# Oppgaver: Optimering > Å løse oppgavene nedenfor uten hjelpemidler kan være veldig tidkrevende. Det er derfor lurt å løse dem ved å bruke CAS. :::::::::::::::{exercise} Oppgave 1 :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Anna og Bjørn har materiale nok til å lage et gjerde som er 64 m langt. De skal gjerde inn et område som skal ha form som et rektangel, og de ønsker at området skal få størst mulig areal. Se figuren nedenfor. Bestem det største mulige arealet de kan gjerde inn. :::{plot} width: 60% axis: off polygon: (0, 0), (44, 0), (44, 20), (0, 20) xmin: -5 xmax: 45 ymax: 22 ymin: -2 text: 22, 0, "$x$", bottom-center text: 44, 10, "$y$", center-right figsize: (4, 2) ::: ::::{answer} $$ A_\text{størst} = 256 \, \mathrm{m}^2 $$ :::: ::::{solution} Omkretsen til området kan beskrives som: $$ 2x + 2y = 64 \liff x + y = 32 $$ Arealet til området vil være $A = x \cdot y$. Vi kan løse likningen ovenfor for $y$: $$ x + y = 32 \liff y = 32 - x $$ Da kan vi lage en funksjon $A(x)$ for arealet som blir: $$ A(x) = x\cdot y(x) = x\cdot(32 - x) = -x^2 + 32x $$ For å bestemme den verdien av $x$ som gir størst areal, så må vi se etter ekstremalpunktene til $A$. Deretter må vi sjekke at $A''(x) < 0$ i punktet for å sikre at det er et toppunkt. Vi bruker CAS til å utføre selve regningen: :::{figure} ./figurer/oppgave_1/sol.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 60% --- ::: Vi ser at $A'(x) = 0$ når $x = 16$. Vi ser også at $A''(16) < 0$ som betyr at $A$ er konkav {polyicon}`frown` i nabolaget til punktet. Dermed gir $x = 16$ et toppunkt. Vi ser at da er $A(16) = 256$ som betyr at det største mulige arealet er $256 \, \mathrm{m}^2$. :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 2 :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Anna og Bjørn skal slå opp telt ved en elvebredde. De skal sette opp et tau rundt teltet for å holde dyr unna. De har 80 m med tau og fire pinner. Området de skal gjerde inn skal ha form som et rektangel og de tenker å bruke elvebredden som en av sidene i rektangelet slik at de kan gjerde inn et større område. Målet deres er å få et størst mulig areal innenfor gjerdet. Se figuren nedenfor. Bestem det største mulige arealet de kan gjerde inn. :::{plot} width: 70% axis: off figsize: (5, 3) hline: 0, -10, 10, solid, blue line-segment: (0, 0), (8, 0), black, solid line-segment: (-4, 0), (-4, 5), black, solid line-segment: (-4, 5), (4, 5), black, solid line-segment: (4, 5), (4, 0), black, solid text: 0, 0, "Elvebredde", bottom-center annotate: (5, 5), (0, 5), "Gjerde", 0.5 ::: ::::{answer} $$ A_\mathrm{størst} = 800 \, \mathrm{m}^2 $$ :::: ::::{solution} Vi setter opp et uttrykk for "omkretsen" av gjerde: $$ x + 2y = 80 $$ Dette kan vi løse for $y$: $$ x + 2y = 80 \liff y = 40 - \dfrac{1}{2}x $$ Nå kan vi lage en funksjon $A(x)$ for arealet som blir: $$ A(x) = x \cdot y(x) = x \cdot \left(40 - \dfrac{1}{2}x\right) = -\dfrac{1}{2}x^2 + 40x $$ For å bestemme ekstremalpunktene til $A$, så må vi løse $A'(x) = 0$ og sjekke at $A''(x) < 0$ i punktet for å sikre at det er et toppunkt. Vi bruker CAS til å utføre selve regningen: :::{figure} ./figurer/oppgave_2/sol.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 60% --- ::: Fra utskriften ser vi at $x = 40$ er et ekstremalpunkt siden $A'(40) = 0$. Videre er punktet et toppunkt siden $A''(40) < 0$. Dermed gir $x = 40$ et toppunkt. Vi ser også at $A(40) = 800$ som betyr at det største mulige arealet er $800 \, \mathrm{m}^2$. :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 3 :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: En andregradsfunksjon $f$ er gitt ved $$ f(x) = -x^2 + 9 \qder x \in [0, 3]. $$ En trekant har hjørner i $(0, 0)$, $(k, 0)$ og $(k, f(k))$. Se figuren nedenfor. Bestem $k$ slik at arealet av trekanten er størst mulig. :::{plot} width: 70% function: -x**2 + 9, (0, 3), f xmin: -1 xmax: 4 ymax: 10 ymin: -1 ticks: off polygon: (0, 0), (2, 0), (2, 5) point: (0, 0) point: (2, 0) point: (2, 5) text: 0, 0, "$(0, 0)$", bottom-left text: 2, 0, "$(k, 0)$", bottom-center text: 2, 5, "$(k, f(k))$", top-right ::: ::::{answer} $$ k = \sqrt{3} $$ :::: ::::{solution} Vi setter opp et funksjon $A(k)$ for arealet av trekanten: $$ A(k) = \dfrac{k \cdot f(k)}{2} = \dfrac{-k^3 + 9k}{2} = -\dfrac{1}{2}k^3 + \dfrac{9}{2}k $$ For å bestemme ekstremalpunktene til arealfunksjonen, så må vi løse $A'(k) = 0$ og sjekke at $A''(k) < 0$ i punktet for å sikre at det er et toppunkt. Vi bruker CAS til å utføre selve regningen: :::{figure} ./figurer/oppgave_3/sol.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 60% --- ::: Vi får to løsninger til likningen $A'(k) = 0$, men det er bare $k = \sqrt{3}$ som er en del av definisjonsmengden. Vi ser også at $A''(\sqrt{3}) < 0$ som betyr at $A$ er konkav {polyicon}`frown` i nabolaget til punktet. Dermed gir $k = \sqrt{3}$ et toppunkt. Dermed blir arealet av trekanten størst mulig dersom $$ k = \sqrt{3} $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 4 :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Nedenfor ser du grafen til en funksjon $f$ gitt ved $$ f(x) = \dfrac{8}{x^2 + 20} \qder D_f = [0, \to \rangle $$ Et rektangel har hjørnene $(0, 0)$, $(r, 0)$, $(r, f(r))$ og $(0, f(r))$. Se figuren nedenfor. Bestem $r$ slik at arealet av rektangelet er størst mulig. :::{plot} width: 70% function: 8/(x**2 + 20), (0, 20), f xmin: -1 xmax: 15 ymin: -0.1 ymax: 0.5 ystep: 0.1 point: (5, f(5)) point: (0, 0) point: (0, f(5)) point: (5, 0) polygon: (0, 0), (5, 0), (5, f(5)), (0, f(5)) text: 0, 0, "$(0, 0)$", bottom-left text: 5, 0, "$(r, 0)$", bottom-center text: 5, f(5), "$(r, f(r))$", top-right text: 0, f(5), "$(0, f(r))$", top-left ticks: off ::: ::::{answer} $$ r = 2\sqrt{5} $$ :::: ::::{solution} Vi bestemmer en funksjon $A(r)$ for arealet av rektangelet: $$ A(r) = r\cdot f(r) = r \cdot \dfrac{8}{r^2 + 20} = \dfrac{8r}{r^2 + 20} $$ For å bestemme ekstremalpunktene til $A$, må vi løse $A'(r) = 0$ og sjekke at $A''(r) < 0$ i punktet for å sikre at det er et toppunkt. Vi bruker CAS til å utføre selve regningen: :::{figure} ./figurer/oppgave_4/sol.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 60% --- ::: Fra utskriften er vi at $A'(r) = 0$ når $r = 2\sqrt{5}$ (som er den eneste løsningen som er innenfor definisjonsmengden). Vi ser også at $A''(2\sqrt{5}) < 0$ som betyr at $A$ er konkav {polyicon}`frown` i nabolaget til punktet. Dermed gir $r = 2\sqrt{5}$ et toppunkt. Derfor vil $r = 2\sqrt{5}$ gi det største arealet av rektangelet. :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 5 :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Punktene på en halvsirkel oppfyller likningen $$ x^2 + y^2 = 4 \qder y \geq 0. $$ Et rektangel har hjørnene $(-x, 0)$, $(x, 0)$, $(x, f(x))$ og $(-x, f(-x))$ der $f$ er grafen til halvsirkelen. Se figuren nedenfor. Bestem $x$ slik at arealet av rektangelet er størst mulig. :::{plot} width: 70% ticks: off xmin: -2.5 xmax: 2.5 ymin: -0.1 ymax: 2.5 function: sqrt(4 - x**2), (-2, 2), f polygon: (-1.5, 0), (1.5, 0), (1.5, f(1.5)), (-1.5, f(-1.5)) point: (-1.5, 0) point: (1.5, 0) point: (1.5, f(1.5)) point: (-1.5, f(-1.5)) axis: equal text: -1.5, 0, "$(-x, 0)$", bottom-center text: 1.5, 0, "$(x, 0)$", bottom-center text: 1.5, f(1.5), "$(x, f(x))$", top-right text: -1.5, f(-1.5), "$(-x, f(-x))$", top-left ::: ::::{answer} $$ x = \sqrt{2} $$ :::: ::::{solution} Vi starter med å bestemme en funksjon $A(x)$ som gir arealet av rektangelet. Denne vil være gitt ved: $$ A(x) = 2x \cdot f(x) $$ Vi trenger et uttrykk for $f(x)$ som vi kan bestemme ved å løse likningen for halvsirkelen for $y$: $$ x^2 + y^2 = 4 \liff y^2 = 4 - x^2 \limplies y = \sqrt{4 - x^2} $$ Dermed vil $y(x) = \sqrt{4 - x^2}$. Vi kan dermed skrive arealfunksjonen som: $$ A(x) = 2xy(x) = 2x \cdot \sqrt{4 - x^2} $$ For å bestemme ekstremalpunktene til $A$, må vi løse $A'(x) = 0$ og sjekke at $A''(x) < 0$ i punktet for å sikre at det er et toppunkt. Vi bruker CAS til å utføre selve regningen: :::{figure} ./figurer/oppgave_5/sol.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 60% --- ::: Vi ser at $A'(x) = 0$ når $x = \sqrt{2}$. Videre er $A''(\sqrt{2}) < 0$ som betyr at $A$ er konkav {polyicon}`frown` i nabolaget til punktet. Dermed gir $x = \sqrt{2}$ et toppunkt. Derfor vil $x = \sqrt{2}$ gi det største arealet av rektangelet. :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 6 :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Anna skal reise fra en holme som ligger $8$ km fra strandkanten. $12$ km fra det punktet på stranden som ligger nærmest holmen, ligger det en hytte. Anna kan ro med en fart på $2$ km/t og gå med en fart på $6$ km/t. Anna kan gå i land i hvilket som helst punkt $\ell$ på veien. Se figuren nedenfor. :::{plot} width: 70% axis: off xmin: -1 xmax: 13 ymax: 10 ymin: -2 point: (0, 8) point: (4, 0) point: (12, 0) line-segment: (0, 8), (4, 0), blue, solid hline: 0, -1, 13, solid, gray vline: 0, 0, 8, dashed, gray hline: 0, 4, 12, solid, red text: 0, 8, "Holme", top-center text: 12, 0, "Hytte", top-center text: 4, 0, "$\ell$", top-right bar: (-0.5, 0), 8, vertical text: -0.5, 4, "8 km", center-left bar: (0, -0.5), 4, horizontal text: 2, -0.5, "$x$ km", bottom-center bar: (0, -1.4), 12, horizontal text: 6, -1.4, "12 km", bottom-center text: 2, 4, "I vann", top-right text: 8, -0.2, "På land", bottom-center ::: ::::{answer} $$ x = 2\sqrt{2} \, \mathrm{km} $$ :::: ::::{solution} Tiden Anna bruker vil være gitt ved strekningen $s$ hun reiser delt på farten $v$ hun har. Strekningen hun må ro før hun går i land er $$ s_\mathrm{vann}(x) = \sqrt{x^2 + 8^2} = \sqrt{x^2 + 64} $$ Strekningen Anna må gå når hun er i land er $$ s_\mathrm{land}(x) = 12 - x $$ Tiden Anna vil bruke på hver del av turen blir dermed: $$ T_\mathrm{vann}(x) = \dfrac{s_\mathrm{vann}}{v_\mathrm{vann}} = \dfrac{\sqrt{x^2 + 64}}{2} \and T_\mathrm{land}(x) = \dfrac{s_\mathrm{land}}{v_\mathrm{land}} = \dfrac{12 - x}{6} $$ Den samlede tiden kan derfor beskrives av funksjonen $$ T(x) = T_\mathrm{vann}(x) + T_\mathrm{land}(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 64}}{2} + \dfrac{12 - x}{6} $$ For å få kortest mulig tid, må vi bestemme ekstremalpunktene til $T$. Da løser vi $T'(x) = 0$ og sjekker at $T''(x) > 0$ i punktet: :::{figure} ./figurer/oppgave_6/sol.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 60% --- ::: Vi ser at $T'(x) = 0$ når $x = 2\sqrt{2}$. Vi ser også at $T''(2\sqrt{2}) > 0$ som betyr at punktet gir et bunnpunkt. Derfor må Anna gå i land $2\sqrt{2}$ km fra det punktet på stranden som ligger nærmest holmen for å få kortest mulig reisetid. :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 7 :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: En takrenne skal lages i form av et åpent trapes ved å brette to sidekanter fra et flatt rektangel slik at alle sidelengder i takrenna er $10$ cm og takrennen har en høyde på $x$ cm. Se figuren nedenfor. Bestem høyden $x$ slik at mest mulig vann kan strømme gjennom takrenna. :::{plot} width: 70% axis: off xmin: -8.5 xmax: 18.5 ymin: -2 ymax: 8 line-segment: (0, 0), (10, 0), black, solid line-segment: (0, 0), (-8, 6), black, solid line-segment: (10, 0), (18, 6), black, solid text: 5, 0, "10 cm", bottom-center text: -4, 3, "10 cm", center-left text: 14.2, 3, "10 cm", center-right hline: 6, -8, 18, dashed, gray vline: 0, 0, 6, dashed, gray vline: 10, 0, 6, dashed, gray text: 0, 3, "$x$ cm", center-right lw: 1.5 figsize: (6, 4) ::: ::::{answer} $$ 5 \sqrt{3} \, \mathrm{cm} $$ :::: ::::{solution} For at mest mulig vann skal strømme gjennom, må arealet av tverrsnittet til takrenna være størst mulig. Vi bestememr en funksjon for arealet: $$ A(x) = 10x + x\sqrt{10^2 - x^2} = 10x + x\sqrt{100 - x^2} $$ Vi må finne ekstremalpunktene til $A$. Da må vi løse $A'(x) = 0$ og sjekke om løsningen gir et toppunkt. Vi bruker CAS til å utføre selve regningen: :::{figure} ./figurer/oppgave_7/sol.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 70% --- ::: Fra utskriften ser vi at $A'(x) = 0$ når $$ x = \pm 5 \sqrt{3} $$ Det er bare den positive løsningen som gir mening. I tillegg så er $A''(5\sqrt{3}) < 0$ som betyr at $A$ er konkav {polyicon}`frown` i nabolaget til punktet. Dermed gir $x = 5\sqrt{3}$ et toppunkt for $A$. Derfor vil det strømme mest vann gjennom takrenna dersom høyden er $5 \sqrt{3} \, \mathrm{cm}$. :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 8 :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: :::{plot} width: 80% ellipse: (0, 5), 3, 0.5, black, solid ellipse: (0, 0), 3, 0.5, black, solid line-segment: (-3, 0), (-3, 5), black, solid line-segment: (3, 0), (3, 5), black, solid figsize: (3, 4) ymin: -1 axis: off align: right bar: (3.8, 0), 5, v text: 3.8, 2.5, "$h$", center-right bar: (0, 6), 3, h text: 1.5, 6, "$r$", top-center hline: 5, 0, 3, dashed, gray ::: En sylinder har overflateareal $A = 32\pi$. Bestem hvilken høyde $h$ og radius $r$ som gir sylinderen størst mulig volum. :::{clear} ::: ::::{answer} $$ r = \dfrac{4\sqrt{3}}{3} \and h = \dfrac{8\sqrt{3}}{3} $$ :::: ::::{solution} Overflatearealet $A$ kan uttrykkes som $$ A = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 32\pi $$ Volumet er gitt ved $$ V = \pi r^2 h $$ Vi kan bestemme en funksjon $V(r)$ eller en funksjon $V(h)$ ved å bruke likningen for overflatearealet. Siden $r^2$ opptrer i begge uttrykk, er det enklere å løse likningen for overflatearealet for $h$ og erstatte dette i uttrykket for volumet $V$: $$ 2\pi r^2 + 2\pi r h = 32\pi $$ $$ r^2 + rh = 16 $$ $$ rh = 16 - r^2 \liff h(r) = \dfrac{16 - r^2}{r} $$ Så setter vi uttrykket for $h$ inn i uttrykket for volumet: $$ V(r) = \pi r^2 h(r) = \pi r^2 \cdot \dfrac{16 - r^2}{r} = \pi r(16 - r^2) = \pi(16r - r^3) $$ For å bestemme ekstremalpunktene til $V$, må vi løse $V'(r) = 0$ og sjekke at $V''(r) < 0$ i punktet for å sikre at det er et toppunkt. Vi bruker CAS til å utføre selve regningen: :::{figure} ./figurer/oppgave_8/sol.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 60% --- ::: Vi ser at $V'(r) = 0$ når $x = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}$. Vi ser også at $V''\left(\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\right) < 0$ som betyr at $V$ er konkav {polyicon}`frown` i nabolaget til punktet. Dermed gir $r = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}$ et toppunkt. Vi trenger også høyden ved denne radien, så vi også kan regne ut med CAS: :::{figure} ./figurer/oppgave_8/sol_2.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 60% --- ::: Dermed er volumet størst mulig hvis $$ r = \dfrac{4\sqrt{3}}{3} \and h = \dfrac{8\sqrt{3}}{3} $$ :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 9 :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: En kurve er gitt ved grafen til funksjonen $f(x) = x^2$. I samme figur er et punkt $P(6, 3)$. Et linjestykke $\ell$ går fra punktet $P$ til et punkt på grafen. Bestem koordinatene til punktet på grafen som gjør at $\ell$ blir kortest mulig. Bestem et eksakt uttrykk for lengden av $\ell$ i dette tilfellet. :::{plot} width: 70% function: x**2, f point: (5, 3) text: 5, 3, "$P(6, 3)$", top-right ymin: -1 ymax: 8 xmin: -3 hline: 3, 2.5, 5, dashed, gray vline: 2.5, 3, f(2.5), dashed, gray point: (2.5, f(2.5)) text: 2.5, f(2.5), "$(x, f(x))$", top-right line-segment: (5, 3), (2.5, f(2.5)), red, solid text: 3.7, 4.5, "$\ell$", top-right ticks: off polygon: (2.5, 3), (2.8, 3), (2.8, 3.4), (2.5, 3.4) ::: ::::{answer} * Koordinatene til punktet på grafen er $(2, 4)$ * Lengden til linjestykket er da $\sqrt{17}$ :::: ::::{solution} Avstanden fra punktet $P(6, 3)$ til et punkt på grafen $(x, f(x))$ kan vi uttrykke ved hjelp av Pytagoras' setning: $$ d(x) = \sqrt{(x - 6)^2 + (f(x) - 3)^2} = \sqrt{(x - 6)^2 + (x^2 - 3)^2} $$ For å bestemme ekstremalpunktene til $d$, må vi løse $d'(x) = 0$ og sjekke at $d''(x) > 0 i punktet for å sikre at det er et bunnpunkt. Vi bruker CAS til å utføre selve regningen: :::{figure} ./figurer/oppgave_9/sol.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 60% --- ::: Vi ser at $d'(x) = 0$ når $x = 2$. Vi ser også at $d''(2) > 0$ som betyr at $d$ er konveks {polyicon}`smile` i nabolaget til punktet. Dermed gir $x = 2$ et bunnpunkt. Derfor vil linjestykket $\ell$ bli kortest mulig når det går fra $P(6, 3)$ til punktet $(2, f(2)) = (2, 4)$ på grafen. Vi ser også at $d(2) = \sqrt{17}$ som er lengden av linjestykket i dette tilfellet. :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 10 :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Punktene på en parabel tilfredsstiller likningen $$ x = (y - 1)^2 - 2. $$ Kurven til parabelen er vist i figuren nedenfor. Bestem en eksakt verdi for den korteste avstanden fra punktet $P(-2, 4)$ til kurven. :::{plot} width: 70% curve: (t - 1)**2 - 2, t, (-10, 10), solid, blue point: (-2, 4) text: -2, 4, "$P(-2, 4)$", top-left ticks: off ::: ::::{answer} $$ \sqrt{5} $$ :::: ::::{solution} Avstanden fra punktet $P(-2, 4)$ til et punkt på parabelen $(x, y)$ kan vi uttrykke ved hjelp av Pytagoras' setning: \begin{align*} d &= \sqrt{(x + 2)^2 + (y - 4)^2} = \sqrt{\left((y - 1)^2 - 2 + 2\right)^2 + (y - 4)^2} \\ \\ &= \sqrt{(y - 1)^4 + (y - 4)^2} \end{align*} Vi har derfor en funksjon $d(y)$ for avstanden fra punktet $P$ til et punkt på parabelen. Vi må finne ekstremalpunktene til $d$. Da må vi løse $d'(y) = 0$ og sjekke at løsningen gir et bunnpunkt for at vi skal få kortest mulig avstand. Vi gjør dette med CAS: :::{figure} ./figurer/oppgave_10/sol.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 60% --- ::: Fra utskriften ser vi at $d'(y) = 0$ når $y = 2$. Da er $d''(2) > 0$ som betyr at $d$ er konveks {polyicon}`smile` i nabolaget til punktet. Dermed gir $y = 2$ et bunnpunkt. Derfor vil den korteste avstanden fra punktet $P(-2, 4)$ til kurven være når vi går til punktet på kurven der $y = 2$. Fra utskriften ser vi at $d(2) = \sqrt{5}$ som er den korteste avstanden. :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 11 :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: Et punkt $A$ ligger en avstand $2$ fra en linje $\ell$. Et annet punkt $C$ ligger en avstand $4$ fra linjen $\ell$. Et punkt $B$ skal plasseres på $\ell$ slik at summen av linjestykkene $AB + BC$ blir minst mulig. Se figuren nedenfor. Bestem den minste verdien for summen av linjestykkene $AB + BC$. :::{plot} width: 70% axis: off xmin: -1 xmax: 10 ymax: 5 ymin: -2 hline: 0, -1, 10, solid vline: 0, 0, 2, dashed, gray vline: 9, 0, 4, dashed, gray point: (0, 2) point: (4, 0) point: (9, 4) line-segment: (0, 2), (4, 0), black, solid line-segment: (4, 0), (9, 4), black, solid vline: 0.65, 0, 0.4, solid, black hline: 0.4, 0, 0.65, solid, black vline: 8.35, 0, 0.4, solid, black hline: 0.4, 9, 8.35, solid, black text: 4, 0, "$B$", top-center text: 0, 2, "$A$", top-left text: 9, 4, "$C$", top-right lw: 1.5 point: (0, 0) text: 10, 0, "$\ell$", center-right bar: (0, -0.4), 9, horizontal text: 4.5, -0.4, "$9$", bottom-center bar: (-0.5, 0), 2, vertical text: -0.5, 1, "$2$", center-left bar: (9.5, 0), 4, vertical text: 9.5, 2, "$4$", center-right ::: ::::{answer} $$ 3\sqrt{13} $$ :::: ::::{solution} Vi lar $x$ være avstanden fra det punktet på linja $\ell$ som ligger nærmest $A$ bort til punktet $B$. Da vil avstanden fra $B$ bort til det punktet på $\ell$ som ligger nærmest $C$ være $9 - x$. Bruker vi Pytagoras' setning, får vi da at linjestykket $AB$ er: $$ AB = \sqrt{x^2 + 2^2} = \sqrt{x^2 + 4} $$ På tilsvarende vis vil linjestykket $BC$ være $$ BC = \sqrt{(9 - x)^2 + 4^2} = \sqrt{(x - 9)^2 + 16} $$ Vi kan lage en funksjon $L(x)$ som gir summen av de to linjestykkene: $$ L(x) = AB + BC = \sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{(x - 9)^2 + 16} $$ For å bestemme ekstremalpunktene til $L$, må vi løse $L'(x) = 0$ og sjekke at $L''(x) > 0 i punktet for å sikre at det er et bunnpunkt. Vi bruker CAS til å utføre selve regningen: :::{figure} ./figurer/oppgave_11/sol.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 60% --- ::: Vi ser at $L'(x) = 0$ når $x = 3$. Vi ser også at $L''(3) > 0$ som betyr at $L$ er konveks {polyicon}`smile` i nabolaget til punktet. Dermed gir $x = 3$ et bunnpunkt. Derfor vil summen av linjestykkene $AB + BC$ bli minst mulig når $B$ ligger $3$ enheter fra punktet på linja $\ell$ som ligger nærmest $A$. Vi kan også regne ut den minste verdien for summen av linjestykkene i dette tilfellet (med CAS): :::{figure} ./figurer/oppgave_11/sol_2.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 60% --- ::: Altså er den minste verdien for summen av linjestykkene $AB + BC$ lik $3\sqrt{13}$. :::: ::::::::::::::: --- :::::::::::::::{exercise} Oppgave 12 :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: En likebeint trekant skal innskrives i en sirkel med radius $1$. Bestem en eksakt verdi for det største arealet en slik trekant kan ha. :::{plot} width: 50% curve: cos(t), sin(t), (0, 2*pi), solid, blue axis: equal axis: off polygon: (0, 1), (cos(-pi/4), sin(-pi/4)), (cos(pi + pi/4), sin(pi + pi/4)) fontsize: 30 ::: ::::{hints} Vanskelig å komme i gang? Her er en hjelpefigur! Nedenfor vises en mindre rettvinklet trekant som er tegnet inn som du kan bruke for å hjelpe deg å finne et uttrykk for arealet av den store trekanten. :::{plot} width: 55% curve: cos(t), sin(t), (0, 2*pi), solid, blue axis: equal axis: off polygon: (0, 1), (cos(-pi/4), sin(-pi/4)), (cos(pi + pi/4), sin(pi + pi/4)) line-segment: (0, 0), (0, sin(-pi/4)), black, dashed line-segment: (0, 0), (cos(pi + pi/4), sin(pi + pi/4)), black, dashed text: 0.5 * (cos(pi + pi/4)), 0.5 * (sin(pi + pi/4)) + 0.15, "$1$", center-center text: 0 + 0.1, 0.5 * sin(-pi/4), "$x$", center-center text: 0.5 * cos(pi + pi/4), sin(pi + pi/4) - 0.1, "$\ell$", center-center fontsize: 30 polygon: (0, sin(-pi/4)), (-0.15, sin(-pi/4)), (-0.15, sin(-pi/4) + 0.15), (0, sin(-pi/4) + 0.15) ::: :::: ::::{answer} $$ \dfrac{3\sqrt{3}}{4} $$ :::: ::::{solution} :::{plot} align: right width: 100% curve: cos(t), sin(t), (0, 2*pi), solid, blue axis: equal axis: off polygon: (0, 1), (cos(-pi/4), sin(-pi/4)), (cos(pi + pi/4), sin(pi + pi/4)) line-segment: (0, 0), (0, sin(-pi/4)), black, dashed line-segment: (0, 0), (cos(pi + pi/4), sin(pi + pi/4)), black, dashed text: 0.5 * (cos(pi + pi/4)), 0.5 * (sin(pi + pi/4)) + 0.15, "$1$", center-center text: 0 + 0.1, 0.5 * sin(-pi/4), "$x$", center-center text: 0.5 * cos(pi + pi/4), sin(pi + pi/4) - 0.1, "$\ell$", center-center fontsize: 30 polygon: (0, sin(-pi/4)), (-0.15, sin(-pi/4)), (-0.15, sin(-pi/4) + 0.15), (0, sin(-pi/4) + 0.15) ::: Vi lager en hjelpefigur der vi lager en mindre rettvinklet som vi kan bruke til å finne et uttrykk for arealet av den store trekanten som vist til høyre. Vi trenger å et uttrykk for grunnlinja og høyden til trekanten for å kunne finne et uttrykk for arealet. Fra Pytagoras' setning har vi at $$ \ell^2 + x^2 = 1^2 $$ Vi kan løse denne likningen for $\ell$: $$ \ell = \sqrt{1 - x^2} $$ :::{clear} ::: Grunnlinjen $g$ til den store trekanten er da $g = 2\ell$. Høyden til trekanten vil være $h = x + 1$. Arealet $A$ av trekanten kan da skrives som: $$ A = \dfrac{g \cdot h}{2} = \dfrac{2\ell \cdot h}{2} = \ell \cdot h $$ Setter vi inn uttrykket for $\ell$ og $h$, får vi funksjonen $$ A(x) = \ell \cdot h = \sqrt{1 - x^2} \cdot (x + 1) = (x + 1)\sqrt{1 - x^2} $$ For å bestemme det største arealet $A$ vi kan få, så løser vi $A'(x) = 0$ og sjekker at $A''(x) < 0$ i punktet for å sikre at det er et toppunkt. Vi bruker CAS til å utføre selve regningen: :::{figure} ./figurer/oppgave_12/sol.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 60% --- ::: Vi ser at $x = \dfrac{1}{2}$ er et ekstremalpunkt og vi ser at $A''\left(\dfrac{1}{2}\right) < 0$ som betyr at $A$ er konkav {polyicon}`frown` i nabolaget til punktet. Dermed gir $x = \dfrac{1}{2}$ et toppunkt. Derfor vil arealet $A$ bli størst mulig når $x = \dfrac{1}{2}$. Fra utskriften kan vi da også konkludere at det eksakte største arealet er $$ A\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{3\sqrt{3}}{4} $$ :::: ::::::::::::::: --- :::{margin} Volumet av en kjegle med grunnflateareal $G$ og høyde $h$ er gitt ved $$ V = \dfrac{Gh}{3} $$ ::: :::::::::::::::{exercise} Oppgave 13 :::{cas-popup} --- layout: sidebar --- ::: En kjegle med sirkulær grunnflate med radius $r$ og høyde $h$ er innskrevet i en kule med radius $1$. Se figuren nedenfor. :::{plot} width: 50% curve: cos(t), sin(t), (0, 2*pi), solid, blue axis: equal axis: off line-segment: (0, 1), (cos(-pi/6), sin(-pi/6)) line-segment: (0, 1), (cos(pi + pi/6), sin(pi + pi/6)) ellipse: (0, 0), 1, 0.2, gray, dashed ellipse: (0, sin(-pi/6)), cos(-pi/6), 0.2, red, dashed line-segment: (0, sin(-pi/6)), (cos(-pi/6), sin(-pi/6)), black, solid text: 0.5 * cos(-pi/6), sin(-pi/6) - 0.1, "$r$", center-center bar: (1.1, -0.5), 1.5, vertical text: 1.05, 0.25, "$h$", center-right fontsize: 30 lw: 3 ::: Bestem det største volumet en slik kjegle kan ha. ::::{answer} $$ V_\text{størst} = \dfrac{32}{81}\pi $$ :::: ::::{solution} Først lager vi en hjelpefigur som beskriver tverrsnittet til figuren: :::{plot} width: 50% curve: cos(t), sin(t), (0, 2*pi), solid, blue axis: equal axis: off line-segment: (0, 1), (cos(-pi/6), sin(-pi/6)) line-segment: (0, 1), (cos(pi + pi/6), sin(pi + pi/6)) line-segment: (0, sin(-pi/6)), (cos(-pi/6), sin(-pi/6)), black, solid line-segment: (0, sin(-pi/6)), (-cos(-pi/6), sin(-pi/6)), black, dotted line-segment: (0, 0), (cos(-pi/6), sin(-pi/6)), solid, black line-segment: (0, 0), (0, sin(-pi/6)), solid, black text: 0.5 * cos(-pi/6), sin(-pi/6) - 0.1, "$r$", center-center bar: (1.1, -0.5), 1.5, vertical text: 1.05, 0.25, "$h$", center-right fontsize: 30 lw: 3 text: 0 - 0.1, 0.5 * sin(-pi/6), "$\ell$", center-center text: 0.5 * cos(-pi/6), 0 - 0.1, "$1$", center-center polygon: (0, sin(-pi/6)), (0.1, sin(-pi/6)), (0.1, sin(-pi/6) + 0.1), (0, sin(-pi/6) + 0.1) line-segment: (0, 0), (0, 1), dotted, black text: 0 + 0.1, 0.4, "$1$", center-left ::: Volumet av en kjegle er gitt ved $$ V = \dfrac{Gh}{3} $$ der $G$ er arealet av grunnflaten og $h$ er høyden. Arealet av grunnflaten er gitt ved $$ G = \pi r^2 $$ Høyden $h$ er gitt ved $$ h = 1 + \ell $$ Fra figuren kan vi bruke Pytagoras' setning på den rettvinkla trekanten til å skrive opp sammenhengen: $$ r^2 + \ell^2 = 1^2 $$ Fra dette finner vi at $$ \ell = \sqrt{1 - r^2} $$ Det betyr at høyden er $$ h = 1 + \sqrt{1 - r^2} $$ Dermed vil volumet av kjeglen kunne uttrykkes som en funksjon av $r$: $$ V(r) = \dfrac{\pi r^2 \left(1 + \sqrt{1 - r^2}\right)}{3} $$ Vi bruker CAS til å bestemme ekstremalpunktene til $V$ og avgjør hvilke av punktene som er toppunkter ved å sjekke at $V''(r) < 0$ i punktet: :::{figure} ./figurer/oppgave_13/sol.png --- class: no-click, adaptive-figure width: 70% --- ::: Fra utskriften ser vi at $V'(r) = 0$ når $$ r = 0 \or r = \pm \dfrac{2\sqrt{2}}{3} $$ Når $r = 0$ så er $V(r) = 0$ så dette er opplagt ikke det største volumet. Den eneste løsningen som gir mening er derfor $r = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$. Vi ser også at $V''\left(\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\right) < 0$ som betyr at $V$ er konkav {polyicon}`frown` i nabolaget til punktet. Dermed gir $r = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ et toppunkt. Derfor vil volumet $V$ bli størst mulig når $r = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$. Fra utskriften kan vi da også konkludere at det eksakte største volumet er $$ V_\text{størst} = \dfrac{32}{81}\pi $$ :::: :::::::::::::::