# Cosinussetningen :::::::::::::::{admonition} Læringsmål --- class: tip --- * Kunne bruke cosinussetningen til å regne ut ukjente sider og vinkler i en trekant. * Kunne begrunne cosinussetningen. ::::::::::::::: Cosinussetningen er en *generalisert* versjon av Pytagoras' setning som gjelder for *alle* trekanter. Vi skal se hvordan vi kommer fram til setningen senere, samt hvordan Pytagoras' setning kan betraktes som et spesialtilfelle av cosinussetningen. Vi starter med å se på hva cosinussetningen sier. :::::::::::::::{admonition} Cosinussetningen --- class: summary --- En trekant $\triangle ABC$ er vist nedenfor. :::{figure} ./figurer/teori/generell_trekant/figur.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Da gjelder følgende: \begin{align*} a^2 &= b^2 + c^2 - 2\cdot b\cdot c \cdot \cos A \\ \\ b^2 &= a^2 + c^2 - 2\cdot a\cdot c \cdot \cos B \\ \\ c^2 &= a^2 + b^2 - 2\cdot a \cdot b \cdot \cos C \end{align*} ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{admonition} Underveisoppgave 1 --- class: check --- Nedenfor vises en trekant $\triangle ABC$. :::{figure} ./figurer/underveisoppgaver/oppgave_1.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Bestem $AC$ ved hjelp av cosinussetningen. :::{cas-popup} 420 500 ::: ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ AC = 4 $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Siden vi kjenner til vinkelen hjørne $A$, tar vi utgangspunkt i dette hjørnet for å bestemme $AC$ med cosinussetningen. Setningen forteller oss da at $$ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2\cdot AB\cdot BC \cdot \cos A. $$ Vi bruker CAS til å bestemme $AC$: :::{figure} ./ggb/underveisoppgaver/oppgave_1/sol.png --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Altså får vi at $$ AC = 4. $$ :::: ::::::::::::::: --- Cosinussetningen er en slagkraftig setning som sammen med sinussetningen og arealsetningen lar oss finne ut svært mye om trekanter fra lite informasjon. Vi tar et sammensatt eksempel for å se hvordan vi kan bruke cosinussetningen i praksis. :::::::::::::::{admonition} Eksempel 1 --- class: example --- Nedenfor vises en firkant $\square ABCD$. :::{figure} ./figurer/eksempler/eksempel_1/figur.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Bestem omkretsen $\mathcal{O}$ til $\square ABCD$. :::::{admonition} Løsning --- class: solution --- Omkretsen til $\square ABCD$ er summen av lengdene til alle sidene: $$ \mathcal{O} = AB + BC + CD + AD $$ Vi mangler å bestemme $AD$ som vi må kan gjøre i steg. Først bestemme vi diagonale $BD$, deretter $AD$. Begge disse lengene kan vi bestemme ved hjelp av cosinussetningen som følger. Vi starter med å dele opp firkanten i to trekanter, $\triangle ABD$ og $\triangle BCD$. Vi lar diagonalen $BD = x$. Da kan vi bruke cosinussetningen med utgangspunkt i hjørne $C$ i $\triangle BCD$ for å bestemme $x$: $$ x^2 = BC^2 + CD^2 - 2\cdot BC\cdot CD \cdot \cos C. $$ Vi bestemmer $x$ med CAS: :::{figure} ./figurer/eksempler/eksempel_1/part_1.png --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Altså er $x = BD = 4\sqrt{3}$. Vi lar så $y = AD$. Vi kan bruke cosinussetningen én gang til for å bestemme $AD$ ved å ta utgangspunkt i hjørne $A$ i $\triangle ABD$: $$ BD^2 = AB^2 + y^2 - 2\cdot AB \cdot y \cdot \cos A. $$ Vi bestemmer $y$ med CAS: :::{figure} ./figurer/eksempler/eksempel_1/part_2.png --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Dermed er $y = AD = 4$. Omkretsen $\mathcal{O}$ av $\square ABCD$ er da: $$ \mathcal{O} = AB + BC + CD + AD = 8 + 12 + 8\sqrt{3} + 4 = 24 + 8\sqrt{3}. $$ ::::: ::::::::::::::: --- Det kan nå være naturlig å stille seg spørsmål: hvordan vet vi at cosinussetningen stemmer? Vi skal nå snu oss mot dette problemet og se hvordan vi kan komme fram til setningen for en vilkårlig trekant. :::::::::::::::{admonition} Utforsk 1 --- class: explore --- Nedenfor vises en trekant $\triangle ABC$ og en rettvinklet "hjelpetrekant" $\triangle DAC$.
Til sammen utgjør de en rettvinklet trekant $\triangle DBC$. :::{figure} ./figurer/utforsk/utforsk_1/figur.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bruk trigonometri til å uttrykke lengden $y$ ved hjelp av lengden $b$ og vinkelen $u$. :::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ y = b\cdot \sin u $$ ::::: :::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Fra definisjonen av $\sin u$ i $\triangle DAC$ har vi at $y$ er motstående katet til $v$ og $b$ er hypotenusen. Da følger det at $$ \sin u = \dfrac{y}{b} \liff y = b\cdot \sin u. $$ ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bruk trigonometri til å uttrykke lengden $x$ ved hjelp av lengden $b$ og vinkelen $u$. :::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ x = b\cdot \cos u $$ ::::: :::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Fra definisjonen av $\cos u$ i $\triangle DAC$ har vi at $x$ er hosliggende katet til $u$ og $b$ er hypotenusen. Da følger det at $$ \cos u = \dfrac{x}{b} \liff x = b\cdot \cos u. $$ ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bruk Pytagoras' setning på trekant $\triangle DBC$ til å finne beskrive sammenhengen mellom lengdene $a$, $b$, $c$ og vinkelen $u$. > Husk på Pytagoras' identitet for cosinus og sinus: $(\sin u)^2 + (\cos u)^2 = 1$. :::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ a^2 = b^2 + c^2 + 2\cdot b\cdot c \cdot \cos u $$ ::::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Beskriv en sammenheng mellom $\cos v$ og $\cos u$. Bruk dette til å komme fram til cosinussetningen for $\triangle ABC$ uttrykt ved hjelp av lengdene $a$, $b$, $c$ og vinkelen $v$. :::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ \cos u = -\cos v $$ og $$ a^2 = b^2 + c^2 - 2\cdot b\cdot c \cdot \cos v $$ ::::: ::::::::::::: :::::::::::::: :::::::::::::::