# Trekantgeometri :::{admonition} Læringsmål --- class: tip --- * Kunne bruke egenskapene til likesidete, likebeinte og rettvinklete trekanter til å bestemme ukjente sider og vinkler. * Kunne bruke Pytagoras' setning til å finne ukjente sider i en rettvinklet trekant. * Kunne bruke formlikhet til å beregne ukjente sidelengder i trekanter. * Kunne undersøke om to trekanter er formlike. ::: En trekant er en geometrisk figur som består av tre hjørner og tre sidekanter. Her skal vi repetere noen viktige egenskaper ved trekanter som vi kommer til å få bruk for når vi skal jobbe med trigonometri. Trigonometri er en del av matematikken som gir en ny måte å bruke sammenhenger mellom vinkler og sider i trekanter på. ## Vinkler En **vinkel** er mål på hvor mange grader det er i en vinkelbue mellom to rette linjer. :::::::::::::::{admonition} Vinkler --- class: summary --- En vinkel $v$ kan deles inn i tre typer: Spiss vinkel : Vinkelen $v$ er en **spiss vinkel** dersom $v \in \langle 0, 90 \degree \rangle$. Rett vinkel : Vinkelen $v$ er en **rett vinkel** dersom $v = 90 \degree$. Stump vinkel : Vinkelen $v$ er en **stump vinkel** dersom $v \in \langle 90\degree, 180 \degree \rangle$. ::::::::::::::: ## Spesielle trekanter Vi skal starte med å se på to spesielle trekanter * **Likesidet trekant**: En trekant der alle sidene er like lange. * **Likebeint trekant**: En trekant der to av sidene er like lange. :::::::::::::::{admonition} Spesielle trekanter --- class: summary --- To spesielle trekanter er Likesidet trekant : Alle sidene og vinklene i trekanten er like store. Hver vinkel er $60 \degree$. Likebeint trekant : To av sidene i trekanten er like store. De to vinklene som hører til de like sidene er også like store. :::{figure} ./figurer/teori/spesielle_trekanter/merged_figure.svg --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::::::::::::: ## Vinkler En **vinkel** er et mål på hvor mange grader en vinkelbue spenner ut mellom to linjer. Først skal vi se på noen spesielle sammenhenger mellom vinkler. :::::::::::::::{admonition} Toppvinkler og samsvarende vinkler --- class: summary --- Toppvinkler : Like vinkler på hver sin side av en linje som skjærer en annen linje. Samsvarende vinkler : Like vinkler som dannes ved at to parallelle linjer skjæres av en tredje linje. Se figuren nedenfor. :::{figure} ./figurer/teori/vinkler/figur.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::::::::::::: :::::::::::::::{admonition} Utforsk 1 --- class: explore --- Nedenfor vises en figur der en trekant er tegnet inn sammen med noen vinkler. Kan du bruke figuren til å bestemme vinkelsummen i en trekant? :::{figure} ./figurer/utforsk/utforsk_1/figur_løsning.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Vinklene $x$, $y$ og $z$ spenner ut en halvsirkel som betyr at $x + y + z = 180 \degree$. Fra figuren kan også observere at: 1. $x$ og $b$ er samsvarende vinkler, så $x = b$. 2. $y$ og $c$ er toppvinkler, så $y = c$. 3. $z$ og $a$ er samsvarende vinkler, så $z = a$. Men siden $x + y + z = 180 \degree$, så betyr dette også at $a + b + c = 180 \degree$. Dermed er vinkelsummen i en trekant $180 \degree$. :::: ::::::::::::::: ## Pytagoras' setning En **rettvinklet** trekant er en trekant der én av vinklene er $90 \degree$. Pytagoras' setning er en setning som forteller oss hvordan sidene i en rettvinklet trekant henger sammen. :::::::::::::::{admonition} Pytagoras' setning --- class: summary --- For en rettvinklet trekant gjelder $$ (\mathrm{hypotenus})^2 = (\mathrm{katet}_1)^2 + (\mathrm{katet}_2)^2 $$ Se figuren til venstre nedenfor. :::{figure} ./figurer/teori/pytagoras_setning/merged_figure.svg --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Typisk navnsettes sidene i en rettvinklet trekant slik at den motstående siden til hjørne $A$ kalles for $a$, den motstående siden til hjørne $B$ kalles for $b$ og den motstående siden til $C$ kalles for $c$. Se figuren til høyre ovenfor. Da kan vi skrive ned Pytagoras' setning ved $$ a^2 = b^2 + c^2 $$ ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{admonition} Underveisoppgave 1 --- class: check --- Bestem $x$ i trekanten nedenfor. :::{figure} ./figurer/underveisoppgaver/oppgave_1/figur.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ x = 6. $$ :::: ::::::::::::::: ## Formlikhet To trekanter er formlike dersom vi kan forminske, forstørre, rotere eller speile den ene trekanten slik at den passer nøyaktig på den andre trekanten. I praksis kan vi ikke gjøre dette når vi skal undersøke om to trekanter er formlike. Heldigvis kan vi undersøke om to trekanter er formlike ved å sjekke om de oppfyller ett av tre kriterier. :::::::::::::::{admonition} Formlike trekanter --- class: summary --- En trekant $\triangle ABC$ og en trekant $\triangle DEF$ er **formlike** dersom én av følgende betingelser er oppfylt: **SSS** (side-side-side): : Forholdet mellom sidene i $\triangle ABC$ og de tilsvarende sidene i $\triangle DEF$ er én konstant. $$ \dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{AC}{DF} $$ **SVS** (side-vinkel-side): : Forholdet mellom to av sidene i $\triangle ABC$ med de tilsvarende sidene i $\triangle DEF$ er like, og vinkelen mellom disse sidene er lik i begge trekanter. **VVV** (vinkel-vinkel-vinkel): : Alle vinkler i $\triangle ABC$ er like store som de tilsvarende vinklene i $\triangle DEF$.
De tre betingelsene ovenfor er **ekvivalente**. Hvis $\triangle ABC$ og $\triangle DEF$ er formlike, så skriver vi $\triangle ABC \sim \triangle DEF$. :::{figure} ./figurer/teori/formlikhet/merged_figure.svg --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- viser to formlike trekanter $\triangle ABC$ og $\triangle DEF$. Her er $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$ og $\angle C = \angle F$. De tilsvarende sidene i trekantene er $AB$ og $DE$, sidene $BC$ og $EF$, og sidene $AC$ og $DF$. ::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{admonition} Underveisoppgave 2 --- class: check --- Nedenfor vises to trekanter. :::{figure} ./figurer/underveisoppgaver/oppgave_2/merged_figure.svg --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Forklar at $\triangle ABC \sim \triangle DEF$. ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Vi kan starte med å undersøke om VVV-kriteriet er oppfylt. I trekant $\triangle ABC$ er vinklene $$ \angle A = 63.43 \degree \and \angle B = 90 \degree \and \angle C = 180\degree - \angle A - \angle B $$ Fra den siste delen av påstanden kan vi regne ut at $$ \angle C = 180\degree - \angle A - \angle B = 180 \degree - 63.43 \degree - 90 \degree = 26.57 \degree. $$ Vi kan se at $\angle E = 90 \degree$ og $\angle F = 26.57 \degree$. Siden to av vinklene er like, betyr det automatisk at alle tre vinklene er like, så da er VVV-kriteriet er oppfylt. Dermed er $$ \triangle ABC \sim \triangle DEF. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem de ukjente sidelengdene i trekanten $\triangle DEF$. ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Vi vet nå at $\triangle ABC \sim \triangle DEF$. Dermed er forholdet mellom to tilsvarende sider en konstant. De tilsvarende sidene i trekanten er $AB$ og $DE$, sidene $BC$ og $EF$, og sidene $AC$ og $DF$. Vi kan dermed skrive $$ \dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{AC}{DF}. $$ Fra $\triangle ABC$ har vi at $AC = \sqrt{5}$ og fra $\triangle DEF$ har vi at $DF = 2\sqrt{5}$. Dermed er $$ \dfrac{DF}{AC} = \dfrac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 2. $$ Dette betyr at alle sidene i $\triangle DEF$ er $2$ ganger så store som sidelengdene i $\triangle ABC$. Dermed er $$ DE = 2\cdot AB = 2 \cdot 1 = 2 \and EF = 2\cdot BC = 2 \cdot 2 = 4. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: :::::::::::::::