# Oppgaver: Sinus, cosinus og tangens :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 :::{plot} width: 100% align: right triangle: sss=(8, 10, 6), angles=(A, B, C), angle-radius=50, side-labels=(AB=exact, BC=exact, ,CA=exact), side-offset=20 axis: off axis: equal fontsize: 34 nocache: ::: I figuren til høyre vises en trekant $\triangle ABC$. :::{clear} ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem $\sin B$ og $\cos B$. :::{answer} $$ \sin B = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5} \quad \quad \quad \cos B = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5} $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem $\tan B$. :::{answer} $$ \tan B = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4} $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bestem $\sin C$ og $\cos C$. :::{answer} $$ \sin C = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5} \quad \quad \quad \cos C = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5} $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Bestem $\tan C$. :::{answer} $$ \tan C = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3} $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 :::{plot} width: 100% align: right triangle: sss=(3, sqrt(3), 2 * sqrt(3)), angles=(A, B, C), angle-radius=20, side-labels=(AB=exact, CA=exact), side-offset=25 axis: off axis: equal fontsize: 34 nocache: ::: I figuren til høyre vises en trekant $\triangle ABC$. :::{clear} ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem $BC$. :::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ BC = \sqrt{3}. $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem $\sin A$ og $\cos A$. :::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ \sin A = \dfrac{1}{2} \quad \quad \quad \cos A = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bestem $\tan A$. :::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ \tan A = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Bestem $\sin C$ og $\cos C$. :::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ \sin C = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \quad \quad \quad \cos C = \dfrac{1}{2} $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} e Bestem $\tan C$. :::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ \tan C = \sqrt{3} $$ ::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 ::::{hints} Hvordan regne ut sinus og cosinus med CAS > I gif-en nedenfor viser vi hvordan man bruker CAS til å bestemme $\sin v$, $\cos v$ og $\tan v$ for en vinkel $v = 30\degree$ i en rettvinklet trekant. For å få gradertegn $\degree$ må du: > 1. Trykke på "option + o" på tastaturet på **macOS**. > 2. Trykke på "Alt + o" på tasteturet på **Windows**. :::{figure} ./gifer/tutorial_1.webp --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: :::: :::{plot} width: 100% align: right triangle: sss=(8 * cos(pi/5), 8 * sin(pi/5), 8), angles=(A, B, C), angle-radius=60, side-labels=(AB=exact), side-offset=25, angle-labels=(A=numeric), angle-offset=24 axis: off axis: equal fontsize: 34 nocache: ::: En trekant $\triangle ABC$ er vist til høyre. :::{clear} ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Regn ut $\sin A$ og $\cos A$ med CAS. :::{clear} ::: ::::{answer} $$ \sin A = \dfrac{1}{4}\sqrt{2\left(5 - \sqrt{5}\right)} \and \cos B = \dfrac{1}{4} \left(\sqrt{5} + 1\right) $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Bruk trigonometri til å bestemme $AC$. :::{clear} ::: ::::{answer} $$ AC = 8 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Bruk trigonometri til å bestemme $BC$. :::{clear} ::: ::::{answer} $$ BC = 2\sqrt{2(-\sqrt{5} + 5)} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Bruk CAS til å regne ut $\sin 45^\circ$, $\cos 45^\circ$ og $\tan 45^\circ$. :::{clear} ::: ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- :::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_4/a.png --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Altså er $$ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \quad \quad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \quad \quad \tan 45^\circ = 1 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Bruk CAS til å regne ut $\sin 60^\circ$, $\cos 60^\circ$ og $\tan 60^\circ$. :::{clear} ::: ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- :::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_4/b.png --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Altså er $$ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \quad \quad \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \quad \quad \quad \tan 60^\circ = \sqrt{3} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 --- level: 1 --- > I denne oppgaven skal du bruke trigonometri og CAS til å bestemme ukjente sidelenger i rettvinklede trekanter. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: I figuren nedenfor vises en rettvinklet trekant. Bruk CAS til å bestemme $x$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_5/a.svg --- width: 70% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- :::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_5/a.png --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Dermed er $x = 10$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: I figuren nedenfor vises en rettvinklet trekant. Bruk CAS til å bestemme $x$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_5/b.svg --- width: 70% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- :::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_5/b.png --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Dermed er $x = 2$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: I figuren nedenfor vises en rettvinklet trekant. Bruk CAS til å bestemme $x$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_5/c.svg --- width: 70% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- :::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_5/c.png --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Dermed er $x = 4\sqrt{2}$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: I figuren nedenfor vises en rettvinklet trekant. Bruk CAS til å bestemme $x$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_5/d.svg --- width: 70% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- :::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_5/d.png --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Altså er $x = 4$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} e :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: I figuren nedenfor vises en rettvinklet trekant. Bruk CAS til å bestemme $x$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_5/e.svg --- width: 70% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- :::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_5/e.png --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Altså er $x = 1.25$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} f :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: I figuren nedenfor vises en rettvinklet trekant. Bruk CAS til å bestemme $x$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_5/f.svg --- width: 70% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- :::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_5/f.png --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Altså er $x = 3.22$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 6 > I denne oppgaven skal du lære å utlede eksakte verdier for sinus og cosinus når vinklene er $30^\circ$ og $60^\circ$. Disse verdiene er viktige å **huske** utenat, men det er enklere å huske dem dersom du vet hvor de kommer fra. :::{plot} width: 100% align: right axis: equal axis: off triangle: sss=(2, 2, 2), angles=(A, B, C), side-labels=(AB=exact, BC=exact, CA=exact), angle-radius=30 fontsize: 32 ::: En likesidet trekant $\triangle ABC$ er vist i figuren til høyre. :::{clear} ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem høyden $h$ i trekanten. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ h = \sqrt{3}. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bruk trekanten til å bestemme en eksakt verdi for $\sin 60^\circ$ og $\cos 60^\circ$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \quad \quad \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bruk trekanten til å bestemme en eksakt verdi for $\sin 30^\circ$ og $\cos 30^\circ$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \quad \quad \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Vis at $$ (\cos v)^2 + (\sin v)^2 = 1 $$ for $v = 30^\circ$ og $v = 60^\circ$. ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 7 > I denne oppgaven skal du lære hvordan man kommer fram til sinus og cosinus når vinkelen er $45^\circ$. Det er også viktig å kunne disse verdiene utenat. Igjen – det er enklest å huske dersom man vet hvordan man kommer fram til dem. :::{plot} width: 100% align: right triangle: sss=(1, 1, sqrt(2)), angles=(A, B, C), side-labels=(CA=exact), angle-radius=30, angle-labels=(A=numeric, C=numeric) fontsize: 32 axis: off axis: equal ::: :::{clear} ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem sidelengdene $AB$ og $BC$. ::::{answer} $$ AB = BC = 1 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bruk trigonometri til å bestemme de eksakte verdiene for $\sin 45\degree$ og $\cos 45\degree$. ::::{answer} $$ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \quad \quad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 8 --- level: 2 --- I en matematikkbok står det følgende: ::::::::::::::{admonition} Setning --- class: summary --- For en vinkel $v$, gjelder $$ 2 \sin (v) \cdot \cos (v) = \sin (2\cdot v) $$ :::::::::::::: Vis at formelen stemmer for trekanten nedenfor med $v = 30^\circ$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_8/figur.svg --- width: 70% class: no-click, adaptive-figure --- ::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 9 --- level: 2 --- **Snells** lov forteller oss at når lys går fra luft til vann, vil lyset brytes slik at lysstrålen sin retning i luft og vann oppfyller $$ \sin u = 1.33 \cdot \sin v $$ :::{cas-popup} 350 500 ::: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_9/figur.svg --- width: 70% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Hvor stor vinkel $u$ må lyset ha for at vinkelen etter brytning i vannet skal være $v = 30^\circ$? ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- :::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_9/a.png --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: $u \approx 41.68 \degree$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Hva blir retningen til lysstrålen i vannet når $u$ nærmer seg $0^\circ$. Gi en praktisk tolkning av svaret. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- Når $u \approx 0^\circ$, vil $\sin u \approx 0$ og dermed $\sin v \approx 0$. Dermed vil lysstrålen gå parallelt med innfallsloddet og vannstrålen endrer ikke retning når den går gjennom vannoverflaten. Det skjer altså ingen brytning. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 10 --- level: 3 --- En lysstråle har beveget seg fra et punkt $A(0, 1)$ i luft til et punkt $B(10, -1)$ i vann. Lyset traff vannoverflaten i et punkt $M(x, 0)$. Alle avstander er i kilometer. I figuren nedenfor vises en mulig bane for lysstrålen. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_10/figur.svg --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: :::{cas-popup} 350 500 ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Lag en modell $L_\text{luft}$ som beskriver hvor mange kilometer $L_\text{luft}(x)$ lysstrålen har beveget seg i luft før den traff vannoverflaten i punktet $M(x, 0)$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ L_\text{luft}(x) = \sqrt{x^2 + 1} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Lag en modell $L_\text{vann}$ som beskriver hvor mange kilometer $L_\text{vann}(x)$ lysstrålen har beveget seg i vann etter at den traff vannoverflaten i punktet $M(x, 0)$ og endte opp i $B(10, -1)$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ L_\text{vann}(x) = \sqrt{(10 - x)^2 + 1} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Lys beveger seg med en fart på ca. 300 000 km/s i luft og ca. 225 000 km/s i vann. Lag en modell $T$ som beskriver hvor mange sekunder $T(x)$ det tar for lysstrålen å bevege seg fra $A$ til $B$ via punktet $M(x, 0)$. ::::{admonition} Hint: Vei-fart-tid --- class: dropdown, hints --- For en strekning $L$, en fart $v$ og en tid $t$, gjelder $$ L = v \cdot t. $$ :::: ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ T(x) = \dfrac{L_\text{luft}(x)}{300000} + \dfrac{L_\text{vann}(x)}{225000} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Bestem i hvilket punkt $M(x, 0)$ lysstrålen må ha truffet dersom lysstrålen skal bruke kortest mulig tid mellom $A$ og $B$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- :::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_10/d.png --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Altså gikk vannstrålen gjennom $M(8.88, 0)$ hvis den skulle bruke kortest mulig tid fra $A$ til $B$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} e Bruk svaret ditt fra **d** til å vise at $$ \dfrac{\sin u}{\sin v} = 1.33 $$ :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_9/figur.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- :::{figure} ./ggb/oppgaver/oppgave_10/e.png --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 11 --- level: 2 ---
:::{cas-popup} 350 500 ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Månen har en radius på ca. 1737 km og er ca. 384 400 km unna jorden. Bestem hvor stor vinkel $v$ månen dekker på himmelen sett fra jorden. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ v = 0.5 \degree $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Andromedagalaksen er vår nærmeste nabogalakse. Den er er ca. 200 000 lysår i diameter og 2.5 millioner lysår unna oss. Bestem hvor stor vinkel $v$ Andromeda dekker på himmelen sett fra jorden. Dekker månen eller Andromedagalaksen størst vinkel på himmelen? ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ v = 4.58 \degree. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 12 --- level: 3 --- Nedenfor vises en rettvinklet trekant med vinkler $u$ og $v$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_12/figur.svg --- width: 70% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Avgjør om påstandene nedenfor stemmer eller ikke. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a For en rettvinklet trekant, gjelder alltid $$ \sin v = \cos u $$ ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- Påstanden stemmer. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b For en rettvinklet trekant, gjelder alltid $$ \tan u \cdot \tan v = 1 $$ ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- Påstanden stemmer. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c For en rettvinklet trekant, gjelder alltid $$ (\cos v)^2 + (\sin v)^2 = 1 $$ ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- Påstanden stemmer. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: :::::::::::::::