# Enhetssirkelen :::{admonition} Læringsmål --- class: tip --- * Kunne beskrive hvordan $\cos v$ og $\sin v$ henger sammen med koordinatene til et punkt $P$ på enhetssirkelen. * Kunne bruke enhetssirkelen til å bestemme $\cos v$ og $\sin v$ for vinkler $v \in [0, 360\degree\rangle$ * Kunne begrunne og bruke ulike trigonometriske identiteter til å bestemme ulike verdier for $\cos v$ og $\sin v$. ::: Vi har sett at $\sin v$ og $\cos v$ er forholdstall i rettvinklede trekanter. Fordi alle rettvinklede trekanter med samme vinkel $v$ er formlike, vil $\sin v$ og $\cos v$ være lik uansett hvor stor eller liten trekanten er. Men trekanter som *ikke* er rettvinklede kan jo også være formlike. Her skal vi utvide definisjonen av $\sin v$ og $\cos v$ slik at de fungerer for trekanter uavhengig om rettvinklede eller ikke. ## Enhetssirkelen Vi forestiller oss at vi tar en trekant og plasserer den i et koordinatsystem der det éne hjørnet alltid er plassert i origo, den ene kateten ligger alltid på $x$-aksen og hypotenusen har lengde $1$. Da vil det ene hjørnet alltid ligge på en sirkel med radius $1$ og sentrum i origo. Denne sirkelen kaller vi for **enhetssirkelen**. :::::::::::::::{summary} Enhetssirkelen Enhetssirkelen er en sirkel med radius $1$ og sentrum i origo. Vi lar $v$ være vinkelen vi får dersom vi tegner en vinkelbue fra $x$-aksen til linjestykket $OP$. Da vil koordinatene til punktet $P$ være gitt ved $P(\cos v, \sin v)$. ::::{multi-plot2} --- rows: 1 cols: 2 --- :::{plot} circle: (0, 0), 1, blue, solid let: v = 120 let: Px = cos(v * pi / 180) let: Py = sin(v * pi / 180) point: (Px, Py) text: Px, Py, "$P(\cos v, \sin v)$", top-left line-segment: (0, 0), (Px, Py), solid, red text: 0.5 * Px, 0.5 * Py, "$1$", bottom-left angle-arc: (0, 0), 0.2, 0, v, red text: 0.25 * cos(v * 180 / pi / 2), 0.15 * sin(v * 180 / pi / 2), "$v$", top-right axis: equal grid: off ticks: off nocache: fontsize: 28 ::: :::{plot} circle: (0, 0), 1, blue, solid let: v = 60 let: Px = cos(v * pi / 180) let: Py = sin(v * pi / 180) point: (Px, Py) line-segment: (0, 0), (Px, Py), solid, red text: Px, Py, "$P(\cos v, \sin v)$", top-right text: 0.5 * Px, 0.5 * Py, "$1$", top-left angle-arc: (0, 0), 0.2, 0, v, red let: u = 30 text: 0.25 * cos(u / 180 * pi), 0.15 * sin(u / 180 * pi), "$v$", top-right axis: equal grid: off ticks: off nocache: fontsize: 28 ::: :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 1 :::{plot} width: 100% align: right circle: (0, 0), 1, blue, solid let: v = 60 let: Px = cos(v * pi / 180) let: Py = sin(v * pi / 180) point: (Px, Py) line-segment: (0, 0), (Px, Py), solid, red text: Px, Py, "$P$", top-right text: 0.5 * Px, 0.5 * Py, "$1$", top-left angle-arc: (0, 0), 0.2, 0, v, red let: u = 30 text: 0.25 * cos(u / 180 * pi), 0.15 * sin(u / 180 * pi), "$60^\circ$", top-right axis: equal grid: off ticks: off nocache: fontsize: 28 line-segment: (cos(v * pi / 180), 0), (Px, Py), dashed, gray let: ds = 0.1 line-segment: (cos(v * pi / 180) - ds, 0), (cos(v * pi / 180) - ds, ds), solid, gray line-segment: (cos(v * pi / 180) - ds, ds), (cos(v * pi / 180), ds), solid, gray ::: Enhetssirkelen vises til høyre med et linjestykke $OP$ tegnet inn som har vinkelen $60\degree$ med $x$-aksen. Bestem koordinatene til punktet $P$. :::{clear} ::: ::::{solution} --- dropdown: 0 --- :::{plot} width: 100% align: right fontsize: 28 axis: equal axis: off let: v = 60 * pi / 180 let: Px = cos(v) let: Py = sin(v) triangle: points=((0, 0), (Px, 0), (Px, Py)), angles=(A, B), corner-labels=none, angle-radius=60, side-labels=(CA=exact), side-text=(AB="$x$", BC="$y$"), angle-labels=(A=exact) point: (Px, Py) text: Px, Py, "$P$", top-right ::: Trekanten som er tegnet inn i enhetssirkelen er vist til høyre. Her kan vi se at $$ \cos 60\degree = \frac{x}{1} = x \qog \sin 60\degree = \frac{y}{1} = y $$ Altså er koordinatene til punktet $P$ gitt ved $P(\cos 60\degree, \sin 60\degree)$. De eksakte verdiene er $$ \cos 60\degree = \frac{1}{2} \qog \sin 60\degree = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ Ergo er punktet $P\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$. :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 2 :::{plot} width: 100% align: right circle: (0, 0), 1, blue, solid let: v = 150 let: Px = cos(v * pi / 180) let: Py = sin(v * pi / 180) point: (Px, Py) line-segment: (0, 0), (Px, Py), solid, red text: Px, Py, "$P$", top-left text: 0.5 * Px, 0.5 * Py, "$1$", top-right angle-arc: (0, 0), 0.2, 0, v, red angle-arc: (0, 0), 0.25, v, 180, red let: u = 70 text: 0.25 * cos(u / 180 * pi), 0.15 * sin(u / 180 * pi), "$150^\circ$", top-right axis: equal grid: off ticks: off nocache: fontsize: 28 line-segment: (cos(v * pi / 180), 0), (Px, Py), dashed, gray let: ds = 0.1 line-segment: (cos(v * pi / 180) + ds, 0), (cos(v * pi / 180) + ds, ds), solid, gray line-segment: (cos(v * pi / 180) + ds, ds), (cos(v * pi / 180), ds), solid, gray ::: I enhetssirkelen til høyre vises et linjestykke $OP$ som har vinkelen $150\degree$ med $x$-aksen. Bestem $\cos 150\degree$ og $\sin 150\degree$. :::{clear} ::: ::::{solution} --- dropdown: 0 --- :::{plot} width: 100% align: right fontsize: 28 axis: equal axis: off let: v = 150 * pi / 180 let: Px = cos(v) let: Py = sin(v) triangle: points=((0, 0), (Px, 0), (Px, Py)), angles=(A, B), corner-labels=none, angle-radius=60, side-labels=(CA=exact), side-text=(AB="$x$", BC="$y$"), angle-labels=(A=exact) point: (Px, Py) text: Px, Py, "$P$", top-left ::: Den rettvinklede trekanten som er tegnet inn i enhetssirkelen har en vinkel på $$ v = 180\degree - 150\degree = 30\degree $$ Derfor vil sidelengdene i den rettvinklede trekanten være gitt ved $$ \cos 30\degree = \frac{x}{1} = x \qog \sin 30\degree = \frac{y}{1} = y $$ Punktet $P$ på enhetssirkelen vil være gitt ved $P(\cos 150\degree, \sin 150\degree)$ per definisjon. Vi vet at $x$-koordinaten er negativ, slik at $$ \cos 150\degree = -\cos 30\degree = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$ Videre er $y$-koordinaten positiv, slik at $$ \sin 150\degree = \sin 30\degree = \frac{1}{2} $$ :::: ::::::::::::::: ## Trigonometriske identiteter I mange sammenhenger kan vi bruke trigonometriske identiteter til å bestemme verdier for $\sin v$ og $\cos v$ gitt at vi kjenner til noen andre verdier for $\sin v$ og $\cos v$. Vi skal se på noen av de mest grunnleggende identitetene her. ### Pytagoras' identitet Pytagoras' identitet har fått navnet sitt fordi den er en direkte konsekvens av Pytagoras' setning. :::::::::::::::{summary} Pytagoras' identitet :::{plot} width: 100% align: right circle: (0, 0), 1, blue, solid let: v = 60 let: Px = cos(v * pi / 180) let: Py = sin(v * pi / 180) point: (Px, Py) line-segment: (0, 0), (Px, Py), solid, red text: Px, Py, "$P(\cos v, \sin v)$", top-right text: 0.5 * Px, 0.5 * Py, "$1$", top-left angle-arc: (0, 0), 0.2, 0, v, red let: u = 30 text: 0.25 * cos(u / 180 * pi), 0.15 * sin(u / 180 * pi), "$v$", top-right axis: equal grid: off ticks: off nocache: fontsize: 28 line-segment: (cos(v * pi / 180), 0), (Px, Py), dashed, red let: ds = 0.1 line-segment: (cos(v * pi / 180) - ds, 0), (cos(v * pi / 180) - ds, ds), solid, gray line-segment: (cos(v * pi / 180) - ds, ds), (cos(v * pi / 180), ds), solid, gray ::: For alle vinkler $v$, så gjelder $$ \boxed{(\cos v)^2 + (\sin v)^2 = 1} $$ :::{clear} ::: > Vi skriver ofte at $\sin^2 v = (\sin v)^2$ og $\cos^2 v = (\cos v)^2$ for å spare litt plass. ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 3 For en vinkel $v$, så er $\sin v = \dfrac{2}{3}$. Bestem en eksakt verdi for $\cos v$. ::::{solution} --- dropdown: 0 --- For alle vinkler, så gjelder Pytagoras' identitet $$ (\cos v)^2 + (\sin v)^2 = 1 $$ Vi vet at $\sin v = \dfrac{2}{3}$, slik at $$ (\cos v)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 $$ $$ (\cos v)^2 + \frac{4}{9} = 1 $$ $$ (\cos v)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} $$ $$ \cos v = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} $$ :::: ::::::::::::::: ### Komplementvinkler :::::::::::::::{summary} Sinus og cosinus til komplementvinkler :::{plot} axis: off axis: equal fontsize: 32 width: 100% align: right let: v = 30 * pi / 180 let: Px = cos(v) let: Py = sin(v) triangle: points=((0, 0), (Px, 0), (Px, Py)), angles=(A, B, C), corner-labels=none, angle-radius=80, side-labels=(CA=exact), side-text=(AB="$x$", BC="$y$"), angle-text=(A="$v$", C="$90^\circ - v$"), angle-offset=24, label-offset=24 ::: For alle vinkler $v$, så gjelder følgende to identiteter $$ \boxed{ \begin{align*} \\ \sin(90\degree - v) &= \cos v \\ \\ \cos(90\degree - v) &= \sin v \\ \\ \end{align*} } $$ :::::::::::::::