# Eksamen våren 2026 ## Del 1 – 3 timer – Uten hjelpemidler :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 (2 poeng) Løs ulikheten $$ x^2 + 7x + 6 \leq 0. $$ ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 (4 poeng) Gitt likningssystemet $$ \begin{bmatrix} -x^2 + 4 = y \\ x - y = 2 \end{bmatrix} $$ :::::::::::::{part} a Løs likningsystemet ved regning. ::::::::::::: :::::::::::::{part} b Løs likningssystemet grafisk. ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 (3 poeng) Løs likningen $$ 2x^3 + 3x^2 - 18x + 8 = 0 $$ ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 (2 poeng) Gitt likningen $$ a(x + b)^2 = x^2 + 8x + c $$ Bestem $a$, $b$ og $c$ slik at likningen blir en identitet. ::::::::::::::: ---- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 (2 poeng) Susanne arbeid med tallfølgen $$ 1 \quad 3 \quad 7 \quad 13 \quad 21 \quad \ldots $$ Hun ser et mønster og skriver $$ \begin{align*} 0 \cdot 1 + 1 &= 1 \\ \\ 1 \cdot 2 + 1 &= 3 \\ \\ 2 \cdot 3 + 1 &= 7 \\ \\ 3 \cdot 4 + 1 &= 13 \end{align*} $$ :::::::::::::{part} a Bestem tall nummer $8$ i tallfølgen. ::::::::::::: :::::::::::::{part} b Sett opp en formel som Susanne kan bruke til å finne tall nummber $n$ i tallfølgen. ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 6 (1 poeng) Om en trekant $ABC$ får du vite at * vinkel $B$ er $90\degree$ * tangens til vinkel $A$ er $1$ Lag en figur og forklar hvordan denne trekanten kan se ut. ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 7 (5 poeng) :::{plot} width: 50% axis: off axis: equal let: Ax = -2 let: Ay = 0 let: Bx = 2 let: By = 0 let: Cx = 0 let: Cy = 4 * cos(pi/6) line-segment: (Ax, Ay), (Bx, By), solid, black line-segment: (Ax, Ay), (Cx, Cy), solid, black line-segment: (Bx, By), (Cx, Cy), solid, black line-segment: (Cx, Cy), (0, 0), solid, black angle-arc: (Cx, Cy), 1, 270, 270 + 30 let: u = pi/12 let: r = 1.2 text: Cx + r * sin(u), Cy - r * cos(u), "$30^\circ$", center-center let: ds = 0.4 line-segment: (ds, 0), (ds, ds), solid, black line-segment: (0, ds), (ds, ds), solid, black text: 0.5 * (Bx + Cx), 0.5 * (By + Cy), "$4$", top-right text: 0.5 * (Ax + Cx), 0.5 * (Ay + Cy), "$4$", top-left fontsize: 32 ::: :::::::::::::{part} a Bruk trekanten ovenfor til å vise at $\sin 30\degree = \dfrac{1}{2}$ og at $\cos 30\degree = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. ::::::::::::: :::::::::::::{part} b Bestem arealet av trekanten nedenfor. ::::::::::::: :::::::::::::{part} c Bestem omkretsen av trekanten nedenfor. ::::::::::::: :::{plot} width: 60% axis: off axis: equal fontsize: 32 let: Ax = 0 let: Ay = 0 let: Bx = -4 let: By = 0 let: Cx = -10 * sqrt(3) * cos(pi/6) let: Cy = 10 * sqrt(3) * sin(pi/6) line-segment: (Ax, Ay), (Bx, By), solid, black line-segment: (Ax, Ay), (Cx, Cy), solid, black line-segment: (Bx, By), (Cx, Cy), solid, black angle-arc: (Ax, Ay), 1.8, 150, 180 let: r = 3.1 let: u1 = pi - pi/6 let: u2 = pi text: 0.5 * r * (cos(u1) + cos(u2)), 0.5 * r * (sin(u1) + sin(u2)), "$30^\circ$", center-center text: 0.5 * (Ax + Bx), 0.5 * (Ay + By) - 0.2, "$4$", bottom-center text: 0.5 * (Ax + Cx), 0.5 * (Ay + Cy), "$10\sqrt{3}$", top-right fontsize: 26 ::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 8 (4 poeng) En rasjonal funksjon $f$ har * ingen nullpunkt * to vertikale asymptoter :::::::::::::{part} a Bestem et mulig funksjonsuttrykk $f(x)$. Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig. ::::::::::::: En rasjonal funksjon $g$ har horisontal asymptote $y = 2$. Grafen til $g$ skjærer ikke $y$-aksen. :::::::::::::{part} b Bestem et mulig funksjonsuttrykk $g(x)$. Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig. ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 9 (3 poeng) :::{plot} fontsize: 32 width: 100% align: right function: 1/2 * x**2 + x - 12, f xmin: -8 xmax: 6 ymin: -14 ymax: 8 axis: off point: (-1, -12.5) text: -1, -12.5, "$(-1, -12.5)$", bottom-left point: (4, 0) text: 4, 0, "$(4, 0)$", center-left tangent: 4, f, red, solid line-segment: (4, 0), (5, 0), dashed, red line-segment: (5, 0), (5, 5), dashed, red text: 0.5 * (4 + 5), 0, "$1$", bottom-center text: 5, 0.5 * (0 + 5), "$5$", center-right ::: Til høyre ser du grafen til en andregradsfunksjon $f$ * Bunnpunktet har koordinater $(-1, -12.5)$ * Den rette linjen er en tangent med stigningstall $5$ :::{clear} ::: :::::::::::::{part} a Forklar at $f'(4) = 5$ ::::::::::::: :::::::::::::{part} b Bestem $f'(x)$. ::::::::::::: ::::::::::::::: --- ## Del 2 - 2 timer - Med hjelpemidler :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 (5 poeng) --- aids: true --- :::{figure} ./bilder/bil2.svg --- class: no-click, adaptive-figure width: 40% --- ::: Fru Hansen eier en gammel bil. Når hun kjører med en fart på $x$ km/h, slipper bilen ut $U(x)$ gram $\mathrm{CO}_2$ per kilometer, der $U(x)$ er gitt ved $$ U(x) = \dfrac{5400}{x} + 0.0074x^2 + 50, \quad 30 \lt x \lt 110. $$ :::::::::::::{part} a Hvor mange gram $\mathrm{CO}_2$ slipper bilen ut per kilometer dersom fru Hansen kjører med en fart på $50$ km/h? ::::::::::::: :::::::::::::{part} b Hvilken fart gir minst utslipp av $\mathrm{CO}_2$ per kilometer? Hvor mange grafem $\mathrm{CO}_2$ slipper bilen ut per kilometer ved denne farten? ::::::::::::: Fru hansen kjører med en fart på $90$ km/h i 20 minutter. :::::::::::::{part} c Hvor mange gram $\mathrm{CO}_2$ slipper bilen ut i løpet av disse 20 minuttene? ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 (5 poeng) --- aids: true --- :::{plot} width: 60% axis: off axis: equal let: Ax = 0 let: Ay = 0 let: Bx = (sqrt(2) + sqrt(6)) / 2 let: By = 0 let: Cx = sqrt(2) * cos(pi/6) let: Cy = sqrt(2) * sin(pi/6) let: Dx = Cx + 2 * sqrt(3) / 3 * cos(pi - pi/4) let: Dy = Cy + 2 * sqrt(3) / 3 * sin(pi - pi/4) line-segment: (Ax, Ay), (Bx, By), solid, black line-segment: (Bx, By), (Dx, Dy), solid, black line-segment: (Ax, Ay), (Dx, Dy), solid, black line-segment: (Ax, Ay), (Cx, Cy), dashed, black angle-arc: (Ax, Ay), 0.2, 30, 30 + 45 let: r = 0.3 let: u1 = pi/6 let: u2 = pi/6 + pi/4 text: r * 0.5 * (cos(u1) + cos(u2)), r * 0.5 * (sin(u1) + sin(u2)), "$45^\circ$", center-center angle-arc: (Cx, Cy), 0.2, 180 - 45 + 75, 180 - 45 + 180 angle-arc: (Dx, Dy), 0.2, 180 - 45 + 180 - 60, 180 - 45 + 180 text: Cx - 0.05, Cy - 0.3, "$105^\circ$", center-center text: Dx + 0.1, Dy - 0.3, "$60^\circ$", center-center text: Ax, Ay, "$A$", bottom-left text: Bx, By, "$B$", bottom-right text: Cx, Cy, "$C$", top-right text: Dx, Dy, "$D$", top-center text: 0.5 * (Ax + Cx), 0.5 * (Ay + Cy), "$\sqrt{2}$", top-left text: 0.5 * (Bx + Cx), 0.5 * (By + Cy), "$1$", top-right ::: Gitt figuren ovenfor. :::::::::::::{part} a Bruk trigonometri til å bestemme lengden av sidekanten $AB$. ::::::::::::: :::::::::::::{part} b Bruk trigonometri til å bestemme arealet av trekanten $ABD$ ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 (6 poeng) --- aids: true --- :::{figure} ./bilder/vipe.svg --- class: no-click, adaptive-figure align: right width: 50% --- ::: Vipe er en kritisk truet fugleart i Norge. I 2013 ble bestanden anslått til å være omtrent 9000 par. I 2022 var bestanden omtrent 2500 par. :::{table} --- transpose: true --- labels: År, Vipebestand (par) $2013$, $9000$ $2022$, $2500$ ::: :::{clear} ::: Tor antar at bestanden av viper har avtatt lineært og vil fortsette å avta lineært i årene framover. Egil antar at nedgangen har vært, og fortsatt vil være, eksponentiell. La $x$ være antall år etter $2013$. :::::::::::::{part} a Lag en modell $f$ som viser utviklingen av vipebestanden ut fra Tors antakelser. Forklar hva modellen forteller om utviklingen. ::::::::::::: :::::::::::::{part} b Lag en modell $g$ som viser utviklingen av vipebestanden ut fra Egils antakelser. Forklar hva modellen forteller om utviklingen. ::::::::::::: Myndigheter og interesseorganisasjoner arbeider med å verne hekkeområdene til viper. De håper at dette skal bidra til å stoppe nedgangen, slik at bestanden vil stabilisere seg. Egil ønsker å lage en ny modell som tar hensyn til dette. Han lager først den eksponentielle modellen $p$. Så endrer han litt på denne og kommer fram til modellen $q$. Nedenfor ser du grafene til de to modellene. ::::{multi-plot2} --- rows: 1 cols: 3 --- :::{plot} fontsize: 32 width: 100% let: a = 7000 let: b = (500 / 7000) ** (1/9) function: a * b**x, p xmin: -5 xmax: 35 xstep: 5 ymin: -2000 ymax: 11000 ystep: 2000 grid: off point: (0, 7000) point: (9, 500) text: 0, 7000, "$(0, 7000)$", top-right text: 9, 500, "$(9, 500)$", top-right ::: :::{plot} fontsize: 32 width: 100% let: a = 7000 let: b = (500 / 7000) ** (1/9) let: c = 2000 function: a * b**x, p function: a * b**x + c, q xmin: -5 xmax: 35 xstep: 5 ymin: -2000 ymax: 11000 ystep: 2000 grid: off point: (0, 7000) point: (9, 500) point: (0, 9000) point: (9, 2500) text: 0, 7000, "$(0, 7000)$", top-right text: 9, 500, "$(9, 500)$", top-right text: 0, 9000, "$(0, 9000)$", top-right text: 9, 2500, "$(9, 2500)$", top-right line-segment: (0, 2000), (35, 2000), dashed, black ::: :::{plot} fontsize: 32 width: 100% let: a = 7000 let: b = (500 / 7000) ** (1/9) let: c = 2000 function: a * b**x + c, q xmin: -5 xmax: 35 xstep: 5 ymin: -2000 ymax: 11000 ystep: 2000 grid: off point: (0, 9000) point: (9, 2500) text: 0, 9000, "$(0, 9000)$", top-right text: 9, 2500, "$(9, 2500)$", top-right line-segment: (0, 2000), (35, 2000), dashed, black ::: :::: :::::::::::::{part} c Gjør rede for hvilke antakelser Egil har lagt til grunn for modellen $q$. Bestem $p(x)$ og $q(x)$. ::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 (3 poeng) --- aids: true --- ::::{multi-plot2} --- rows: 1 cols: 4 --- :::{plot} fontsize: 42 width: 100% axis: off axis: equal let: l = 1 line-segment: (0, 0), (0, l), solid, black text: 0, 0, "Figur 1", bottom-center ::: :::{plot} fontsize: 42 width: 100% axis: off axis: equal let: l = 1 repeat: n=0..1; line-segment: (n * l, 0), (n * l, 2*l), solid, black line-segment: (-l, l), (-l + 3 * l, l) , solid, black text: 0.5 * (-l + -l + 3*l), 0, "Figur 2", bottom-center repeat: n=0..1; circle: (n * l, l), 0.2, fill, blue, solid nocache: ::: :::{plot} fontsize: 42 width: 100% axis: off axis: equal let: l = 1 repeat: n=0..2; line-segment: (n * l, 0), (n * l, 3*l), solid, black repeat: n=0..1; line-segment: (-l, (n+1) * l), (-l + 4 * l, (n + 1)*l) , solid, black text: 0.5 * (-l + -l + 4*l), 0, "Figur 3", bottom-center repeat: n=0..2; repeat: m=0..1; circle: (n * l, (m + 1) * l), 0.25, fill, blue, solid nocache: ::: :::{plot} fontsize: 42 width: 100% axis: off axis: equal let: l = 1 repeat: n=0..3; line-segment: (n * l, 0), (n * l, 4*l), solid, black repeat: n=0..2; line-segment: (-l, (n+1) * l), (-l + 5 * l, (n + 1)*l) , solid, black text: 0.5 * (-l + -l + 5*l), 0, "Figur 4", bottom-center repeat: n=0..3; repeat: m=0..2; circle: (n * l, (m + 1) * l), 0.3, fill, blue, solid nocache: ::: :::: Kristian er kunstner. Han arbeider med et prosjekt der han skal lage en seriem med figurer ved å lime kuler på pinner. Ovenfor ser du de fire første figurene i serien. For å lage figur 4 har Kristian brukt 7 pinner og 12 kuler. Tenk deg at Kristian skal lage de 50 første figurene i denne serien. Lag et program som beregner og skriver ut hvor mange kuler han vil trenge, og hvor mange pinner han vil trenge. :::::::::::::::