# Oppgaver: Arealsetningen :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 --- level: 1 --- > Her trenger du CAS til å regne ut $\sin v$. :::{cas-popup} 350 500 ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem arealet av trekanten nedenfor. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_1/a.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- :::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_1/a.png --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Arealet er derfor $$ T = \dfrac{3 \sqrt{3}}{2} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem arealet av trekanten nedenfor. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_1/b.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- :::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_1/b.png --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Arealet er derfor $$ T \approx 3.22 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bestem arealet av trekanten nedenfor. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_1/c.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- :::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_1/c.png --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Arealet er derfor $$ T \approx 5.75. $$ :::: ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 --- level: 1 ---
:::{cas-popup} 350 500 ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem $\angle A$ i trekanten nedenfor. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_2/a.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::{admonition} Hint --- class: dropdown, hints --- Lag en likning ved å bestemme arealet av trekanten på to måter, og sett dem lik hverandre! :::: ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- :::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_2/a.png --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Altså er $\angle A \approx 30.13 \degree$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem $\angle C$ i trekanten nedenfor. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_2/b.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- :::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_2/b.png --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Altså er $\angle C \approx 34.98 \degree$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bestem $\angle B$ i trekanten nedenfor. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_2/c.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- :::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_2/c.png --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Vinkel $\angle B$ er spiss, så $\angle B \approx 35.52 \degree$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 --- level: 1 ---
:::{cas-popup} 350 500 ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a I en $\triangle ABC$ er $AB = 8$, $AC = 6$ og $\angle A = 30 \degree$. Bestem arealet av trekanten. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ T_{\triangle ABC} = 12 $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- :::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_3/a.png --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Altså er arealet av $\triangle ABC$ gitt ved $$ T_{\triangle ABC} = 12 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b I en $\triangle ABC$ er $AB = 5$, $BC = 7$ og $\angle B = 45 \degree$. Bestem arealet av trekanten. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ T_{\triangle ABC} = \dfrac{35}{4}\sqrt{2} $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- :::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_3/b.png --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c I en $\triangle ABC$ er $BC = 10$, $AC = 8$ og $\angle C = 120 \degree$. Bestem arealet av trekanten. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ T_{\triangle ABC} = 20 \sqrt{3} $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- :::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_3/c.png --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 --- level: 2 --- Nedenfor vises en skisse av en boligtomt. Bestem arealet av tomten. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_4/figur.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: :::{cas-popup} 350 500 ::: ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- Arealet av tomta er $$ T \approx 152.45 \; \mathrm{m}^2. $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- :::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_4/a.png --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Arealet av tomta er derfor $$ T \approx 152.45 \; \mathrm{m}^2. $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 --- level: 2 --- Nedenfor vises en sirkel med radius $2$. Tre trekanter $\triangle SAC$, $\triangle CSB$ og $\triangle CAS$ er tegnet inn i sirkelen. Punktet $S$ er i sentrum av sirkelen og $\angle ASB = 120 \degree$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_5/figur.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: :::{cas-popup} 350 500 ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem en eksakt verdi for arealet av $\triangle SAB$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- Arealet er $$ T_{SAB} = \sqrt{3}. $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Vi kan bruke arealsetningen med $\angle ASB = 120\degree$ som utgangspunkt. Sidene som spenner ut vinkelen er $SA = SB = 2$. Arealet av trekanten er derfor $$ T_{SAB} = \dfrac{1}{2} \cdot SA \cdot SB \cdot \sin (120 \degree) $$ vi regner ut med CAS og får: :::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_5/a.png --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Dermed er arealet av $\triangle SAB$ $$ T_{SAB} = \sqrt{3}. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem en eksakt verdi for arealet av $\triangle CAB$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- Arealet er $$ T_{CAB} = 2\sqrt{3}. $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Trekant $\triangle CAB$ består av to trekanter $\triangle CSB$ og $\triangle SAB$. Begge trekanter har samme grunnlinje siden $CS = SA = 2$ og høyde siden de har samme "toppunkt" $B$ som betyr at de to trekantene har samme areal. Derfor er arealet av $\triangle CAB$ er det dobbelte av arealet til $\triangle SAB$. Dermed har vi at $$ T_{CAB} = 2\cdot T_{SAB} = 2 \sqrt{3}. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 6 --- level: 2 --- Nedenfor vises en firkant $\square ABCD$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_6/figur.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: :::{cas-popup} 350 500 ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem en eksakt verdi for lengden av $CD$ uttrykt ved $a$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ CD = \sqrt{3} \cdot a $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Vi kan observere at $\triangle ACD$ er en rettvinklet trekant slik at vi kan bruke Pytagoras' setning med: $$ CD^2 + AD^2 = AC^2. $$ Vi regner ut med CAS: :::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_6/a.png --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Vi må velge den positive løsningen siden dette er en lengde. Dermed har vi at $$ AD = \sqrt{3} \cdot a. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem en eksakt verdi for arealet av firkanten uttrykt ved $a$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ T_{\square ABCD} = \dfrac{1}{2}\left(3 + \sqrt{3}\right) \cdot a^2 $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Først kan vi merke oss at $\square ABCD$ består av to trekanter $\triangle ACD$ og $\triangle ABC$. Vi kan derfor regne ut arealet av $\square ABCD$ ved å summere arealene til de to trekantene. Arealet av $\triangle ACD$ er gitt ved $$ T_{\triangle ACD} = \dfrac{1}{2} \cdot AD \cdot CD $$ Vi regner ut med CAS: :::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_6/b_trekant_ACD.png --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Videre kan vi merke oss at $\triangle ACD$ er en $30\degree$-$60\degree$-$90\degree$ trekant siden $\angle ACD = 90\degree$ og den korteste kateten er halvparten så lang som hypotenusen. Det er $\angle ACD = 30 \degree$. Dermed følger det at $$ \angle ACD + \angle BCA = 150 \degree \liff \angle BCA = 150\degree - 30\degree = 120 \degree. $$ Arealet av $\triangle ABC$ kan derfor regnes ut ved $$ T_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot AC \cdot \sin(120 \degree). $$ Vi regner ut med CAS: :::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_6/b_trekant_ABC.png --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Til slutt summerer vi de to arealene for å finne arealet $T_{\square ABCD}$. Vi får: :::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_6/b_firkant.png --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Altså er $$ T_{\square ABCD} = \dfrac{1}{2}\left(3 + \sqrt{3}\right) \cdot a^2 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bestem en eksakt verdi for $a$ slik at arealet av firkanten er $3$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ a = \sqrt{3 - \sqrt{3}} $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Arealet $T_{\square ABCD}(a)$ er en funksjon av $a$ slik at vi kan bestemme $a$ ved å løse likningen $$ T_{\square ABCD}(a) = 3. $$ Vi gjør dette med CAS: :::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_6/c.png --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: som betyr arealet til firkanten er $3$ dersom $$ a = \sqrt{3 - \sqrt{3}} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 7 --- level: 2 --- Nedenfor vises en sirkel med radius $2$ og tre trekanter $\triangle SAB$, $\triangle CAS$ og $\triangle CAB$. Punktet $S$ er i sentrum av sirkelen og $\angle ACS = 22.5 \degree$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_7/figur.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: :::{cas-popup} 350 500 ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem en eksakt verdi for arealet av $\triangle CAS$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ T_{\triangle CAS} = \sqrt{2}. $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Fra figuren har vi at $\angle ACS = 22.5 \degree$. Siden hjørnene $C$ og $A$ ligger på sirkelen og $S$ er i sentrum av sirkelen, følger det at $SC = SA = 2$. Dermed er $\triangle CAS$ en likebeint trekant med $S$ som toppunkt som betyr at $$ \angle CSA + 2\cdot 22.5 \degree = 180 \degree \liff \angle CSA = 135 \degree. $$ Nå kjenner vi til vinkelen $\angle CSA$ og sidene som spenner ut vinkelen $SC = SA = 2$. Dermed kan vi bruke arealsetningen til å finne arealet av $\triangle CAS$: $$ T_{\triangle CAS} = \dfrac{1}{2} \cdot SC \cdot SA \cdot \sin(135 \degree). $$ Vi regner ut svaret med CAS: :::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_7/a.png --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Altså er arealet av $\triangle CAS$ $$ T_{\triangle CAS} = \sqrt{2}. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem en eksakt verdi for arealet av $\triangle CAB$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ T_{\triangle CAB} = 2\sqrt{2}. $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Sentralvinklene i en sirkel må summere til $360 \degree$. Både $\angle CSA$ og $\angle ASB$ er toppvinkler, men ikke like som betyr at \begin{align*} 2 \angle CSA + 2 \angle ASB &= 360 \degree \\ \\ \angle CSA + \angle ASB &= 180 \degree \\ \\ 135 \degree + \angle ASB &= 180 \degree \\ \\ \angle ASB &= 45 \degree \end{align*} Videre er sidene som spenner ut $\angle ASB$ gitt ved $SA = SB = 2$ siden både $A$ og $B$ ligger på sirkelperiferien. Dermed kan vi bruke arealsetningen til å finne arealet av $\triangle SAB$: $$ T_{\triangle SAB} = \dfrac{1}{2} \cdot SA \cdot SB \cdot \sin(45 \degree). $$ Vi regner ut svaret med CAS: :::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_7/b.png --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Altså er arealet av $\triangle SAB$ gitt ved $T_{\triangle SAB} = \sqrt{2}$. Arealet av $\triangle CAB$ summen av arealene til de trekantene som gir $$ T_{\triangle CAB} = T_{\triangle CAS} + T_{\triangle SAB} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 8 --- level: 2 --- En **regulær** $n$-kant er en $n$-kant hvor alle sider og vinkler er like store. I figuren nedenfor vises en regulær $6$-kant som er **innskrevet** i en sirkel med radius $6$. En trekant er tegnet inn der det éne hjørnet er i sentrum av sirkelen og de to andre hjørnene er på sirkelen. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_8/figur.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: :::{cas-popup} 350 500 ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem en eksakt verdi for arealet av trekanten. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ T_\triangle = 9\sqrt{3} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem en eksakt verdi for arealet av 6-kanten. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ T_{6-\mathrm{kant}} = 54\sqrt{3} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 9 --- level: 3 --- I figuren nedenfor vises en regulær $12$-kant som innskrevet i en sirkel med radius $r$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_9/figur.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: :::{cas-popup} 350 500 ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem en eksakt verdi for arealet av $12$-kanten uttrykt ved $r$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- Arealet av $12$-kanten er $$ T = 3r^2 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem en formel for arealet av en regulær $n$-kant som er innskrevet i en sirkel med radius $r$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ T = \dfrac{n}{2} \cdot r^2 \cdot \sin \left( \dfrac{360\degree}{n} \right) $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bruk formelen fra **b** til å bestemme arealet til en $4096$-kant. Stemmer svaret ditt overens med det du forventer? ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ T \approx 3.14 r^2 $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Vi bruker CAS til å regne ut arealet av den regulære $4096$-kanten: :::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_9/c.png --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Altså er arealet av en regulær $4096$-kant som er innskrevet i en sirkel med radius $r$ ca. $$ T \approx 3.14 r^2 $$ som stemmer godt overens med at arealet bør være ganske nærme arealet av en sirkel med radius $r$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: :::::::::::::::