 3 \cdot 4 = 12 \and F_3 = 5 \cdot 6 = 30 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem $F_4$. ::::{answer} $$ F_4 = 56 $$ :::: ::::{solution} $$ F_4 = 7 \cdot 8 = 56 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Lag en formel $F_n$ for antall fargelagte firkanter i figur $n$. ::::{answer} $$ F_n = 2n\cdot (2n - 1) \qder n \in \mathbb{N} $$ :::: ::::{solution} Vi kan systematisere mønsteret i antall rader og kolonner: | Figur $n$ | Antall rader | Antall kolonner | |:-----------:|:---------------:|:-----------------:| | $1$ | $2$ | $1$ | | $2$ | $4$ | $3$ | | $3$ | $6$ | $5$ | | $4$ | $8$ | $7$ | Vi kan se at antall rader passer med partall $2n$ og antall kolonner passer med oddetallne $2n - 1$. Dermed får vi formelen for $F_n$: $$ F_n = 2n\cdot (2n - 1) \qder n \in \mathbb{N} $$ :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 6 --- level: 2 --- Nedenfor vises de tre første figurene i en figurfølge. Vi tenker oss at figurene følger dette mønsteret videre. La $K_n$ være antall kvadrater i figur $n$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_6/figur.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem verdiene til $K_1$, $K_2$ og $K_3$ fra figurene. ::::{answer} $$ K_1 = 12 \and K_2 = 32 \and K_3 = 60 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem $K_4$. ::::{answer} $$ K_4 = 96 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bestem en formel for $K_n$. ::::{answer} $$ K_n = 4(n + 1)^2 - 4 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 7 --- level: 3 --- Nedenfor vises noen figurer som følger et bestemt mønster. Vi tenker oss at figurene fortsetter etter samme mønster. Vi lar $K_n$ være antall fargelagte kvadrater i figur $n$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_7/figur.svg --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem verdien til $K_1$, $K_2$ og $K_3$ fra figurene. ::::{answer} $$ K_1 = 4 \and K_2 = 9 \and K_3 = 16 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem $K_4$. ::::{answer} $$ K_4 = 25 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bestem en formel for $K_n$. ::::{answer} $$ K_n = n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2 \qder n \in \mathbb{N} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 8 --- level: 3 --- Nedenfor vises de tre første figurene i en figurfølge. Vi tenker oss at figurene følger dette mønsteret videre. La $F_n$ være antall firkanter i figur $n$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_8/figur_katt.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem $F_1$, $F_2$ og $F_3$ fra figurene. ::::{answer} $$ F_1 = 7 \qog F_2 = 17 \qog F_3 = 37 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem $F_4$. ::::{answer} $$ F_4 = 61 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bestem $F_n$. ::::{answer} $$ F_n = 3n^2 + 3n + 1 \qfor n \in \mathbb{N} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 9 --- level: 3 --- Nedenfor vises noen figurer som følger et bestemt mønster. Vi tenker oss at figurene fortsetter i samme mønster. La $S_n$ være antall sirkler i figur $n$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_9/figur.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem $S_1$, $S_2$ og $S_3$ fra figurene. ::::{answer} $$ S_1 = 4 \and S_2 = 13 \and S_3 = 28 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem $S_4$. ::::{answer} $$ S_4 = 49 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bestem $S_n$. ::::{answer} $$ S_n = 3n^2 + 1 \qfor n \in \mathbb{N} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 10 --- level: 3 --- En tallfølge $a_n$ er gitt ved $$ 4, 7, 10, 13, \ldots $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem det neste leddet i tallfølgen. ::::{answer} Neste ledd i tallfølgen er $16$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem en formel for $a_n$. ::::{answer} $$ a_n = 3n + 1 \qder n \in \mathbb{N} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Hvilket ledd i tallfølgen har verdien $100$? ::::{answer} Leddet $n = 33$ har verdien $100$ siden $a_{33} = 3 \cdot 33 + 1 = 100$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 11 --- level: 3 --- I denne oppgave skal du bestemme formlene til tallfølger. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En tallfølge $a_n$ er gitt ved $$ -1, 1, 3, 5, \ldots $$ Bestem en formel for $a_n$. ::::{answer} $$ a_n = 2n - 3 \qder n \in \mathbb{N} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En tallfølge $b_n$ er gitt ved $$ 6, 11, 16, 21, \ldots $$ Bestem en formel for $b_n$. ::::{answer} $$ b_n = 5n + 1 \qder n \in \mathbb{N} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En tallfølge $c_n$ er gitt ved $$ 0, 3, 8, 15, \ldots $$ Bestem en formel for $c_n$. ::::{answer} $$ c_n = n^2 - 1 \qder n \in \mathbb{N} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::{margin} Tips til oppgave 12 $1 = (-1)^2 = (-1)^4 = (-1)^6 = \ldots$ og $-1 = (-1)^3 = (-1)^5 = (-1)^7 = \ldots$ ::: :::::::::::::::{exercise} Oppgave 12 --- level: 4 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a En tallfølge $a_n$ er gitt ved $$ 2, -4, 6, -8, 10, -12, \ldots $$ Bestem en formel for $a_n$. ::::{answer} $$ a_n = (-1)^{n+1} \cdot 2n \qder n \in \mathbb{N} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b En tallfølge $b_n$ er gitt ved $$ -1, 4, -9, 16, -25, \ldots $$ Bestem en formel for $b_n$. ::::{answer} $$ b_n = (-1)^n \cdot n^2 \qder n \in \mathbb{N} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c En tallfølge $c_n$ er gitt ved $$ 1, -3, 5, -7, 9, -11, \ldots $$ Bestem en formel for $c_n$. ::::{answer} $$ c_n = (-1)^{n+1} \cdot (2n - 1) \qder n \in \mathbb{N} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d En tallfølge $d_n$ er gitt ved $$ 1, -\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, -\dfrac{1}{8}, \dfrac{1}{16}, \ldots $$ Bestem en formel for $d_n$. ::::{answer} $$ d_n = \dfrac{(-1)^{n+1}}{2^{n-1}} \qder n \in \mathbb{N} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: :::::::::::::::