# Krasjkurs 1 :::{admonition} Læringsmål --- class: tip --- * Kunne bruke CAS til å regne funksjoner og bestemme funksjonsverdier, den deriverte, ekstremalpunkter og ukjente koeffisienter. * Kunne bruke CAS til å løse likninger, likningssystemer og ulikheter * Kjenne til matematiske funksjoner i CAS som $\ln x$, $\log_a (x)$ og $e^x$. ::: ## Funksjoner Det er noen matematiske funksjoner i R1 som vi må kunne bruke i CAS. Her er en oversikt over de vi trenger: | Funksjon | Notasjon i CAS | Eksempel | |----------|----------------|----------| | $\ln(x)$ | `ln(x)` | `ln(5)` | | $\lg(x)$ | `lg(x)` | `lg(100)` gir $\lg(100)$ | | $\log_a(x)$ | `log(a, x)` | `log(2, 8)` gir $\log_2 (8)$ | | $e^x$ | `exp(x)` | `exp(3)` gir $e^3$ | ### Funksjonsverdier Det er i blant nyttig å kunne regne ut funksjonsverdier $f(x)$, og det kan gjøres raskt og enkelt med CAS. :::::::::::::::{explore} Utforsk 1 I gif-en nedenfor regner vi ut $f(2)$ eksakt og numerisk for funksjonen $$ f(x) = x \ln x $$ Å regne ut **eksakte** verdier gjør vi med {ggb-icon}`mode_evaluate` – dette er det vi får som standard ved å bare trykke på enter ⏎. Å regne ut **numeriske** verdier gjør vi ved å trykke på {ggb-icon}`mode_numeric`. :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Bruk CAS-vinduet og følge eksempelet i gif-en. :::{figure} ./gifer/funksjonsverdier_1.gif --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- Først defineres funksjon $f(x)$. Det er viktig å bruke `:=` og ikke bare `=` for at det skal bli en funksjon. Deretter regner vi ut $f(2)$ både eksakt og numerisk ved å bruke {ggb-icon}`mode_evaluate` og {ggb-icon}`mode_numeric`. ::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Underveisoppgave 1 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Bestem $f(3)$ eksakt og numerisk for $$ f(x) = e^{x^2} $$ ::::{answer} :::{figure} ./løsninger/underveisoppgave_1/a.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Bestem $g(5)$ eksakt og numerisk for $$ g(x) = \lg(x + 10) $$ ::::{answer} :::{figure} ./løsninger/underveisoppgave_1/b.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Bestem $h(-3)$ eksakt og numerisk for $$ h(x) = \log_2(x^2 + 4) $$ ::::{answer} :::{figure} ./løsninger/underveisoppgave_1/c.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- ### Funksjonsverdier til $f'$ og $f''$ Vi kan også regne ut funksjonsverdier for den deriverte $f'$, eller den andrederiverte $f''$ for en gitt funksjon $f$. :::::::::::::::{explore} Utforsk 2 I gif-en nedenfor regner vi ut $f'(x)$, $f''(x)$, $f'(1)$ og $f''(1)$ for funksjonen $$ f(x) = x^3 e^{-x} $$ For å få den deriverte skriver vi bare `f'(x)` og for den andrederiverte `f''(x)`. :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Bruk CAS-vinduet og følg eksempelet. :::{figure} ./gifer/funksjonsverdier_2.gif --- class: no-click, adaptive-figure width: 70% --- ::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Underveisoppgave 2 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = x \ln (x + 1) $$ 1. Bestem $f'(x)$. 2. Bestem $f'(2)$ eksakt og numerisk. ::::{answer} :::{figure} ./løsninger/underveisoppgave_2/a.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: En funksjon $g$ er gitt ved $$ g(x) = \dfrac{1}{1 + e^{-x}} $$ 1. Bestem $g'(x)$. 2. Bestem $g'(-2)$ eksakt og numerisk. ::::{answer} :::{figure} ./løsninger/underveisoppgave_2/b.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: En funksjon $h$ er gitt ved $$ h(x) = e^{\sqrt{x + 1}} $$ 1. Bestem $h''(x)$ 2. Bestem $h''(3)$ eksakt og numerisk. ::::{answer} :::{figure} ./løsninger/underveisoppgave_2/c.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: En funksjon $p$ er gitt ved $$ p(x) = \log_2 (2x^2 + 4) $$ 1. Bestem $p''(x)$. 2. Bestem $p''(4)$ eksakt og numerisk. ::::{answer} :::{figure} ./løsninger/underveisoppgave_2/d.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- ### Bestemme $f(x)$ med likningssystem I en del sammenhenger ønsker vi å bestemme koeffisientene til en funksjon $f$ gitt ved et funksjonsuttrykk med ukjente koeffisienter, før vi skal bruke funksjonen videre til å løse andre problemstillinger med funksjonen. Dette er det neste vi skal se på. :::::::::::::::{explore} Utforsk 3 :::{plot} align: right width: 400 function: (x - 1)**2 - 4, f point: (-2, f(-2)) point: (3, f(3)) point: (1, f(1)) text: -2, f(-2), "$(-2, 5)$", center-right text: 1, f(1), "$(1, -4)$", bottom-center text: 3, f(3), "$(3, 0)$", bottom-right ticks: off fontsize: 28 xmin: -4 ::: I figuren til høyre vises en andregradsfunksjon $$ f(x) = ax^2 + bx + c $$ sammen med noen punkter på grafen til $f$. :::{clear} ::: I gif-en nedenfor vises det hvordan man bestemmer koeffisientene $a$, $b$ og $c$ med et likningssystem og setter de inn i $f(x)$. Oppskriften er: 1. Lag en **testfunksjon** $g(x)$ med de ukjente koeffisientene. 2. Løs et likningssystem for koeffisientene ved å bruke punktene på grafen til $f$. 3. Erstatt koeffisientene i testfunksjonen $g(x)$ med CAS-funksjonen `ByttUt` og definer $f(x)$ med det nye uttrykket. :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Prøv med CAS-vinduet og følg eksempelet i gif-en nedenfor. :::{figure} ./gifer/bestemme_f.gif --- class: no-click, adaptive-figure width: 70% --- Først definerer vi en testfunksjon $g(x)$ med de ukjente koeffisientene. Deretter lager vi et likningssystem og løser det med {ggb-icon}`mode_solve`. Til slutt bruker vi `ByttUt(uttrykk, liste med forandringer)` til å definere $f(x)$ med de riktige koeffisientene. ::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Underveisoppgave 3 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{plot} align: right width: 100% function: x**3 - 3*x + 2, f point: (-1, f(-1)) text: -1, f(-1), "$(-1, 4)$", top-center point: (1, f(1)) text: 1, f(1), "$(1, 0)$", bottom-center point: (2, f(2)) text: 2, f(2), "$(2, 4)$", bottom-right point: (-2, f(-2)) text: -2, f(-2), "$(-2, 0)$", top-left ticks: off fontsize: 28 ymin: -3 ::: I figuren til høyre vises grafen til en funksjon $f$ gitt ved $$ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $$ Bestem $f(x)$. :::{cas-popup} ::: :::{clear} ::: ::::{answer} :::{figure} ./løsninger/underveisoppgave_3/a.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{plot} align: right width: 100% function: 100 / (1 + 9 * exp(log(4/9) * x / 5)), f point: (0, f(0)) point: (5, f(5)) ymax: 110 xmax: 30 ticks: off text: 0, 10, "$(0, 10)$", top-left text: 5, 20, "$(5, 20)$", bottom-right fontsize: 28 ::: I figuren til høyre vises grafen til en funksjon $f$ gitt ved $$ f(x) = \dfrac{100}{1 + a\cdot e^{-bx}} $$ Bestem $f(x)$. :::{cas-popup} ::: :::{clear} ::: ::::{answer} :::{figure} ./løsninger/underveisoppgave_3/b.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c :::{plot} align: right width: 100% function: 2 * exp(-2*x) + 1, f xmin: -1 ymin: -0.5 ymax: 4 point: (0, f(0)) point: (2, f(2)) text: 0, f(0), "$(0, 3)$", top-right text: 2, f(2), "$\left(2, \displaystyle\frac{2}{e^4} + 1\right)$", top-center ticks: off fontsize: 28 ::: I figuren til høyre vises grafen til $$ f(x) = a \cdot e^{-bx} + 1 $$ Bestem $f(x)$. :::{cas-popup} ::: :::{clear} ::: ::::{answer} :::{figure} ./løsninger/underveisoppgave_3/c.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d :::{plot} align: right width: 100% function: 2*(log(x) / log(3) - 1) * (log(x) / log(3) - 2), f xmin: -1 xmax: 10 ymin: -2 point: (3, f(3)) point: (9, f(9)) point: (1, f(1)) text: 1, 4, "$(1, 4)$", top-right text: 3, 0, "$(3, 0)$", bottom-left text: 9, 0, "$(9, 0)$", top-center ticks: off fontsize: 28 ::: I figuren til høyre vises grafen til $$ f(x) = a\cdot \left(\log_3 x\right)^2 + b \cdot \log_3 x + c $$ Bestem $f(x)$. :::{cas-popup} ::: :::{clear} ::: ::::{answer} :::{figure} ./løsninger/underveisoppgave_3/d.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- ## Likninger De fleste likningene vi jobber med vil være tilknyttet funksjoner. Denne typen problemstillinger egner seg godt for CAS. ### Eksakt løsning :::::::::::::::{explore} Utforsk 4 :::{plot} align: right width: 100% function: exp(2*x) - 2*exp(x) - 8, f ymin: -11 ymax: 10 xmin: -4 xmax: 4 ticks: off fontsize: 28 ::: I figuren til høyre vises grafen til funksjonen $$ f(x) = e^{2x} - 2e^{x} - 8 $$ Vi skal bestemme følgende eksakt: 1. Nullpunktet til $f$. 2. Koordinatene til bunnpunktet til $f$. :::{clear} ::: :::{cas-popup} ::: Bruk CAS-vinduet og følg løsningen nedenfor – eller prøv selv først og sjekk løsningen etterpå! ::::{solution} --- dropdown: 0 --- 1. Vi løser $f(x) = 0$ og $f'(x) = 0$ eksakt ved å bruke {ggb-icon}`mode_solve`. 2. Så regner vi ut koordinatene til bunnpunktet til slutt ved å bruke løsningen av $f'(x) = 0$. :::{figure} ./gifer/likninger_1.gif --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Underveisoppgave 4 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{plot} align: right width: 100% function: (x**2 - 1) * exp(-x**2 + 1), f ymax: 1 ymin: -3.5 xmin: -3 xmax: 3 ticks: off fontsize: 28 lw: 3 ::: I figuren til høyre vises grafen til $$ f(x) = (x^2 - 1)e^{-x^2 + 1} $$ 1. Bestem nullpunktene til $f$. 2. Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$. :::{cas-popup} ::: :::{clear} ::: ::::{answer} :::{figure} ./løsninger/underveisoppgave_4/a.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{plot} align: right width: 100% function: (x**2 - 3) * exp(-x), g xmin: -2.5 xmax: 6 ymin: -6 ymax: 4 ticks: off lw: 3 fontsize: 28 ::: I figuren til høyre vises grafen til $$ g(x) = (x^2 - 3) e^{-x} $$ 1. Bestem nullpunktene til $g$. 2. Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $g$. :::{cas-popup} ::: :::{clear} ::: ::::{answer} :::{figure} ./løsninger/underveisoppgave_4/b.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c :::{plot} align: right width: 100% function: (log(x**2 + 4) - 1) / (log(x**2 + 4) + 1) - 1/2, h fontsize: 28 lw: 3 ticks: off ymin: -1 ymax: 1 xmin: -6 xmax: 6 ::: I figuren til høyre vises grafen til $$ h(x) = \dfrac{\ln(x^2 + 4) - 1}{\ln(x^2 + 4) + 1} - \dfrac{1}{2} $$ 1. Bestem nullpunktene til $h$. 2. Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $h$. :::{cas-popup} ::: :::{clear} ::: ::::{answer} :::{figure} ./løsninger/underveisoppgave_4/c.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d :::{plot} align: right width: 100% function: (log(x)/log(10))**2 - 3 * (log(x)/log(10)) + 2, p ticks: off xmin: -1 xmax: 120 ymin: -0.5 ymax: 2 fontsize: 28 lw: 3 ::: I figuren til høyre vises grafen til $$ p(x) = (\lg x)^2 - 3 \lg x + 2 $$ 1. Bestem nullpunktene til $p$. 2. Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $p$. :::{cas-popup} ::: :::{clear} ::: ::::{answer} :::{figure} ./løsninger/underveisoppgave_4/d.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: ### Numerisk løsning ::::{margin} :::{figure} ./memes/løs_vs_nløs.png --- class: no-click width: 100% --- ::: :::: Med noen likninger, vil det være **umulig** å få $x$ alene uansett hvor hardt vi prøver. Da er det numerisk løsning som er vår eneste utvei. :::::::::::::::{explore} Utforsk 5 :::{plot} align: right width: 100% function: x**2 * exp(x) - 2, f ticks: off lw: 3 fontsize: 28 xmin: -4 xmax: 2 ymin: -3 ymax: 3 ::: I figuren til høyre vises grafen til $$ f(x) = x^2 e^{x} - 2 $$ Vi skal bestemme nullpunktet til $f$. :::{clear} ::: :::{cas-popup} ::: Bruk CAS-vinduet til å følge løsningen nedenfor. ::::{solution} --- dropdown: 0 --- Vi prøver å løse likningen $f(x) = 0$ eksakt med {ggb-icon}`mode_solve`, men da får vi `{?}` fordi det ikke er mulig å få $x$ alene. Derfor må vi bruke {ggb-icon}`mode_nsolve` for å finne løsningene numerisk. :::{figure} ./gifer/numerisk_løsning.gif --- class: no-click, adaptive-figure width: 70% --- ::: :::: ::::::::::::::: :::::::::::::::{exercise} Underveisoppgave 5 ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a :::{plot} align: right width: 100% function: (x + 3) * log(x**2 + 1), f fontsize: 28 lw: 3 ticks: off ::: I figuren til høyre vises grafen til $$ f(x) = (x+3) \ln (x^2 + 1) $$ 1. Bestem nullpunktene til $f$. 2. Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$. :::{cas-popup} ::: :::{clear} ::: ::::{answer} :::{figure} ./løsninger/underveisoppgave_5/a.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b :::{plot} align: right width: 100% function: x**3 * exp(-x**2 + 1) - 1/2, g ticks: off xmin: -4 xmax: 4 ymin: -2 ymax: 1.5 fontsize: 28 lw: 3 ::: I figuren til høyre vises grafen til $$ g(x) = x^3 e^{-x^2 + 1} - \dfrac{1}{2} $$ 1. Bestem nullpunktene til $g$ numerisk. 2. Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $g$ numerisk. :::{cas-popup} ::: :::{clear} ::: ::::{answer} :::{figure} ./løsninger/underveisoppgave_5/b.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c :::{plot} align: right width: 100% function: x**4 * log(x**2) - x**2 - 1, h ticks: off xmin: -2 xmax: 2 ymin: -3 ymax: 1.5 fontsize: 28 lw: 3 ::: I figuren til høyre vises grafen til $$ h(x) = x^4 \ln(x^2 + 1) - x^2 - 1 $$ 1. Bestem nullpunktene til $h$ numerisk. 2. Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $h$ numerisk. :::{cas-popup} ::: :::{clear} ::: ::::{answer} :::{figure} ./løsninger/underveisoppgave_5/c.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 80% --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} d :::{plot} align: right width: 100% function: (x * exp(-x) + 2) / (log(x**2 + 1) + 1), p xmin: -2.5 xmax: 6 ymin: -3 ymax: 3.5 ticks: off lw: 3 fontsize: 28 ::: Figuren til høyre viser grafen til $$ p(x) = \dfrac{x e^{-x} + 2}{\ln(x^2 + 1) + 1} $$ 1. Bestem nullpunktene til $p$ numerisk. 2. Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $p$ numerisk. :::{cas-popup} ::: :::{clear} ::: ::::{answer} :::{figure} ./løsninger/underveisoppgave_5/d.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 100% --- ::: :::: ::::::::::::: :::::::::::::: :::::::::::::::