# Sinus, cosinus og tangens :::::{admonition} Læringsmål --- class: tip --- * Kunne bestemme $\sin v$, $\cos v$ og $\tan v$ for en vinkel $v$ i en rettvinklet trekant. * Kjenne til sammenhengen mellom $\tan v$, og $\sin v$ og $\cos v$. ::::: **Trigonometri** er en del av geometrien som handler om trekanter. Her skal vi se på tre trigonometriske størrelser som er sentrale i trigonometri: **sinus**, **cosinus** og **tangens**. Disse størrelsene er forholdstall som er avhengig av en bestemt vinkel $v$ i en rettvinklet trekant. ## Motstående og hosliggende kateter Når vi jobber med rettvinklede trekanter, kommer vi til å få bruk for å kategorisere sidene i trekanten. :::::::::::::::{admonition} Motstående og hosliggende kateter --- class: summary --- I en rettvinklet trekant, vil katetene i trekanten ha to navn: * Den **motstående** kateten er kateten som står på motsatt side av vinkelen. * Den **hosliggende** kateten er kateten som spenner ut vinkelen. Om en katet er motstående eller hosliggende er altså avhengig av hvilken vinkel vi ser på. ::::{multi-plot2} --- rows: 1 cols: 2 --- :::{plot} axis: off axis: equal width: 100% let: s = 6 let: Ax = 0 let: Ay = 0 let: v = 30 * pi / 180 let: Bx = s * cos(v) let: By = 0 let: Cx = s * cos(v) let: Cy = s * sin(v) triangle: points=((Ax, Ay), (Bx, By), (Cx, Cy)), angles=(A, B), angle-radius=30 nocache: fontsize: 26 text: 0.5 * (Ax + Bx), 0, "Hosliggende katet", bottom-center text: Bx, 0.5 * (By + Cy), "Motstående\\ \,katet", center-right text: 0.5 * (Ax + Cx), 0.5 * (Ay + Cy), "Hypotenus", top-left ::: :::{plot} axis: off axis: equal width: 100% let: s = 6 let: Ax = 0 let: Ay = 0 let: v = 30 * pi / 180 let: Bx = s * cos(v) let: By = 0 let: Cx = s * cos(v) let: Cy = s * sin(v) triangle: points=((Ax, Ay), (Bx, By), (Cx, Cy)), angles=(B, C), angle-radius=30 nocache: fontsize: 30 fontsize: 26 text: 0.5 * (Ax + Bx), 0, "Motstående katet", bottom-center text: Bx, 0.5 * (By + Cy), "Hosliggende\\ \,katet", center-right text: 0.5 * (Ax + Cx), 0.5 * (Ay + Cy), "Hypotenus", top-left ::: :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Underveisoppgave 1 :::{plot} width: 100% align: right triangle: sss=(3, 4, 5), angles=(A, B, C), angle-radius=30, side-labels=(AB=exact, BC=exact, CA=exact) axis: off axis: equal fontsize: 30 ::: En trekant $\triangle ABC$ er vist til høyre. :::{clear} ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a * Hvilken sidelengde er motstående katet til vinkel $A$? * Hvilken sidelengde er hosliggende katet til vinkel $A$? ::::{answer} * $BC$ er motstående katet til vinkel $A$. * $AB$ er hosliggende katet til vinkel $A$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b * Hvilken sidelengde er motstående katet til vinkel $A$? * Hvilken sidelengde er hosliggende katet til vinkel $A$? ::::{answer} * $AB$ er motstående katet til vinkel $C$. * $BC$ er hosliggende katet til vinkel $C$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: ## $\sin v$ og $\cos v$ Vi skal nå se på de to mest grunnleggende trigonometriske størrelsene. Den ene er **sinus** til en vinkel $v$ og skrives som $\sin v$. Den andre er **cosinus** til en vinkel $v$ og skrives som $\cos v$. :::::::::::::::{summary} Definisjon: Sinus og Cosinus :::{plot} axis: off axis: equal align: right width: 380px let: s = 6 let: Ax = 0 let: Ay = 0 let: v = 30 * pi / 180 let: Bx = s * cos(v) let: By = 0 let: Cx = s * cos(v) let: Cy = s * sin(v) triangle: points=((Ax, Ay), (Bx, By), (Cx, Cy)), angles=(A, B), angle-radius=45, angle-text=(A="$v$") nocache: fontsize: 26 let: ds = 0.3 text: 0.5 * (Ax + Bx), -ds, "Hosliggende katet", bottom-center text: Bx + ds, 0.5 * (By + Cy), "Motstående\\ \,katet", center-right text: 0.5 * (Ax + Cx), 0.5 * (Ay + Cy), "Hypotenus", top-left ::: Sinus og cosinus til en vinkel $v$ i en rettvinklet trekant er definert som **forholdstallene**: $$ \sin v = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}} $$ $$ \cos v = \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}} $$ :::{clear} ::: > Vi skriver ofte $\sin A$ og $\cos A$ når vi snakker om vinkelen i et hjørne $A$ i en trekant, og tilsvarende for vinklene $B$ og $C$. ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 1 :::{plot} width: 100% align: right triangle: sss=(3, 4, 5), angles=(A, B, C), angle-radius=30, side-labels=(AB=exact, BC=exact, CA=exact) axis: off axis: equal fontsize: 30 ::: En trekant $\triangle ABC$ er vist til høyre. 1. Bestem $\sin A$ og $\cos A$. 2. Bestem $\sin C$ og $\cos C$. :::{clear} ::: ::::{solution} --- dropdown: 0 --- For vinkel $A$, vil $AB = 3$ være hosliggende katet og $BC = 4$ være motstående katet, og $AC = 5$ er hypotenusen. Det betyr at $$ \sin A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{4}{5} \qog \cos A = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{3}{5} $$ For vinkel $C$ vil $BC = 4$ være hosliggende katet og $AB = 3$ være motstående katet, og $AC = 5$ er hypotenusen. Det betyr at $$ \sin C = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{3}{5} \qog \cos C = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{4}{5} $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Underveisoppgave 2 :::{plot} width: 100% align: right triangle: sss=(sqrt(3), 1, 2), angles=(A, B, C), angle-radius=50, angle-labels=(A=numeric, C=numeric), side-labels=(AB=exact, BC=exact, CA=exact) axis: off axis: equal fontsize: 30 ::: En trekant $\triangle ABC$ er vist til høyre. :::{clear} ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem $\sin A$. ::::{answer} $$ \sin A = \dfrac{1}{2}. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem $\cos A$. ::::{answer} $$ \cos A = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bestem $\sin C$. ::::{answer} $$ \sin C = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Bestem $\cos C$. ::::{answer} $$ \cos C = \dfrac{1}{2}. $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- ## $\tan v$ En annen trigonometrisk størrelse som er spesielt nyttig å måle avstander er **tangens** til en vinkel $v$ som vi skriver som $\tan v$. Eksempel på anvendelser er: * Måle høyden til bygninger eller trær * Måle avstanden til stjerner eller galakser * Måle høyden til fjell :::::::::::::::{summary} Definisjon: Tangens :::{plot} axis: off axis: equal align: right width: 380px let: s = 6 let: Ax = 0 let: Ay = 0 let: v = 30 * pi / 180 let: Bx = s * cos(v) let: By = 0 let: Cx = s * cos(v) let: Cy = s * sin(v) triangle: points=((Ax, Ay), (Bx, By), (Cx, Cy)), angles=(A, B), angle-radius=45, angle-text=(A="$v$") fontsize: 26 let: ds = 0.3 text: 0.5 * (Ax + Bx), -ds, "Hosliggende katet", bottom-center text: Bx + ds, 0.5 * (By + Cy), "Motstående\\ \,katet", center-right text: 0.5 * (Ax + Cx), 0.5 * (Ay + Cy), "Hypotenus", top-left ::: Tangens til en vinkel $v$ i en rettvinklet trekant er definert som **forholdstallet**: $$ \tan v = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}} $$ Denne definisjonen er ekvivalent med at $$ \tan v = \frac{\sin v}{\cos v} $$ ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{example} Eksempel 2 :::{plot} width: 100% align: right triangle: sss=(sqrt(3), 1, 2), angles=(A, B, C), angle-radius=50, angle-labels=(A=numeric, C=numeric), side-labels=(AB=exact, BC=exact, CA=exact) axis: off axis: equal fontsize: 30 ::: En trekant $\triangle ABC$ er vist til høyre. Bestem $\tan 30 \degree$. :::{clear} ::: ::::{solution} --- dropdown: 0 --- Vi kan bruke definisjonen av tangens til å finne at $$ \tan 30 \degree = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}. $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Underveisoppgave 3 :::{plot} width: 100% align: right triangle: sss=(sqrt(3), 1, 2), angles=(A, B, C), angle-radius=50, angle-labels=(A=numeric, C=numeric), side-labels=(AB=exact, BC=exact, CA=exact) axis: off axis: equal fontsize: 30 ::: En trekant $\triangle ABC$ er vist til høyre. Bestem $\tan 60 \degree$. :::{clear} ::: ::::{answer} $$ \tan 60 \degree = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}. $$ :::: ::::::::::::::: --- ## Kjente vinkler for $\sin v$ og $\cos v$ For en bestemt vinkel $v$, vil $\sin v$, $\cos v$ og $\tan v$ ha samme verdi uansett hvor stor eller liten en trekant er. Verdiene er bare avhengig av forholdstallet mellom katetene, og hypotenusen. Derfor er det naturlig å tenke på de tre trigonometriske størrelsene som funksjoner av vinkelen $v$. Vi skal her se på noen eksakte verdier for $\sin v$ og $\cos v$ for noen utvalgte vinkler som vil bli nyttig i mange problemstillinger. :::::::::::::::{example} Eksempel 3 :::{plot} width: 100% align: right triangle: sss=(sqrt(3), 1, 2), angles=(A, B, C), angle-radius=50, angle-labels=(A=numeric, C=numeric), side-labels=(AB=exact, BC=exact, CA=exact) axis: off axis: equal fontsize: 30 nocache: ::: En trekant $\triangle ABC$ er vist til høyre. Bestem eksakte verdier for $\sin 30 \degree$ og $\cos 30 \degree$. :::{clear} ::: ::::{answer} $$ \sin 30 \degree = \dfrac{1}{2} \qog \cos 30 \degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. $$ :::: :::::::::::::::