# Cosinussetningen :::{admonition} Læringsmål --- class: tip --- * Kunne bruke cosinussetningen til å regne ut ukjente sider, eller ukjente cosinusverdier * Kunne kombinere cosinussetningen, sinussetningen og arealsetningen til å bestemme omkrets og areal av sammensatte figurer. ::: Cosinussetningen er en **generalisert** versjon av Pytagoras' setning som gjelder **også** når ingen av vinklene i en trekant er $90\degree$. :::::::::::::::{summary} Cosinussetningen :::{plot} axis: off axis: equal width: 100% align: right triangle: svs=(3, 120, 4), angles=(A, B, C), color=blue, angle-color=red, angle-radius=50, corner-labels=(A="$A$", B="$B$", C="$C$"), side-text=(AB="$c$", CA="$b$", BC="$a$"), label-offset=24 fontsize: 35 ::: For en trekant $\triangle ABC$ der * $a$ er den motstående siden til vinkel $A$ * $b$ er den motstående siden til vinkel $B$ * $c$ er den motstående siden til vinkel $C$ så gjelder $$ \begin{align*} a^2 &= b^2 + c^2 - 2\cdot b \cdot c \cdot \cos A \\ \\ b^2 &= a^2 + c^2 - 2\cdot a \cdot c \cdot \cos B \\ \\ c^2 &= a^2 + b^2 - 2\cdot a \cdot b \cdot \cos C \end{align*} $$ :::{clear} ::: ::::{admonition} Forklaring av formelen --- class: theory, dropdown --- :::{plot} axis: off axis: equal width: 100% align: right triangle: svs=(3, 120, 4), angles=(A), color=blue, angle-color=red, angle-radius=50, corner-labels=(A="$A$", B="$B$", C="$C$"), side-text=(AB="$c$", CA="$b$", BC="$a$"), label-offset=24, angle-text=(A="$v$") let: Cx = 4 * cos(120 * pi / 180) let: Cy = 4 * sin(120 * pi / 180) let: Dx = Cx let: Dy = 0 let: Ax = 0 let: Ay = 0 line-segment: (Ax, Ay), (Dx, Dy), dashed, gray line-segment: (Cx, Cy), (Dx, Dy), dashed, gray let: ds = 0.4 line-segment: (Dx + ds, Dy), (Dx + ds, Dy + ds), solid, gray line-segment: (Dx, Dy + ds), (Dx + ds, Dy + ds), solid, gray text: Dx, Dy, "$D$", bottom-left angle-arc: (Ax, Ay), 0.7, 120, 180, red text: Ax + 0.7 * cos(150 * pi / 180), Ay + 0.7 * sin(150 * pi / 180), "$u$", top-left text: 0.5 * (Ax + Dx), 0.5 * (Ay + Dy) - 0.1, "$x$", bottom-center text: 0.5 * (Cx + Dx) - 0.1, 0.5 * (Cy + Dy), "$y$", center-left fontsize: 35 nocache: ::: Vi tenker oss en trekant $\triangle ABC$ med sider $a$, $b$ og $c$ og en vinkel $v$. I tillegg tegner vi oss en rettvinklet trekant $\triangle ACD$ på utsiden av trekanten som har en vinkel $u$. Vi kan tenke oss at de to trekantene til sammen lager en større rettvinklet trekant $\triangle DBC$. Bruker vi Pytagoras' setning på $\triangle DBC$ får vi at $$ (x + c)^2 + y^2 = a^2 $$ Bruker vi Pytagoras' setning på $\triangle DAC$ får vi $$ x^2 + y^2 = b^2 \liff y^2 = b^2 - x^2 $$ Setter vi inn uttrykket for $y^2$ i det første uttrykket får vi at $$ (x + c)^2 + (b^2 - x^2) = a^2 $$ Vi ganger ut parentesen og forenkler: $$ x^2 + 2cx + c^2 + b^2 - x^2 = a^2 $$ $$ b^2 + c^2 + 2cx = a^2 $$ Vi må ha et uttrykk for $x$ som er relatert til størrelsene til den faktiske trekanten. Vi kan merke oss at $$ \cos u = \dfrac{x}{b} \liff x = b \cos u $$ Da kan vi skrive om likningen til $$ b^2 + c^2 + 2\cdot b \cdot c \cdot \cos u = a^2 $$ Men vinkelen $u$ er ikke en del av trekanten $\triangle ABC$. Vi vet likevel at $u = 180\degree - v$. Da kan vi bruke at $$ \cos u = \cos (180 \degree - v) = -\cos v $$ Det betyr at vi kan skrive likningen om til $$ b^2 + c^2 - 2\cdot b \cdot c \cdot \cos v = a^2 $$ Dette er cosinussetningen ut ifra vinkel $v = A$. Samme resonnement må nødvendigvis gjelde for de andre vinklene også. :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 1 :::{plot} axis: off axis: equal width: 100% align: right triangle: svs=(5, 60, 4), angles=(A), color=blue, angle-color=red, angle-radius=50, corner-labels=(A="$A$", B="$B$", C="$C$"), side-labels=(AB=exact, CA=exact), label-offset=24, angle-labels=(A=numeric), angle-offset=24 fontsize: 35 ::: Trekanten $\triangle ABC$ er vist i figuren til høyre. Bestem $BC$. :::{clear} ::: ::::{solution} --- dropdown: 0 --- Vi lar $x = BC$. Cosinussetningen gir oss da at $$ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\cdot AB \cdot AC \cdot \cos A $$ Vi setter inn de konkrete verdiene vi har som gir $$ x^2 = 5^2 + 4^2 - 2\cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos 60\degree $$ Vi vet at $\cos 60\degree = \dfrac{1}{2}$, så da får vi at $$ x^2 = 25 + 16 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \dfrac{1}{2} = 25 + 16 - 20 = 21 $$ Dermed blir $$ x = \sqrt{21} $$ Vi kan ikke forenkle kvadratroten noe mer enn dette, så da er $BC = \sqrt{21}$. :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 2 Nedenfor vises en firkant $\square ABCD$. :::{plot} fontsize: 25 axis: off axis: equal width: 50% let: Ax = 0 let: Ay = 0 let: Bx = 8 let: By = 0 let: Dx = 4 * cos(60 * pi/ 180) let: Dy = 4 * sin(60 * pi/ 180) let: Cx = Bx + 12 * cos(60 * pi / 180) let: Cy = By + 12 * sin(60 * pi / 180) line-segment: (Ax, Ay), (Bx, By), solid, blue line-segment: (Ax, Ay), (Dx, Dy), solid, blue line-segment: (Dx, Dy), (Cx, Cy), solid, blue line-segment: (Bx, By), (Cx, Cy), solid, blue angle-arc: (Ax, Ay), 1.4, 0, 60, red text: Ax + 1.3 * cos(30 * pi / 180), Ay + 1.1 * sin(30 * pi / 180), "$60^\circ$", top-right angle-arc: (Cx, Cy), 1.6, 60 + 180 - 30, 60 + 180, red text: Cx + 1.5 * cos((60 + 180 - 15) * pi / 180), Cy + 1.7 * sin((60 + 180 - 15) * pi / 180), "$30^\circ$", bottom-left text: Ax, Ay, "$A$", bottom-left text: Bx, By, "$B$", bottom-right text: Cx, Cy, "$C$", top-right text: Dx, Dy, "$D$", top-left text: 0.5 * (Ax + Bx), 0.5 * (Ay + By) - 0.1, "$8$", bottom-center text: 0.5 * (Bx + Cx), 0.5 * (By + Cy) + 0.1, "$12$", bottom-right text: 0.5 * (Cx + Dx), 0.5 * (Cy + Dy) + 0.1, "$8\sqrt{3}$", top-left ::: Bestem $AD$. ::::{solution} --- dropdown: 0 --- Vi tegner en hjelpelinje for linjestykket $BD$. :::{plot} fontsize: 25 axis: off axis: equal width: 50% let: Ax = 0 let: Ay = 0 let: Bx = 8 let: By = 0 let: Dx = 4 * cos(60 * pi/ 180) let: Dy = 4 * sin(60 * pi/ 180) let: Cx = Bx + 12 * cos(60 * pi / 180) let: Cy = By + 12 * sin(60 * pi / 180) line-segment: (Ax, Ay), (Bx, By), solid, blue line-segment: (Ax, Ay), (Dx, Dy), solid, blue line-segment: (Dx, Dy), (Cx, Cy), solid, blue line-segment: (Bx, By), (Cx, Cy), solid, blue angle-arc: (Ax, Ay), 1.4, 0, 60, red text: Ax + 1.3 * cos(30 * pi / 180), Ay + 1.1 * sin(30 * pi / 180), "$60^\circ$", top-right angle-arc: (Cx, Cy), 1.6, 60 + 180 - 30, 60 + 180, red text: Cx + 1.5 * cos((60 + 180 - 15) * pi / 180), Cy + 1.8 * sin((60 + 180 - 15) * pi / 180), "$30^\circ$", bottom-left text: Ax, Ay, "$A$", bottom-left text: Bx, By, "$B$", bottom-right text: Cx, Cy, "$C$", top-right text: Dx, Dy, "$D$", top-left text: 0.5 * (Ax + Bx), 0.5 * (Ay + By) - 0.1, "$8$", bottom-center text: 0.5 * (Bx + Cx), 0.5 * (By + Cy) + 0.1, "$12$", bottom-right text: 0.5 * (Cx + Dx), 0.5 * (Cy + Dy) + 0.1, "$8\sqrt{3}$", top-left line-segment: (Bx, By), (Dx, Dy), dashed, gray ::: For å bestemme $AD$ kan vi følge disse stegene: 1. Bestemme $BD$ med cosinussetningen 2. Bestemme $AD$ med cosinussetningen Vi lar $x = BD$. Fra cosinussetningen har vi da at $$ BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos C $$ vi setter inn de konkrette konkrete verdiene vi har som gir: $$ x^2 = \left(8 \sqrt{3}\right)^2 + 12^2 - 2 \cdot 8 \sqrt{3} \cdot 12 \cdot \cos 30\degree $$ Vi vet også at $$ \cos 30\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $$ Vi setter inn og forenkler likningen så mye som mulig: $$ x^2 = 8^2 \cdot 3 + 144 - 16 \sqrt{3} \cdot 12 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} $$ $$ x^2 = 64 \cdot 3 + 144 - 16 \cdot 12 \cdot \dfrac{3}{2} $$ $$ x^2 = 192 + 144 - 16 \cdot 12 \cdot \dfrac{3}{2} $$ $$ x^2 = 192 + 144 - 16 \cdot 6 \cdot 3 $$ $$ x^2 = 192 + 144 - 288 = 48 $$ $$ x = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4 \sqrt{3} $$ Altså er $BD = 4 \sqrt{3}$. Nå kan vi gå videre til å bestemme $AD$. Vi lar nå $x = AD$. Vi bruker cosinussetningen igjen som gir $$ BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos 60\degree $$ Vi setter inn de konkrete verdiene vi har og forenkler så mye som mulig: $$ (4 \sqrt{3})^2 = 8^2 + x^2 - 2 \cdot 8 \cdot x \cdot \dfrac{1}{2} $$ $$ 48 = 64 + x^2 - 8x $$ $$ x^2 - 8x + 16 = 0 \liff (x - 4)^2 = 0 $$ Altså må $x = 4$ som betyr at $$ AD = 4. $$ :::: :::::::::::::::