# Anvendelser av derivasjon ## Topp- og bunnpunkter :::::::::::::::{summary} Topp- og bunnpunkter For å bestemme topp- og bunnpunkter til en funksjon $f$, gjør vi følgende: 1. Vi bestemmer ekstremalpunktene $x$ ved å løse likningen $f'(x) = 0$. 2. For å avgjøre om et ekstremalpunkt $x$ er et toppunkt eller bunnpunkt, kan vi bruke den andrederiverttesten: * Hvis $f''(x) > 0$, er punktet et bunnpunkt. * Hvis $f''(x) < 0$, er punktet et toppunkt. * Hvis $f''(x) = 0$, så kan vi ikke trekke noen konklusjon. ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter for $f$ gitt ved $$ f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. $$ ::::{answer} * Toppunkt i $(0, 4)$ * Bunnpunkt i $(2, 0)$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^2 e^{-x} $$ Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunktene på grafen til $f$. ::::{answer} Bunnpunkt i $(0, 0)$ og toppunkt i $\left(2, \dfrac{4}{e^2}\right)$. :::: ::::::::::::::: --- ## Tangenter :::::::::::::::{summary} Tangenter Tangenten til grafen til en funksjon $f$ i et punkt $(a, f(a))$ er gitt ved likningen $$ y = f(a) + f'(a) \cdot (x - a) $$ :::{plot} width: 70% function: (x**2 - 1) * exp(-x), f xmin: -1.5 xmax: 4 ymin: -1.5 ymax: 1 ticks: off point: (1.2, f(1.2)) tangent: 1.2, f annotate: (0.5, 0.8), (1.6, 0.37), "Tangent" text: 1.2, f(1.2), "$(a, f(a))$" ::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^3 - 6x^2 + 2 $$ Bestem likningen for tangenten til grafen til $f$ i punktet $(1, f(1))$. ::::{answer} $$ y = -9x + 6 $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = \sqrt{x} $$ Bestem likningen for tangenten til grafen til $f$ i punktet $(4, f(4))$. ::::{answer} $$ y = \dfrac{1}{4}x + 1 $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = \ln x $$ Bestem likningen for tangenten til $f$ i punktet $(e, f(e))$. ::::{answer} $$ y = \dfrac{1}{e}x $$ :::: ::::::::::::::: ## Vendepunkter og vendetangenter :::::::::::::::{summary} Vendepunktene til en funksjon $f$ Et **vendepunkt** er et punkt der $f''(x)$ skifter fortegn. Vendepunktene er typisk punter på grafen til $f$ der $f''(x) = 0$. Det er punkter hvor grafen snur fra å være konkav til å bli konveks, eller omvendt. Se figuren nedenfor. * En **vendetangent** er en tangent til grafen i et vendepunkt. * Vendepunktene er punkter hvor grafen er **brattest** eller **slakest** (*lokalt* – opplagt er den mye brattere helt til venstre i figuren nedenfor). :::{plot} width: 70% function: (x**2 - 1) * exp(-x), f xmin: -1.5 xmax: 6 ymin: -1.5 ymax: 1 ticks: off point: (2 + sqrt(3), f(2 + sqrt(3))) point: (2 - sqrt(3), f(2 - sqrt(3))) tangent: 2 + sqrt(3), f tangent: 2 - sqrt(3), f annotate: (2, -0.5), (2 + sqrt(3), f(2 + sqrt(3))), "Vendepunkter" annotate: (2, -0.5), (2 - sqrt(3), f(2 - sqrt(3))), "Vendepunkter", -0.3 ::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 6 En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = x^3 - 3x^2 + 8 $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem koordinatene til vendepunktet til $f$. ::::{answer} $$ (1, 6) $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem likningen til vendetangenten til $f$. ::::{answer} $$ y = -3x + 9 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 7 En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = x e^x $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til $f$. ::::{answer} $$ \left(-2, -\dfrac{2}{e^2}\right) $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem likningene til eventuelle vendetangenter til grafen til $f$. ::::{answer} $$ y = -\dfrac{1}{e^2}x - \dfrac{4}{e^2} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 8 En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = (x^2 + 1)e^{-x} $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem koordinatene til eventuelle vendepunkter til $f$. ::::{answer} $$ \left(1, \dfrac{2}{e}\right) \qog \left(3, \dfrac{10}{e^3}\right) $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem likningene til vendetangentene til $f$. ::::{answer} * Vendetangent i $(1, f(1))$ er gitt ved $y = \dfrac{2}{e}$ * Vendetangent i $(3, f(3))$ er gitt ved $y = \dfrac{10}{e^3} - \dfrac{4}{e^3}(x - 3)$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- ## Blandede oppgaver :::::::::::::::{exercise} Oppgave 9 En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = (\ln x)^2 - 4 \ln x + 3 $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem i hvilke punkter grafen til $f$ skjærer $x$-aksen. ::::{answer} $$ x = e \or x = e^3 $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen til $f$. ::::{answer} Bunnpunkt i $\left(e^2 , -1\right)$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 10 En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = 1 - x^2 \qder D_f = [0, 1]. $$ La $a \in \langle 0, 1 \rangle$ og la $O$ være origo. En tangent til grafen til $f$ i punktet $P(a, f(a))$ skjærer $y$-aksen i et punkt $A$ og $x$-aksen i et punkt $B$. Se figuren nedenfor. :::{plot} width: 70% function: 1 - x**2, f, (0, 1) xmin: -0.2 xmax: 1.3 ymin: -0.3 ymax: 1.5 ticks: off point: (3/5, f(3/5)) tangent: 3/5, f point: (0, (3/5)**2 + 1) point: (((3/5)**2 + 1) / (2*3/5), 0) text: 3/5, f(3/5), "$P(a, f(a))$", top-right text: 0, (3/5)**2 + 1, "$A$", bottom-left text: ((3/5)**2 + 1) / (2*3/5), 0, "$B$", bottom-left ::: ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem koordinatene til punktet $A$. ::::{answer} $$ A = \left(0, a^2 + 1\right) $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem koordinatene til punktet $B$. ::::{answer} $$ B = \left(\dfrac{a^2 + 1}{2a}, 0\right) $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Punktene $O$, $A$ og $B$ danner en trekant $\triangle OAB$. Bestem det *minste* mulige arealet $\triangle OAB$ kan ha. ::::{answer} $$ A_\text{minst} = \dfrac{4\sqrt{3}}{9} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 11 Nedenfor vises tre figurer der en viser grafen til $f$, en viser grafen til $f'$ og en viser grafen til $f''$. Bestem hvilke. :::{multi-plot} width: 100% functions: (x**2 - 4*x + 1) * exp(-x), (-x**2 + 2*x + 1) * exp(-x), (x**2 - 1) * exp(-x) function-names: A, B, C rows: 1 cols: 3 xmin: -2 xmax: 5 ymin: -2 ymax: 6 ticks: off ::: ::::{answer} * Figur C viser $f$ * Figur B viser $f'$ * Figur A viser $f''$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 12 En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = -e^{2x} + 3e^x - 2 $$ Én av grafene nedenfor viser grafen til $f$. Avgjør hvilken graf som viser grafen til $f$. :::{multi-plot} width: 100% functions: -exp(2*x) + 3*exp(x) - 2, exp(2*x) - 3*exp(x) + 2, x*(x - log(2)) * exp(-x), -x * (x - log(2)) * exp(-x) function-names: A, B, C, D rows: 2 cols: 2 ticks: off ymax: 2 ymin: -2 xmin: -2 xmax: 3 ::: ::::{answer} Graf A viser grafen til $f$. :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 13 For en funksjon $f$ vises fortegnslinjen til $f'(x)$. Bestem hvilket ekstremalpunkt som er et bunnpunkt og hvilket som er et toppunkt. :::{signchart} width: 100% function: (x - exp(1)) * (x + exp(1)), f'(x) factors: false ::: ::::{answer} $x = -e$ er et toppunkt og $x = e$ er et bunnpunkt. :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 14 En funksjon $f$ er kontinuerlig og dobbelt deriverbar for alle $x \in \mathbb{R}$. Nedenfor vises noen påstander. Avgjør om påstanden er sann og husk å argumentere for å svaret ditt. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Dersom $f'(a) = 0$ og $f''(a) > 0$, så har grafen til $f$ et bunnpunkt i punktet $(a, f(a))$. ::::{answer} Påstanden er sann. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Dersom $f'(b) = 0$ og $f''(b) = 0$, så har grafen til $f$ et terrassepunkt i $(b, f(b))$. ::::{answer} Påstanden er usann. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} c Dersom $f$ har to ekstremalpunkter $m_1, m_2 \in \langle a, b\rangle$, så finnes det *minst* ett punkt $c \in \langle a, b \rangle$ slik at $$ f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} $$ ::::{answer} Påstanden er sann. :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 15 En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = 2 - \ln x, \quad x > 0 $$ Et rektangel har hjørnene $(0, 0)$ og $(0, a)$ og $(a, f(a))$ og $(0, f(a))$. Bestem $a$ slik at arealet av rektangelet er størst mulig. :::{plot} width: 70% function: 2 - log(x), f point: (0, 0) point: (1.5, 0) point: (1.5, f(1.5)) point: (0, f(1.5)) polygon: (0, 0), (1.5, 0), (1.5, f(1.5)), (0, f(1.5)) xmin: -0.2 xmax: 5 ymin: -0.2 ymax: 6 ticks: off text: 1.5, f(1.5), "$(a, f(a))$", top-right ::: ::::{answer} $$ a = e $$ :::: :::::::::::::::