# Oppgaver: Enhetssirkelen :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 --- level: 1 --- Nedenfor vises et interaktivt vindu hvor enhetssirkelen er tegnet inn med en vinkel $v$ som kan varieres. :::{interactive-graph} interactive-var: v, 0, 360, 361 interactive-var-start: 30 xmin: -2 xmax: 2 ymin: -2 ymax: 2 xstep: 1 ystep: 1 curve: cos(t), sin(t), (0, 2*pi), solid, blue point: (cos(v*pi/180), sin(v*pi/180)) text: 0.4 * cos(v*pi/180), 0.4 * sin(v*pi/180), "$v = {v:.0f}^\circ$", center-right angle-arc: (0, 0), 0.3, 0, v, solid, red line-segment: (0, 0), (cos(v*pi/180), sin(v*pi/180)), solid, red text: cos(v*pi/180), sin(v*pi/180) + 0.1, "$P({cos(v*pi/180):.2f}, {sin(v*pi/180):.2f})$", top-right hline: sin(v*pi/180), 0, cos(v*pi/180), dashed, gray vline: cos(v*pi/180), 0, sin(v*pi/180), dashed, gray figsize: (4, 4) fontsize: 10 ticks: off ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bruk det interaktive vinduet til å bestemme $$ \cos 35 \degree \quad \text{og} \quad \sin 35 \degree $$ ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ \cos 35 \degree = 0.82 \quad \text{og} \quad \sin 35 \degree = 0.57 $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- $v = 35 \degree$ gir $P(0.82, 0.57)$. Siden $x$-koordinaten er $\cos 35\degree$ og $y$-koordinaten er $\sin 35\degree$, så er $$ \cos 35 \degree = 0.82 \quad \text{og} \quad \sin 35 \degree = 0.57 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bruk det interaktive vinduet til å bestemme $$ \cos 145 \degree \quad \text{og} \quad \sin 145 \degree $$ ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ \cos 145 \degree = -0.82 \quad \text{og} \quad \sin 145 \degree = 0.57 $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- $v = 145 \degree$ gir $P(-0.82, 0.57)$. $x$-koordinaten er $\cos 145\degree$ og $y$-koordinaten er $\sin 145\degree$. Da følger det at $$ \cos 145 \degree = -0.82 \quad \text{og} \quad \sin 145 \degree = 0.57 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bruk det interaktive vinduet til å bestemme $$ \cos 0 \degree \quad \text{og} \quad \sin 0 \degree $$ ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ \cos 0 \degree = 1 \quad \text{og} \quad \sin 0 \degree = 0 $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- $v = 0 \degree$ gir $P(1, 0)$. Fordi $\cos 0 \degree$ er $x$-koordinaten og $\sin 0 \degree$ er $y$-koordinaten, så er $$ \cos 0 \degree = 1 \quad \text{og} \quad \sin 0 \degree = 0 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Bruk det interaktive vinduet til å bestemme $$ \cos 90 \degree \quad \text{og} \quad \sin 90 \degree $$ ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ \cos 90 \degree = 0 \quad \text{og} \quad \sin 90 \degree = 1 $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- $v = 90 \degree$ gir $P(0, 1)$. Fordi $\cos 90\degree$ er $x$-koordinaten og $\sin 90\degree$ er $y$-koordinaten, så er $$ \cos 90 \degree = 0 \quad \text{og} \quad \sin 90 \degree = 1 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} e Bruk det interaktive vinduet til å bestemme $$ \cos 180 \degree \quad \text{og} \quad \sin 180 \degree $$ ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ \cos 180 \degree = -1 \quad \text{og} \quad \sin 180 \degree = 0 $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- $v = 180 \degree$ gir $P(-1, 0)$. Fordi $\cos 180\degree$ er $x$-koordinaten og $\sin 180\degree$ er $y$-koordinaten, så er $$ \cos 180 \degree = -1 \quad \text{og} \quad \sin 180 \degree = 0 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} f Bruk det interaktive vinduet til å bestemme $$ \cos 245 \degree \quad \text{og} \quad \sin 245 \degree $$ ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ \cos 245 \degree = -0.42 \quad \text{og} \quad \sin 245 \degree = -0.91 $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- $v = 245 \degree$ gir $P(-0.42, -0.91)$. Siden $x$-koordinaten er $\cos 245\degree$ og $y$-koordinaten er $\sin 245\degree$, så er $$ \cos 245 \degree = -0.42 \quad \text{og} \quad \sin 245 \degree = -0.91 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} g Bruk det interaktive vinduet til å bestemme $$ \cos 315 \degree \quad \text{og} \quad \sin 315 \degree $$ ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $v = 315 \degree$ gir $P(0.71, -0.71)$. Dermed er $$ \cos 315 \degree = 0.71 \quad \text{og} \quad \sin 315 \degree = -0.71 $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- $v = 315 \degree$ gir $P(0.71, -0.71)$. Siden $x$-koordinaten er $\cos 315\degree$ og $y$-koordinaten er $\sin 315\degree$, så er $$ \cos 315 \degree = 0.71 \quad \text{og} \quad \sin 315 \degree = -0.71 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 --- level: 1 --- > Noen ganger når du har løst likninger som $\sin(v\degree) = 0.5$, så har du fått to løsninger. Det samme gjelder for $\cos(v\degree) = 0.5$. I denne oppgaven skal du finne ut hvorfor det er slik. Nedenfor vises et interaktivt vindu hvor enhetssirkelen er tegnet inn med en vinkel $v$ som kan varieres. :::{interactive-graph} interactive-var: v, 0, 360, 361 interactive-var-start: 30 xmin: -1.5 xmax: 1.5 ymin: -1.5 ymax: 1.5 xstep: 1 ystep: 1 curve: cos(t), sin(t), (0, 2*pi), solid, blue point: (cos(v*pi/180), sin(v*pi/180)) text: 0.4 * cos(v*pi/180), 0.4 * sin(v*pi/180), "$v = {v:.0f}^\circ$", center-right angle-arc: (0, 0), 0.3, 0, v, solid, red line-segment: (0, 0), (cos(v*pi/180), sin(v*pi/180)), solid, red text: cos(v*pi/180), sin(v*pi/180) + 0.1, "$P({cos(v*pi/180):.2f}, {sin(v*pi/180):.2f})$", top-right hline: sin(v*pi/180), 0, cos(v*pi/180), dashed, gray vline: cos(v*pi/180), 0, sin(v*pi/180), dashed, gray figsize: (4, 4) fontsize: 14 ticks: off ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem ved hvilke to vinkler $\sin v = 0.5$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ v = 30\degree \or v = 150\degree $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Vi finner $\sin v$ ved å se på $y$-koordinaten til punktet $P$ på enhetssirkelen. Setter vi $v = 30\degree$, får vi $P(0.87, 0.5)$ som betyr at $\sin 30\degree = 0.5$. Setter vi $v = 150\degree$, får vi $P(-0.87, 0.5)$ som betyr at $\sin 150\degree = 0.5$. Dermed er $$ \sin v = 0.5 \liff v = 30\degree \or v = 150\degree $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem ved hvilke to vinkler $\cos v = 0.5$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ v = 60\degree \or v = 300\degree $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Vi finner $\cos v$ ved å se på $x$-koordinaten til punktet $P$ på enhetssirkelen. Setter vi $v = 60\degree$ får vi $P(0.5, 0.87)$. Dermed er $\cos 60\degree = 0.5$. Setter vi $v = 300\degree$ får vi $P(0.5, -0.87)$. Dermed er $\cos 300\degree = 0.5$. Altså har vi at $$ \cos v = 0.5 \liff v = 60\degree \or v = 300\degree $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Bestem ved hvilke to vinkler $\cos v = -0.5$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ v = 120\degree \or v = 240\degree $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Vi husker på at $\cos v$ er $x$-koordinaten til punktet $P$ på enhetssirkelen. Vi må lete etter punkt $P$, der $x$-koordinaten er $-0.5$ for å bestemme hvilke vinkler $v$ som medfører at $\cos v = -0.5$. Setter vi $v = 120\degree$, vi $P(-0.5, 0.87)$. Dermed er $\cos 120\degree = -0.5$. Setter vi $v = 240\degree$, får vi $P(-0.5, -0.87)$ som betyr at $\cos 240\degree = -0.5$. Dermed er $$ \cos v = -0.5 \liff v = 120\degree \or v = 240\degree $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Bestem ved hvilke to vinkler $\sin v = -0.71$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ v = 225\degree \or v = 315\degree $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Vi husker på at $\sin v$ er $y$-koordinaten til punktet $P$ på enhetssirkelen. Vi må lete etter punkter $P$ der $y = -0.71$ for å bestemme hvilke vinkler $v$ som medfører at $\sin v = -0.71$. Setter vi $v = 225 \degree$, får vi $P(-0.71, -0.71)$ som betyr at $\sin 225\degree = -0.71$. Setter vi $v = 315 \degree$, får vi $P(0.71, -0.71)$ som betyr at $\sin 315\degree = -0.71$. Dermed er $$ \sin v = -0.71 \liff v = 225\degree \or v = 315\degree $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 --- level: 2 --- Nedenfor vises enhetssirkelen med et punkt $P(x, y)$ på sirkelen slik at $OP = 1$, der $O(0, 0)$ er origo. Bruk figuren til å forklare at $$ (\cos v)^2 + (\sin v)^2 = 1 $$ :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_3/figur.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Først kan vi merke oss at vi har en rettvinklet trekant der den ene kateten er $x$, den andre er $y$ og hypotenusen er $1$. Pytagoras' setning forteller oss da at $$ x^2 + y^2 = 1^2 \liff x^2 + y^2 = 1. $$ Siden $\cos v$ er $x$-koordinaten til punktet på enhetssirkelen, og $\sin v$ er $y$-koordinaten, følger der derfor at $$ x = \cos v \and y = \sin v $$ som betyr at $$ x^2 + y^2 = 1 \liff (\cos v)^2 + (\sin v)^2 = 1 $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 --- level: 2 --- Nedenfor vises en trekant innskrevet i en sirkel med radius $1$ der $P$ ligger på sirkelen. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_4/figur.svg --- width: 100% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem sidelengdene i trekanten. ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Trekanten har to sidelengder som går fra origo ut til sirkelen som betyr at sidelengdene er $1$. Den tredje siden kan vi bestemme ved å bruke Pytagoras' setning ved å merke oss at vi får en rettvinklet trekant ved å trekke en normal ned fra punktet $P$ til $x$-aksen. Kateten på $x$-aksen blir da $$ x = 1 - \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2} $$ og kateten langs $y$-aksen blir $y = \dfrac{1}{2}$. Da følger det at lengden $h$ av sidelengden på motstående side av vinkelen er \begin{align*} h^2 &= x^2 + y^2 \\ \\ &= \left(1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \\ \\ &= 1^2 + 2\cdot 1 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \\ \\ &= 1 + \sqrt{3} + \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} \\ \\ &= 2 + \sqrt{3} \\ \end{align*} Dermed er sidelengden $$ h = \sqrt{2 + \sqrt{3}} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem arealet av trekanten. ::::{admonition} Fasit --- class: dropdown, answer --- $$ T = \dfrac{1}{4} $$ :::: ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Vi skriver opp arealsetningen der vi bruker at sidelengdene som spenner ut vinkelen på $150\degree$ er begge $1$. Med arealsetningen får vi derfor at arealet $T$ er $$ T = \dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 1 \cdot \sin 150\degree = \dfrac{1}{2}\cdot \sin 150\degree $$ Vi kan lese av $\sin 150\degree$ fra punktet på enhetssirkelen ved å se på $y$-koordinaten som er $$ \sin 150\degree = y = \dfrac{1}{2} $$ Dermed er arealet av trekanten gitt ved $$ T = \dfrac{1}{2}\cdot \sin 150\degree = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 --- level: 2 --- Nedenfor vises enhetssirkelen med en vinkelbue på $240\degree$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_5/figur.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Bruk figuren til å bestemme en eksakt verdi for $\sin 240\degree$ og $\cos 240\degree$ når du vet at $\sin 30\degree = \dfrac{1}{2}$ ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Vi **vet** at $x$-koordinaten til punktet på enhetssirkelen er $\cos 240\degree$ og $y$-koordinaten er $\sin 240\degree$. Vi må derfor bestemme koordinatene til dette punktet. Den rettvinklede trekanten som er tegnet inn vil ha en vinkel som er $30\degree$ og en hypotenus med lengde $1$. Vi kan tegne følgende hjelpefigur for trekanten: :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_5/hjelpefigur.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: Fra trekanten kan vi se at $$ \sin 30\degree = \dfrac{x}{1} = x $$ Fra opplysningene i oppgaven, vet vi at $\sin 30\degree = \dfrac{1}{2}$. Men siden $x$-koordinaten skal være negativ, betyr at vi må sette $$ x = -\dfrac{1}{2} $$ Med Pytagoras' setning kan vi finne lengden $y$: $$ x^2 + y^2 = 1 \liff \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 + y^2 = 1 \liff \dfrac{1}{4} + y^2 = 1 $$ som gir $$ y^2 = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4} \limplies y = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} $$ I det siste steget velger vi den negative løsningen fordi $y$-koordinaten på enhetssirkelen er negativ. Dermed har vi funnet at $$ (x, y) = \left(-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = (\cos 240\degree, \sin 240\degree) $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 6 --- level: 2 --- Nedenfor vises en sirkel med radius $1$. Vinkelen mellom $x$-aksen og $OP$ er $50 \degree$. :::{figure} ./figurer/oppgaver/oppgave_6/figur.svg --- width: 80% class: no-click, adaptive-figure --- ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bruk figuren til å avgjøre om $\tan 50\degree > 1$. ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Siden $$ \tan 50\degree = \dfrac{\sin 50 \degree}{\cos 50 \degree} $$ og vi vet at $x$-koordinaten til punktet på enhetssirkelen er $\cos 50 \degree$ og $y$-koordinaten er $\sin 50 \degree$, så kan vi hente ut verdiene fra punktet og avgjøre om $\tan 50\degree > 1$. Vi har at $$ \sin 50\degree \approx 0.77 \quad \text{og} \quad \cos 50\degree \approx 0.64 $$ som betyr at $$ \tan 50\degree = \dfrac{0.77}{0.64} > 1 $$ siden telleren er større enn nevneren. Dermed er $\tan 50\degree > 1$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Avgjør om $\tan 130 \degree > \tan 50\degree$. ::::{admonition} Løsning --- class: solution, dropdown --- Vi vet at $$ \sin \left(180\degree - 50\degree\right) = \sin 130\degree = \sin 50\degree $$ og $$ \cos \left(180\degree - 50\degree\right) = \cos 130\degree = -\cos 50\degree $$ Dermed har vi at $$ \tan 130\degree = \dfrac{\sin 130\degree}{\cos 130\degree} = \dfrac{\sin 50\degree}{-\cos 50\degree} = -\dfrac{\sin 50\degree}{\cos 50\degree} = -\tan 50\degree $$ Siden $\tan 50\degree > 0$, så er $\tan 130\degree < 0$. Dermed er $\tan 130\degree < \tan 50\degree$, så påstanden er usann. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 7 --- level: 2 --- Nedenfor vises et interaktivt vindu hvor enhetssirkelen er tegnet inn med en vinkel $v$ som kan varieres. :::{interactive-graph} interactive-var: v, 0, 360, 361 interactive-var-start: 30 xmin: -1.5 xmax: 1.5 ymin: -1.5 ymax: 1.5 xstep: 1 ystep: 1 curve: cos(t), sin(t), (0, 2*pi), solid, blue point: (cos(v*pi/180), sin(v*pi/180)) text: 0.4 * cos(v*pi/180), 0.4 * sin(v*pi/180), "$v = {v:.0f}^\circ$", center-right angle-arc: (0, 0), 0.3, 0, v, solid, red line-segment: (0, 0), (cos(v*pi/180), sin(v*pi/180)), solid, red text: cos(v*pi/180), sin(v*pi/180) + 0.1, "$P({cos(v*pi/180):.2f}, {sin(v*pi/180):.2f})$", top-right hline: sin(v*pi/180), 0, cos(v*pi/180), dashed, gray vline: cos(v*pi/180), 0, sin(v*pi/180), dashed, gray figsize: (4, 4) fontsize: 14 ticks: off ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Hvis $\cos v = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.87$, hvilke verdier kan $v$ ha? ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ v = 30\degree \or v = 330\degree $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Ved hvilke vinkler $v$ er $\sin v = \cos v$? ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ v = 45\degree \or v = 225\degree $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Ved hvilke vinkler $v$ er $\tan v = 1$? ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ v = 45\degree \or v = 225\degree $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d Hvis $\sin v = -0.5$, hvilke verdier kan $\cos v$ ha? ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ \cos v \approx 0.87 \or \cos v \approx -0.87 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 8 --- level: 2 --- Nedenfor vises et interaktivt vindu hvor enhetssirkelen er tegnet inn med en vinkel $v$ som kan varieres. :::{interactive-graph} interactive-var: v, 0, 360, 361 interactive-var-start: 30 xmin: -1.5 xmax: 1.5 ymin: -1.5 ymax: 1.5 xstep: 1 ystep: 1 curve: cos(t), sin(t), (0, 2*pi), solid, blue point: (cos(v*pi/180), sin(v*pi/180)) text: 0.4 * cos(v*pi/180), 0.4 * sin(v*pi/180), "$v = {v:.0f}^\circ$", center-right angle-arc: (0, 0), 0.3, 0, v, solid, red line-segment: (0, 0), (cos(v*pi/180), sin(v*pi/180)), solid, red text: cos(v*pi/180), sin(v*pi/180) + 0.1, "$P({cos(v*pi/180):.2f}, {sin(v*pi/180):.2f})$", top-right hline: sin(v*pi/180), 0, cos(v*pi/180), dashed, gray vline: cos(v*pi/180), 0, sin(v*pi/180), dashed, gray figsize: (4, 4) fontsize: 14 ticks: off ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Løs ulikheten $\sin v > 0$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ v \in \langle 0\degree, 180\degree \rangle $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Løs ulikheten $\sin v > \cos v$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ v \in \langle 45\degree, 225\degree \rangle $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Løs ulikheten $\tan v < 0$. ::::{admonition} Fasit --- class: answer, dropdown --- $$ v \in \langle 90\degree, 180\degree\rangle \cup \langle 270\degree, 360\degree \rangle $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: :::::::::::::::