# Oppgaver: Arealsetningen :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{plot} width: 100% align: right axis: equal axis: off triangle: svs=(3, 30, 2), angles=A, color=blue, angle-color=red, angle-radius=60, side-labels=(AB=exact, CA=exact), angle-labels=(A=numeric), label-offset=24, angle-offset=24 fontsize: 30 ::: Bestem arealet av trekanten. :::{clear} ::: ::::{answer} $$ T = \dfrac{3}{2}. $$ :::: ::::{solution} $$ T = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \sin(30\degree) = \dfrac{1}{3} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{plot} width: 100% align: right axis: equal axis: off triangle: svs=(2, 45, 5), angles=A, color=blue, angle-color=red, angle-radius=60, side-labels=(AB=exact, CA=exact), angle-labels=(A=numeric), label-offset=24, angle-offset=24 fontsize: 30 ::: Bestem arealet av trekanten. :::{clear} ::: ::::{answer} $$ T = \dfrac{5\sqrt{2}}{2}. $$ :::: ::::{solution} $$ T = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5 \cdot \sin(45\degree) = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{5\sqrt{2}}{2}. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c :::{plot} width: 100% align: right axis: equal axis: off triangle: svs=(5, 60, 3), angles=A, color=blue, angle-color=red, angle-radius=60, side-labels=(AB=exact, CA=exact), angle-labels=(A=numeric), label-offset=24, angle-offset=24 fontsize: 30 ::: Bestem arealet av trekanten. :::{clear} ::: ::::{answer} $$ T = \dfrac{15\sqrt{3}}{4}. $$ :::: ::::{solution} $$ T = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 \cdot \sin (60\degree) = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{15\sqrt{3}}{4}. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 --- aids: true --- :::{plot} width: 100% align: right axis: equal axis: off triangle: svs=(2, 53, 3), angles=all, color=blue, angle-color=red, angle-radius=70, side-labels=(AB=numeric, CA=numeric, BC=numeric), angle-labels=(A=numeric, B=numeric, C=numeric), label-offset=24, angle-offset=40 fontsize: 30 ::: :::{cas-popup} ::: I figuren til høyre vises en trekant $\triangle ABC$. :::{clear} ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem arealet av trekanten ut ifra hjørne $A$. ::::{solution} :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_2/a.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 60% --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem arealet av trekanten ut ifra hjørne $B$. ::::{solution} :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_2/b.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 60% --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bestem arealet av trekanten ut ifra hjørne $C$. ::::{solution} :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_2/c.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 60% --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a I en trekant $\triangle ABC$ er $AB = 8$, $AC = 6$ og $\angle A = 30\degree$. Bestem arealet av trekanten. ::::{answer} $$ 12 $$ :::: ::::{solution} $$ T = \dfrac{1}{2}\cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A) = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 \cdot \sin(30\degree) = 12. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b I en trekant $\triangle ABC$ er $AB = 5$, $BC = 7$ og $\angle B = 45\degree$. Bestem arealet av trekanten. ::::{answer} $$ \dfrac{35\sqrt{2}}{4} $$ :::: ::::{solution} $$ \begin{align*} T &= \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B) \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \sin(45\degree) \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \\ &= \dfrac{35\sqrt{2}}{4}. \end{align*} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c I en trekant $\triangle ABC$ er $BC = 10$ og $AC = 8$ og $\angle C = 120\degree$. Bestem arealet av trekanten. ::::{answer} $$ 20 \sqrt{3} $$ :::: ::::{solution} $$ \begin{align*} T &= \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot AC \cdot \sin(\angle C) \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8 \cdot \sin(120\degree) \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ &= 20 \sqrt{3}. \end{align*} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 :::{plot} axis: equal align: right axis: off width: 100% let: Ax = 0 let: Ay = 0 let: v = 150 * pi / 180 let: Bx = 6 let: By = 0 let: Cx = Bx let: Cy = 6 * sin(v) let: Dx = 6 * cos(v) let: Dy = 6 * sin(v) polygon: (Ax, Ay), (Bx, By), (Cx, Cy), (Dx, Dy), blue, 0 text: Ax, Ay, "$A$", bottom-left text: Bx, By, "$B$", bottom-right text: Cx, Cy, "$C$", top-right text: Dx, Dy, "$D$", top-left line-segment: (Bx, By), (Dx, Dy), dashed, gray let: ds = 0.5 line-segment: (Cx - ds, Cy), (Cx - ds, Cy - ds), solid, gray line-segment: (Cx - ds, Cy - ds), (Cx, Cy - ds), solid, gray angle-arc: (Ax, Ay), 0.5, 0, 150 text: 1.2 * cos(pi / 6), 1.2 * sin(pi / 6), "$150^\circ$", center-center text: 0.5 * (Ax + Bx), 0, "$6$", bottom-center text: 0.5 * (Ax + Dx), 0.5 * (Ay + Dy), "$6$", bottom-left line-segment: (Bx - ds, By), (Bx - ds, By + ds), solid, gray line-segment: (Bx - ds, By + ds), (Bx, By + ds), solid, gray fontsize: 30 ::: I figuren til høyre vises en firkant $ABCD$. Bestem arealet av firkanten. :::{clear} ::: ::::{answer} $$ T = 18 + \dfrac{9 \sqrt{3}}{2} $$ :::: ::::{solution} Vi regner ut arealet av $\triangle ABD$ først: $$ \begin{align*} T_{\triangle ABD} &= \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin 150\degree \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \dfrac{1}{2} \\ \\ &= 9. \end{align*} $$ Sidelengden $BC$ vil være det samme som høyden i $\triangle ABD$. Derfor har vi at $$ BC = 6 \cdot \sin(150\degree) = 3. $$ Sidelengden $CD$ vil være $$ CD = 6 + 6 \cdot \cos(180\degree - 150\degree) = 6 + 6 \cdot \cos(30\degree) = 6 + 6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6 + 3\sqrt{3}. $$ Arealet av $\triangle BCD$ vil være $$ \begin{align*} T_{\triangle BCD} &= \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot (6 + 3\sqrt{3}) \\ \\ &= \dfrac{18 + 9 \sqrt{3}}{2} \end{align*} $$ Det samlede arealet av firkanten er da $$ \begin{align*} T_{ABCD} &= T_{\triangle ABD} + T_{\triangle BCD} \\ \\ &= 9 + \dfrac{18 + 9 \sqrt{3}}{2} \\ \\ &= 9 + 9 + \dfrac{9 \sqrt{3}}{2} \\ \\ &= 18 + \dfrac{9 \sqrt{3}}{2}. \end{align*} $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: :::{plot} nocache: fontsize: 30 width: 100% align: right axis: off axis: equal let: Ax = 0 let: Ay = 0 let: Bx = 10 let: By = 0 let: Cx = Bx + 15 * cos(pi/3) let: Cy = By + 15 * sin(pi/3) let: Dx = 0 let: Dy = 10 polygon: (Ax, Ay), (Bx, By), (Cx, Cy), (Dx, Dy), blue, 0 angle-arc: (Bx, By), 2, 180, 60 text: Ax, Ay, "$A$", bottom-left text: Bx, By, "$B$", bottom-right text: Cx, Cy, "$C$", top-right text: Dx, Dy, "$D$", top-left let: v = 120 * pi/180 let: r = 2.8 text: Bx + r * cos(v), By + r * sin(v), "$120^\circ$", center-center text: 0.5 * (Ax + Bx), 0.5 * (Ay + By), "$10$ m", bottom-center text: 0.5 * (Bx + Cx), 0.5 * (By + Cy), "$15$ m", bottom-right text: 0, 0.5 * (Ay + Dy), "$10$ m", center-left let: ds = 1.5 line-segment: (Ax + ds, Ay), (Ax + ds, Ay + ds), solid, gray line-segment: (Ax + ds, Ay + ds), (Ax, Ay + ds), solid, gray ::: I figuren til høyre vises en skisse av en boligtomt. Bestem arealet av tomten. :::{clear} ::: ::::{answer} $$ \dfrac{175 + 75\sqrt{3}}{2}~\mathrm{m^2} $$ :::: ::::{solution} Vi trekker en diagonal $BD$ slik at vi deler opp firkanten i to trekanter $\triangle ABD$ og $\triangle BCD$. Trekanten $\triangle ABD$ er en rettvinklet og likebeint trekant. Fra det kan vi hente ut at 1. De andre vinklene i trekanten er $45 \degree$. Altså er $\angle ABD = \angle BDA = 45\degree$. 2. Arealet blir bare $\dfrac{1}{2} AB \cdot AD$. Altså har vi at $$ T_{\triangle ABD} = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50. $$ La oss nå fokusere på trekanten $\triangle BCD$. Vi vet at $$ \angle B = \angle ABD + \angle DBC $$ Vi trenger $\angle DBC$ som vi kan finne ved å sette inn de andre kjente vinklene: $$ 120 \degree = 45\degree + \angle DBC \liff \angle DBC = 75\degree. $$ Videre kan vi finne $BD$ ved hjelp av Pytagoras' setning: $$ BD^2 = 10^2 + 10^2 = 200 \liff BD = 10 \sqrt{2}. $$ Nå kan vi bruke arealsetningen for å finne arealet av $\triangle BCD$: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_5/sol.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 60% --- ::: Altså kan vi skrive arealet til $\triangle BCD$ som $$ T_{\triangle BCD} = -\dfrac{1}{2}\left(-75\sqrt{3} - 75\right) = \dfrac{75\sqrt{3} + 75}{2}. $$ Det samlede arealet av tomten er da $$ \begin{align*} T_{ABCD} &= T_{\triangle ABD} + T_{\triangle BCD} \\ \\ &= 50 + \dfrac{75\sqrt{3} + 75}{2} \\ \\ &= \dfrac{100 + 75\sqrt{3} + 75}{2} \\ \\ &= \dfrac{175 + 75\sqrt{3}}{2} \end{align*} $$ der arealet er i $\mathrm{m^2}$ siden alle lengdene i figuren er i meter. :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 6 Nedenfor vises en sirkel med radius $2$. Punktet $S$ er sentrum i sirkelen. Trekanten $\triangle CAB$ er bygget opp av to mindre trekanter $\triangle SAB$ og $\triangle SBC$. :::{plot} fontsize: 26 axis: off axis: equal width: 50% circle: (0, 0), 2, blue let: Sx = 0 let: Sy = 0 let: Ax = 2 let: Ay = 0 let: Bx = 2 * cos(2*pi / 3) let: By = 2 * sin(2*pi / 3) let: Cx = -2 let: Cy = 0 point: (Sx, Sy) point: (Ax, Ay) point: (Bx, By) point: (Cx, Cy) let: ds = 0.1 text: Sx, Sy - ds, "$S$", bottom-center text: Ax + ds, Ay, "$A$", center-right text: Bx, By, "$B$", top-left text: Cx - ds, Cy, "$C$", center-left line-segment: (Sx, Sy), (Ax, Ay), solid, black line-segment: (Sx, Sy), (Bx, By), solid, black line-segment: (Sx, Sy), (Cx, Cy), solid, black line-segment: (Ax, Ay), (Bx, By), solid, black line-segment: (Bx, By), (Cx, Cy), solid, black let: r = 0.3 angle-arc: (Sx, Sy), r, 0, 120 text: 1.5 * r * cos(pi/3), 1.5 * r * sin(pi/3), "$120^\circ$", center-center ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem arealet av $\triangle SAB$. ::::{answer} $$ T_{\triangle SAB} = \sqrt{3} $$ :::: ::::{solution} Siden radius i sirkelen er $2$, så vet vi at $$ SA = SB = 2 $$ Da blir arealet av $\triangle SAB$: $$ \begin{align*} T_{\triangle SAB} &= \dfrac{1}{2} \cdot SA \cdot SB \cdot \sin(120\degree) \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ &= \sqrt{3}. \end{align*} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem arealet av $\triangle CAB$. ::::{answer} $$ T_{\triangle CAB} = 2\sqrt{3} $$ :::: ::::{solution} Trekant $\triangle CAB$ er samme høyde som $\triangle SAB$, men dobbelt så stor grunnlinje siden $CA = 2 \cdot SA$. Derfor vil arealet av trekanten være $$ T_{\triangle CAB} = 2 \cdot T_{\triangle SAB} = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 7 I figuren nedenfor vises en firkant $ABCD$. I firkanten er $\angle C = 150\degree$. :::{plot} nocache: width: 60% figsize: (5, 5) axis: off axis: equal let: a = 5 let: Ax = 0 let: Ay = 0 let: Cx = Ax + 2 * a * cos(pi/6) let: Cy = Ay + 2 * a * sin(pi/6) let: Dx = 0 let: Dy = a let: Bx = Cx + sqrt(3) * a * cos(-pi/6) let: By = Cy + sqrt(3) * a * sin(-pi/6) polygon: (Ax, Ay), (Bx, By), (Cx, Cy), (Dx, Dy), blue, 0 text: Ax, Ay, "$A$", bottom-left text: Bx, By, "$B$", bottom-right text: Cx, Cy, "$C$", top-right text: Dx, Dy, "$D$", top-left line-segment: (Ax, Ay), (Cx, Cy), dashed, gray let: ds = 1 line-segment: (Dx + ds, Dy), (Dx + ds, Dy - ds), solid, gray line-segment: (Dx + ds, Dy - ds), (Dx, Dy - ds), solid, gray text: -0.2, 0.5 * (Ay + Dy), "$a$", center-left text: 0.5 * (Ax + Cx), 0.5 * (Ay + Cy), "$2a$", top-left text: 0.5 * (Bx + Cx), 0.5 * (By + Cy), "$\sqrt{3} a$", top-right let: r = 1.2 angle-arc: (Cx, Cy), r, 180, 180 + 150 text: Cx, Cy - 1.8 * r, "$150^\circ$", center-center ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem en eksakt verdi for $CD$. ::::{answer} $$ CD = \sqrt{3} \cdot a $$ :::: ::::{solution} Vi bruker Pytagoras' setning på trekant $\triangle ACD$: $$ AC^2 = AD^2 + CD^2 $$ $$ (2a)^2 = a^2 + CD^2 $$ $$ 4a^2 = a^2 + CD^2 $$ $$ CD^2 = 3a^2 $$ $$ CD = \sqrt{3} \cdot a. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem en eksakt verdi for arealet av firkanten. ::::{answer} $$ \dfrac{\sqrt{3} + 3}{2} \cdot a^2 $$ :::: ::::{solution} Vi kan regne ut arealet av $\triangle ACD$ direkte siden vi kan tenke på $AD$ som grunnlinje og $CD$ som høyde: $$ T_{\triangle ACD} = \dfrac{1}{2} \cdot AD \cdot CD = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt{3} \cdot a = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot a^2. $$ Så snur vi oss til trekant $\triangle ABC$. Vinkelen i hjørne $C$ er $\angle C = 150\degree$. Siden trekant $\triangle ACD$ er en rettvinklet trekant der den korteste kateten er halvparten av hypotenusen, så følger det at $$ \angle ACD = 30 \degree $$ Så da kan vi bestemme $\angle BCA$ i trekant $\triangle ABC$ ved å bruke at $$ \angle C = \angle ACD + \angle BCA $$ $$ 150 \degree = 30 \degree + \angle BCA \liff \angle BCA = 120\degree. $$ Nå har har vi nok informasjon til å bestemme arealet av $\triangle ABC$: $$ \begin{align*} T_{\triangle ABC} &= \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(\angle BCA) \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 2a \cdot \sqrt{3} \cdot a \cdot \sin(120\degree) \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 2a \cdot \sqrt{3} \cdot a \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ &= \dfrac{3}{2} \cdot a^2. \end{align*} $$ Det samlede arealet av firkanten er da $$ \begin{align*} T_{ABCD} &= T_{\triangle ACD} + T_{\triangle ABC} \\ \\ &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot a^2 + \dfrac{3}{2} \cdot a^2 \\ \\ &= \dfrac{\sqrt{3} + 3}{2} \cdot a^2. \end{align*} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 8 :::{plot} width: 100% align: right axis: off axis: equal circle: (0, 0), 6, black let: N = 6 repeat: n=0..N-1; line-segment: (6 * cos(2 * n * pi / N), 6 * sin(2 * n * pi / N)), (6 * cos(2 * (n + 1) * pi / N), 6 * sin(2 * (n + 1) * pi / N)), solid, blue repeat: n=0..N-1; line-segment: (0, 0), (6 * cos(2 * n * pi / N), 6 * sin(2 * n * pi / N)), dashed, gray let: r = 1.2 angle-arc: (0, 0), r, 0, 360 / N text: 1.5 * r * cos(pi / 6), 1.5 * r * sin(pi / 6), "$v$", center-center fontsize: 30 ::: I figuren til høyre vises en sirkel med radius $2$. En sekskant der alle sidene er like lange er innskrevet i sirkelen. :::{clear} ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem vinkelen $v$. ::::{answer} $$ v = 60 \degree. $$ :::: ::::{solution} Vinkelen $v$ er én av de 6 like store sentralvinklene i sirkelen. De seks vinklene må samme summeres til $360\degree$ siden dette er antall grader i en sirkel. Dermed har vi: $$ 6v = 360\degree \liff v = \dfrac{360\degree}{6} = 60\degree. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem en eksakt verdi for arealet til sekskanten. ::::{answer} $$ T = 6 \sqrt{3}. $$ :::: ::::{solution} Arealet av én trekant $T_1$ i sekskanten kan vi finne ved arealsetningen. Vi vet at sidelengdene som spenner ut vinkelen $v$ er like radius i sirkelen som er lik $2$. Dermed får vi: $$ T_1 = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin 60\degree = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}. $$ Sekskanten består av 6 slike trekanter, så arealet av sekskanten blir $$ T = 6 \cdot T_1 = 6 \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 9 :::{plot} width: 100% align: right axis: off axis: equal circle: (0, 0), 6, black let: N = 12 repeat: n=0..N-1; line-segment: (6 * cos(2 * n * pi / N), 6 * sin(2 * n * pi / N)), (6 * cos(2 * (n + 1) * pi / N), 6 * sin(2 * (n + 1) * pi / N)), solid, blue repeat: n=0..N-1; line-segment: (0, 0), (6 * cos(2 * n * pi / N), 6 * sin(2 * n * pi / N)), dashed, gray let: r = 2 angle-arc: (0, 0), r, 0, 360 / N text: 1.5 * r * cos(pi / 12), 1.5 * r * sin(pi / 12), "$v$", center-center fontsize: 30 ::: En 12-kant der alle sidene er like lange er innskrevet i en sirkel. Arealet av 12-kanten er $120$. :::{clear} ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem vinkelen $v$. ::::{answer} $$ v = 30 \degree. $$ :::: ::::{solution} Vinkelen $v$ er én av de 12 like store sentralvinklene i sirkelen. De tolv vinklene må samme summeres til $360\degree$ siden dette er antall grader i en sirkel. Dermed har vi: $$ 12v = 360\degree \liff v = \dfrac{360\degree}{12} = 30\degree. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem en eksakt verdi for diameteren til sirkelen. ::::{answer} $$ 4 \cdot \sqrt{10} $$ :::: ::::{solution} Vi vet at arealet av $12$-kanten er $120$. Da vil én av de tolv trekantene har arealet $$ T_1 = \dfrac{120}{12} = 10. $$ Videre vil arealsetningen gi oss at $$ T_1 = \dfrac{1}{2}r^2 \cdot \sin(30\degree) = \dfrac{1}{2}r^2 \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{r^2}{4} $$ der $r$ er radius i sirkelen. Vi setter de to uttrykkene lik hverandre som gir likningen $$ \dfrac{r^2}{4} = 10 \liff r^2 = 40 \liff r = 2 \cdot \sqrt{10}. $$ Diameteren $d$ i sirkelen er det dobbelte av radius, så vi har at $$ d = 2r = 4 \cdot \sqrt{10}. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 10 :::{interactive-graph} width: 40% align: right interactive-var: N, 3, 108, 106 interactive-var-start: 3 circle: (0, 0), 1, black repeat: n=0..N-1; line-segment: (cos(2 * n * pi / N), sin(2 * n * pi / N)), (cos(2 * (n + 1) * pi / N), sin(2 * (n + 1) * pi / N)), solid, blue repeat: n=0..N-1; line-segment: (0, 0), (cos(2 * n * pi / N), sin(2 * n * pi / N)), dashed, gray axis: equal axis: off ::: En regulær $N$-kant innskrevet i en sirkel med radius $1$ er vist i figuren til høyre, der du kan endre på verdien til $N$. :::{clear} ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem en funksjon $T(N)$ for arealet til en slik $N$-kant. ::::{answer} $$ T(N) = \dfrac{N}{2} \cdot \sin \left( \dfrac{360\degree}{N} \right). $$ :::: ::::{solution} Sentralvinkelen $v$ utgjør én av $N$ like stor vinkler i sirkelen som tilsammen må summeres til $360\degree$. Dermed har vi at $$ N\cdot v = 360\degree \liff v = \dfrac{360\degree}{N}. $$ Arealet $T_1$ av én enkelt trekant vil da være $$ T_1 = \dfrac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin \left( \dfrac{360\degree}{N} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \sin \left( \dfrac{360\degree}{N} \right). $$ Vi har $N$ slike trekanter i $N$-kanten får vi $$ T(N) = N \cdot T_1 = N \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \sin \left( \dfrac{360\degree}{N} \right) = \dfrac{N}{2} \cdot \sin \left( \dfrac{360\degree}{N} \right). $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Arkimedes levde ca. 250 år før vår tidsregning. Han beregnet arealet av innskrevet $108$-kant. Bestem arealet Arkimedes fant. ::::{answer} $$ T(108) \approx 3.13982 $$ :::: ::::{solution} :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_10/sol.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 60% --- ::: som gir oss en grei tilnærming til $\pi$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 11 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Gitt en trekant $ABC$ der $AB = 3 \sqrt{2}$, $AC = 8$ og $\angle A = 45\degree$. Bestem arealet av trekanten. ::::{answer} $$ T_{\triangle ABC} = 12. $$ :::: ::::{solution} Arealet av trekanten er $$ \begin{align*} T_{\triangle ABC} &= \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A) \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 3 \sqrt{2} \cdot 8 \cdot \sin(45\degree) \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 3 \sqrt{2} \cdot 8 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \\ &= 12. \end{align*} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Gitt en trekant PQR der $PQ = 3 \sqrt{2}$, $PR = 8$ og $\angle P = 140\degree$. Avgjør hvilke av trekantene $ABC$ og $PQR$ som har størst areal. ::::{answer} Trekant $ABC$ har størst areal. :::: ::::{solution} Arealet av trekant $PQR$ vil være gitt ved $$ T_{\triangle PQR} = \dfrac{1}{2} PQ \cdot PR \cdot \sin \angle P $$ Siden $PQ = AB$ og $PR = AC$, så kan vi skrive arealet av trekant $PQR$ som $$ T_{\triangle PQR} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle P $$ Det som bestemme hvilken trekant som har størst areal, vil være sinusverdien. Vi har at $$ \sin 140\degree = \sin (180\degree - 140\degree) = \sin 40\degree < \sin 45\degree. $$ Altså må trekant $ABC$ ha størst areal. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: :::::::::::::::