# Matematisk logikk og symboler :::{goals} Læringsmål * Kunne bruke symbolene for implikasjon og ekvivalens for å uttrykke logiske sammenhenger mellom påstander. * Kunne bruke symbolene for *logisk-og* og *logisk-eller* for å uttrykke logiske sammenhenger mellom påstander. ::: For å gjøre det enklere å skrive matematikk, er det nyttig å innføre noen symboler som beskriver logiske sammenhenger mellom påstander. En **påstand** i matematikk kan for eksempel være en likning eller en ulikhet. ## Ekvivalens og implikasjon Hvis en påstand sin sannhet automatisk betyr at en annen påstand også er sann, sier vi at den første påstanden **impliserer** den andre. :::::::::::::::{summary} Implikasjon Hvis en påstand $P$ impliserer en annen påstand $Q$, skriver vi dette som $P \implies Q$. Vi leser dette som "hvis $P$ er sann, så er $Q$ sann". ::::::::::::::: Vi tar et litt konkret eksempel. :::{margin} Symbolet $\nimplies$ Symbolet leses som "impliserer ikke". Når vi vil uttrykke at en påstand *ikke* automatisk følger fra en annen påstand, slår vi en skråstrek over symbolet. ::: :::::::::::::::{example} Eksempel 1 Hvis Anna bor i Oslo, så betyr det også at hun bor i Norge. Da kan vi skrive dette som: $$ \text{Anna bor i Oslo} \limplies \text{Anna bor i Norge} $$ Men det motsatte er ikke *automatisk* sant. Hvis Anna bor i Norge, betyr ikke det nødvendigvis at hun bor i Oslo. Hun kan for eksempel bo i Bergen og ikke i Oslo som betyr at ho fortsatt bor i Norge. Da kan vi skrive $$ \text{Anna bor i Norge} \nimplies \text{Anna bor i Oslo} $$ ::::::::::::::: --- Vi tar et eksempel som er litt mer matematisk. :::::::::::::::{example} Eksempel 2 Hvis $x = 2$, så er $x^2 = 4$. Da kan vi skrive $$ x = 2 \limplies x^2 = 4 $$ ::::::::::::::: --- Hvis to påstander må være sanne samtidig, sier vi at de er **ekvivalente**. Det betyr at hvis én av de er sanne, så må begge være sanne. I eksempel 1 så vi at det at Anna bodde i Norge ikke nødvendigvis ville betydd at hun bodde i Oslo. Disse påstandene er derfor ikke ekvivalente. :::{margin} Vi kan også lese $P \iff Q$ som at $P$ er sann hvis og bare hvis $Q$ er sann. ::: :::::::::::::::{summary} Ekvivalens Hvis en påstand $P$ er sann betyr at en påstand $Q$ også må er sann og omvendt, skriver vi dette som $P \iff Q$. Vi leser dette som "$P$ er ekvivalent med $Q$". ::::::::::::::: Vi tar et eksempel. :::{margin} Vi kunne også skrevet $$ 2x = 4 \limpliedby x = 2 $$ som vi leser som "$2x = 4$ er implisert av $x = 2$". ::: :::::::::::::::{example} Eksempel 3 Hvis $2x = 4$, så er $x = 2$. Det betyr at $$ 2x = 4 \limplies x = 2 $$ Men hvis $x = 2$, så er også $2x = 4$. Det betyr at $$ x = 2 \limplies 2x = 4 $$ Siden påstandene impliserer begge veier, betyr dette at $$ 2x = 4 \liff x = 2 $$ ::::::::::::::: ## Logisk-og og logisk-eller Noen ganger så vil vi uttrykke at én av flere påstander kan være sanne, men ikke nødvendigvis alle sammen samtidig. Da bruker vi **logisk-eller**. Hvis vi for eksempel sier at "Anna bor i Oslo eller Bergen", så betyr det at hun kan bo i Oslo, eller hun kan bo i Bergen, eller hun kan bo i begge byene. :::::::::::::::{summary} Logisk-eller Hvis en påstand $P$ er sann eller en annen påstand $Q$ er sann, skriver vi dette som $P \lor Q$. Vi leser dette som "$P$ eller $Q$". ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 4 Hvis Anna bor i Oslo eller Bergen, kan vi skrive dette som $$ \text{Anna bor i Oslo} \or \text{Anna bor i Bergen} $$ ::::::::::::::: --- Vi tar et eksempel er mer matematisk. :::::::::::::::{example} Eksempel 5 Hvis $x^2 = 4$, så kan det bety at $x = 2$ eller at $x = -2$ siden $$ 2^2 = 4 \qog (-2)^2 = 4 $$ Da kan vi skrive at $$ x^2 = 4 \liff x = 2 \or x = -2 $$ ::::::::::::::: --- I tilfeller hvor to påstander må være sanne samtidig, bruker vi **logisk-og**. Den typiske situasjonen hvor dette er aktuelt, er når vi jobber med likningssystemer eller ulikheter. :::::::::::::::{summary} Logisk-og Hvis en påstand $P$ er sann og en annen påstand $Q$ er sann, skriver vi dette som $P \land Q$. Vi leser dette som "$P$ og $Q$ *samtidig*". ::::::::::::::: :::::::::::::::{example} Eksempel 6 Et likningssystem er et eksempel på to påstander som må være sanne samtidig. Gitt likningssystemet som består av likningene \begin{align*} x + y &= 2 \\ x - y &= 0 \end{align*} så mener vi egentlig at de skal være oppfylt samtidig. Da er det mer presist å skrive at $$ x + y = 2 \and x - y = 0 $$ Begge likninger er oppfylt hvis $x = 1$ og $y = 1$ **samtidig**. Derfor kan vi uttrykke løsningen som $$ x = 1 \and y = 1 $$ ::::::::::::::: ## Oppsummering ::::{summary} Oppsummering | Skrivemåte | Betydning | Eksempel | |---|---|:---:| | $P \implies Q$ | $P$ impliserer $Q$ | $x = 2 \limplies x^2 = 4$ |  | $P \iff Q$ | $P$ er ekvivalent med $Q$ | $2x = 4 \liff x = 2$ | | $P \lor Q$ | $P$ eller $Q$ (eller begge) | $x = -2 \or x = 2$ | | $P \land Q$ | $P$ og $Q$ (samtidig) | $x = 1 \and y = 1$ | ::::