# Oppgaver: Programmering av tallfølger :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 --- level: 1 --- Ta quizen! :::{quiz} Q: Hvilke tall skrives ut av programmet nedenfor? 
for n in range(-2, 3):\n    print(n)
+ $-2, -1, 0, 1, 2$ - $-2, 3$ - $-2, -1, 0, 1, 2, 3$ - $-2, 1, 3$ Q: Hvilke tall skrives ut av programmet nedenfor? 
for n in range(4):\n    print(n)
+ $0, 1, 2, 3$ - $0, 1, 2, 3, 4$ - $4$ - $1, 2, 3, 4$ Q: Hvilke tall skrives ut av programmet nedenfor? 
for n in range(-2, 2, 1):\n    print(n)
+ $-2, -1, 0, 1$ - $-2, 2, 1$ - $-2, -1, 0, 1, 2$ - $-1, 0, 1, 2$ Q: Hvilke tall skrives ut av programmet nedenfor? 
for n in range(1, 6, 2):\n    print(n)
+ $1, 3, 5$ - $1, 6, 2$ - $1, 2, 6$ - $1, 3, 5, 6$ Q: Hvilke tall skrives ut av programmet nedenfor? 
for n in range(1, 10, 3):\n    print(n)
+ $1, 4, 7$ - $1, 4, 7, 10$ - $1, 3, 10$ - $1, 10, 3$ Q: Hvilke tall skrives ut av programmet nedenfor? 
for n in range(0, 101, 10):\n    print(n)
+ $0, 10, 20, \ldots, 90, 100$ - $0, 10, 20, \ldots, 90$ - $0, 101, 10$ - $0, 10, 100$ ::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 --- level: 1 --- Nedenfor vises noen programkoder som skriver ut noen tall. Les programmene og prøv å forutsi hvilke tall de skriver ut. Skriv inn gjetningen din og sjekk svaret ditt for hvert av programmene. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{interactive-code} --- predict: --- for n in range(3): print(n) ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{interactive-code} --- predict: --- for n in range(-4, 1): print(n) ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c :::{interactive-code} --- predict: --- for n in range(-10, 11, 4): print(n) ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d :::{interactive-code} --- predict: --- for n in range(10, 1, -2): print(n) ::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 --- level: 1 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Fyll ut programmet nedenfor slik at det skriver ut alle tallfølgen $$ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. $$ :::{interactive-code} for n in range(????): # FYLL INN: bytt ut ???? print(n) ::: ::::{answer} :::{code-block} python --- linenos: --- for n in range(1, 9): print(n) ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Fyll ut programmet nedenfor slik at det skriver ut tallfølgen $$ 2, 4, 6, 8. $$ :::{interactive-code} for n in range(????): # FYLL INN: bytt ut ???? print(n) ::: ::::{answer} :::{code-block} python --- linenos: --- for n in range(2, 10, 2): print(n) ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Fyll ut programmet nedenfor slik at det skriver ut tallfølgen $$ 1, 5, 9, 13. $$ :::{interactive-code} for n in range(????): # FYLL INN: bytt ut ???? print(n) ::: ::::{answer} :::{code-block} python --- linenos: --- for n in range(1, 14, 4): print(n) ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Fyll ut programmet nedenfor slik at det skriver ut tallfølgen $$ -5, -3, -1, 1, 3, 5. $$ :::{interactive-code} for n in range(????): # FYLL INN: bytt ut ???? print(n) ::: ::::{answer} :::{code-block} python --- linenos: --- for n in range(-5, 6, 2): print(n) ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 --- level: 1 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Fyll ut programmet nedenfor slik at det skriver ut tallfølgen $$ 10, 6, 2 $$ :::{interactive-code} for n in range(????): # FYLL INN: bytt ut ???? print(n) ::: :::::{answer} :::{code-block} python for n in range(10, 1, -4): print(n) ::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Fyll ut programmet nedenfor slik at det skriver ut tallfølgen $$ 100, 90, 80, 70, 60, 50, 40, 30, 20, 10, 0 $$ :::{interactive-code} for n in range(????): # FYLL INN: bytt ut ???? print(n) ::: :::::{answer} :::{code-block} python for n in range(100, -1, -10): print(n) ::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Fyll ut programmet nedenfor slik at det skriver ut tallfølgen $$ 5, 3, 1, -1, -3, -5 $$ :::{interactive-code} for n in range(????): # FYLL INN: bytt ut ???? print(n) ::: :::::{answer} :::{code-block} python for n in range(5, -6, -2): print(n) ::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Fyll ut programmet nedenfor slik at det skriver ut tallfølgen $$ -2, -5, -8, -11, -14 $$ :::{interactive-code} for n in range(????): # FYLL INN: bytt ut ???? print(n) ::: :::::{answer} :::{code-block} python for n in range(-2, -15, -3): print(n) ::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 --- level: 2 --- ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Fyll ut programmet nedenfor slik at det skriver ut alle partallene til og med $20$. :::{interactive-code} for n in range(????): # FYLL INN: bytt ut ???? med riktige tall print(n) ::: ::::{answer} :::{code-block} python --- linenos: --- for n in range(2, 21, 2): print(n) ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Fyll ut programmet nedenfor slik at det skriver ut alle oddetallene til og med $21$. :::{interactive-code} for n in range(????): # FYLL INN: bytt ut ???? med riktige tall print(n) ::: ::::{answer} :::{code-block} python --- linenos: --- for n in range(1, 22, 2): print(n) ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Lag et program som skriver ut de $20$ **første** partallene. :::{interactive-code} # Skriv ditt program her ::: :::::{answer} :::{code-block} python for n in range(1, 21): partall = 2 * n print(partall) ::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Lag et program som skriver ut de $20$ **første** oddetallene. :::{interactive-code} # Skriv ditt program her ::: :::::{answer} :::{code-block} python for n in range(1, 21): oddetall = 2 * n - 1 print(oddetall) ::: ::::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 6 --- level: 2 --- Alma og Synne snakker om en annen strategi for å skrive ut partall og oddetall. :::{dialogue} --- name1: Alma name2: Synne speaker1: left speaker2: right --- Alma: Jeg har en annen idé for å skrive ut partallene på. Vi kan lage en løkke som går gjennom alle naturlige tall og sjekker om det er et partall. Synne: Det er en god idé! Da kan vi bruke en `if`{l=python}-setning for å sjekke om tallet er partall. Alma: Men hvordan sjekker vi at et tall er et partall igjen? Synne: Det er vel bare å sjekke om det er delelig med $2$? Jeg har lest at det kan man gjøre ved å skrive
`if n % 2 == 0:`{l=python} ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Fyll ut programmet nedenfor slik at det skriver ut alle partallene til og med $20$ ved hjelp av en `if`{l=python}-setning. :::{interactive-code} for n in range(????): # FYLL INN: bytt ut ???? med riktige tall if ????: # Sjekk om n er et partall print(n) ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Alma og Synne fortsetter samtalen. :::{dialogue} --- name1: Alma name2: Synne speaker1: left speaker2: right --- Alma: Ok, så nå klarer vi å skrive ut partall ved å sjekke om et tall er delelig med $2$. Men hva med oddetallene? Synne: Da har jeg lest at vi kan bruke en `if`{l=python}-`else`{l=python}-setning. Hvis tallet er delelig med $2$, så gjør vi ingenting. Da kan vi bruke `pass`{l=python}. Og så skriver vi ut tallet hvis det ikke er delelig med $2$. :::
Bruk strategien til Alma og Synne i programmet nedenfor. :::{interactive-code} for n in range(????): # FYLL INN: bytt ut ???? med riktige tall if ????: # Sjekk om n er et partall # FYLL INN: gjør ingenting her! else: # FYLL INN: skriv ut tallet hvis det er et oddetall ::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 7 --- level: 2 --- Alma og Synne snakker om hvordan man kan avgjøre om et tall $p \in \mathbb{N}$ er et primtall med et program. :::{dialogue} --- name1: Alma name2: Synne speaker1: left speaker2: right --- Alma: Jeg har lest at et primtall er et tall som bare er delelig med $1$ og seg selv. Synne: Ja, det stemmer! Så hvis vi skal sjekke om et tall $n$ er et primtall, så må vi sjekke om det er delelig med alle tallene fra $2$ til $p - 1$. Alma: Ja, men hvordan gjør vi det i et program? Synne: Vi kan bruke en løkke som går gjennom alle tallene $n \in \{2, 3, \ldots, p - 1\}$ og sjekker om $p$ er delelig med hvert av dem. Da kan vi vel bruke en `if`{l=python}-setning litt som når vi sjekket om et tall var delelig med $2$? ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bruk strategien til Alma og Synne i programmet nedenfor. Sjekk at tallene $11$, $51$ og $729$ er primtall. ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Alma og Synne er ikke helt fornøyde. :::{dialogue} --- name1: Alma name2: Synne speaker1: left speaker2: right --- Alma: Men nå sjekker vi jo fryktelig mange tall. Trenger vi å sjekke alle tallene fra $2$ til $p - 1$? Synne: Nei! Vi trenger bare å sjekke tallene opp til $\sqrt{p}$. Hvis $p$ er delelig med et tall større enn $\sqrt{p}$, så må det også være delelig med et tall mindre enn $\sqrt{p}$. Alma: Hvorfor er det slik? Synne: Det er jeg ikke sikker på. Var bare noe jeg så på Insta. Men hvordan regner vi ut $\sqrt{p}$ i et program? Alma: Det er enkelt! Vi kan bruke `int(n ** 0.5)`{l=python} :::
Endre på programmet ditt og prøv ut strategien de snakker om. ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Argumenter for at det største tallet man trenger å sjekke for å avgjøre om et tall $p$ er et primtall, er $\sqrt{p}$. ::::::::::::: :::::::::::::: :::{interactive-code} # Din kode her ::: ::::::::::::::: --- :::{margin} Startverdien til `s`{l=python} Vi setter startverdien til `s`{l=python} til `0`{l=python} fordi å plusse på `0`{l=python} ikke endrer verdien til en sum. ::: :::::::::::::::{exercise} Oppgave 8 --- level: 2 --- > I denne oppgaven skal du lære hvordan man summerer tall med et program. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a I programmet nedenfor summeres noen tall med en variabel `s`{l=python} i en løkke. Linja `s = s + n`{l=python} legger til verdien av `n`{l=python} til summen `s`{l=python}. Les programmet og forutsi hvilken verdi som skrives ut av programmet. ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Endre på programmet slik at det regner ut summen $$ S = 1 + 2 + 3 + \ldots + 99 + 100 $$ ::::{answer} :::{code-block} python --- linenos: emphasize-lines: 2 --- s = 0 # variabel som skal lagre summen for n in range(1, 101): s = s + n print(s) ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Endre på programmet slik at det regner ut summen $$ S = 1 + 3 + 5 + \ldots + 97 + 99 $$ ::::{answer} :::{code-block} python --- linenos: emphasize-lines: 2 --- s = 0 # variabel som skal lagre summen for n in range(1, 101, 2): s = s + n print(s) ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Endre på programmet slik at det regner ut summen $$ S = 2 + 4 + 6 + \ldots + 98 + 100 $$ ::::{answer} :::{code-block} python --- linenos: emphasize-lines: 2 --- s = 0 # variabel som skal lagre summen for n in range(2, 101, 2): s = s + n print(s) ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::: :::{interactive-code} --- predict: --- s = 0 # variabel som skal lagre summen for n in range(1, 6): s = s + n print(s) ::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 9 --- level: 2 --- En sum er gitt ved $$ S = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} + \ldots $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Lag et program som skriver ut de første 5 leddene i summen. ::::{answer} :::{code-block} python --- linenos: --- for i in range(1, 6, 1): a = 1 / 2**(n + 1) print(a) ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Lag et program som regner ut summen av de 5 første leddene i summen ::::{answer} :::{code-block} python --- linenos: --- s = 0 for i in range(1, 6, 1): a = 1 / 2**(n + 1) s = s + a print(s) ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bruk programmet ditt til å bestemme hvilken verdi summen nærmer seg når vi bruker veldig mange ledd. ::::{answer} :::{code-block} python --- linenos: --- s = 0 for i in range(1, 10001, 1): a = 1 / 2**(n + 1) s = s + a print(s) ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::: :::{interactive-code} # Din kode her ::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 10 --- level: 3 --- Alma og Synne jobber med summen $$ S = 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} - \ldots $$ :::{dialogue} --- name1: Alma name2: Synne speaker1: left speaker2: right --- Alma: Jeg vet hvordan vi kan regne ut summen når alle leddene er positive, men nå er jo leddene positive og negative annen hver gang. Synne: Kan vi ikke bare bruke en `if`{l=python}-`else`{l=python}-setning sånn at programmet bytter på fortegnet annen hver gang da? Alma: Jo! Er ikke det litt som å bare sjekke om et tall er delelig med $2$ da? Synne: Det tror jeg vil funke! ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Ta utgangspunkt i ideen til Alma og Synne, og lag et program som skriver ut de 5 første leddene i summen. ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Lag et program som regner ut summen av de 5 første leddene. ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bruk programmet ditt til å bestemme hvilken verdi programmet nærmer seg når vi bruker veldig mange ledd. ::::::::::::: :::::::::::::: :::{interactive-code} # Din kode her ::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 11 --- level: 3 --- Nedenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små kvadrater. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster. Vi lar $K_n$ være antall små kvadrater i figur $n$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_11/figur.svg --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem en formel for $K_n$. ::::{answer} $$ K_n = 9 + 8(n - 1) = 8n + 1 \qder n \in \mathbb{N} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Lag et program som regner ut og skriver ut hvor mange små kvadrater det er i hver av de $10$ første figurene. ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Du starter med å lage figur $1$, så figur $2$, deretter figur $3$, og så videre. Lag et program som finner ut hvor mange kvadrater du må bruke for å lage de 10 000 første figurene. ::::::::::::: :::::::::::::: :::{interactive-code} # Din kode her ::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 12 --- level: 3 --- Nedenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små kvadrater. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster. Vi lar $K_n$ være antall små kvadrater i figur $n$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_12/figur.svg --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem en formel for $K_n$. ::::{answer} $$ K(n) = (n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Lag et program som beregner og skriver ut hvor mange små kvadrater det er i hver av de $20$ første figurene. ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Tenk deg at du har 1 000 000 små kvadrater. Du starter med å lage figur $1$, så figur $2$, deretter figur $3$, og så videre. Lag et program som finner ut 1. Hvor mange figurer du kan lage 2. Hvor mange små kvadrater du har igjen ::::::::::::: :::::::::::::: :::{interactive-code} # Din kode her ::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 13 --- level: 3 --- > I denne oppgaven skal du jobbe med summer av oddetall og partall. Vi lar $S_n$ være summen av de $n$ første oddetallene slik at \begin{align*} S_1 &= 1 \\ S_2 &= 1 + 3 \\ S_3 &= 1 + 3 + 5 \\ S_4 &= 1 + 3 + 5 + 7 \\ S_5 &= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 \\ S_6 &= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 \\ \vdots & \quad \quad \quad \vdots \quad \quad \quad \vdots \quad \quad \quad \vdots \\ \end{align*} ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Lag et program som skriver ut de $20$ første oddetallene. Bruk formelen for oddetallene gitt ved $$ O_n = 2n - 1 \qder n \in \mathbb{N} $$ ::::{answer} :::{code-block} python --- linenos: --- for n in range(1, 21): oddetall = 2 * n - 1 print(oddetall) ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Lag et program som skriver ut $S_1, S_2, S_3, \ldots, S_{20}$. ::::{answer} :::{code-block} python --- linenos: --- s = 0 for n in range(1, 21): oddetall = 2 * n - 1 s = s + oddetall print(s) ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c La $P_n$ være summen av de $n$ første partallene. Lag et program som skriver ut $P_1, P_2, P_3, \ldots, P_{20}$. ::::{answer} :::{code-block} python --- linenos: --- p = 0 for n in range(1, 21): partall = 2 * n p = p + partall print(p) ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::: :::{interactive-code} # TODO: skriv din kode her ::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 14 --- level: 3 --- Anna og Nicolai jobber med å lage et program som regner ut $n$-fakultet definert med formelen: $$ n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n - 1) \cdot n $$ For eksempel er $$ 5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120 $$ :::{dialogue} --- name1: Anna name2: Nicolai speaker1: left speaker2: right --- Anna: Når vi regner ut summer, så setter vi en variabel `s = 0`{l=python} på starten av programmet, og så legger vi til leddene ved å skrive `s = s + ledd`{l=python}. Nicolai: Ja, kanskje vi bare kan bytte ut plusstegnet med et gangetegn da? Anna: Men hvis `s`{l=python} er `0`{l=python} i starten, så blir jo svaret alltid `0`{l=python}? Nicolai: Ja, men vi startet med `0`{l=python} fordi å plusse på `0`{l=python} endrer ikke summen. Hvilket tall er det som ikke endrer verdien til et produkt? ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Ta utgangspunkt i dialogen mellom Anna og Nicolai og lag et program som regner ut $5!$. ::::{answer} :::{code-block} python --- linenos: --- s = 1 for n in range(1, 6): s = s * n print(s) ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Antall måter å stokke en kortstokk på er $52!$ Bruk programmet ditt til å regne ut $52!$. Kan du forklare hvorfor det sannsynligvis stemmer at når man stokker en kortstokk, så er det nesten umulig å få samme rekkefølge som en annen gang? ::::{answer} :::{code-block} python --- linenos: --- s = 1 for n in range(1, 53): s = s * n print(s) ::: som gir utskriften :::{code-block} console 80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000 ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::: :::{interactive-code} # Din kode her ::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 15 --- level: 3 --- Nedenfor vises et kvadrat med sidelengder $3$. Kvadratet er fylt med mindre fargelagte kvadrater som blir mindre og mindre. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_15/figur.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Lag et program som skriver ut arealet til de $10$ største fargelagte kvadratene i figuren. ::::{answer} :::{code-block} python --- linenos: --- s = 3 for n in range(1, 11): s = s / 2 print(s**2) ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Lag et program som skriver regner ut summen av arealene til de $100$ største fargelagte kvadratene i figuren. ::::{answer} :::{code-block} python --- linenos: --- areal = 0 s = 3 for n in range(1, 101): s = s / 2 areal = areal + s**2 print(areal) ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::: :::{interactive-code} # Din kode her ::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 16 --- level: 3 --- Nedenfor vises en figur som er satt sammen av uendelige mange linjestykker. Lengden til et linjestykke er alltid $90 \%$ av lengden til det forrige linjestykket. Det første linjestykket er $100$ cm langt. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_16/figur.svg --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Lag et program som skriver ut lengden til de $10$ første linjestykkene i figuren. ::::{answer} :::{code-block} python --- linenos: --- l = 100 for n in range(1, 11): print(l) l = 0.9 * l ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Lag et program som regner ut summen av lengdene til de $100$ første linjestykkene i figuren. ::::{answer} :::{code-block} python --- linenos: --- s = 0 l = 100 for n in range(1, 101): s = s + l l = 0.9 * l print(s) ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Lag et program som finner hvor mange linjestykker du må sette sammen for at figuren skal være minst $9$ meter. ::::::::::::: :::::::::::::: :::{interactive-code} # Din kode her ::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 17 --- level: 3 --- Nedenfor vises tre figurer som følger et bestemt mønster. La $K_n$ være antall små kvadrater i figur $n$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_17/figur.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem en formel for $K_n$. ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Lag et program som skriver ut $K_1$, $K_2$, $K_3$, $\ldots$, $K_{20}$. ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Lag et program som regner ut hvor mange små kvadrater du må bruke for å lage de 20 første figurene. ::::::::::::: :::::::::::::: :::{interactive-code} # Din kode her ::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 18 --- level: 3 --- Å regne ut $\pi$ med så mange desimaler som mulig har vært et mål for matematikere i over tusen år. En måte å komme fram til verdien til $\pi$ på er med summen $$ \pi = \dfrac{4}{1} - \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{5} - \dfrac{4}{7} + \dfrac{4}{9} - \ldots $$ Jo flere ledd man bruker, jo nærmere kommer man verdien til $\pi$. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Lag et program som skriver ut de $5$ første leddene i summen. Du bør få disse verdiene i utskriften: :::{code-block} console 4.0 -1.3333333333333333 0.8 -0.5714285714285714 0.4444444444444444 ::: ::::{answer} :::{code-block} python --- linenos: --- pi = 0 for n in range(1, 6): if n % 2 == 0: # Hvis n er delelig med 2. Ledd 2, 4, 6, osv. ledd = -4 / (2 * n - 1) else: # n er ikke delelig med 2. Ledd 1, 3, 5, osv. ledd = 4 / (2 * n - 1) print(ledd) ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Lag et program som summerer de $5$ første leddene i tallfølgen. ::::{answer} :::{code-block} python --- linenos: --- pi = 0 for n in range(1, 6): if n % 2 == 0: # Hvis n er delelig med 2. Ledd 2, 4, 6, osv. ledd = -4 / (2 * n - 1) else: # n er ikke delelig med 2. Ledd 1, 3, 5, osv. ledd = 4 / (2 * n - 1) pi = pi + ledd # Legger til leddet i summen print(pi) ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bestem en god tilnærming til $\pi$ med programmet ditt fra **b**. :::{sidebar} $\pi = 3.141592653589793 \ldots$ ::: Hvor mange ledd trenger du for å få $\pi$ med $5$ riktige desimaler? ::::::::::::: :::::::::::::: ::::{interactive-code} # Din kode her :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 19 --- level: 4 --- Summen av en annen tallfølge nærmer seg også $\pi$, men mye raskere enn den forrige. Summen er $$ \pi = 3 + \dfrac{4}{2 \cdot 3 \cdot 4} - \dfrac{4}{4 \cdot 5 \cdot 6} + \dfrac{4}{6 \cdot 7 \cdot 8} - \dfrac{4}{8 \cdot 9 \cdot 10} + \ldots $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Lag et program som skriver ut de $5$ første leddene i summen. Du bør få utskriften: :::{code-block} console 3 0.16666666666666666 -0.03333333333333333 0.011904761904761904 -0.005555555555555556 ::: ::::{answer} :::{code-block} python --- linenos: --- pi = 3 print(pi) for i in range(1, 5): nevner = (2 * i) * (2 * i + 1) * (2 * i + 2) if i % 2 == 0: ledd = -4 / nevner else: ledd = 4 / nevner print(ledd) ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Lag et program som regner ut en tilnærming til $\pi$ ved å bruke de 10 000 først leddene i summen. ::::{answer} :::{code-block} python --- linenos: --- pi = 3 for i in range(1, 10_000): nevner = (2 * i) * (2 * i + 1) * (2 * i + 2) if i % 2 == 0: ledd = -4 / nevner else: ledd = 4 / nevner pi = pi + ledd print(pi) ::: som gir utskriften :::{code-block} console 3.1415926535900383 ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::: :::{interactive-code} # Din kode her ::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 20 --- level: 4 --- En rask måte å komme fram til sifrene til $\pi$ er ved ta utgangspunkt i **kjedebrøken** nedenfor: $$ \pi = \dfrac{4}{1 + \dfrac{1^2}{3 + \dfrac{2^2}{5 + \dfrac{3^2}{7 + \dfrac{4^2}{9 + \ddots}}}}} $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Regn ut en tilnærming til $\pi$ ved å bruke $3$ ledd i kjedebrøken: $$ \pi \approx \dfrac{4}{1 + \dfrac{1^2}{3 + \dfrac{2^2}{5}}} $$ ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Lag en algoritme du kan bruke til å skrive et program som regner ut verdien til $\pi$ ved å bruke $n$ ledd i kjedebrøken. ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Lag et program med utgangspunkt i algoritmen din fra **b** og regn ut en tilnærming til $\pi$. :::{interactive-code} # Din kode her ::: ::::{answer} :::{code-block} python --- linenos: --- N = 100 # Antall ledd i kjedebrøken nevner = 2 * N - 1 # først nevner for n in range(N - 1, 0, -1): # Starter med det siste leddet nevner = 2 * n - 1 + n**2 / nevner # neste nevner pi = 4 / nevner print(pi) ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::: :::::::::::::::