# Oppgaver: Deriverbarhet :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = \begin{cases} x^2 \qfor x < 1 \\ \\ 2x - 1 \qfor x \geq 1 \end{cases} $$ Bestem $f'(1)$ hvis den eksisterer. ::::{answer} $$ f'(1) = 2 $$ :::: ::::{solution} Vi lar $g(x) = x^2$ og $h(x) = 2x - 1$. Begge funksjonene er kontinuerlige og deriverbare i $x = 1$, så vi sjekker bare om $g(1) = h(1)$ og $g'(1) = h'(1)$. Først sjekker vi kontinuiteten: $$ g(1) = 1^2 = 1 \and h(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1 $$ Altså er $f$ kontinuerlig i $x = 1$. Nå sjekker vi deriverbarheten: $$ g'(x) = 2x \limplies g'(1) = 2 \cdot 1 = 2 $$ og $$ h'(x) = 2 \limplies h'(1) = 2 $$ Altså er $h'(1) = g'(1)$ så $f$ er deriverbar i $x = 1$ og $f'(1) = 2$. :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 En funksjon $f$ er gitt ved $$ \begin{cases} x^2 + 2 \qfor x < 1 \\ \\ -x^2 + 2x \qfor x \geq 1 \end{cases} $$ Bestem $f'(1)$ hvis den eksisterer. ::::{answer} $f$ er ikke kontinuerlig i $x = 1$, så $f'(1)$ eksisterer ikke. :::: ::::{solution} Vi lar $$ g(x) = x^2 + 2 \qog h(x) = -x^2 + 2x $$ Vi sjekker først om $f$ er kontinuerlig i $x = 1$ ved å sjekke at $g(1) = h(1)$. Vi har $$ g(1) = 1^2 + 2 = 3 \qog h(1) = -1^2 + 2\cdot 1 = -1 + 2 = 1 $$ Altså er $g(1) \neq h(1)$, så $f$ er ikke kontinuerlig i $x = 1$. Men da er ikke $f$ deriverbar i $x = 1$ heller. :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^3 + 8}{x + 2} \qhvis x \neq -2 \\ \\ a \qhvis x = -2 \end{cases} $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem $a$ slik at $f$ er kontinuerlig i $x = -2$. ::::{answer} $$ a = 12 $$ :::: ::::{solution} For å bestemme verdien til $a$ som gjør at $f$ er kontinuerlig i $x = -2$, så må vi bruke definisjonen av kontinuitet: $$ \lim_{x \to -2} f(x) = f(-2) $$ Vi har at $f(-2) = a$, så vi må finne grenseverdien $\lim_{x \to -2} f(x)$. Vi har $$ \begin{align*} \lim_{x \to -2} f(x) &= \lim_{x \to -2} \dfrac{x^3 + 8}{x + 2} \\ \\ &\overset{[\frac{0}{0}]}{=} \lim_{x} \to -2} \dfrac{3x^2}{1} \\ \\ &= 3 \cdot (-2)^2 = 12 \end{align*} $$ Altså må $a = 12$ for at $f$ skal være kontinuerlig i $x = -2$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem $f'(-2)$ hvis den eksisterer. ::::{answer} $$ f'(-2) = -6 $$ :::: ::::{solution} Vi bruker definisjonen av den deriverte til å se om vi kan bestemme en verdi for $f'(-2)$. Da får vi $$ \begin{align*} f'(-2) &= \lim_{x \to -2} \dfrac{f(x) - f(-2)}{x - (-2)} \\ \\ &= \lim_{x \to -2} \dfrac{\dfrac{x^3 + 8}{x + 2} - 12}{x + 2} \\ \\ &= \lim_{x \to -2} \dfrac{\dfrac{x^3 + 8 - 12(x + 2)}{x + 2}}{x + 2} \\ \\ &= \lim_{x \to -2} \dfrac{x^3 - 12x - 16}{(x + 2)^2} \\ \\ & \overset{[\frac{0}{0}]}{=} \lim_{x \to -2} \dfrac{3x^2 - 12}{2(x + 2)} \\ \\ &\overset{[\frac{0}{0}]}{=} \lim_{x \to -2} \dfrac{6x}{2} \\ \\ &= \dfrac{6 \cdot (-2)}{2} = -6 \end{align*} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^3 - 27}{x - 3} \qfor x \neq 3 \\ \\ a \qfor x = 3 \end{cases} $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem $a$ slik at $f$ er kontinuerlig i $x = 3$. ::::{answer} $$ a = 27 $$ :::: ::::{solution} For å bestemme $a$, må vi bruke definisjonen av kontinuitet: $$ \lim_{x \to 3} f(x) = f(3) $$ Vi har at $f(3) = a$, så vi må finne grenseverdien $\lim_{x \to 3} f(x)$. Vi har $$ \begin{align*} \lim_{x \to 3} f(x) &= \lim_{x \to 3} \dfrac{x^3 - 27}{x - 3} \\ \\ &\overset{[\frac{0}{0}]}{=} \lim_{x \to 3} \dfrac{3x^2}{1} \\ \\ &= 3 \cdot 3^2 = 27 \end{align*} $$ Altså må $a = 27$ for at $f$ skal være kontinuerlig i $x = 3$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem $f'(3)$ hvis den eksisterer. ::::{answer} $$ f'(3) = 9 $$ :::: ::::{solution} Vi bruker definisjonen av den deriverte til å se om vi kan bestemme en verdi for $f'(3)$. Da får vi $$ \begin{align*} f'(3) &= \lim_{x \to 3} \dfrac{f(x) - f(3)}{x - 3} \\ \\ &= \lim_{x \to 3} \dfrac{\dfrac{x^3 - 27}{x - 3} - 27}{x - 3} \\ \\ &= \lim_{x \to 3} \dfrac{\dfrac{x^3 - 27 - 27(x - 3)}{x - 3}}{x - 3} \\ \\ &= \lim_{x \to 3} \dfrac{x^3 - 27x + 81}{(x - 3)^2} \\ \\ & \overset{[\frac{0}{0}]}{=} \lim_{x \to 3} \dfrac{3x^2 - 27}{2(x - 3)} \\ \\ &\overset{[\frac{0}{0}]}{=} \lim_{x \to 3} \dfrac{6x}{2} \\ \\ &= \dfrac{6 \cdot 3}{2} = 9 \end{align*} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = \begin{cases} \dfrac{e^x - 1 - x}{x} \qfor x < 0 \\ \\ a \qfor x = 0 \\ \\ \dfrac{1}{2} \ln (x + 1) \qfor x > 0 \end{cases} $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem $a$ slik at $f$ er kontinuerlig i $x = 0$. ::::{answer} $$ a = 0 $$ :::: ::::{solution} Her må vi bruke definisjonen av kontinuitet: $$ \lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) $$ Vi har at $f(0) = a$, så vi må bestemme de ensidige grenseverdiene og sjekke at de begge nærmer seg samme verdi. Vi tar først grenseverdien fra venstre: $$ \begin{align*} \lim_{x \to 0^-} f(x) &= \lim_{x \to 0^-} \dfrac{e^x - 1 - x}{x} \\ \\ &\overset{[\frac{0}{0}]}{=} \lim_{x \to 0^-} \dfrac{e^x - 1}{1} \\ \\ &= e^0 - 1 = 0 \end{align*} $$ Så tar vi grenseverdien fra høyre: $$ \begin{align*} \lim_{x \to 0^+} f(x) &= \lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{2} \ln (x + 1) \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \ln (0 + 1) = \dfrac{1}{2} \cdot 0 = 0 \end{align*} $$ Altså må $a = 0$ for at $f$ skal være kontinuerlig i $x = 0$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem $f'(0)$ hvis den eksisterer. ::::{answer} $$ f'(0) = \dfrac{1}{2} $$ :::: ::::{solution} Vi bruker definisjonen av den deriverte som sier at $$ f'(0) = \lim_{x\to 0}\dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x\to 0}\dfrac{f(x) - f(0)}{x} $$ Vi må ta de ensidige grensene, og hvis disse er like, så vil $f'(0)$ eksistere. Vi tar grensen fra venstre først: $$ \begin{align*} f'(0) &= \lim_{x \to 0^-} \dfrac{f(x) - f(0)}{x} \\ \\ &= \lim_{x \to 0^-} \dfrac{\dfrac{e^x - 1 - x}{x} - 0}{x} \\ \\ &= \lim_{x \to 0^-} \dfrac{e^x - 1 - x}{x^2} \\ \\ &\overset{[\frac{0}{0}]}{=} \lim_{x \to 0^-} \dfrac{e^x - 1}{2x} \\ \\ &\overset{[\frac{0}{0}]}{=} \lim_{x \to 0^-} \dfrac{e^x}{2} \\ \\ &= \dfrac{e^0}{2} = \dfrac{1}{2} \end{align*} $$ Så tar vi grenseverdien fra høyre: $$ \begin{align*} f'(0) &= \lim_{x \to 0^+} \dfrac{f(x) - f(0)}{x} \\ \\ &= \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\dfrac{1}{2} \ln (x + 1) - 0}{x} \\ \\ &= \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\ln (x + 1)}{2x} \\ \\ &\overset{[\frac{0}{0}]}{=} \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\dfrac{1}{x + 1}}{2} \\ \\ &= \dfrac{1}{2 \cdot (0 + 1)} = \dfrac{1}{2} \end{align*} $$ De to grensene er like som betyr at $f'(0)$ eksisterer og er gitt ved $$ f'(0) = \dfrac{1}{2} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 6 En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = \begin{cases} e^x - 1 \qfor x < 0 \\ \\ x \ln (x + 1) \qfor x \geq 0 \end{cases} $$ Bestem $f'(0)$ hvis den eksisterer. ::::{answer} $f'(0)$ eksisterer ikke. :::: ::::{solution} Vi må først sjekke at $f$ er kontinuerlig. Begge forskrifter er kontinuerlig og deriverbare i $x = 0$. La $g(x) = e^x - 1$ og $h(x) = x \ln (x + 1)$. Vi sjekker først kontinuiteten. $f$ vil være kontinuerlig dersom $g(0) = h(0)$: $$ g(0) = e^0 - 1 = 0 \qog h(0) = 0 \cdot \ln (0 + 1) = 0 $$ Ergo er $f$ kontinuerlig i $x = 0$. Så sjekker vi deriverbarhet. Vi kan prøve oss på å sjekke om $$ g'(0) = h'(0) $$ Vi har $$ g'(x) = e^x \limplies g'(0) = e^0 = 1 $$ Så sjekker vi $h'(0)$. Vi bruker produktregelen: $$ h'(x) = \ln (x + 1) + \dfrac{x}{x + 1} \limplies h'(0) = \ln (0 + 1) + \dfrac{0}{0 + 1} = 0 $$ Altså er $g'(0) \neq h'(0)$, så $f$ er ikke deriverbar i $x = 0$ og dermed eksisterer ikke $f'(0)$. :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 7 En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = \begin{cases} \dfrac{x - 4}{\sqrt{x} - 2} \qfor x \neq 4 \qog x \geq 0 \\ \\ a \qfor x = 4 \end{cases} $$ ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Bestem $a$ slik at $f$ er kontinuerlig i $x = 4$. ::::{answer} $$ a = 4 $$ :::: ::::{solution} Uttrykket for $f(x)$ når $x \neq 4$ er ikke definert i $x = 4$, så vi er nødt til å bruke definisjonen av kontinuitet: $$ \lim_{x \to 4} f(x) = f(4) $$ Vi vet at $f(4) = a$, så vi må finne grenseverdien $\lim_{x \to 4} f(x)$. Vi har $$ \begin{align*} \lim_{x \to 4} f(x) &= \lim_{x \to 4} \dfrac{x - 4}{\sqrt{x} - 2} \\ \\ &\overset{[\frac{0}{0}]}{=} \lim_{x \to 4} \dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)} \\ \\ \\ &= \lim_{x \to 4} 2 \sqrt{x} \\ \\ &= 2 \sqrt{4} = 4 \end{align*} $$ Altså må $a = 4$ for at $f$ skal være kontinuerlig i $x = 4$. :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem $f'(4)$ hvis den eksisterer. ::::{answer} $$ f'(4) = \dfrac{1}{4} $$ :::: ::::{solution} Vi bruker definisjonen av den deriverte til å bestemme $f'(4)$ dersom den finnes: $$ \begin{align*} f'(4) &= \lim_{x \to 4} \dfrac{f(x) - f(4)}{x - 4} \\ \\ &= \lim_{x \to 4} \dfrac{\dfrac{x - 4}{\sqrt{x} - 2} - 4}{x - 4} \\ \\ &= \lim_{x \to 4} \dfrac{\dfrac{x - 4}{\sqrt{x} - 2} - \dfrac{4(\sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x} - 2}}{x - 4} \\ \\ &= \lim_{x \to 4} \dfrac{\dfrac{x - 4 - 4\sqrt{x} + 8}{\sqrt{x} - 2}}{x - 4} \\ \\ &= \lim_{x \to 4} \dfrac{\dfrac{x - 4 \sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 2}}{x - 4} \\ \\ &= \lim_{x \to 4} \dfrac{x - 4\sqrt{x} + 4}{(\sqrt{x} - 2)(x - 4)} \\ \end{align*} $$ Herfra blir det enklere ved å innse at $$ x - 4\sqrt{x} + 4 = (\sqrt{x})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x} + 2^2 = (\sqrt{x} - 2)^2 $$ der vi har brukt 2.kvadratsetning. Da får vi $$ f'(4) = \lim_{x \to 4} \dfrac{(\sqrt{x} - 2)^2}{(\sqrt{x} - 2)(x - 4)} = \lim_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} \overset{[\frac{0}{0}]}{=} \lim_{x \to 4} \dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{1} = \dfrac{1}{2 \cdot 2} = \dfrac{1}{4} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 8 :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = \begin{cases} -9x - 15, \quad x \leq -2 \\ \\ g(x), \quad -2 < x < 1 \\ \\ \dfrac{x^2}{2} - x - \dfrac{7}{2}\, , \quad x \geq 1 \end{cases} $$ Funksjonen $f$ er kontinuerlig og deriverbar for alle $x \in \mathbb{R}$. Funksjonen $g$ er en tredjegradsfunksjon. Bestem $g(x)$. ::::{answer} $$ a = -\dfrac{13}{27} \and b = \dfrac{7}{9} \and c = -\dfrac{1}{9} \and d = -\dfrac{113}{27} $$ :::: ::::{solution} Hver forskrift i uttrykket for $f(x)$ er polynomer som er kontinuerlige og deriverbare der de møtes. Vi lar $$ p(x) = -9x - 15 \qog q(x) = \dfrac{x^2}{2} - x - \dfrac{7}{2} $$ $g$ skal være en tredjegradsfunksjon som kan skrives på formen $$ g(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $$ Siden $f$ skal være kontinuerlig og deriverbar overalt, så må $f$ være kontinuerlig og deriverbar i $x = -2$ og i $x = 1$. Funksjonen er ellers kontinuerlig og deriverbar fordi den består av polynomer. For at vi skal oppnå dette, må vi sette $$ p(-2) = g(-2) \and p'(-2) = g'(-2) \and g(1) = q(1) \and g'(1) = q'(1) $$ Da får vi et likningssystem, så er enklest å løse med CAS: :::{figure} ./figurer/oppgave_8/sol.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 60% --- ::: Det blir ikke pent, men vi får at $$ a = -\dfrac{13}{27} \and b = \dfrac{7}{9} \and c = -\dfrac{1}{9} \and d = -\dfrac{113}{27} $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 9 :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: En funksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = \begin{cases} ax + b \qfor x < -2 \\ \\ 2x^3 + 2x^2 - 2x \qfor -2 < x < k \\ \\ c \qfor x \geq k \end{cases} $$ der $a, b, c \in \mathbb{R}$ og $k > -2$. ::::::::::::::{tab-set} --- class: tabs-parts --- :::::::::::::{tab-item} a Avgjør om $f$ er kontinuerlig i $x = -2$ dersom $a = 2$ og $b = -2$. ::::{answer} Nei :::: ::::::::::::: :::::::::::::{tab-item} b Bestem $a$, $b$, $c$, og $k$ slik at $f$ er kontinuerlig og deriverbar i $x = -2$ og $x = k$. ::::{answer} Det er to muligheter. Mulighet 1: $$ a = 14 \and b = 24 \and c = 2 \and k = -1 $$ Mulighet 2: $$ a = 14 \and b = 24 \and c = -\dfrac{10}{27} \and k = \dfrac{1}{3} $$ :::: ::::{solution} Vi lar $$ \begin{align*} p(x) &= ax + b \\ \\ g(x) &= 2x^3 + 2x^2 - 2x \\ \\ h(x) &= c \end{align*} $$ For at $f$ skal være kontinuerlig og deriverbar i $x = -2$, så må følgende likninger være oppfylt: $$ p(-2) = g(-2) \and p'(-2) = g'(-2) $$ For at $f$ skal være kontinuerlig og deriverbar i $x = k$, så må følgende likninger være oppfylt: $$ g(k) = h(k) \and g'(k) = h'(k) $$ Dette gir oss et likningssystem som vi kan løse med CAS: :::{figure} ./figurer/oppgave_9/sol.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 85% --- ::: Vi får dermed to mulige løsninger: $$ a = 14 \and b = 24 \and c = 2 \and k = -1 $$ eller $$ a = 14 \and b = 24 \and c = -\dfrac{10}{27} \and k = \dfrac{1}{3} $$ :::: ::::::::::::: :::::::::::::: :::::::::::::::